吉林大学线性代数AB标准化作业

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吉林大学线性代数AB标准化作业

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求 X.
5
6、设 A=
1 2 a b , B= , 若矩阵 A 与 B 可交换,求 a、b 的值. 1 1 3 2
7、设 A、B 均为 n 阶对称矩阵,证明 AB+BA 是 n 阶对称矩阵.
6
学院
班级
姓名
学号
第 二 章 作 业
(方阵的行列式) 1、填空题 (1)排列 52341 的逆序数是________,它是________排列; (2)排列 54321 的逆序数是________,它是________排列; (3)1~9 这九数的排列 1274i56j9 为偶排列,则 i_______, j_______; (4)4 阶行列式中含有因子 a11a23 的项为________________; (5)一个 n 阶行列式 D 中的各行元素之和为零,则 D =__________. 2、计算行列式
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
线 性 代 数
标准化作业 (A、B)
吉林大学数学中心 2013.9
学院
班级
姓名
学号
第 一 章 作 业
(矩阵的运算与初等变换) 1、计算题
3 (1) 1, 2, 3 2 ; 1
2 (2) 1 1, 2, 1 ; 3
0 0 1 1
0 0 0 1
2 0 0 0
3 的逆矩阵. 0 0 0
12
4 、 已知 A
2 1 0
1 2 1
0 1 ,B 2
1 2
1 ,C = 3 3 2
2
2 4 ,求解下列矩阵方程: 1
(1)AX=X+C ;
(2) AXB=C.
5、设 A 为 n 阶可逆矩阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得矩阵 B,试证: (1)B 可逆; (2)求 AB-1.

线性代数标准化作业答案

线性代数标准化作业答案

线性代数标准化作业答案第一章:行列式基础必做题:(一) 一、填空题:1、3,n (n-1);2、1222+++c b a ;3、70,-14;4、-3M ;5、1 二、选择题:1、C2、D3、D4、A5、C 三、计算题: 1、解:原式1111001)1()1(11111C 12111++++=--⋅-⋅-+--⋅-++cd ad ab abcd dc dc ba ()(展开按2、解:原式31323121)c b a ()c b a (000)c b a (0111)c b a (2cr r 2br r ba c 2c2c2b a c b 2b111)c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c ccb ac b b c b a c b a c b a r r r r四、解:))()()((0000001)(1111)()(c x b x a x c b a x cx bc ab b x a b a xc b a c b a x xcbc x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++=因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。

基础必做题(二) 一、填空题:1、6,8;2、0;3、0,0;4、4;5、24 二、选择题:1、D ;2、C ;3、A ;4、A ;5、A,B,D 三、1、解:原式1)1)(1(10001011111)1(011111110111111)1(---=---=-=n n n n2、解:原式[][][]1)()1(00001)1(111)1(--⋅-+=---+=-+=n b a b n a ba b a b b b b n a abbb b a b b b b n a四、解:0111144342414==+++dbac bd d b c c b a A A A A五、解:1,0,1,20281142102,0321112112,20382141101,2038114202321321=======-==---==--==---=DD z DD y DD x D D D D 故提高选做题: 一、证明: 证法1:12113(0)2240,(1)22401111f f ====- 由罗尔定理知,至少存在一点ξ,使得()0,(0,1)f ξξ'=∈,故有一个小于1的正根。

线性代数标准化作业

线性代数标准化作业

经济数学基础线性代数标准化作业吉林大学数学中心2006.2学院班级姓名学号第一章作业(行列式)1、计算下列各行列式的值:(1)2116415012051422D--=----;(2)1111222111122211112221111222D=;(3)112233100110011011b b b D b b b --=----;(4)222b c c a a bD a b c a b c +++=;(5)1111111111111111a a D b b +-=+-;(6)11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++;(7)102200302004D= 。

2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3,第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1,第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、2,且行列式的值为1,求m、k的值。

3、用克拉默法则解方程组123123123241,52,4 3.x x x x x x x x x+-=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩4、已知齐次线性方程组有非零解,求λ。

