现代测试技术习题解答 第二章 信号的描述与分析

第二章 信号的描述与分析

补充题2－1-１ 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2

x ψ与概率密度函数

ｐ(x )。

解答:

ﻩ(1)0

00

11lim ()d sin()d 0T

T x T μx t t x ωt φt T

T →∞==

+=⎰

⎰

,式中02π

T ω

=

—正弦信号周期

(2)

2

222

2

2

0000

1

1

1cos 2()

lim

()d sin ()d d 22

T

T T x

T x x ωt φψx t t x ωt φt t T

T T →∞-+==

+=

=

⎰

⎰

⎰

(3)在一个周期内

012ΔΔ2Δx T t t t =+=

000

2Δ[()Δ]lim

x x T T T t

P x x t x x T T T →∞<≤+===

ﻩΔ0Δ000

[()Δ]2Δ2d ()lim

lim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+====

正弦信号

x

2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ与均方根值rms x 。

2－1 求图示2、3６所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

2-4周期性三角波信号如图2、37所示,求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

2-1 求图示２、36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

补充题2-１－2求周期方波(见图１-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|c n|–ω与φn–ω

图,并与表1－1对比。

解答:在一个周期的表达式为

ﻩ00 (0)2

() (0)

2

T A t x t T A t ⎧

--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩

积分区间取(-T/2,T/2)

ﻩ

0000000

220

2

00

2

111()d =

d +

d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )

T T jn t

jn t

jn t T T n c x t e

t Ae

t Ae t

T T T A

j

n n n ωωωππ

-----=

-±±±⎰

⎰

⎰

所以复指数函数形式的傅里叶级数为 ﻩ001

()(1cos )jn t

jn t n n n A

x t c e

j

n e n

∞

∞

=-∞

=-∞=

=--∑

∑ωωππ,=0, 1, 2, 3, n ±±±。

ﻩ(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0

nI nR A c n n n c ⎧

=--⎪±±±⎨⎪=⎩ππ

ﻩ21,3,,(1cos )00,2,4,6,

n A

n A c n n n n ⎧=±±±⎪

=

=-=⎨⎪=±±±

⎩

πππ

1,3,5,2arctan 1,3,5,

2

00,2,4,6,nI n nR π

n c π

φn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪

⎩

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

图1-4 周期方波信号波形图

2－5 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。 ﻩ解:

(2)220

2

2

(2)

()()(2)

2(2)

a j f t

j f t

at j f t

e A A a j

f X f x t e

dt Ae e

dt A

a j f a j f a f -+∞

∞

---∞-∞

-====

=-+++⎰⎰πππππππ 2

2

()(2)

k X f a f π=

+

ﻩIm ()2()arctan arctan Re ()

X f f f X f a

==-πϕ

2-６ 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

0cos ()0

ωt t T x t t T

⎧<⎪=⎨

≥⎪⎩

解:0()()cos(2)x t w t f t =π

w (ｔ)为矩形脉冲信号 ﻩ()2sinc(2)W f T Tf =π

()

002201cos(2)2

j f t

j f t f t e e πππ-=

+ 所以002211()()()22

j f t j f t x t w t e w t e -=+ππ

单边指数衰减信号频

f

|X (f

A /

φ(f )

f

π/-π/2

|c n | φn

π/2 -π/2 ω

ω

ω0

ω0 3ω0

5ω0

3ω0

5ω0

2A/π

2A/3π 2A/5π 幅频图

相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0

-3ω0

-5ω0

-ω0 -3ω0

-5ω0 图1-26 被截断的余弦

t

t

T

-T

T -T x (

t ) w (

t )

1

0 1

-