罚函数法MATLAB程序
罚函数罚与乘子法（1）2
罚函数法罚函数法是能够处理一般的约束优化问题：min ()()0,1,2,()0,1,2,,i if x h x i kg x j m ⎧⎪==⎨⎪≥=⎩ 的一类方法。
其基本思想是将约束优化问题卑微无约束问题来求解。
罚函数是由目标函数和约束函数的某种组合得到的函数，对于等式约束的优化问题min ()()0,1,2,i f x h x i k⎧⎨==⎩ ，可以定义如下的罚函数： 21()()()ki i F x f x c h x ==+∑将约束优化问题转化为无约束优化问题；对于不等式约束的优化问题min ()()0,1,2,,i f x g x j m⎧⎨≥=⎩ 可以定义如下的罚函数：11()()()mj j F x f x C g x ==+∑对于同时存在等式约束和不等式约束的优化问题，可以去上面两个罚函数的组合。
当然罚函数还有其他的取法，但是构造罚函数的思想都是一样的，即使得在可行点罚函数等于原来的目标函数值，在不可行点罚函数等于一个很大的数。
外点罚函数法 1.算法原理外点罚函数法是通过一系列罚因子{}i c ，求罚函数的极小值来逼近原约束问题的最有点。
之所以称为外点罚函数法，是因为它是从可行域外部向约束边界逐步靠拢的。
2，。
算法步骤用外点罚函数法求解线性约束问题min ()f x Ax b ⎧⎨=⎩的算法过程如下：1，给定初始点(0)x ，罚参数列{}i c 及精度0ε>，置1k =； 2，构造罚函数2()()F x f x c Ax b =+-；3，用某种无约束非线性规划，以(1)k x -为初始点求解min ()F x ；4，设最优解为()k x ，若()k x 满足某种终止条件，则停止迭代输出()k x ，否则令1k k =+，转2；罚参数列{}i c 的选法：通常先选定一个初始常数1c 和一个比例系数2ρ≥，则其余的可表示为11i i c c ρ-=。
终止条件可采用()S x ε≤，其中2()S x c Ax b =-。
最优化方法实验报告(2)
最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。
二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。
2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。
（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。
matlab用外点罚函数法求解等式约束最优化问题
一、引言我们需要明确什么是等式约束最优化问题。
在实际应用中，经常会遇到这样的问题：在满足一定的条件约束下，寻找一个使得某个目标函数达到最优值的解。
而等式约束最优化问题就是在满足一系列等式约束条件的前提下，求解出目标函数的最优值和对应的解向量。
在数学领域，等式约束最优化问题有着重要的理论和实际意义，对于工程、经济、管理等领域都有着广泛的应用。
二、问题描述一个典型的等式约束最优化问题可以用如下的数学形式来描述：minimize f(x)subject to:g(x) = 0其中，f(x)是目标函数，x是自变量向量，g(x)是等式约束条件函数。
三、外点罚函数法外点罚函数法是一种常用的方法，用于求解等式约束最优化问题。
它的基本思想是通过对目标函数和约束条件进行适当的变换，将等式约束问题转化为无约束问题。
具体地，外点罚函数法通过引入罚函数，将约束条件融入到目标函数中，构造出一个新的优化问题。
然后将这个新问题求解为原问题的近似解。
在优化的过程中，罚函数的惩罚项会惩罚那些违反约束条件的解，从而使得优化过程能够逼近满足约束条件的最优解。
四、matlab中的外点罚函数法求解在matlab中，可以利用现成的优化工具箱来求解等式约束最优化问题。
其中，fmincon函数是用来求解带有等式约束的最优化问题的。
它允许用户自定义目标函数和约束条件函数，并指定优化的初始点和其他参数。
通过在fmincon函数中调用外点罚函数法求解等式约束最优化问题，可以得到目标函数的最优值和对应的解向量。
五、实例分析为了更加直观地理解matlab中外点罚函数法的应用，我们来举一个简单的实例。
假设我们要求解如下的等式约束最优化问题：minimize f(x) = x1^2 + x2^2subject to:g(x) = x1 + x2 - 1 = 0我们需要将目标函数和约束条件转化成matlab可以识别的形式。
我们可以利用fmincon函数来求解这个最优化问题。
罚函数-原理与应用
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ,F(x,μ)的无约
束极小值为xμ。那么，xμ成为f(x)的约束极小点的
充要条件是：xμ是原问题的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
1) 取初始点X0为非可行点,μ0＞0(通常取μ0=1), ε＞0,c＞1(通常取
c=10),k=0
2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题：
= 12 + 222 + 21 + (1 + 2 − 1)2
(, )
= 12 + 222 + 21
+ (1 + − 1)2
例题
= 2, 2 = 100
(1) = (−0.2,0.4), ( (1) ,μ0 ) = 1.5237
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ0)的
问题转化为：
minF(x)
min() = 12 + 222 + 21
..