123123123230,220,50.x x x x x x x x xλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业(矩阵)1、是非题(设A 、B 、C 均为n 阶的方阵) (1)(A +B )(A -B )=A 2-B 2; ( ) (2)若AX =AY ,则X =Y ,其中X 、Y 都是n ×m 矩阵; ( ) (3)若A 2=O ,则A =O ; ( ) (4)若AB =O ,则A =O ,或B =O ; ( ) (5)(ABC )T = C T B T A T 。

( )2、填空题(1)设3阶方阵B≠0,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0,则t = ;(2)设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001,A *为A 的伴随矩阵,则(A *)1-= ;(3)设A 为4阶数量矩阵,且|A |=16,则A = ,A 1-= , A *= ;(4)设A 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8642,则A = ,│4A 1-│= ,(A T )1-= ; (5)设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025,则│A │= ,A 1-= ; (6)设实矩阵A 33⨯=≠)(ij a 0,且011≠a ,ij ij A a =(ij A 为ij a 的代数余子式),则│A │= ;(7)设A 为二阶方阵,B 为三阶方阵,且│A │=1B=21,则1(2)--O B A O = ;(8)设A 为四阶可逆方阵,且│A 1-│=2,则│3(A *)1--2A │= ;(9)设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121,且A 6=E ,则A 11= ; (10)设A 为5阶方阵,且A 2 = O ,则R (A *)=___________.3、选择题(1)设同阶方阵A 、B 、C 、E 满足关系式ABC =E ,则必有( ) (A )ACB =E ; (B ) CBA =E ; (C ) BAC =E ; (D ) BCA =E 。

吉林大学《线性代数》线性 习题2.ppt

吉林大学《线性代数》线性 习题2.ppt

an
an1
解矩阵方程
2 5 4 6
1
3
X
2
1
2
5
1
4
6
X
1
3
2
1
3 1
5 4
2
2
6
1
2 0
23
8
解矩阵方程
1 1
1 4 3
1
1
X
1
1
2 1
0 2
01
1 1 1 4 3 1
1
X
1
2
0
1
1 1 2 0
1
2
2
1
验证:A
1
1
2
此题书后答案有误
矩阵方程
AB A 2B (A 2E)B A B ( A 2E)1 A
AB E A2 B ( A E)B A2 E ( A E)(A E) B AE
矩阵方程
A*BA 2BA 8E
( A* 2E)BA 8E
B 8( A* 2E)1 A1
A*
5
2
2
1
A1
|
1 A|
A*
5
2
2
1
求逆矩阵
cos
sin
1
sin
cos
cos( ) sin( )
sin( )
cos( )
cos sin
sin
cos
AT A1 (正定矩阵)
旋转的逆变换 =顺时针旋转变换
求逆矩阵
对角矩阵的逆
a1
a2
1
a11
a21
习题2
矩阵
计算乘积
4 3 1 7 35

