圆中的动点问题精编版
圆形的动点问题
圆形的动点问题
简介
圆形的动点问题是一个经典的数学问题，涉及到在一个固定半径的圆上找到一个动点的运动轨迹。
本文将探讨在给定的圆上找到一个动点的运动轨迹的一种简单策略。
策略
我们可以将圆形的动点问题简化为一个平面几何问题。
设定一个固定半径的圆，我们需要找到一个动点，在圆的周长上运动。
为了简化问题，我们将动点的速度设定为相等和恒定。
步骤
以下是解决圆形的动点问题的简单策略的步骤：
1. 确定圆的半径：首先，我们需要确定给定圆的半径。
这将帮助我们计算动点的运动轨迹。
2. 计算圆的周长：根据圆的半径，我们可以计算出圆的周长。
周长是动点在圆上运动的路径。
3. 确定动点的速度：我们需要确定动点的速度。
假设动点的速
度是相等和恒定的，以便简化问题。
4. 计算动点的运动轨迹：根据动点的速度和圆的周长，我们可
以计算出动点在给定圆上的运动轨迹。
5. 图形化运动轨迹：为了更直观地理解动点在圆上的运动轨迹，可以图形化展示。
结论
通过简化圆形的动点问题，我们可以使用上述策略找到动点的
运动轨迹。
这个问题对几何学及其应用具有重要意义，并且可以帮
助我们理解运动轨迹的计算方法。
请注意，以上策略是一种简化的方法，可能不适用于所有情况。
特殊情况下可能涉及更复杂的数学问题和计算方法。
以上是关于圆形的动点问题的简要介绍和解决策略。
希望这能
为您提供有用的信息。
与圆有关的动点问题.doc题
动点问题（4）------与圆有关的动点直线与圆相切1.如图,⊙O 的半径为1,圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动,当⊙O 移动到与AC 边相切时,OA 的长是 .2.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？3如图，ABC ∆中，090C ∠=，4AC =，3BC =.半径为1的圆的圆心P 以1个单位/s 的速度由点A 沿AC 方向在AC 上移动，设移动时间为t （单位：s ）. （1）当t 为何值时，⊙P 与AB 相切；（2）作PD AC ⊥交AB 于点D ，如果⊙P 和线段BC 交于点E ，证明：当165t s=时，四边形PDBE 为平行四边形.4.（2012河北中考25）如图14，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO∠=45，CD AB ∥，90CDA = ∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.（1） 求点C 的坐标；（2） 当15BCP =∠时，求t 的值；（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．5.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，BC=12cm。
半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC 上。
设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。
（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？(2)当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
与圆有关的动点问题
与圆有关的动点问题GDMDC 06B(1)求/ APC 与Z ACD 的度数⑶OD动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点ES A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐⑴求证：OD 与边BC 也相切向左移动正 M , N 分别是边BC , AD⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二)(2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上.过点B 作的一条切线BE , E 为切点.如图1,当点A 在。
O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由1、如图,©O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。
0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C團2 与AB 、过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 AB点(不与A. C 重合)F D C (F 图14、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时DFC /图3BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° °AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H .t7』 B\/1X I-0\AM DB5、如图1,正方形ABCD 的边长为2,点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与 M 、 C 重合)，以AB 为直径作。
圆的动点问题方法总结
圆的动点问题方法总结
圆的动点问题涉及圆的运动轨迹和动点的位置变化。
在解决这类问题时，我们
可以采用以下方法：
1. 构建几何模型：首先，我们可以通过绘制几何图形来简化问题。
将圆和动点
在纸上画出来，有助于我们更清楚地理解问题。
2. 利用圆的性质：圆有很多重要的性质，我们可以利用这些性质来解决动点问题。
例如，圆的半径和直径之间的关系，圆的切线和切点的性质等。
3. 使用向量方法：在处理圆的动点问题时，向量方法很有用。
我们可以将动点
的位置表示为向量，并使用向量的运算规则来解决问题。
例如，我们可以用位置向量来表示动点的位置，并使用向量的加法和减法来计算动点的移动方向和距离。
4. 应用三角函数：如果涉及到角度的变化，我们可以使用三角函数来解决问题。
例如，如果动点绕圆心旋转，我们可以使用正弦和余弦函数来描述动点在不同位置的坐标变化。
5. 运用解析几何：解析几何是解决圆的动点问题的常用方法之一。
我们可以使
用坐标系和代数方程来描述圆和动点的运动轨迹。
通过求解方程组，我们可以得到动点的位置和移动方向。
总的来说，解决圆的动点问题需要充分利用圆的性质，运用几何、向量、三角
函数和解析几何等方法。
通过选择合适的方法，我们可以更好地理解问题并求解出准确的结果。
专题04 圆中的”动“问题-中考数学中的“动”问题_最新修正版
专题4 圆中的“动”问题在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y =3x +23上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则P A 的最小值为 A ．3B ．2C ．3D ．2【参考答案】D【试题解析】如图，直线y =3x +23与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ， 当x =0时，y =3x +23=23，则D （0，23），当y =0时，3x +23=0，解得x =–2，则C （–2，0），∴CD =222(23)+=4，∵12OH •CD =12OC •OD ，∴OH =2234⨯=3，连接OA ，如图，∵P A 为⊙O 的切线，∴OA ⊥P A ，∴P A =22OP OA -=21OP -， 当OP 的值最小时，P A 的值最小， 而OP 的最小值为OH 的长， ∴P A 的最小值为2(3)1-=2． 故选D ．【方法点拨】动点出现在哪种几何图形中就考虑哪种图形的相关性质进行解决．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造垂径定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．1．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G 上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为A．3π2B．3π3C．3π4D．3π62．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=42，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD 为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为__________．3．如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连接OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案1．【参考答案】B【试题解析】连接AC ，AG ，∵GO ⊥AB ，∴O 为AB 的中点，即AO =BO =12AB ， ∵G （0，1），即OG =1，∴在Rt △AOG 中，根据勾股定理得：AO =22AG OG =3，∴AB =2AO =23，又CO =CG +GO =2+1=3，∴在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：AC =22AO CO +=23，∵CF ⊥AE ，∴△ACF 始终是直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半圆， 当E 位于点B 时，CO ⊥AE ，此时F 与O 重合； 当E 位于D 时，CA ⊥AE ，此时F 与A 重合，∴当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长AO ，在Rt △ACO 中，tan ∠ACO =33AO CO =， ∴∠ACO =30°，∴AO 度数为60°， ∵直径AC =23，∴AO 的长为60π3180⨯=3π3，则当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长3π3．故选B ．2．【参考答案】【试题解析】连接AE ，如图1，∵∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42，∴AB =AC =4，∵AD 为直径，∴∠AED =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 上， ∵⊙O 的半径为2，∴当点O 、E 、C 共线时，CE 最小，如图2，在Rt △AOC 中，∵OA =2，AC =4， ∴OC =2225OA AC +=， ∴CE =OC –OE =25–2，即线段CE 长度的最小值为25–2． 故答案为：25–2．3．【试题解析】（1）①当∠AOM =60°时，∵OM =OA ，∴△AMO 是等边三角形，∴∠A =∠MOA =60°， ∴∠MOD =30°，∠D =30°，∴DM =OM =10． ②如图，过点M 作MF ⊥OA 于点F ，设AF =x ，∴OF =10–x ，∵AM =12，OA =OM =10，由勾股定理可知：122–x 2=102–（10–x ）2， ∴x =365，∴AF =365， ∵MF ∥OD ，∴△AMF ∽△ADO ，∴AM AFAD OA=，∴3612510AD =，∴AD=503，∴MD=AD–AM=143．（2）当点M位于AC之间时，连接BC，∵C是AB的中点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于BC之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°．综上所述，∠CMD=45°．。