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式：
F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]²
其中，μ是一个充分大的正数。记
α(x)=[max(0,-x+2)]²
(3-98)
(3-99)
通常将μα(x)称之为罚函数，记为
点正是X=2
解题步骤
一般情况下：
设原问题为
minf(x)
(3-100)
s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101)
hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102)
则可以构造无约束极小化问题：
minF(x,μ)=f(x)+μα(x) (3-103)
惩罚函数求解matlab,matlab内点惩罚函数法
惩罚函数求解matlab,matlab内点惩罚函数法x1 ? x 2 ? 1 2、将例⼦程序改写为⼀个较为通⽤的罚函数 法程序。
(考虑要提供哪些参数) 2. 内点法(障碍函数法) min f ( x) s.t. g i ( x) ...操作系统为 Windows 2000 及以上的电脑,并装有 matlab 软件 四、实验操作⽅法和步骤 根据外点罚函数法的步骤,读懂下列的程序,并⽤该程序求解所给多维函数极值。
...[1 1]; b ? 1 ,则每⼀步迭代需求解的罚函数为: f (t , s) ? 0.5t 2 ? 0.25s 2 ? 0.05*2i (t ? s ?1)2 在 MATLAB 命令窗⼝中输⼊:......罚函数的算法与实例 例3.24 Matlab 的使⽤ u=0; [x,y]=me...5.6 约束变尺度法 7.2 乘⼦(罚函数)法信息与计算科学系 邵建峰邵建峰 本节内容: ? ⼀. 等式约束问题 ? ⼆.不等式约束问题 ? 三. 约束优化问题的Matlab求解......3.能够熟练编制和调试最优化⽅法的程序,奠定解决实际中的优化问题的基础 实验内容: 理解外点罚函数法并编写相关程序求其极⼩值点。
机械优化设计⽇ 期 成绩评定 ......三、主要仪器设备 操作系统为 Windows 2000 及以上的电脑,并装有 matlab 软件。
四、实验操作⽅法和步骤 根据外点罚函数法的步骤设计程序,并⽤该程序求解所给......直接搜索法 ?以梯度法为基础的间接法 ?⽆约束规划的Matlab求解函数 ?数学建模案例分析(截断切割,飞机排队) (1)间接法在⾮线性最优化问题当中,如果⽬标函 数能......转2。
内点罚函数法优点迭代总在可⾏域内进⾏,每⼀个中间结果都是 可⾏解,可以作为近似解。
内点罚函数法缺点 选取初始可⾏点较困难,且只适⽤于含不等式 ......实验三:外罚函数法 ⼀、实验⽬的 1、通过上机利⽤ Matlab 数学软件进⾏外罚函数编程,并学会对具体问题具体分 析; 2、熟悉外罚函数并编制程序; 3、培养 Matlab ......x1 ?1 ? 0 ⼆)实验⽬的 2 通过内点法的学习让我们掌握利⽤罚函数解决线...探讨了在 MAT⼩⽣境遗传算法 ; 罚函数 ;matlab LAB 环境中实现该算法各算⼦的编程⽅法 , 并通过数值实验说明基于罚函数的⼩⽣境遗传算法具有较好的多峰搜索能⼒......中函计量荸院学报15(4):0290～0293,2004JournalofChinaJiliangUniversity 【⽂章编号1 1004—1540(2004)04—0290—04 遗传算法与惩罚函数法在机械优化设计中的应⽤......< Mk < …, 从⽽构成⼀系列⽆约束⾮线性规划问题 min F(x,Mk) = f(x) + Mk∑[min (0,gj(x))] 2. 内部罚函数(内点法) 对于仅带不等式约束的⾮......实⽤最优化⽅法——matlab ——matlab 编程作业 题⼀、 初值为[ 初值为[-1;1] 其中g0、g1分别为不同x值下得导数,f0、f1为函数值 其中g0、g1分别为不同......外点法可⽤于求解不等式约束优化问题, ⼜可⽤于求解等式约束优化 问题,主要特点是惩罚函数定义在可⾏域的外部,从⽽在求解系列⽆ 约束优化问题的过程中, 从可⾏域......罚函数法指导⽼师:包能胜教授导师:赵永杰副教授学⽣:张鹏学号:**********:04主要内容1.概念2.基本原理3.算法与实例4.总结 5.Matlab算法......实验⽬的 问题描述 2 – x1 + x2 ≥ 0 熟练掌握外点法、内点法原理并可以在 matlab 熟练运⾏。
最优化方法及其matlab程序设计 马昌凤 课后答案
(
)
∇2f (x) =
2 −2 −2 2
(4)
半正定矩阵
（4）
4 1 −3
∇2f (x) = 1 2 0
(5)
−3 0 4
yT
Gy)
−
[
1 2
(λx)T
G(λx)
+
1 2
(1
−
λ)yT G(1
−
λ)y
+
1 2
λxT
G(1
−
λ)y
+
1 2
(1
−
λ)yT Gλx]
=
1 2
λxT
G(1
−
λ)x
+
1 2
(1
−
λ)yT
Gλy
−
1 2
λxT
G(1
−
λ)y
−
1 2
(1