吉林大学,线性代数,课件全,理工类07-08线代试题B答案

吉林大学,线性代数,课件全,理工类07-08线代试题B答案

2007—2008学年第二学期《线性代数B》期末试卷答案2008年6月24日一、填空题(共6小题,每小题 3 分,满分18分.把答案填在题中横线上)1.设12-103524-1A 轾犏犏=犏犏臌,*A 是A 的伴随矩阵,则*A = 9 .2.设3维向量组α1=(1,2,3),α2=(2,5,6),α3=(3,6,k )线性相关,则k = 9 .3.已知3阶矩阵A 满足A 2-E =O ,则秩R(A )= 3 .4.设实二次型22212312123(,,)3322f x x x =x x tx x x+++正定,则t 的取值范围是 |t |<3 .5.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=513a A 只有一个线性无关的特征向量,则=a-1 .6.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000111E ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001012E ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010021E ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100022E 为数域F 上的线性空间22⨯F 的一组基,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3102α在这组基下的坐标为 (2,0,-1,3)T .二、选择题(共6小题,每小题3分,满分18分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)2.与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=900042021A 等价的矩阵是[ B ].(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000001;(B) 100010000轾犏犏犏犏臌; (C) 100010001轾犏犏犏犏臌;(D) 000000000轾犏犏犏犏臌. 1.设A 是4×3矩阵,列向量组线性无关,B 为3阶可逆矩阵,则秩R(AB ) 为[ C ].(A) 1 ; (B) 2;(C) 3; (D) 4.3.线性方程组b Ax =的系数矩阵A 是4×5矩阵,且A 的行向量组线性无关,则错误的命题是[ D ].(A) 齐次线性方程组0=x A T只有零解;(B) 齐次线性方程组A T Ax =0必有非零解;(C) 对任意向量b ,非齐次线性方程组Ax =b 必有无穷多解;(D) 对任意向量b ,非齐次线性方程组b x A =T必有无穷多解.4.设A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵,已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量,则矩阵P -1AP 属于特征值λ的特征向量是[ A ].(A) P -1α; (B) P T α;(C) P α; (D) α.5.下列矩阵中,正定矩阵是[ D ].(A) 120250003轾犏犏犏犏-臌;(B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡624293431;(C)123257370轾-犏犏犏犏臌;(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2115222.6.设3阶矩阵A的特征值为-1,-2,3,则A的迹为[ A ].(A)0;(B) 1;(C) 2;(D) 3.三、解答题(共5小题,每小题9分,满分45分)1.求向量组α1=(1,2,-1,1)T,α2=(0,-4,5,-2)T ,α3=(2,0,4,0)T ,α4=(3,-2,8,-1)T的秩和一个极大无关组.解 令A =(α1, α2,α3,α4),则102310231024020448011~~1548056110011120103470000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A .………(5分)所以R(A )=3,且α1, α2,α3是α1, α2,α3,α4的一个极大无关组. ………(9分)2.已知α=(2,1,4),β=(1,2,-3),令A =αT β,求A n .解 由于A =αT β=22461(1,2,3)123.44812-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ………(4分)所以A n =αT β αT β αT β… αT β=(-8) n -1A =1246(8)1234812n --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. ……(9分)3.设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-420010001,且0>A ,E BA ABA 3-1-1+=,其中E 为3阶单位矩阵,求矩阵B . 解 在ABA -1=BA -1+3E 等号的两边左乘矩阵A *,右乘矩阵A ,且|A |=2,得2B =A *B +6E,………(3分)即2B -A *B =6E ,亦即(2E -A *)B =6E ,故B =6(2E -A *)-1, ………(6分)即 11006006010060022063-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦B . ………(9分)4.验证1231231,1,1032ααα轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-==犏犏犏犏犏犏臌臌臌为R 3的基,并将507β轾犏犏=犏犏臌用这个基线性表示.解 设A =(α1,α2,α3),要证α1,α2,α3是R 3的一个基,只须证A E 即可.由于123512351235(,)~1110~0345~0345032703270022120812081002 ~0309~0103~0103001100110011⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦A β(5分)显然,A E ,所以α1,α2,α3是R 3的一个基.且 ……………(7分)β=2α1+3α2-α3. ……………(9分)5.求一组3维列向量α1,α2,使之与α3=(1,1,1)T正交,并把α1,α2,α3化成两两正交的单位向量. 解 设所求的向量为x ,依题意得(x , α3)=0,即x 1+x 2+x 3=0,解之得 1232233,,.x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即121231110,01x x k k x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k 1,k 2为任意常数.取12111,001--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αα,则α1,α2与α3正交. ………(5分)对α1,α2施行施密特标准正交化,令b 1=α1,单位化得11110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . b 2=α2-2111(,)( ,) αe e e e 1=11122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.单位化得21112-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . 将α3单位化,得31111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . 则e 1,e 2,e 3即为所求的两两正交的单位向量. ………(9分)四、(满分11分)已知非齐次线性方程组1234123412341,32420,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解。