圆中动点路径类问题解析版
考点08 圆中动点路径类问题1.（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．πB．2πC．4πD．0.5π【解答】解：设⊙O于正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．【知识点】正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系、切线长定理2.（2020•武汉模拟）如图，BC为⊙O直径，弦AC＝2，弦AB＝4，D为⊙O上一点，I为AD上一点，且DC＝DB＝Dl，AI长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接IC，作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，IG⊥BC于G．∵DB＝DC，∴＝，∠DBC＝∠DCB，∴∠BAD＝∠CAD，∵DI＝DC，∴∠DIC＝∠DCI，∵∠DIC＝∠DAC+∠ACI，∠DCI＝∠DCB+∠ICB，∠DBC＝∠DAC，∴∠ICA＝∠ICB，∴点I为△ABC内心，∴IE＝IF＝IG，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵S△ABC＝•AB•AC＝•IE•（AB+AC+BC），∴IE＝3﹣，∵∠IAE＝∠AIE＝45°，∴AI＝IE＝3﹣，故选：D．【知识点】圆周角定理3.（2020•高邮市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴线段PD的最小值为1．故选：B．【知识点】矩形的性质、圆周角定理4.（2020•朝阳区校级月考）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB＝＝＝6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．【知识点】圆的认识、矩形的性质、勾股定理5.（2020•镇海区期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（）A．0.5B．﹣1C．2﹣D．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴四边形ABOC为正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），∴AP的最小值为2﹣．故选：C．【知识点】旋转的性质、勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、圆周角定理6.（2020•海珠区期末）已知：AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝10，OA＝4，BC＝16，则△PCD的面积的最小值是（）A．36B．32C．24D．10.4【解答】解：∵CD是定值，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∴OH＝（AD+BC）＝13，过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝8，MC＝BC﹣AD＝6，∴CD＝EF＝10，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，∴AE+BF＝EF＝10，∴OG＝（AE+BF）＝5，∴GH＝OH﹣OG＝8，又∵OP＝4，且＝，∴＝，∴PQ＝，∴S△PCD＝PQ•CD＝××10＝32．故选：B．【知识点】切线的性质7.（2020•黄埔区期末）如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是B的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：如图，连接OC，∵CA⊥x轴，CB⊥y轴，∴四边形OACB是矩形，∵D为AB中点，∴点D在AC上，且OD＝OC，∵⊙O的半径为2，∴如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆，∴点D运动过的路程长为2π•1＝2π，故选：D．【知识点】轨迹、坐标与图形性质、圆周角定理8.（2020•江阴市期末）如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，∠P AC＝60°，交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．B．1C．2D．【解答】解：连接OA、OB，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵∠P AC＝60°∴∠ACP＝90°∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，作△ABC的外接圆D，如图2，连接CD，∵∠ACB＝90°，点C在⊙D上，AB是⊙D的直径，当点C半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC等腰直角三角形，∴CD⊥AB，CD＝1，∴S△ABC＝＝＝1，∴△ABC的最大面积为1．故选：B．【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理9.（2020•海曙区期末）如图，三角形纸片ABC的周长为22cm，BC＝6cm，⊙O是△ABC的内切圆，玲玲用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一个△AMN，则△AMN的周长是（）A．10cm B．12cmC．14cm D．根据MN位置不同而变化【解答】解：设E，F，G，H分别是直线AC，AB，MN，BC与⊙O的切点．由切线长定理可知：CE＝CH，BH＝BF．ME＝MG，NG＝NF，∵AC+AB+BC＝22cm，BC＝6cm，∴AC+AB＝16cm，AE+AF＝10cm，∴△AMN的周长＝AM+AN+MG+NF＝AM+ME+AN+NF＝AE+AF＝10cm，故选：A．【知识点】三角形的内切圆与内心10.（2020•铁锋区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为．【解答】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．又∵点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，∴∠BAD′＝∠CAB＝15°．∴∠CAD′＝45°．∴∠COD′＝90°．则△COD′是等腰直角三角形．∵OC＝OD′＝AB＝3，∴CD′＝3，故答案为3．【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、轴对称-最短路线问题11.（2020•潜山市期末）如图，AB是圆O的弦，AB＝40，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是．【解答】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝×40＝40．∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN＝AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为40．故答案为40．【知识点】圆周角定理、三角形中位线定理12.（2020•潮南区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝2OB＝AC＝2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′＝AB，∴BA′＝2OB，∴∠OA′B＝30°，∴∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′＝﹣＝π﹣π＝π．故答案为π．【知识点】坐标与图形性质、扇形面积的计算、旋转的性质13.（2020•伊通县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；故答案为：3≤r≤5【知识点】矩形的性质、直线与圆的位置关系14.（2020•西城区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．【解答】解：如图，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵PD＝DG＝x，∴AP＝6﹣x，∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴＝，∴＝，x＝，当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或5＜x≤6；故答案为：x＝或5＜x≤6．【知识点】直线与圆的位置关系、矩形的性质15.（2020•连江县期中）在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM＝AB＝×2＝1，∴OA＝＝，∴CM＝OC+OM＝+1，∴S△ABC＝AB•CM＝×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．【知识点】垂径定理、三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理16.（2020•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．