−
λ)yT
Gλx
2
= =
1 21 2
λxT λ(1
G(1
−
λ)(x
12
6 第六章信赖域方法P86-8
14
7 第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6
18
8 第八章最优性条件P112-1，2,5,6
23
9 第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),6
26
10 第十一章二次规划习题11 P178-1（1），5
29
1 第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4
机械优化设计试卷与答案
《机械优化设计》复习问答1. 填空1.使用最速下降法求f(X)=100(x 2 - x 1 2 ) 2 +(1- x 1 ) 2的最优解时，设X (0) = [-0.5, 0.5] T ，第一次迭代的搜索方向是[-47;-50] 。
2.机械优化设计采用数学规划方法，其核心是确定搜索方向，其次是计算最优步长因子。
3.当优化问题是__凸规划__时，任何局部最优解都是全局最优解。
4 、应用进退法确定搜索区间时，最终得到的三个点分别为搜索区间的起点、中点和终点，其函数值形成高-低-高趋势。
5. 涉及 n 个设计变量的优化问题称为n 维优化问题。
6.C X B HX X T T ++21函数的梯度是HX+B 。
n 维空间中存在两个非零向量d 0和d 1 ，满足(d 0 ) T Gd 1 =0，则有_之间d 0和 d 1共轭_____ 关系。
8.设计变量、约束和目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。
9.对于一个无约束的二元函数),(21x x f ，如果),(x 20100x x 在某一点处得到最小值，则必要条件是梯度为零，充分条件是Hessian 矩阵是正定的。
10. Kuhn-Tucker 条件可以描述为目标函数在极值点的梯度是每个起作用的约束函数的梯度的非负线性组合。
1 1.用黄金分割法求一元函数的最小点]10,10[],[-=b a ，初始搜索区间3610)(2+-=x x x f ，第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36,2.36] 。
的基本要素是设计变量、约束的目标函数、牛顿法的搜索方向为d k =，计算量大，需要初始点逼近最小值点的位置。
14、函数f(X)=x 1 2 + x 22 -x 1 x 2 -10x 1 -4x 2 +60 表示C X B HX X T T ++21为形式。
15.有一个矩阵 H 、一个向量 d 1 和一个向量 d 2 。
当满足(d 1 )TGd 2 =0时，向量d 1和向量d 2关于H 是共轭的。
本科毕业设计：NGSA-II改进
第
1.1
优化是一种用于在多种决策当中选出最好决策的方法，它被广泛地应用在工业、农业、交通、国防等许多领域，对于合理利用资源、提高系统性能、降低能源消耗以及经济效益的增长均有非常显著的作用[1]。一般来说，对实际工程领域中问题的分析和优化设计通常基于确定性的系统参数和优化模型，并且借助传统的确定性优化方法[2]来进行求解。然而，在大多数实际工程中，不可避免地存在着与材料性质、温度变化、工程边界、噪音影响、测量偏差等有关的误差或不确定性，这些误差或不确定性虽然在大多数情况下都比较小，但耦合在一起可能使整个工程系统产生较大的误差或偏差。
其次，在多目标确定数优化问题中，不可能存在一个使每个目标都达到最优的解，所以多目标优化问题的解往往是一个非劣解的集合——Pareto解集。在存在多个Pateto解集的情况下，如果没有更多的说明，很难决定哪个解更重要，因此，找到尽可能多的Pateto最优解至关重要。本文采用的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGS-II)是一种多目标遗传算法，该算法求得的Pareto最优解分布均匀，收敛性和鲁棒性好，对多目标优化问题具有良好的优化效果。
Finally, the paper presents the final result of multi-objective interval number optimization through the MATLAB simulation program.And using
multi-objective interval numberfunctions debug the key parameters.(such as constraints possible degree level, multi-objective weights, regularization factor, etc.) .According to the different values about the parameters in the simulation results, analyze and explain optimal parameter settings that how to impcet on the final results.