吉林大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B

吉林大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B

共 4 页 第 1 页吉 林大 学 考 试 卷(B 卷) 课程名称 线性代数B 考试学期 17-18-2 得分 适用专业 13、42系 考试形式 开卷 考试时间长度 120分钟一、填空题(30分,每空3分) 1. 设)1,2(),1,1(=−=βα,则=T αβ ;=+βα ; 2. 设 −−=1111A , −=11B ,则=AB ;=)(AB r ; 3. 设n 阶矩阵A 满足O E A A =−+2,则=+−1)(E A ; 4. 与向量)0 ,1 ,1(1−=α和)2 ,1 ,1(2−=α均正交的单位向量=3α ; 5. 设A 是53×阶矩阵,秩3)(=A r ,则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中含有 个解向量; 6. 设3阶矩阵B A ~,且矩阵A 的特征值为2,1,1−,则矩阵E B +的3个特征值分别是 ;行列式=+E B ; 7. 二次型32212321321424),,(x x x x x x x x x f +−+=对应矩阵=A 。

二、计算题(8分)计算行列式411211111−=D共 4 页 第 2 页三、(12分)假设=200011012A ,求矩阵方程X A E AX +=−的解。

四、(12分)设向量组A : −=42111α, =21302α;与B : =147031β,=105122β。

1. 证明向量组A 与B 等价;2. 求向量组A 与B 相互线性表示的表示系数。

共 4 页 第 3 页五、(15分)给定线性方程组 −=++−=++−=++322321321321λλλλx x x x x x x x x1. 参数λ取什么值时,上面的线性方程组无解、有唯一解和无穷解?2. 在方程组有无穷多解时,求出其通解。

六、(15分)设二次型323121232221321222222),,(x tx x tx x tx x x x x x x f −−−++=。

吉林大学2019-2020(2)线性代数B考试题

吉林大学2019-2020(2)线性代数B考试题

保密★启用前2019-2020学年第二学期期末考试《线性代数B》考生注意事项1.答题前,考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名;在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号,并涂写考生教学号信息点。

2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔书写,字迹工整、笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束,将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名第1页(共 3 页)一、选择题:1~6小题,每小题3分,共18分.下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将答案涂写在答题卡上.1.设同阶方阵,,A B C 满足关系式ABC=E ,则必有( ). (A) =ACB E . (B) CBA=E . (C) =BAC E . (D) BCA=E . 2. 下列选项不是向量组12,,,αααm 线性无关的充分必要条件的是( ).(A) 12,,,αααm 中任意两个向量都线性无关.(B) 12,,,αααm 中没有一个向量能由其余向量线性表示.(C) 向量组12,,,αααm 的秩为m .(D) 任何一组不全为0的数12,,,m k k k ,都使11220ααα+++≠m m k k k .3.设n 元线性方程组0=Ax ,()3−R A =n ,且123,,ααα为线性方程组0=Ax 的三个线性无关的解向量,则方程组0=Ax 的基础解系为( ).(A) 122331,,αααααα−++. (B) 112123,,αααααα+++.(C) 122331,,αααααα−−−. (D) 123123123,,ααααααααα++−+−+−. 4. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,1−,则2=A ( ).(A)100010001−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B)100010001−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C)100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D) 无法确定.5. 设矩阵1110111,21110A B −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦,则A 与B 的关系为( ). (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 相似但不合同. (D)既不合同也不相似. 6. 线性空间[]3R x 中向量2331α=−+x x 在基21,1,1+−++x x x x 下的坐标为( ).(A) 423−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B) 323−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C) 123⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D)323⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第2页(共 3 页)二、填空题:7~12小题,每小题3分,共18分.7. 设矩阵12111001101222,010,010*********⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A P P ,则202012___.=P AP 8. 设三阶矩阵()123,,A ααα=,其中i α为三维列向量,1,2,3i =.且1A =−,则行列式1231,2,3_______.+αααα=9. 设A 是43⨯矩阵,且()2=R A ,而123012001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ,则()_______.=R AB 10. 若三阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为111,,234,则行列式1_______.B E −−=11. 已知实二次型2221231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x ++++=是正定二次型,则参数t 的取值范围为 .12. 线性空间3R 中基()T TT123111,0,0,0,,0,0,0,23βββ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1α=()()()T T T231,0,0,1,1,0,1,1,1αα==的过渡矩阵为 .三、解答题:13~19小题,共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.(本题满分8分)计算行列式1111210030104001的值.第3页(共 3 页)14.(本题满分8分)设三阶方阵,A B 满足关系式16−=+A BA A BA ,若10031041007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,求B . 15.(本题满分10分)求向量组()T 11,3,2,0α=,()T 27,0,14,3α=,()T 32,1,0,1α=−,()T45,1,6,2α= ,()T52,1,4,1α=−的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示. 16.(本题满分8分)设矩阵1335366−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A a b 有二重特征值2λ−=,并且A 可相似对角化,求,a b 的值. 17.(本题满分6分)设12,αα分别是矩阵A 对应于特征值12,λλ的特征向量,而12λλ≠,证明:12αα+不能是A 的特征向量.18.(本题满分12分) 已知向量组1231211,1,2,14510a =b αααβ−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求:(1)当,a b 为何值时,β能由123,,ααα唯一线性表示? (2)当,a b 为何值时,β不能由123,,ααα线性表示?(3)当,a b 为何值时,β能由123,,ααα线性表示,但表示法不唯一,并写出表示式. 19.(本题满分12分)已知实二次型()222123123121323,,222=++−−+f x x x x x x x x x x ax x 经正交变换x Py =可化为标准形22212322=f y +y +by ,求:(1) 常数,a b ;(2) 所用的正交变换矩阵P .。