【解答】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，BC＝AB2＝，∠DCG＝90°，∵CG＝BG＝，∴DG＝＝＝，∵BE是直径，∴∠BHE＝∠BHC＝90°，∵BG＝GC，∴HG＝BC＝，∵DH≥DG﹣HG，∴DH≥﹣＝，∴DH的最小值为．故答案为．【知识点】矩形的性质、圆周角定理、三角形三边关系、勾股定理17.（2020春•资中县期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝，故答案为：．【知识点】垂线段最短、勾股定理、圆周角定理、垂径定理18.（2020•青羊区期末）△ABC中，AB＝CB，AC＝10，S△ABC＝60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，∵AB＝BC，∴AD＝CD＝AC＝5，∵S△ABC＝60，∴，即，BD＝12，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝90°，∴F在以AC为直径的圆上，∵BF+DF＞BD，且DF＝DF'，∴当F在BD上时，BF的值最小，此时BF'＝12﹣5＝7，则BF的最小值是7，故答案为：7．【知识点】点与圆的位置关系、等腰三角形的性质、圆周角定理19.（2020春•富阳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段AD上的一动点，点E是AB边上一动点，连结PC，PE．（1）当E是边AB的中点时，是否存在点P，使∠EPC＝90°？若存在，求AP的长，若不存在，请说明理由；（2）设BE＝a，若存在点P，使∠EPC＝90°，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCP+∠DPC＝90°，∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，∴△APE∽△DCP，∴＝，设AP＝x，则DP＝6﹣x，又AE＝BE＝2，∴x（6﹣x）＝2×4，整理得x2﹣6x+8＝0，解得，x1＝2，x2＝4，∴P A＝2或4．（2）设AP＝x，AE＝y，∵△APE∽△DCP，∴＝，即x（6﹣x）＝4y，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，∴当x＝3时，y的最大值为，∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为4﹣＝，∴a的取值范围为≤BE＜4．【知识点】矩形的性质、圆周角定理20.（2020•常熟市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动，P、Q中有一点到达终点时，另一点随之停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，△DPQ是直角三角形；（3）在运动过程中，经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD＝2PQ，∴PD2＝4 PQ2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，∵PD2＝4 PQ2，∴62+（2t）2＝4[（8﹣2t）2+t2]，解得：t1＝，t2＝；∵0≤t≤4，∴t＝，答：秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）∵△DPQ是直角三角形，∴∠DPQ＝90°或∠DQP＝90°．当∠DPQ＝90°时，∠ADP＝∠BPQ，∴tan∠ADP＝tan∠BPQ，∴＝，即＝，解得：t＝，或t＝0（舍去）；当∠DQP＝90°时，∠CDQ＝∠BQP，∴tan∠CDQ＝tan∠BQP，∴＝，即＝，解得：t＝11﹣，或t＝11+（舍去），综上所述，当运动时间为秒或（11﹣）秒时，△DPQ是直角三角形．（3）设经过x，秒以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切于点E，连接PE、PD，如图所示：则PE⊥BD，PE＝AP，在Rt△APD和Rt△EPD中，，∴Rt△APD≌Rt△EPD（HL），∴AD＝ED＝6，∵BD＝＝＝10，∴BE＝BD﹣ED＝4，∵PE＝P A＝2x，则BP＝8﹣2x，在Rt△BPE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（8﹣2x）2，解得：x＝，即经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切，故答案为：．【知识点】一元二次方程的应用、切线的判定、勾股定理21.（2020•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，P A＝t，BQ＝2t，∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．∵△PBQ的面积等于4cm2，∴PB•BQ＝（5﹣t）•2t．∴（5﹣t）•2t＝4．解得：t1＝1，t2＝4．答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；（2）（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB＝90°，∴∠DPQ＝90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．解得：t1＝﹣15+10，t2＝﹣15﹣10（舍去）．综上所述可知当t＝0或t＝﹣15+10时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．【知识点】切线的判定、一元二次方程的应用22.（2020•润州区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，∠A＝30°，D是AB的中点，点O为AC上一点，以O为圆心，半径为lcm的圆与AB相切，点E为切点．（1）求线段CO的长；（2）若将⊙O以1cm/s的速度移动，移动中的圆心记为P，点P沿O→C→B→A的路径运动，设移动的时间为t（s），则当t为何值时，⊙P与直线CD相切？【解答】解：（1）∵BA切⊙O于E，∴∠OEA＝90°，∵OE＝1，∴AO＝2OE＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∠A＝30°，∴AC＝BC＝3，∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2；（2）如图；①当P位于线段OC上时，设⊙P与CD的切点为G，则P1G⊥CD；由于D是AB的中点，所以CD＝DA，即∠DCA＝∠A，因此P1C＝OA＝2cm，OP1＝AC﹣2OA＝3﹣4，∴t＝（3﹣4）s；②当P位于线段CB上时，设⊙P与CD的切点为H，则P2H⊥CD；同①可得：P2C＝cm，因此P点运动的距离为：OC+P2C＝3﹣2+＝﹣2，即t＝（﹣2）s；③当P位于线段BD上时，P3M⊥CD，过B作BQ⊥CN于Q；易知：S△ABC＝，由于D是AB中点，则S△BCD＝；而CD＝AB＝3，可求得CD边上的高为：BQ＝cm；∵△PDM∽△BDQ，则＝，即＝，P3D＝；因此P3B+BC+OC＝3﹣+3+3﹣2＝+4，即t＝（+4）s；④当P位于线段AD上时，同③可求得t＝（+1）s；综上可知：当t分别为（3﹣4）s、（﹣2）s、（+4）s、（+1）s时，⊙P与直线CD相切．【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、切线的判定与性质23.（2020•新吴区期中）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB＝60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动：与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts（1）当P异于A，C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，⊙P与边BC公共点的个数有几种可能的情况？并求出相应的t所取的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，又∵∠DAB＝60°（已知），∴∠BAC＝∠BCA＝30°；当点P运动到点C，即t＝2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P与边BC 有一个公共点，综上所述：当0≤t＜4﹣6或3﹣＜t＜2时，⊙P与边BC有0个公共点；当t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点；【知识点】直线与圆的位置关系、菱形的性质附赠材料：怎样提高做题效率做题有方,考试才能游刃有余提到考试,映入我眼帘的就是一大批同学在题海里埋头苦干的情景。
圆形中动点问题的解题策略：
圆形中动点问题的解题策略：圆形中动点问题的解题策略
圆形中动点问题是一类在几何学中常见的问题，涵盖了动点在圆形表面的位置、路径、速度和加速度等相关计算和性质。
解决这类问题可以采用以下简单策略：
1. 确定圆的性质
首先，确定给定圆的半径和中心坐标。
这些参数将是解题的基础，用来计算动点相对于圆的位置。
2. 确定动点的位置
确定动点在圆上的位置。
可以使用动点在圆上的弧长或角度来描述其位置。
3. 计算动点的速度
根据题目所给的信息，计算动点在圆上的速度。
可以使用速度公式来计算动点的线速度。
4. 计算动点的加速度
如果题目要求，计算动点在圆上的加速度。
可以使用加速度公
式来计算动点的向心加速度和切向加速度。
5. 分析动点的运动轨迹
根据动点的速度和加速度，可以分析动点的运动轨迹。
根据速
度的方向和大小，以及加速度的方向和大小，可以确定动点在圆上
的运动性质。
6. 结论
总结分析结果，得出关于动点在圆上运动的结论。
以上是解决圆形中动点问题的一般策略，根据具体题目的要求，可能需要适当调整和扩展这些策略。
通过掌握这些基本策略，可以
更有效地解决圆形中动点问题。
动点问题圆(含答案)初三数学(2020年整理).pptx
∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ，
∴4t1+ ﹣3t1=2，
9
∴t1=2﹣ ，
②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置 三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），
5
分析如下： 因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最 大为 1．