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
matlab粒子群优化算法约束条件
matlab粒子群优化算法约束条件
粒子群优化算法是一种基于群智能思想的优化算法，适用于求解非线性、非凸、多极
值函数优化问题。
该算法模拟自然界中各种生物群体的智能行为，通过模拟粒子群在解空
间中寻找最优解的过程，不断更新粒子的位置和速度，最终找到全局最优解。
在实际问题中，往往需要对求解过程加以限制，即在优化时需要考虑一些约束条件。
例如，在某些最优化问题中，决策变量必须满足线性或非线性等约束条件。
在使用粒子群
优化算法时，如何加入约束条件也是一个需要注意的问题。
具体来说，当存在约束条件时，粒子的位置和速度不能随意更新，必须满足约束条件。
常见的约束条件有：
1. 等式约束：将决策变量的取值代入等式中，得到结果必须等于某一个给定的值。
解决约束条件就需要将其纳入目标函数中，构建新的适应度函数。
在构建新的适应度
函数时，将不符合约束条件的解排除在外，只考虑满足约束条件的解。
在使用粒子群优化算法时，可以采用以下方法来处理约束条件：
1. 检查每个粒子的位置，如果违反了约束条件，就使用随机数重新生成位置。
2. 在计算适应度函数时，将不符合约束条件的解的适应度设为一个极大值，从而避
免产生影响。
3. 引入罚函数法，将不符合约束条件的解的适应度进行惩罚，使得最优解在满足约
束条件的前提下更趋向于全局最优解。
总之，在应用粒子群优化算法求解具有约束条件的最优化问题时，需要将约束条件纳
入目标函数中，并采用相应的处理方法，从而保证算法的有效性和精确性。
matlab麻雀优化算法的约束条件
麻雀优化算法 (Sparrow Search Optimization, SSO) 是一种基于麻雀觅食行为的启发式优化算法，旨在解决复杂的约束优化问题。
在本文中，我们将深入探讨matlab麻雀优化算法的约束条件，讨论其原理、特点以及应用。
1. 理解麻雀优化算法麻雀优化算法是一种新兴的启发式优化算法，其灵感来源于麻雀在觅食过程中的行为。
通过模拟麻雀觅食的行为，算法能够在解空间中进行高效的搜索，并找到最优解。
与传统的优化算法相比，麻雀优化算法具有更好的全局搜索能力，能够快速收敛到最优解附近。
2. 约束条件在麻雀优化算法中的作用在实际应用中，很多优化问题都会存在各种约束条件，如等式约束、不等式约束等。
这些约束条件限制了解空间的范围，对于算法的搜索和收敛都提出了挑战。
在matlab中使用麻雀优化算法时，需要考虑如何有效地处理这些约束条件，以确保算法能够找到符合约束的最优解。
3. 处理约束条件的方法在matlab中，处理约束条件的方法通常包括罚函数法、投影法、修剪法等。
对于麻雀优化算法而言，常用的方法是罚函数法。
罚函数法通过对违反约束条件的解施加罚函数，使得算法在搜索过程中避开这些非法解，从而寻找到符合约束的最优解。
在具体实现时，需要根据具体的约束条件和问题特点选择合适的罚函数形式和罚函数系数，以平衡约束条件的严重程度和目标函数的优化结果。
4. 麻雀优化算法的优势和局限性麻雀优化算法作为一种新型的优化方法，具有很多优势。
它能在复杂的约束条件下寻找到较优解，具有良好的全局搜索能力。
算法具有较好的鲁棒性和适用性，在多种实际问题中得到了成功应用。
然而，麻雀优化算法也存在一些局限性，如对初始解的依赖性较强、收敛速度较慢等。
在实际应用中，需要结合具体问题的特点和要求，权衡算法的优势和局限性，选择合适的优化方法。
5. 个人观点和总结对于matlab麻雀优化算法的约束条件，我认为在实际应用中需要充分考虑问题的特点，合理选择处理约束的方法，并对罚函数形式和参数进行精心设计，以保证算法能够稳健地找到符合约束条件的最优解。
matlab用外点罚函数法求解约束最优化问题
题目：matlab用外点罚函数法求解约束最优化问题内容大纲：1. 介绍外点罚函数法和其在约束最优化问题中的应用2. 论述matlab在求解约束最优化问题中的应用3. 分析外点罚函数法在matlab中的实现4. 举例说明外点罚函数法在matlab中求解约束最优化问题的具体步骤和代码实现5. 总结外点罚函数法在matlab中的优缺点及其在实际工程中的应用正文：随着科学技术的不断革新和发展，优化问题在实际工程和科学研究中扮演着至关重要的角色。
其中，约束最优化问题是一类具有约束条件的优化问题，其目标是在满足一定条件的前提下，寻找使目标函数取得最大（小）值的变量。
在约束最优化问题的求解过程中，外点罚函数法被广泛应用，而matlab作为一种强大的数学建模和仿真软件，其对约束最优化问题的求解能力备受瞩目。
1. 外点罚函数法在约束最优化问题中的应用外点罚函数法是一种常见的约束最优化求解方法，其核心思想是通过引入罚函数来将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原始问题转化为无约束最优化问题。
其优点在于可以将约束条件和目标函数统一处理，降低了问题的复杂度，同时在求解过程中也可以避免参数敏感性和数值不稳定性等问题。
外点罚函数法在实际工程中得到了广泛的应用。
2. matlab在求解约束最优化问题中的应用matlab作为一种强大的数学建模和仿真软件，其内置了丰富的数值计算工具和优化函数，能够有效地求解各类优化问题。
在约束最优化问题的求解中，matlab通过内置的优化函数和工具箱，能够快速高效地求解复杂的约束最优化问题，为工程师和科研人员提供了便利的求解工具。
