数列递推关系式求通项常用方法

由数列的递推公式求通项公式的常用方法

类型1：)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解

例：已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2：n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=

+ )1(≥n ，求n a

类型3：q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

类型4：n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）， （或

1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：

q

q a q p q a n n n n 1

11+∙=++引入

辅助数列{}n b （其中n

n n q

a b =

），得：q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2

1

(31+++=n n n a a ，求n a 。

变式:设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=

-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n T S =，1,2,3,n =

，证明：1

32n

i i T =<∑

类型5：递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=++，求n a

变式:已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式

类型6：递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用

⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)

2()1(11n S S n S a n n n 与

)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和2

2

14--

-=n n n a S .

（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

类型7：b an pa a n n ++=+1)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为

{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

变式：已知数列｛n a ｝中，111

22

n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…

求数列{}的通项；n a

类型8：r

n n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例：已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(2

1

,110N n a a a a n n n ∈-=

=+求数列}{n a 的通项公式a n .

变式：已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；

类型9： )

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。 例：已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

变式：已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1

*≥∈－－（，）＋－求数列｛a n ｝的通项公式

类型10：h

ra q

pa a n n n ++=

+1 解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程

h rx q

px x ++=

,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫

-⎨⎬-⎩⎭是等比数列;当特征方程无根时，}{n a 为

周期数列。

例：已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公

式.

变式：数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足求}{n a 的通项公