（2） 如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1E⊥AB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰 为⊙O 与 AB，BF 的切点． 方案二： 设半径为 r， 在 Rt△O1O2E 中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2， 解得 r= ．
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ =
，无解，
当△OEQ∽△MFP 时，∴ = ， =
，解得，t=2± ，
所以当 t=
，t= ，t=2± 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F
为顶点的三角形相似． 【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系．
分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，
连接 PF，过点 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t＞0）
2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题1．“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．（1）【知识理解】如图1，圆O 的内接四边形ACBD 中，60ABC ∠=︒，BC AC =，①BDC ∠=；DAB ∠DCB ∠（填“>”，“=”，“<”）②将D 点绕点B 顺时针旋转60︒得到点E ，则线段DB DC DA ，，的数量关系为．（2）【知识应用】如图2，AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，猜想DA DB DC ，，的数量关系，并证明；（3）【知识拓展】如图3，已知2AB =，A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，以AB 为边往外构造等边ABC ，点C 在MDN ∠内部，若120D ∠=︒，直接写出四边形ADBC 面积S 的取值范围．2．如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．在平面直角坐标系xOy 中：（1）如图2，已知点(70)A ，，点B 在直线1y x =+上．①若点(34)B ，，点(30)C ，，则在点O ，C ，A 中，点是AOB 关于点B 的内联点；②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；（2）已知点(20)D ，，点(42)E ，，将点D 绕原点O 旋转得到点F ．若EOF 关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标m 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B C ''，分别是B C ，的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233A B C B C B C ，，，，，，的横､纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0A t ，，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，12AB AC ==，．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．已知：点C 为⊙O 的直径AB 上一动点，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D 和点E ，连接AD 、BD ，∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ．（1）若DF ＝BD ，求证：GD ＝GB ；（2）若AB ＝2cm ，在（1）的条件下，求DG 的值；（3）若∠ADB 的角平分线DM 交⊙O 于点M ，交AB 于点N ．当点C 与点O 重合时，AD BD DM+＝；据此猜想，当点C 在AB （不含端点）运动过程中，AD BD DM +的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于ABC 和直线l 给出如下定义：若ABC 的一条边关于直线l 的对称线段PQ 是O 的弦，则称ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，直线l 是“关联轴”．（1）如图1，若ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，请画出ABC 与O 的“关联轴”（至少画两条）；（2）若ABC 中，点A 坐标为(23)，，点B 坐标为(41)，，点C 在直线3y x =-+的图像上，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，求点C 横坐标的取值范围；（3）已知A ，将点A 向上平移2个单位得到点M ，以M 为圆心MA 为半径画圆，B ，C 为M 上的两点，且2AB =（点B 在点A 右侧），若ABC 与O 的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC 最大时AC 的长．6．如图，在⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，且AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为 AC 上的动点（不与端点重合），连接PD ．（1）求证：∠APD ＝∠BPD ；（2）利用尺规在PD 上找到点I ，使得I 到AB 、AP 的距离相等，连接AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI ＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC 、IE ，若∠APB ＝60°，试问：在P 点的移动过程中，IC IE 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 和点P ，给出如下定义：若PA PB =且点P 不在线段AB 上，则称点P 是线段AB 的等腰顶点．特别地，当90APB ∠≥︒时，则称点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点．（1）已知点(20)A ，，(42)B ，．①在点(40)C ，，(31)D ，，(15)E -，，(05)F ，中，是线段AB 的等腰顶点的是▲；②若点P 在直线3(0)y kx k =+≠上，且点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点，求k 的取值范围；（2）直线33y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．⊙P 的圆心为(0)P t ，，半径为，若⊙P 上存在线段MN 的等腰顶点，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．（1）当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；（2）当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CPOQ的值．9．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，的长为半径的圆上；②B M '=；③DB C ' 为三角形，请证明你的结论．（2）拓展延伸当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ' 面积的最大值为；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接PQ AQP AB E ∠=∠'，，则2B C PQ '+的最小值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T （半径为r ）外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0＜PQ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O 的伴随点是▲；②点D 在直线y ＝x+3上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）⊙M 的圆心为M(m ，0)，半径为2，直线y ＝2x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．11．定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 为图形M 上一点，点Q 为图形N 上一点．若存在OP OQ =，则称图形M 与图形N 关于原点O “平衡”．（1）如图，已知⊙A 是以()1,0为圆心，2为半径的圆，点()1,0C -，()2,1D -，()3,2E ．①在点C ，D ，E 中，与⊙A 关于原点O “平衡”的点是；②点H 为直线y x =-上一点，若点H 与⊙A 关于原点O “平衡”，点H 的横坐标的取值范围为：；（2）如图，已知图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形．⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2．若⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，请直接写出圆心K 的横坐标的取值范围．12．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB ∠=︒，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB ∠的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（）A ．线段；B ．弧；C ．半圆；D ．圆③点P 运动的路经长是▲．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP ，请直接写出E 、F 运动过程中，CP 的最小值．13．对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()60A ，，(0B ．