3. 外点罚函数法在matlab中的实现在matlab中，外点罚函数法的实现通常涉及到优化工具箱中的一些特定函数和算法。
通过调用matlab中的优化工具箱，可以方便地使用外点罚函数法来求解约束最优化问题。
matlab还提供了丰富的数值计算和绘图函数，使得在实际求解过程中能够更加直观地展现结果，为问题的分析和验证提供了便利。
优化方法MATLAB编程——大连理工大学
优化方法上机大作业学院：姓名：学号：指导老师：肖现涛第一题源程序如下：function zy_x = di1ti(x)%di1ti是用来求解优化作业第一题的函数。
x0=x; yimuxulong=0.000001;g0=g(x0);s0=-g0;A=2*ones(100,100);k=0;while k<100lanmed=-(g0)'*s0/(s0'*A*s0);x=x0+lanmed*s0;g=g(x);k=k+1;if norm(g)<yimuxulongzy_x=x;fprintf('After %d iterations,obtain the optimal solution.\n \n The optimal solution is \n %f.\n\nThe optimal "x" is "ans".',k,f(x) )break;endmiu=norm(g)^2/norm(g0)^2;s=-g+miu*s0;g0=g; s0=s;x0=x;endfunction f=f(x)f=(x'*ones(100,1))^2-x'*ones(100,1);function g=g(x)g=(2*x'*ones(100,1))*ones(100,1)-ones(100,1);代入x0,运行结果如下：>> x=zeros(100,1);>> di1ti(x)After 1 iterations,obtain the optimal solution.The optimal solution is-0.250000.The optimal "x" is "ans".ans =0.005*ones(100,1).第二题1.最速下降法。
遗传算法的原理及MATLAB程序实现
遗传算法的原理及MATLAB程序实现1 遗传算法的原理1.1 遗传算法的基本思想遗传算法（genetic algorithms，GA）是一种基于自然选择和基因遗传学原理，借鉴了生物进化优胜劣汰的自然选择机理和生物界繁衍进化的基因重组、突变的遗传机制的全局自适应概率搜索算法。
遗传算法是从一组随机产生的初始解（种群）开始，这个种群由经过基因编码的一定数量的个体组成，每个个体实际上是染色体带有特征的实体。
染色体作为遗传物质的主要载体，其内部表现（即基因型）是某种基因组合，它决定了个体的外部表现。
因此，从一开始就需要实现从表现型到基因型的映射，即编码工作。
初始种群产生后，按照优胜劣汰的原理，逐代演化产生出越来越好的近似解。
在每一代，根据问题域中个体的适应度大小选择个体，并借助于自然遗传学的遗传算子进行组合交叉和变异，产生出代表新的解集的种群。
这个过程将导致种群像自然进化一样，后代种群比前代更加适应环境，末代种群中的最优个体经过解码，可以作为问题近似最优解。
计算开始时，将实际问题的变量进行编码形成染色体，随机产生一定数目的个体，即种群，并计算每个个体的适应度值，然后通过终止条件判断该初始解是否是最优解，若是则停止计算输出结果，若不是则通过遗传算子操作产生新的一代种群，回到计算群体中每个个体的适应度值的部分，然后转到终止条件判断。
这一过程循环执行，直到满足优化准则，最终产生问题的最优解。
图1-1给出了遗传算法的基本过程。
1.2 遗传算法的特点1.2.1 遗传算法的优点遗传算法具有十分强的鲁棒性，比起传统优化方法，遗传算法有如下优点：1. 遗传算法以控制变量的编码作为运算对象。
传统的优化算法往往直接利用控制变量的实际值的本身来进行优化运算，但遗传算法不是直接以控制变量的值，而是以控制变量的特定形式的编码为运算对象。
这种对控制变量的编码处理方式，可以模仿自然界中生物的遗传和进化等机理，也使得我们可以方便地处理各种变量和应用遗传操作算子。
基于内点罚函数法的非对称钢板弹簧优化设计
基于内点罚函数法的非对称钢板弹簧优化设计潘俊斌;韦建平;肖光育;何煜【摘要】以某微客开发过程中的非对称少片变截面钢板弹簧为主要研究对象,进行钢板弹簧的优化设计及计算,建立该钢板弹簧的优化设计数学模型,并以内点罚函数法的优化设计理论为基础对钢板弹簧进行优化设计,在满足强度条件和刚度条件等约束的要求下,使钢板弹簧的质量减少,达到轻量化优化设计的目的.并将优化结果和ABAQUS计算结果进行比较,结果显示:优化结果不仅保持了钢板弹簧的计算精度,还可以提高钢板弹簧的计算效率.【期刊名称】《汽车零部件》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】5页(P10-14)【关键词】非对称少片变截面钢板弹簧;内点罚函数法;优化设计【作者】潘俊斌;韦建平;肖光育;何煜【作者单位】上汽通用五菱汽车股份有限公司,广西柳州545006;柳州孔辉汽车科技有限公司,广西柳州545006;上汽通用五菱汽车股份有限公司,广西柳州545006;上汽通用五菱汽车股份有限公司,广西柳州545006【正文语种】中文【中图分类】U465.2传统多片钢板弹簧由于体积和质量较大，不利于人们对汽车驾乘性能的不断提高以及对能源、材料利用的认知，各大汽车厂家在进行钢板弹簧设计开发时不仅要求轻量化，还要求弹簧在各常用载荷状态下的偏频基本相同，这就使得钢板弹簧逐渐向少片变截面变刚度的方向发展。
