《直线的参数方程(第2课时)》教学设计

第二讲 参数方程

直线的参数方程（第二课时）(谷杨华)

一、教学目标 （一）核心素养

通过这节课学习，了解直线参数方程的其它形式、灵活应用参数的几何意义，学会选择适当的参数方程，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的优越性． （二）学习目标

1．根据实际问题选择适当的直线参数方程．

2．掌握直线标准参数方程中参数的几何意义，通过参数几何意义，树立数形结合的思想． 3．灵活利用直线参数方程解决有关几何问题，体会参数方程的优越性． （三）学习重点

1．直线参数方程的应用．

2．直线参数方程中参数的几何意义． （四）学习难点

1．对直线标准参数方程与其它形式的参数方程之间联系的理解． 2．对直线标准参数方程中参数的几何意义的灵活应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

读一读：阅读教材第36页至第39页，填空：

直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨

⎧+=+=αα

与曲线0),(=y x f 交于21,M M 两点，对应的参数分别为21,t t ，则：

（1）曲线的弦长=21M M -（2）线段21M M 的中点M 对应的参数t =2

2

1t t + 2．预习自测

（1）下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )

A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)

B.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)

C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，

y ＝3－2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋25

5t ，y ＝5＋5

5t (t 为参数) 【知识点】直线的参数方程

【解题过程】将选项中的参数方程消去参数化为普通方程，选项A 对应的普通方程为：

02=+-y x ，选项B ：032=+-y x ；选项C ：2x －y ＋1＝0

【思路点拨】将参数方程化为普通方程验证可得 【答案】C

（2）已知直线),(3443为参数t t y t

x ⎩⎨⎧+-=+=，下列说法错误的是( )

A ．直线过点)1,7(-

B ．直线的斜率为

4

3 C ．直线不过第二象限 D ．t 是定点)4,3(0-M 到该直线上对应点M 的距离

【知识点】直线的参数方程

【解题过程】将参数方程化为普通方程得：)3(4

3

4-=

+x y ，验证可知A,B,C 正确，而选项D 只有在标准参数方程下才具有上述几何意义，显然所给的参数方程不是标准参数方程 【思路点拨】熟记直线标准的参数方程及参数的几何意义 【答案】D

（

3）曲线5()122

x t y t

⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

为参数与曲线5()2x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数表示的 同一曲线。

（填“是”或“不是”）

【知识点】直线的参数方程

【解题过程】将上述参数方程都化为普通方程得：)5(3

3

2-=+x y ，所以表示同一直线 【思路点拨】熟练掌握常规的参数方程与普通方程的互化

【答案】是．

（4）已知直线l 与x 轴不垂直，且直线l 过点)0,2(M 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，则

=+

2

2

11BM

AM

【知识点】直线参数方程、直线与抛物线的位置关系

【解题过程】设),(sin cos 2:为倾斜角为参数αα

α

t t y t x l ⎩⎨⎧=+=，代入x y 42=得

08cos 4sin 22=--ααt t ，所以

=+

2

2

11BM

AM

41sin 64sin 16

sin cos 162)(1122422

221212212221=+=-+=+α

αααt t t t t t t t 【思路点拨】熟练运用直线标准参数方程中参数的几何意义求解

【答案】4

1

(二)课堂设计 1．知识回顾

（1）过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨

⎧+=+=αα

，这种形式称为直线参数方程的标准形式．

（2）参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.

（3）若0>t ，则0M M 的方向向上； 若0

探究一 结合实例，认识直线参数方程★ ●活动① 得出直线参数方程的另外形式

参数方程不仅可以用来表示曲线，同时还可以来描述事物运动变化规律，并且，由于选择的参数不同，得到的参数方程也可以有不同的形式，但它们表示的曲线却可以相同．先看下面例子：

动点M 作等速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为12,9，运动开始时，点M 位于)1,1(A ，求点M 的轨迹的参数方程．

根据题意：点M 的轨迹的参数方程可以直接写为：

⎩

⎨

⎧+=+=)(12191为参数t t y t

x ， 消去t ，得0134=--y x ．所以直线的参数方程也可写为：

⎩

⎨

⎧+=+=)(00为参数t bt y y at

x x 其中00,y x 为直线上定点0M 的坐标),(00y x ，b a ,为常数，t 为参数，此时参数t 没有明确的几何意义，只有当122=+b a 且0≥b 时,参数t 才有意义．

【设计意图】结合实例，由特殊到一般，得到直线的参数方程的另外形式． ●活动② 认识差异、合理运用

由于上述直线的参数方程中的参数参数t 没有明确的几何意义，能否将其转为标准的参数方程形式？

给出直线的非标准式参数方程⎩⎨⎧

x ＝x 0＋at ，

y ＝y 0＋bt

(t 为参数)时：

（Ⅰ）当系数0≥b ，根据标准式的特点，参数t 的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据

三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋

a

a 2＋b

2

×a 2＋b 2t ，y ＝y 0＋

b a 2＋b 2

×a 2＋b 2

t (t 为参数)，再

进一步令cos α＝

a a 2＋

b 2，sin α＝b

a 2＋b

2

，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，a 2

＋b 2

t 看成相应的参数t ′，即得标准式的参数方程⎩⎨⎧

x ＝x 0＋t ′cos α，

y ＝y 0＋t ′sin α

(t ′为参数)．

由转化的过程可以看出，在一般参数方程⎩⎨⎧

x ＝x 0＋at ，

y ＝y 0＋bt (t 为参数)中，a 2＋b 2t 具有标准

式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出