（1）在()30R ，，()20S ，，(1T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为▲；②若直线y a =上存在点A 直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线2l ：33y x =-，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点（0m ≠，0n ≠），求m n ≠时，求r 的取值范围．14．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．15．如图，在ABC 中，AB BC =，30CAB ∠=︒，8AC =，半径为2的O 从点A 开始（如图1）沿直线AB 向右滚动，滚动时始终与直线AB 相切（切点为D ），当O 与ABC 只有一个公共点时滚动停止，作OG AC ⊥于点G ．（1）图1中，O 在AC 边上截得的弦长AE =；（2）当圆心落在AC 上时，如图2，判断BC 与O 的位置关系，并说明理由．（3）在O 滚动过程中，线段OG 的长度随之变化，设AD x =，OG y =，求出y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d(M ，N)，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d(M ，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d(A ，⊙O)＝，d(B ，⊙O)＝．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C(m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P m n ，，我们称直线y mx n =+为点P 的关联直线.例如，点()24P ，的关联直线为24y x =+．（1）已知点()12A ，．①点A 的关联直线为；②若O 与点A 的关联直线相切，则O 的半径为；（2）已知点()02C ，，点()0.D d ，点M 为直线CD 上的动点．①当2d =时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；②以()11T -，为圆心，3为半径作.T 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与T 交于E ，F 两点时，EF 的最小值为4，请直接写出d 的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）60︒；=；DC DB DA=+（2）解：在AB 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，如图所示：∵AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，∴1tan 2AC ABC BC BC =∠⋅=，∴在Rt ACB 中，52AB BC ==，∵ BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∵ADE BDC ∠=∠，∴ADE CDB ∽，∴ADAECD CB =，∴AD CB CD AE ⋅=⋅，∵ AD AD =，∴DBA DCA ∠=∠，∵ADE CDE CDB CDE ∠-∠=∠-∠，即ADC BDE ∠=∠，∴BDE CDA ∽，∴BDBECD AC =，∴BD AC CD BE ⋅=⋅，∴()AD CB AC BD CD AE CD BE CD AE BE CD AB⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅，∴AB CD AC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴122BC CD BC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴5122CD DB AD ⋅=⋅+，∴5122CD DB AD =+，即2DB AD =+，故答案为：2DB AD =+．（3）解：∵A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，120D ∠=︒，ABC 是等边三角形，∴四边形ADBC 的两个对角180ADB ACB ∠+∠=︒，∴构造四边形ADBC 的外接圆，∴根据四边形外接圆的性质可得：当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小；当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，①当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴60CBD ∠=︒，2AB BD BC ===∴1sin 602CBD S BC BD =⋅⋅⋅= ，②当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴30ACD ∠=︒，2AC =，∴tan 233AD ACD AC =∠⋅==，∴11232322233ADC S AD DC =⋅⋅=⨯= ，∴23ADC ADBC S S == 四边形；433S <≤．2．【答案】（1）解：①O ，C ②当点B 的坐标为（0，1）时，如图，此时以BO 为半径的B 与线段OA 相切于点O ，∴点O 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 移动到在y 轴左侧时，作图发现B 与x 轴有相交，且有一个交点不在线段OA 上，∴不再有OAB 关于点B 的内联点；当点B 的坐标为（7，8）时，以BA 为半径的B 与x 轴相切于点A ，∴点A 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 直线x=7的右侧时，以BA 为半径的B 与x 轴相交，且有一个交点不在线段OA 上∴不再有OAB 关于点B 的内联点；综上所述，若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围为18n ≤≤；（2）80m 555m -≤≤≤≤或3．【答案】（1）22B C （2）解：由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C '' 是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴，∴12B D DC ''==，∴32OD ==，32==，∴OA =，∴t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =，∴t =；（3）当1min OA =时，此时BC =；当2max OA =时，此时2BC =．4．【答案】（1）证明：∵CD ⊥直径AB ，∴ BDBE =，∵DF ＝BD ，∴ DFBD =，∴ BEDF =，∴∠1＝∠2，∴DG ＝BG（2）解：∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ，∴∠2＝∠3，由（1）知，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠4＝90°﹣∠2﹣∠3＝30°，∵AB ＝2，∴BD ＝1，在Rt △BCD 中，∠1＝30°，∴BC ＝12BD ＝12，在Rt △BCG 中，∠3＝30°，∴CG ＝＝6，∴BG ＝2CG ＝33，由（1）知，DG ＝BG ＝33（3）5．【答案】（1）解：如图1，作BM ⊥x 轴，垂足为M ，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四边形ABFE 是正方形，∴边AE ，BF 的中点所在直线就是ABC 与O 的一条“关联轴”；∵O 的半径为1，∴，且∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B 、F 、G 三点共线，∴直线EF 是ABC 与O 的一条“关联轴”．（2）解：如图2，根据A （2，3），B （4，1），C （4，1），计算2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）解：OC 的最小值为2-；OC 最大，根据勾股定理，AC=4.6．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦AB ，∴ AD BD=，∴∠APD=∠BPD ；（2）解：如图，作∠BAP 的平分线，交PD 于I ，证：∵AI 平分∠BAP ，∴∠PAI=∠BAI ，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI ，∵ AD BD=，∴∠DAB=∠APD ，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI ，∴∠AID=∠DAI ，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI ，AC ，OA ，OB ，∵AI 平分∠BAP ，PD 平分∠APB ，∴BI 平分∠ABP ，∠BAI=12∠BAP ，∴∠ABI=12∠ABP ，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP ）=60°，∴∠AIB=120°，∴点I 的运动轨迹是 AB ，∴DI=DA ，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD ⊥AB ，∴ AD BD=，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴AD=AO ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠CAD ，∵∠ADC=∠ADE ，∴△ADE ∽△CDA ，∴AD DE CD AD=，∴AD 2=DE•CD ，∵DI′=DI=AD ，∴DI 2=DE•CD ，∵∠I′DE 是公共角，∴△DIE ∽△DCI ，∴2IC CD IE DI==．7．【答案】（1）解：①C(4，0)，E(-1，5)；②（Ⅰ）当点(40)，在直线3y kx =+上时，430k +=，34k =-；（Ⅱ）当点(31)，在直线3y kx =+上时，331k +=，23k =-；（Ⅲ）当点(22)，在直线3y kx =+上时，232k +=，12k =-；结合图象可得3142k -≤≤-且23k ≠-；（2）解：直线333y x =-+与x 轴的交点M 坐标为()30，，与y 轴交点N 的坐标为(03，，∴tan 3NMO ∠=，∴30NMO ∠=︒，如图，作出线段MN 的垂直平分线，如图为两个临界情况：，利用待定系数法求得MN 垂直平分线解析式为y =，∴(0R -，，12230ORQ P RQ ∠=∠=︒，∴1112PR PQ ==，2222P R P Q ==，∴(10P ，(20P -，，∴t -≤<．