吉林大学微积分标准化作业(CII)

吉林大学微积分标准化作业(CII)

∂u ∂u ∂v ∂v , , , . ∂x ∂y ∂x ∂y
设函数 z = f (u ) ,方程 u = ϕ (u ) + ∫ p (t )dt ,确定 u 是 x, y 的函数,其中 f (u ), ϕ (u ) 可
y
x
微, p (t ), ϕ ′(u ) 连续,且 ϕ ′(u ) ≠ 1 ,求证: p ( y )

x +1 y −1 z 的距离是 = = 3 2 −1

7.xOy 面上曲线
x2 y2 − = 1 绕 x 轴旋转一周所生成的曲面方程为 a2 b2


⎧z = 6 − x 2 − y 2 在 xOy 面上的投影曲线方程为 8.曲线 ⎨ ⎩2 y + z − 3 = 0
二、单项选择题 1.平面 y + z = 1 ( ). (B)平行于 x 轴; (D)平行于 xOy 面. ). (B)交于一点; (D)交线为一个圆.
x →0 y →0
. .
x ∂ 2u ⎛ 1⎞ ,则 在 ⎜ 2, ⎟ 处的值为 y ∂x∂y ⎝ π ⎠
3xy =( x + y2
2
).
6 ; 5
(A)
3 ; 2
(B)0;
(C)
(D)不存在.
2. f ( x, y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 两偏导数 f x′ ( x 0 , y 0 ) , f y′ ( x 0 , y 0 ) 都存在是 f ( x, y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 连续的( )条件. (B)必要非充分; (D)非充分非必要. ).
. .
2. f ( x ) = 3. lim 4. z =
x , f ( x) = f ( y ) + f ( z ) 确定 z = F ( x, y ) ,则 F ( x, y ) 1− x
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求 X.
5
6、设 A=
1 2 a b , B= , 若矩阵 A 与 B 可交换,求 a、b 的值. 1 1 3 2
7、设 A、B 均为 n 阶对称矩阵,证明 AB+BA 是 n 阶对称矩阵.
6
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第 二 章 作 业
(方阵的行列式) 1、填空题 (1)排列 52341 的逆序数是________,它是________排列; (2)排列 54321 的逆序数是________,它是________排列; (3)1~9 这九数的排列 1274i56j9 为偶排列,则 i_______, j_______; (4)4 阶行列式中含有因子 a11a23 的项为________________; (5)一个 n 阶行列式 D 中的各行元素之和为零,则 D =__________. 2、计算行列式
13
1 0 6、设 A= 0 3 1 3 1 0 4 1 1 2 2 1 2 5
1 0 0 2 3 0 7、设矩阵 A= 0 4 5 0 0 6
0 0 , 且满足 B=(E+A)-1(E-A),求(E+B)-1. 0 7
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
线 性 代 数
标准化作业 (A、B)
吉林大学数学中心 2013.9
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第 一 章 作 业
(矩阵的运算与初等变换) 1、计算题
3 (1) 1, 2, 3 2 ; 1
2 (2) 1 1, 2, 1 ; 3
18
5、求解非齐次线性方程组
x1 x2 2 x x 1 2 3x1 4 x2 x1 x2
x3 3x3 x3 4 x3
x4 3x4 3x4 8 x4
x5 4 x5 2 x5 4 x5

