参数方程的简单应用

知识回顾： 知识回顾： 1 .参数方程的概念。 参数方程的概念。 参数方程的概念 2 .参数方程的意义。 参数方程的意义。 参数方程的意义 3 .如何建立曲线的参数方程。 如何建立曲线的参数方程。 如何建立曲线的参数方程 4 .常用曲线的参数方程。 常用曲线的参数方程。 常用曲线的参数方程 5 .参数方程与普通方程的互化。 参数方程与普通方程的互化。 参数方程与普通方程的互化 6 .参数方程的应用。 参数方程的应用。 参数方程的应用
消去参数m， 消去参数 ，得
4x-4y-3=0 - -
例7 、已知方程 x2-ax+b=0 的两个根为 + sinθ,cosθ,求点 a, b )的轨迹方程。 求点( 的轨迹方程。 求点 的轨迹方程
a = sin θ + cosθ , ① 据题意， 解：据题意，有 ② b = sin θ cosθ. 将①式两边平方得 a2 = 1+ 2sin θ cosθ
2x+y 的最大值为： 17，最小值为：− 17
x y 例5、 已知椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0),P(x,y) 、 a b 是椭圆上的动点， 是椭圆上的定点， 是椭圆上的动点，B(0,b)是椭圆上的定点， 是椭圆上的定点 的最大值. 求|PB|的最大值 的最大值
2
2
解：设椭圆上任一点P(acosθ,bsinθ), 设椭圆上任一点 |PB|2=a 2cos2θ+(bsinθ-b)2 2 2
b 2 a 2 = −c (sin θ + 2 ) + ( ) c c
2
b （1）当 0 < b ≤ c 时，有 0 < 2 ≤ 1 ） c 2 b 当 sin θ = − 2 时， |PB|2取得最大值 c 2 2 a 2 a . 为 ( ) ，即|PB|取得最大值为 取得最大值为 c c 2 b （2）当 0 < c < b 时，有 2 > 1 ） c 取得最大值为2b. 当sinθ=-1 时， |PB|取得最大值为 取得最大值为
2
例6、 已知曲线 y=x2+(2m+1)x+m2-1， 、 已知曲线C + ， 变化时， 当m变化时，求曲线顶点的轨迹方程。 变化时 求曲线顶点的轨迹方程。 的顶点坐标P( 解：设曲线C的顶点坐标 x,y ),则有 设曲线 的顶点坐标 则有
2m +1 x = − 2 , 4(m2 −1) − (2m +1)2 y = . 4
将②式代入上式得
1 2 1 b= a − 2 2
其中： 其中： − 2 ≤ a ≤ 2
课堂小结 利用椭圆的参数方程来表示椭圆 上点的坐标，使其只含有一个变量， 上点的坐标，使其只含有一个变量， 在求最值的问题中比较简便. 在求最值的问题中比较简便 对于一些求轨迹方程的问题， 对于一些求轨迹方程的问题，借 助参数联系曲线上点的横纵坐标的关 系，建立曲线的参数方程，消去参数， 建立曲线的参数方程，消去参数， 得到普通方程. 得到普通方程
O
y B A x
x 2 例4： 已知点 ： 已知点P(x,y)是椭圆 是椭圆 + y =1 4 上一点， 上一点，求 2x+y 的最值
解：设P(2cosθ,sinθ), 则 2x+y= 4cosθ+sinθ
4 1 = 17( cosθ + sin θ ) 17 17
2
= 17 sin( θ +ϕ)
x y 矩形ABCD的四个 例3、 已知椭圆 2 + 2 = 1 ,矩形 、 矩形 的四个 a b
2
2
顶点都在已知的椭圆上， 顶点都在已知的椭圆上，并且矩形的边平行于 椭圆的对称轴， 矩形ABCD面积的最大值。 面积的最大值。 椭圆的对称轴，求：矩形 面积的最大值 解：设点A(acosθ,bsinθ) 设点 则SABCD=4abcosθsinθ =2absin2θ 矩形ABCD面积的最 面积的最 矩形 大值为2ab. 大值为 O C D
常用的三角公式有:sin 常用的三角公式有:sin2x+cos2x=1; Sec2x-tg2x=1; csc2x-ctg2x=1; tgx·ctgx=1 tgx ctgx=1。