8．【答案】（1）A 、B 、D（2）解：如图，依题意作⊙O 的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ ，∠TQP=90°过Q 点作MH //x 轴，交y 轴于M 点，过点P 作PH ⊥MH 于H 点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ ≌△QHP （AAS ）∴TM=QH ，MQ=HP设Q （x ，y ）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y ，PH=MQ=x∴P （x-y+3，x+y ）∵C （3，0）∴∵∴CP OQ ．9．【答案】（1）BE ；3332-；等边；证明：B′D=BC CD ==，∴△DB'C 为等边三角形（2）310．【答案】（1）B ，C ；解：②如图2中，设点D 的坐标为(3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD =解得1221d d =-=-，结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）解：对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(10)E ，当0x =时，2y =-，则点F 的坐标为(02)F -，⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(0)M m ，24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，2222245EM MT ET =+=+此时15m -=解得15m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(10)(02)E F -，，，∴12OE OF ==，∴22125EF =+=∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~ ∴EM MTEF OF =，即22=解得EM =，即1m -=解得1m =-结合图象得，当11m -≤<-时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．11．【答案】（1）点C 、D ；22H x -≤≤-或22H x ≤≤（2）解： 图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形，∴原点O 到正方形的最短距离是1d =，最长距离是d =，⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，∴原点O 到⊙K 上一点的距离1d ≤≤，⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2，∴当⊙K 在x 轴正半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x -≤≤+，当⊙K 在x 轴负半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x --≤≤，综上所述，圆心K 的横坐标的取值范围22x -≤≤+或22x --≤≤．12．【答案】（1）解：①90°；②B ；③2π（2）解：413．【答案】（1）S(2，0)（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线y a =上的点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ．点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，QA QC ∴=．22QA QC ∴=．点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为()Q x a ，．()()22262x a a ∴-+=--⎡⎤⎣⎦．整理得2123240x x a -+-=．由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．()()()212413241610a a ∴∆=--⨯⨯-=+≥．解得1a ≥-．（3）解：如图．直线l 1和直线l 2的等距点在直线l 3：33y x =-+上，直线l 1和y 轴的等距点在直线4l y =+：或33y x =+上，点O 与l 4的距离为32，点O 与l 3的距离为，点O 与l 5的距离为3，当r ＜时，n=0不符合题意，当r=时，m=2，n=0，符合题意，当＜r ＜3时，m=n=2，不符合题意，当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，综上所述，r=或r≥3.14．【答案】（1）C（2）解：∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝＝2，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣≤x k≤1﹣或﹣1≤x k≤1+（3）解：分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ，由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2，∴2221(6)a =+-，解得：a ＝2+（舍去）或2，∴QG ＝2OE ＝2（6﹣a ）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝3+2，∴m≥3+2，综上，m 的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+215．【答案】（1）2（2）解：BC 与O 相切；理由：如图2，过点O 作OH BC ⊥于H ，连接OD ，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，在Rt AOD 中，30BAC ∠=︒，∴24OA OD ==，∵8AC =，∴4OC =，在ABC 中，AB BC =，∴30C BAC ∠=∠=︒，在Rt OHC 中，30C ∠=︒，∴122OH OC OD ===，∴BC 与O 相切，（3）解：①当点O 在AC 的左侧时，连接OD 交AC 于F ，如备用图1，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，∵OG AC ⊥，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FDA 中，tan FD BAC AD ∠=，∴tan 3FD AD BAC x =⋅∠=，∴23OF x =-，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG ⎛⎫==⋅∠=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12y x =-+，此时x 的取值范围为0x ≤≤；②当点O 在AC 的右侧时，连接DO 并延长交AC 于F ，如备用图2，同①的方法得，33FD x =，∴23OF x =-，∵FD AB ⊥，∴90BAC AFD ∠+∠=︒，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG x x ⎛⎫==⋅∠=-⨯- ⎪⎪⎝⎭，即12y x =-，此时x 的取值范围为1433x ≤≤．16．【答案】（1）0；2-（2）解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2OA OB ==，，∴4AB ==，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO =，∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤≤（3）43423m -<<-17．【答案】（1）2y x =+（2）解：①当2d =时，()20D ，，设直线CD 的解析式为：y kx b =+，()02C ，，202k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为：y x =-+，设点M 的坐标为()2m m -+，，∴点M 的关联直线为：()212y mx m m x =-+=-+，∴点M 的关联直线经过定点()12N ，，如图2，过点O 作直线2y mx m =--+的垂线，垂足为H ，连接ON ，ON OH ∴≥，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M=；2 d=②或2 3-18．【答案】（1）；3（2）解：设点G是O的特征值为4的点，∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条， 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，直线y x b=+分别与x，y轴交于点A、B，()0A b∴-，，()B b，，OA OB b∴==，45OBH∴∠=︒，当0b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，设切点为为H，连接OH，则OH=，OB∴==，b∴=，设以O 为半径的圆与y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=。
八上圆形动点问题
八上圆形动点问题
圆形动点问题是初中数学中的重要知识点之一，让我们一起来了解一下吧。
问题描述
假设有一个圆形轨道，上面有一个动点P。
动点P在轨道上运动，每个位置的坐标都会发生变化。
我们需要研究动点P的运动规律和性质。
基本概念
在解决圆形动点问题时，我们需要了解以下几个基本概念：
1. 动点：动点是指在圆形轨道上运动的点。
在每个时刻，动点的位置和坐标都可能发生变化。
2. 圆心：圆心是圆形轨道的中心点，通常用字母O表示。
3. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角度。
在圆形动点问题中，我们常常通过圆心角来描述动点的位置和运动状态。
4. 弧长：弧长是指圆形轨道上两个点之间的弧的长度。
在解决圆形动点问题时，我们常常用弧长来表示动点在轨道上的位置。
问题解答
在解答圆形动点问题时，我们需要根据具体的问题描述，采取合适的方法和策略进行分析和计算。
注意事项
在研究圆形动点问题时，需要保持独立思考，不依赖于其他人的帮助。
我们应该利用自身的知识和经验，采用简单明了的策略，避免出现复杂的法律问题。
此外，在引用内容时，应确保能够进行确认，避免引用不可靠的信息。
以上是关于八上圆形动点问题的基本介绍和解答要点。
希望对你有所帮助！。
中考热点：（一）圆中动点“PA+...