与此同时，为了减小片间的摩擦，在满足汽车设计要求以及性能匹配要求的前提下，尽量使得悬架弹簧的片数越少越好，片数越少、质量越轻，这样才更有利于实现车辆的轻量化、提高车辆行驶的平顺性和乘坐舒适性等。
为了能够提高使用钢板弹簧悬架的汽车转向稳定性，可通过改变汽车前后轴质量分布，调整汽车轴距，并减少钢板弹簧纵向弯曲变形。
针对这一要求，有专家提出了采用非对称设计的钢板弹簧作为悬架支撑元件。
非对称钢板弹簧计算的主要任务是刚度的匹配设计及结构应力的校核。
其设计模式与对称板簧是一致的，都是基于工程图纸的物理样件制造及试验，并使这一过程反复进行，过程比较缓慢，周期比较漫长。
第三章 非线性规划
第三章非线性规划一、非线性规划模型的建立1.1非线性规划模型简介如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不像线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1（投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i ⋯=个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解:设投资决策变量为⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，ni ,,1⋯=则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni i i x b 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件∑=≤<ni i i Ax a 10另外，由于),,1(n i x i ⋯=只取值0或1，所以还有.,,1,0)1(n i x x i i ⋯==−最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11max ∑=≤<n i i i Ax a 10s.t.(3.1).,,1,0)1(n i x x i i ⋯==−上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP）。
1.2非线性规划模型的一般形式)(min x f qj x h j ,,1,0)(s.t.⋯=≤(3.2)pi x g i ,,1,0)(⋯==其中T n x x x ][1⋯=称为模型（NP）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i ⋯=和),,1(q j h j ⋯=称为约束函数。
基于罚函数的滑行艇阻力性能优化方法研究
基于罚函数的滑行艇阻力性能优化方法研究许蕴蕾【摘要】滑行艇的阻力性能优化是设计滑行艇艇体的重要内容之一,如何减小艇体阻力是设计师优先考虑的目标.文章从传统的SIT阻力估算方法着手,分析滑行艇受到的力和力矩,并引入Savitsky对艇体阻力的修正,即考虑因喷溅而产生的摩擦阻力.由于滑行艇的重心纵向位置对阻力性能有很大影响,故通过构造罚函数法,把有约束问题化为无约束问题,利用MATLAB优化工具箱中的fmincon函数计算出最佳的重心纵向位置.最后,通过某滑行艇模型的水池拖曳试验验证了该优化方法的可行性,具有一定的工程参考价值.【期刊名称】《船舶》【年(卷),期】2010(021)005【总页数】5页(P9-13)【关键词】滑行艇;阻力;罚函数;优化方法【作者】许蕴蕾【作者单位】海军驻上海地区舰艇设计研究军事代表室,上海,200011【正文语种】中文【中图分类】U661.33滑行艇水动力性能的研究历来是研究的难点,其中重要的一项内容是对阻力性能的研究。
阻力是船舶最重要的性能之一,如果能从理论上设计出最小阻力船型,这将为整个船舶设计周期节省大量的劳力,时间和费用。
随着“时间”价值的不断提高,人们对各种运输工具速度的要求也日益提高。
对民用船舶来说,航速的提高意味着货物周转周期的缩短以及经济效益的提高;对军用舰艇来说则意味着战斗力的增强[1]。
滑行艇阻力性能优化主要包括艇体型线优化、艇体参数优化和添加附体等。
艇体型线优化通常可以应用数学方法对型线进行光顺,但是必须以艇体的布置、水动力与结构性能的要求为目标函数。
在以艇体阻力性能为型线优化对象时,只能在某些约束条件下完成[2]。
海军工程大学船舶与海洋工程系与水动力学国家重点实验室,通过对三种艇型及不同喷气方式的模型试验,研究了断阶滑行艇模型气层减阻的实施途径及减阻效果,取得了总阻力减少25%以上的结果,提出了一种适合于采用气层减阻技术且阻力性能优良的艇型[3]。
一、非线性规划问题的几种求解方法1.罚函数法(外点法)
越是接近极值点，收敛越慢；
它是其它许多无约束、有约束最优化方法的基础。 该法一般用于最优化开始的几步搜索。
第二十二页，共五十九页。
以梯度(tī dù)法为基础的最优化方法
求f(x)在En中的极小(jí 点 xiǎo)
（1）间接法 （2）直接法
直接搜索法 以梯度法为基础的间接法
无约束规划的Matlab求解函数 数学建模案例分析（截断(jiéduàn)切割，飞机 排队）
第十八页，共五十九页。
（1）间接 法 (jiàn jiē)