• (3)转化过程中应注意什么？ 转化过程中应注意参数的范围不能扩 大也不能缩小．也就是对应曲线上的点， 不应增加也不应减少，保证参数方程和消 参后的普通方程等价．
3.常见曲线的参数方程 常见曲线的参数方程 x = rcosθ x = a + rcosθ (1)圆 圆 (θ 是参数） y = r sin θ y = b + r sin θ x = x0 + tcosα (t是参数） (2)直线 (2)直线 y = y0 + t sin α
5.参数方程与普通方程的互化 参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程 参数方程 普通方程
消去参数
普通方程; 普通方程 参数方程. 参数方程
设适当的参数
(2)参数方程化为普通方程的方法 (2)参数方程化为普通方程的方法: 参数方程化为普通方程的方法: 代入法: x=f(t)中解出 中解出t 表示, ①代入法:从x=f(t)中解出t用x表示,代人到 y=g(x)中 就得到普通方程。 y=g(x)中,就得到普通方程。 公式法:利用三角公式或代数公式消去参数, ②公式法:利用三角公式或代数公式消去参数, 就得到普通方程. 就得到普通方程.
例1； ；
直线上
与点P（-2，5）的距离为5的点坐标？ 与点 （ ， ）的距离为 的点坐标？ 的点坐标 例2；过点 （1，5）且倾斜角为 的 ；过点M（ ， ）且倾斜角为π/3的 直线与圆x 相交于A、 两点 两点， 直线与圆 2+y2=16相交于 、B两点，求； 相交于 之长；（ （1）弦AB之长；（ ）|MA|+|MB|； ） 之长；（2） ； （3） |MA|·|MB|； ） ；
2.参数方程的意义 参数方程的意义
(1)如果曲线上任意一点的坐标 x, y 的直接关 如果曲线上任意一点的坐标 系不容易找,那么可以利用参数建立两个变量 系不容易找 那么可以利用参数建立两个变量 x, y两个变量之间的间接联系 两个变量之间的间接联系. 两个变量之间的间接联系 (2)参数方程中的参数有时具有一定的几何意 参数方程中的参数有时具有一定的几何意 义或物理意义,我们可以利用参数的几何意义 义或物理意义,我们可以利用参数的几何意义 或物理意义来解决实问题. 或物理意义来解决实问题 (3)如果把曲线上点的坐标 分别用参数t表示， 如果把曲线上点的坐标x,y 表示， 如果把曲线上点的坐标 那么可以把二元问题转化为一元问题. 那么可以把二元问题转化为一元问题
x = acosθ (θ 是参数） (3)椭圆 y = b sin θ (4)双曲线 x = a sec θ (θ 是参数） y = btgθ
4.如何建立曲线的参数方程 如何建立曲线的参数方程 (1)建系：建立适当直角坐标系， 建系： 建系 建立适当直角坐标系， (2)选参：选择适当的参数，与时间有关 选参： 选参 选择适当的参数， 的运动物体，可以选择时间作为参数； 的运动物体，可以选择时间作为参数； 旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。 旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。 直线运动的物体可以把位移作为参数。 直线运动的物体可以把位移作为参数。 (3)设标：设曲线上任意一点 的坐标为 设标： 设标 设曲线上任意一点M的坐标为 （x,y） ） (4)列式：把x,y分别表示为参数 的函数， 列式： 分别表示为参数t的函数 列式 分别表示为参数 的函数， 并且联立。 并且联立。
1.曲线的参数方程的概念 曲线的参数方程的概念 在取定的坐标系中， 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
Baidu Nhomakorabea
x = f (t), (t y = ϕ(t),
(1)
并且对于t 的每一个允许值， 并且对于 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上， ，都在这条曲线上， 那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数 方程。 方程。