14
8、设 A 为 m n 矩阵,B 为 n m 矩阵,且 m>n,试证|AB|=0.
15
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第 四 章 作 业
(线性方程组与向量组的线性相关性) 1、填空题 (1)设 β=(3,- 4) , α1=(1,2) , α2=(-1,3) ,则 β 表成 α1,α2 的 线性组合为 ;
0 1
1 1 . 0 2 3 0 0 3 3 2
2
2、计算下列方阵的幂: (1)已知 α=(1,2,3) ,β=(1,-1,2) ,A=αTβ,求 A4;
0 2 4 (2)已知 A= 0 0 3 ,求 A n; 0 0 0
3、通过初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:
3 (1) 1 1
(2)设 α1,α2,α3 线性无关,则下列向量组线性相关的是( (A)α1,α2,α3 - α1; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1.
16
(3)设 n 元线性方程组 Ax=0,且 R(A)=n-3,且 α1,α2,α3 为线性方程组 Ax=0 的三个线性无关的解向量,则方程组 Ax=0 的基础解系为( (A)α1+α2,α2+α3,α3+α1; ).
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4、求解齐次线性方程组
x1 x2 x 1 x2 4 x1 2 x2 2 x1 4 x2
3 x4 2 x3 6 x3 2 x3 x4 5 x4 4 x4
x5 x5 x5 1 6x5
0, 0, 0, 0.
1 1 3
0 2 4
2 1; 4
3
2 1 2 3 (2) 3 2 1 0
8 3 7 0 7 5 . 5 8 0 3 2 0
4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵:
3 2 1 3 1 (1) 2 1 3 1 3 ; 7 0 5 1 8
1 3 (2) 2 3
1 3 4 3 3 5 4 1 . 2 3 2 0 3 4 2 1
4
5、利用初等矩阵计算:
1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 ; (1) 0 1 0 0 1 1 2 2 2 0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
2 0 0 0
3 的逆矩阵. 0 0 0
12
4 、 已知 A
2 1 0
1 2 1
0 1 ,B 2
1 2
1 ,C = 3 3 2
2
2 4 ,求解下列矩阵方程: 1
(1)AX=X+C ;
(2) AXB=C.
5、设 A 为 n 阶可逆矩阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得矩阵 B,试证: (1)B 可逆; (2)求 AB-1.
(2)设向量组 α1=(1,1,0) ,α2=(1,3,-1) ,α3=(5,3,t)线性相 关,则 t= ;
(3)设向量组 α1=(1,1,0) ,α2=(1,3,-1) ,α3=(5,3,t)的秩为 3,则参数 t 应满足的条件是 ;
(4)n 元线性方程组 Ax=0 有非零解时,它的每一个基础解系所含解向量 的个数均为 ;
(5)设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 R(A)=n-1,则方程组 Ax=0 的通解为 .
x1 2 x2 2 x3 0, (6)设线性方程组 2 x1 x2 x3 0, 的系数矩阵为 A,且存在 3 阶非零矩 x 2x x 0 2 3 1
(C)k(α1-α2);
(5)设向量组 α1,α2 是方程组 Ax=0 的基础解系,β1,β2 是方程组 Ax=b 的两个解向量,k1,k2 是任意常数,则方程组 Ax=b 的通解为( (A) x=k11 k2 2 ).
1 2
2
;
(B)x=k11 k2 (1 2 )
(3) 若对任意方阵 B, C, 由 AB=AC (A, B, C 为同阶方阵) 能推出 B=C, 则 A 满足( ).
11
(A)A O; (B)A=O;
(C)|A| 0; (D)|AB| 0. ) .
(4) 已知 A 为 n 阶非零方阵, 若有 n 阶方阵 B 使 AB=BA=A, 则 ( (A)B 为单位矩阵; (B)B 为零方阵; (C)B 1 =A; (D)不一定. (5)若 A,B,(B 1 +A 1 )为同阶可逆方阵,则(B 1 +A 1 ) 1 =(