在非线性最优化问题当中，如果目标函 数能以解析函数表示，可行域由不等式约束 确定，则可以利用目标函数和可行域的已知 性质，在理论上推导出目标函数为最优值的 必要条件，这种方法(fāngfǎ)就称为间接法（也称
函数
因此(yīncǐ)可以将前面的有约束规划问题转换为 下列无约束规划模型：
其中称为 罚项， 称为罚因子， 称为罚函数。
第三页，共五十九页。
的定义(dìngyì)一般如下：
其中 ( y), ( y) 是满足如下条件的连续函数：
当 y 0 时， (y) 0 ；当 y 0 时， (y) 0 ； 当 y 0 时， (y) 0 ；当 y 0时， (y) 0 ；
数fungetlamada.m 3、最速下降法主程序main1.m
第二十七页，共五十九页。
第一步：计算梯度(tī 程序 dù) fun1gra.m
function r=fun1gra(x) %最速下降法求解示例 %函数f(x)=2*x1^2+x2^2的梯度(tī 的计 dù) 算 % r(1)=4*x(1); r(2)=2*x(2);
二次罚函数法matlab代码
二次罚函数法是一种常用的无约束优化方法，它通过引入惩罚函数来处理无约束优化问题，将原问题转化为带约束的优化问题。
在matlab 中，我们可以利用二次罚函数法来求解一些复杂的优化问题。
接下来，我们将详细介绍二次罚函数法的原理和在matlab中的实现步骤。
一、二次罚函数法原理1. 二次罚函数法的基本思想二次罚函数法是一种常用的无约束优化方法，它的基本思想是通过引入罚函数来处理无约束优化问题。
具体来说，对于原无约束优化问题min f(x)将其转化为带约束的优化问题min f(x) + μ||g(x)||^2其中，g(x)表示原问题的约束条件，μ为惩罚参数。
通过不断增大μ的值，原问题的解将逐渐逼近满足约束条件的最优解。
2. 二次罚函数法的优化步骤使用二次罚函数法求解优化问题的一般步骤如下：（1）选择初始点x0、罚参数μ0和容许误差ε>0；（2）计算xk的解析梯度gk和黑塞矩阵Hk；（3）构造罚函数Pk(x) = f(x) + μk||g(x)||^2，对Pk(x)进行优化，得到新的迭代点xk+1；（4）如果满足停止条件||gk|| < ε，则停止迭代，输出xk为最优解；否则，更新罚参数μk+1=αμk，返回步骤（2）继续迭代。
以上就是二次罚函数法的基本原理和优化步骤。
接下来，我们将介绍在matlab中如何实现二次罚函数法。
二、matlab实现二次罚函数法在matlab中，我们可以利用fmincon函数来实现二次罚函数法。
fmincon函数是matlab中用于求解约束和无约束优化问题的函数，其基本调用格式如下：x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)其中，fun为目标函数，x0为初始点，A、b、Aeq、beq、lb、ub为约束条件。
在使用fmincon求解二次罚函数法时，我们需要将原无约束优化问题转化为带约束的优化问题，然后传入fmincon函数进行求解。
具体实现步骤如下：（1）将原无约束优化问题转化为带约束的优化问题，构造罚函数Pk(x) = f(x) + μk||g(x)||^2；（2）利用fmincon函数求解带约束的优化问题，得到每一步迭代的最优解xk；（3）更新罚参数μk+1=αμk，返回步骤（2）继续迭代，直至满足停止条件。
罚函数法MATLAB程序
一、进退法、0.618法、Powell法、罚函数法的Matlab程序设计罚函数法（通用）function y=ff(x,k)y=-17.86*0.42*x(1)/(0.8+0.42*x(1))*(1-exp(-2*(0.8+0.42*x(1))/3))*exp(-1.6)*x(2)-22. 99*x(1)/(0.8+x(1))*(1-exp(-2*(0.8+x(1))/3))*x(3)+k*(x(2)-(1.22*10^2*(9517.8*exp(-1 .6-2*0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(-2*x(1)/3)*x(3)))/(1.22*10^2+9517.8*exp(-1.6-2 *0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(-2*x(1)/3)*x(3)))^2+k*(x(3)-exp(-0.8-2*x(1)/3)*x(3) -exp(-2.4-2*0.42*x(1)/3)*x(2))^2;% 主函数，参数包括未知数的个数n，惩罚因子q，惩罚因子增长系数k，初值x0，以及允许的误差rfunction G=FHS(x0,q,k,n,r,h,a)l=1;while (l)x=powell(x0,n,q,r(1),h,a); %调用powell函数g(1)=ff1(x),g(2)=ff2(x) . . . g(p)=ffp(x); %调用不等式约束函数，将其值%存入数组gh(1)=hh1(x),h(2)=hh2(x) . . . h(t)=hht(x); %调用等式约束函数，将其值%存入数组hfor i=1:pif g(i)<rfor j=1:tif abs(h(j))<r(2)continue;elsebreak;endendelsebreak;endendif (i==p)&(j==t) %如果所有约束条件的值都在允许的范围内就结束%搜索，否则加大惩罚力度继续搜索l=0;elsex0=x;q=k*q;endendG=x%powell算法，用于寻找无约束最优值点function powel=powell(x0,n,q,r,h,a)d=eye(n); %n个线性无关的初始搜索方向k=1;xx(1,1:n)=x0;while (kk)y(1,1:n)=xx(k,1:n);for j=1:ns(j)=HJ(y(j,1:n),d(j,1:n),q); %调用0.618算法y(j+1,1:n)=y(j,1:n)+s(j).