中考热点：圆中动点“PA+kPB”型最值问题一、问题导读在初中数学中，有一类几何动点“PA+kPB”型最值问题，学生普遍感到“害怕”。
普通方法求解可能就会失效！当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k不等于1的话，我们必须利用转换思路，截取线段灵活转化线段值，转化为常见求解模式。
二、典例精析类型1 探究圆中“PA+kPB”型的最值问题例1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点M是AO中点，⊙A 的半径为2．（1）若△PAB是直角三角形，则点P的坐标为______．（直接写出结果）（2）若PM⊥AB，则BP与⊙A有怎样的位置关系？为什么？（3）若点E的坐标为（0，3），那么⊙A上是否存在一点P，使PE+1/2PB最小，如果存在，求出这个最小值，如果不存在，简要说明理由．【解析】（1）分两种情形：①∠PAB＝90°，②∠APB＝90°分别求解即可解决问题；答案为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．（2）求出PA，PB的长，利用勾股定理的逆定理证明即可；（3）如图，连接EM．∵PA＝4，AMAB＝4，∴PA＝AMAB，∴PA/AM=AB/PA，∵∠PAM＝∠BAP，∴△PAM∽△BAP，∴PM/PB=PA/AB=1/2，∴PM＝1/2PB，∴PE+1/2PB＝PE+PM，∵PE+PM≥EM，∴PE+PM的最小值为线段EM的长，∵E（0，3），∴OE＝3，∴由勾股定理可求得EM＝√10，∴PE+1/2PB的最小值为√10．【点评】本题属于属于圆综合题，考查了勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．例2．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC 于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，①求BC/AE的值；②若点G为AE上一点，求OG+1/2EG最小值．【解析】（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．（2）①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC，即得BC/AE 的值．②先利用BC/AE的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC＝30°；利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，把1/2EG转化到EP，再从P出发构造PQ＝OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型．解：①连接BE∵AB是⊙O直径∴∠AEB＝90°∴∠BED＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°∵BC是⊙O的切线,∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°,∴∠BAE＝∠CBE∵∠DAE＝∠BAE,∴∠DAE＝∠CBE,∴△ADE∽△BEC, ∴AE/BC=DE/CE,∵DE＝3，CE＝2,∴BC/AE=2/3②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q,∴EP⊥PG，四边形OGPQ 是平行四边形,∴∠EPG＝90°，PQ＝OG∵BC/AE=2/3,∴设BC＝2x，AE＝3x,∴AC＝AE+CE＝3x+2∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C,∴△BEC∽△ABC,∴BC/AC=CE/BC,∴BC ＝ACCE 即（2x）＝2（3x+2）,解得：x ＝2，x ＝﹣1/2（舍去）∴BC＝4，AE＝6，AC＝8,∴sin∠BAC＝BC/AC=1/2，∴∠BAC＝30°∴∠EGP＝∠BAC＝30°,∴PE＝1/2EG,∴OG+1/2EG＝PQ+PE∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短∵EH＝1/2AE＝3,∴OG+1/2EG的最小值为3【点评】本题考查了等腰三角形和平行线性质，切线的判定和性质，相似的判定和性质，最短路径问题．第（1）题为常规题型较简单；第（2）①题关键是发现DE、CE所在三角形的相似关系；②是求出所有线段长后发现30°角，利用30°构造1/2EG，考查了转化思想．类型2 由已知含有PA+kPB型最值条件，探究圆的综合问题例3．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当1/2CD+OD的最小值为4√3时，求⊙O的直径AB的长．【解析】（1）连接OC，要证CE是⊙O的切线，只需证∠OCE＝90°即可（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，在Rt△OHC中运用三角函数即可求AB=4√3h/3AB;（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，先证明四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF ＝DO，过点D作DH⊥OC于H，DH＝1/2DC，1/2DC+OD＝DH+FD，根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数求得AB的长．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF则∠AOF＝∠COF＝1/2∠AOC＝1/2（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DM⊥OC于M，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DM＝DCsin∠DCM＝DCsin30°＝1/2DC，∴1/2CD+OD＝DM+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、M三点共线时，DM+FD（即1/2 CD+OD）最小，此时FM＝OFsin∠FOM＝√3/2OF＝4√3，则OF＝8，AB＝2OF＝16．∴当 CD+OD的最小值为4√3时，⊙O的直径AB的长为16．三、总结提升“PA+kPB”型最值问题问题核心解题思想就是“折转直”，通过截取构造等值线段，利用相似三角形、解直角三角形等，将问题利用这类问题常用定理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③垂线段最短，从而求解问题。
圆的动点问题经典习题及答案
圆的动点问题25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线MN 上的一个动点，（1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径．AB C PEM 第25题图1D A BC第25题图2N25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF x y y x本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分） 在梯形ABCD中，AD x =y =y x x x xBP AP BC AE =x y y y x -=106()0610>+=x xx y APAEBC AB =xx x +=6106100,33221==x x 332x 6-x 286+=+-x x 222EC AE AC =+222)2(8+=+x x 15=x ----------------------------------（2分）②当点E 在线段AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=x -6， EC=x x -=+-1486 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+ ∴222)14(8x x -=+ 解得：733=x ∴⊙E 的半径为79.---------------------------------（2分） FDCBE A B EF C D O A BF CDO③当点E 在射线DA 上，⊙C 与⊙E 内切时，ED=6+x ， EC=286-=-+x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+∴222)2(8-=+x x 解得：15-=x （舍去）---------------------------------------（1分） ∴当⊙C 与⊙E 相切时，⊙E 的半径为9或79。
圆中动点与最值问题集锦
lQPNM C A D BQPABCFEC B AOG D OABDCP圆中动点最值问题1. 如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为_________．第1题图 第2题图2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G. （1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是_________． （2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是_________．※3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为_________．第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为_________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是_________．AQC PBO AEFO A xyP6．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=AB=4，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为_________． 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是_________．8．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为_________．9．在直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P （m n ，）是第一象限内一点，且AP=2，则m n 的范围为_________．10．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接PA 、PB ，则PA 2+PB 2最大值是_________．圆中与最值有关的问题专题研究1.如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b+的最大值.第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点， 以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ， 则线段DE 长度的最大值为_________．3.如图，在△ABC 中，120A ∠=︒，6BC =．若△ABC 的内切圆半径为r ，则r 的最大值为_________．4.边长为2的等边△ABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上移动，顶点B 在射线OD 上移动，∠AOD=45°，则顶点C 到原点O 的最大距离为_________．O C BA第4题图 第5题图5.如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为_________； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为_________．6.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C 作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是_________．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________．AMD8.如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是_________．9.如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB 的中点，AC=OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．10.如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．第10题图第11题图第12题图11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．12.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________．13.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值．※14.如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ 的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_________．15.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．第15题图第16题图第17题图16.如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四※边形ABCD面积的最大值为_________．※17.如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS 取值范围．18如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 .ODCEA B19在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P 在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .O BCOABxyPBOy A xP BOy A xPBO yAxP20.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是_________．第20题图 第21题图 第22题 图 21.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .22如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .23.在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P 是y 轴右侧一点，且AP=2，点B 上直线y=x+1上一动点，且PB ⊥AP 于点P ，当APm BP=时，则m 的取值范围是 .※24.如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最小值；E BOD25.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，求：（1）AP+BP的最小值．（2）AP﹣BP的最大值．第25题图第26题图26.如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．27.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN 于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________．第27题图第28题图第29题图28.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E在直径AB上运动，连接EF、CE，当CE+EF最小，其最小值是_________．29.四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．。