(4)设实矩阵 A 33 = (aij ) 0,且 a11 0 , a ij Aij ( Aij 为 a ij 的代数余子 式) ,则│A│= ;
O 1 1 = , 则 2 ( )A B 2
1
(5) 设 A 为 2 阶方阵, B 为 3 阶方阵, 且│A│= = . 2、选择题
B O
9
5、设 3 阶矩阵
, A= 2 1 , B= 1 3 2 2, 其中 α, β, γ1, γ2 均为 3 维行向量,且|A|=18,|B|=2,求|A-B|.
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第 三 章 作 业
(可逆矩阵) 1、填空题
(B)α2 -α1,α3 -α2,α1 -α3;
1 (C)2α2 -α1, α3 -α2,α1 -α3; (D)α1+α2+α3,α3--α2,-α1-2α3. 2
(4)设 α1,α2 是 n 元线性方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,且 R(A) =n-1,k 为任意常数,则方程组 Ax=0 的通解为( (A)kα1; (B)kα2; ). (D)k(α1+α2).
1 2 1 2 ; 1 2 1
bc ca a b b c ; (3) D a 2 2 a b c2
8
(4) D
3 a 3 3 3 a 3 3 3 3
3 3
3 3
3b 3 3 3b

1 2
(5) D
0
.
2012 0 2013
4、设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2、m、k、1,第 2 列元素的余子式 依次为 1、-1、1、-1,第 4 列元素的代数余子式依次为 3、1、4、5,且行列式 的值为 2,求 m、k 的值.
(1)设同阶方阵 A、B、C、E 满足关系式 ABC=E,则必有( (A)ACB=E; (B) CBA=E; (C) BAC=E;
).
(D) BCA=E. ).
(2)若 A,B 为同阶方阵,且满足 AB=0,则有( (A)A=O 或 B=O; (C)(A+B) 2 =A 2 +B 2 ;
(B)|A|=0 或|B|=0; (D)A 与 B 均可逆.
阵 B 使得 AB = O ,则 λ 2、选择题 (1) 设 β, α1, α2 线性相关, β, α2, α3 线性无关, 则正确的结论是 ( (A)α1,α2,α3 线性相关; (C)α1 可由 β,α2,α3 线性表示; (B)α1,α2,α3 线性无关; (D)β 可由 α1,α2 线性表示. ). ) . .
(C)x=k11 k2 ( 1 2 )
1 2
2
;
; 2 2 (D)x=k11 k2 (1 2 ) 1 . 2
1 2
(6)设非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组为 Ax=0,则下 面结论中正确的是( ).
(A)若 Ax=0 有唯一解,则 Ax=b 必有唯一解; (B)若 Ax=0 有唯一解,则 Ax=b 必无解; (C)若 Ax=0 有无穷多个解,则 Ax=b 也有无穷多个解; (D)若 Ax=b 有无穷多个解,则 Ax=0 也有无穷多个解. 3、设 α1,α2,α3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且 R(A) =3,其中 1 (1,9, 4,9)T , 2 3 (2, 0, 0, 4) T , 求 Ax=b 的通解.
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