*d(j,1:n);endd(n+1,1:n)=y(n+1,1:n)-y(1,1:n);if (norm(d(n+1,1:n),2)<r)kk=0;break;elseww=0;m=1;for i=1:ngg=ff(y(i,1:n),q)-ff(y(i+1,1:n),q);if (gg>=ww)m=i;endendcha=ff(y(1,1:n),q)-2*ff(y(n+1,1:n),q)+ff(2*y(n+1,1:n)-y(1,1:n),q);cha1=2*(ff(y(m,1:n),q)-ff(y(m+1,1:n),q));if (cha<cha1)s(n+1)=HJ(y(n+1,1:n),h,a,d(n+1,1:n),q)xx(k+1,1:2)=y(n+1,1:n)+s(n+1).*d(n+1,1:n)for j=m+1:nd(j,1:n)=d(j+1,1:n);endk=k+1;elsexx(k+1,1:n)=y(n+1,1:n);k=k+1;endendendpowel=y(n+1,1:n)function w=HJ(x0,h,d,dd,q) %0.618算法[a,b]=JTF(x0,h,d,dd,q); %调用进退法算法，确定范围r=0.618;r1=a+(1-r)*(b-a);r2=a+r*(b-a);y1=ff(x0+r1.*dd,q);y2=ff(x0+r2.*dd,q);while (abs(r1-r2)>=0.1)if y1<y2b=r2;r2=r1;y2=y1;r1=a+(1-r)*(b-a);y1=ff(x0+r1.*dd,q);elsea=r1;r1=r2;y1=y2;r2=a+r*(b-a);y2=ff(x0+r2.*dd,q);endendw=(r1+r2)/2%进退法function [a,b]=JTF(x0,h,d,dd,q) r0=0;y0=ff(x0+r0.*dd,q);k=0;l=1;while (l)r1=r0+h;y1=ff(x0+r1.*dd,q);if y1<y0h=d*h;r=r0;r0=r1;y0=y1;elseif k==0;h=-h;r=r0;elsel=0;break;endendk=k+1;enda=min(r,r1);b=max(r,r1);二、进退法、0.618法的C语言程序设计例1 设f(x)=x^2-2*x+4 ，试确定初始搜索区间，并输出迭代次数main（）{int n=0；float t，h，a，b，c，d，f1，f2；printf（“t，h：”）；scanf（“%f，%f”，&t，&h）；f1=t*t-2*t+4；if（（t+h）*（t+h）-2*（t+h）+4<=f1）{c=t+h;f2=c*c-2*c+4;}else{h=-h;c=t+h; f2=c*c-2*c+4;}while(f2<=f1){h=2*h;d=t;t=c;f1=f2;c=t+h; f2=c*c-2*c+4;n=n+1;}if(c<=d){a=c;b=d;}else{a=d;b=c;}printf(“[a,b]=[%.2f,%f]\n”,a,b);printf(“n=%d\n”,n);}运行情况如下：（1）t,h:0,0.05[a,b]=[0.35,1.55]n=4(2) t,h:-1.0,0.02[a,b]=[0.26,4.10]n=7(3)t,h:-100,0.01[a,b]=[-59.05,63.83]n=13例2 用0.618法求f(x)=8x^3-2*x^2-7*x+3 的局部最优解．允许误差ε=0.0001 ，初始点设为x0=0 ，初始步长h=1 ．#include“math.h”float f(x)float x；float y;{y=((8.0*x-2.0)*x-7.0)*x+3.0;return(y);}main(){int n=0;float t,h,a,b,c,d,x0,f0,f1,f2,fc,fd;printf(“t,h:”);scanf(“%f,%f”,&t,&h);f1=f(t);if (f(t+h)<=f1)c=t+h;else{h=-h;c=t+h;}f2=f(c);while(f2<=f1){d=t;t=c;f1=f2;c=t+h;f2=f(c);}if(c<=d){a=c;b=d;}else{a=d;b=c;}c=a+0.382*(b-a);fc=f(c);d=a+0.618*(b-a);fd=f(d);do{if (fc>=fd) {a=c;c=d;fc=fd;d=a+0.618*(b-a); fd=f(d);} else {b=d;d=c;fd=fc;c=a+0.382*(b-a);fc=f(c);}n++;}while (b-a>0.0001);x0=(a+b)/2.0;f0=f(x0);pintf(“n=%d,x0=%7.4f,f0=%7.4f\n”,n,x0,f0);}运行情况如下：t,h:0,1.0n=21,xo=0.6298,f0=-0.2034．。