圆中的动点问题
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（） ｌ Ｍｚ Ａ ２过点 作Ｍ， ／ Ｂ ￣Ｏ ＂ ／ ｆ
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数 譬公开 Ｉ翘 学 专数
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圆地动点问题--经典习题及问题详解
圆的动点问题25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线MN 上的一个动点，（1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径．AB C PEM 第25题图1DA BCM第25题图2N25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．（1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．ABEFCDO AB EFCD O25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1的半径；（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ． (1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式， 并写出自变量x 的取值范围；(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；(3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。
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圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作． （1）①折叠后的AB 所在圆的圆心为O ′时，求O ′A 的长度； ②如图2，当折叠后的AB 经过圆心为O 时，求AOB 的长度； ③如图3，当弦AB =2时，求圆心O 到弦AB 的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作．①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论．【答案】解：（1）①折叠后的AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，∴O ′A =OA =2。
②当AB 经过圆O 时，折叠后的AB 所在圆O ′在⊙O 上，如图2所示，连接O ′A ．OA ．O ′B ，OB ，OO ′。
∵△OO ′A ，△OO ′B 为等边三角形，∴∠AO ′B =∠AO ′O +∠BO ′O =60°+60°=120°。
∴AOB 的长度120241803ππ⋅⋅==。
③如图3所示，连接OA ，OB ， ∵OA =OB =AB =2，∴△AOB 为等边三角形。
过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE =OA •sin 60°=3。
（2）①如图4，当折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交A E B 于点E ，交CD 于点G 、交C F D 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。
∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。
根据垂径定理及折叠，可知PH =12PE ，PG =12PF 。
又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d =PH +PG =12PE +12PF =12（PE +PF ）=2。
②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。
证明如下：设O ′，O ″为APB 和CPD 所在圆的圆心，∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。
∵折叠后的APB 与CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。
∵折叠后的APB 与CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM =12OO ″=ON ，PN =12OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。
【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。
【分析】（1）①折叠后的AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。
②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角形，从而得到AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。
③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求AOB 所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。
（2）①如图4，AEB 与CFD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交AEB 于于点E ，交CFD 于点F ，根据垂径定理及折叠，可求点O 到AB ．CD 的距离之和。
②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。
变式一 如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ． （1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC 必经过圆心O ； （2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵，求BC 的长．变式二 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ，OE=12BC ．（1）求∠BAC 的度数；（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ；求证：四边形AFHG 是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD 的长．题型二：圆中的旋转问题例题二 (2011湖南常德,25.10分)已知△ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆12O O 、，P 是AB 的中点。
（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC=BC ，在 AC BC 、上分别取点E 、F ，使12AO E BO F ∠=∠，则有结论①12PO E FO P ∆≅∆.②四边形12PO CO 是菱形。
请给出结论②的证明；（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；ODCA B（3）如图10，若PC 是⊙1O 的切线，求证：2223AB BC AC =+（1）∵BC 是⊙O2直径，则O2是BC 的中点又P 是AB 的中点．，∴P O2是△ABC 的中位线∴P O2 ＝12AC 又AC 是⊙O1直径∴P O2＝ O1C ＝12AC 同理P O1＝ O2C ＝12BC∵AC ＝BC ∴P O2＝ O1C ＝P O1＝ O2C ∴四边形12PO CO 是菱形（2）结论①△PO1E ≌△PO2F 成立，结论②不成立证明：在（1）中已证PO2＝12AC ，又O1E ＝12AC∴PO2＝O1E 同理可得PO1＝O2F∵PO2是△ABC 的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B ＝∠ACB同理∠P O1A ＝∠ACB ∴∠PO2B ＝∠P O1A ∵∠AO1E ＝∠BO2F ∴∠P O1A+∠AO1E ＝∠PO2B+∠BO2F即∠P O1E ＝∠F O2 P 、 ∴△EO1P ≌△PO2F ； （3）延长AC 交⊙O2于点D ，连接BD ． ∵BC 是⊙O2的直径，则∠D ＝90°， 又PC 是⊙O1的切线，则∠ACP ＝90°， ∴∠ACP ＝∠D 又∠PAC ＝∠BAD ∴△APC ∽△BAD 又P 是AB 的中点∴12AC AP AD AB ==∴AC ＝CD ∴在Rt△BCD中，222²BC C DBD A C B D=+=+在Rt △ABD 中，222AB AD BD =+∴()22222243AB AC BD AC BD AC =+=++∴2223AB BC AC =+评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSS ，SAS ，ASA ，或AAS 来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换．变式一 阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。
圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为S 1，正四边形ABCD 的面积为S 2，以圆心O 为顶点作∠MON ，使∠MON =90°，将∠MON 绕点O 旋转，OM 、ON 分别与⊙O 相交于点E 、F ，分别与正四边形ABCD 的边相交于点G 、H 。
设OE 、OF 、EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S（1）当OM 经过点A 时（如图①），则S 、S 1、S 2之间的关系为：S ＝ （用含S 1、S 2的代数式表示）； （2）当OM ⊥AB 时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。
（3）当∠MON 旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．【答案】解：（1）124S S - （2）成立。
理由：连OB ，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积（3）成立。
过点O 分别作AB 、B C 的垂线交AB 、BC 于点P 、Q ，交圆于点X 、Y ，可证直角三角形OPG 全等于直角三角形OQH ，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．变式二 （2012•杭州）如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M ，N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB 的度数；（2）求⊙O 的半径R ； （3）点F 在⊙O 上（是劣弧），且EF=5，把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在 ⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形 与△OBC 的周长之比． 考点： 切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。
专题： 计算题。
分析：（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数；（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比．解答：解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE，又OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，又∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°；（2）∵AE=3，∠A=30°，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，∴MB=MN=，连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，∴OB==，在△COB中，∠BOC=30°，∵cos∠BOC=cos30°==，∴BO=OC，∴OC=OB=，又OC+EC=OM=R，∴R=+3，整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5，则R=5；（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，∴FD=5，则C △EFD =5+10+5=15+5， 由（2）可得C △COB =3+， ∴C △EFD ：C △COB =（15+5）：（3+）=5：1． 点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．题型三：圆中的动点例题三 （2012江苏南京10分）如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A 、B 的滑动角。