2008年考研数学一真题及答案
2020考研数学历年真题参考(2008-2017)年数学一
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >-(D)()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12(B)6(C)4(D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t =(B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) TE αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆(D)2TE αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ） (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似(C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ） A.()()P B A P B A > B ()()P B A P B A < C. ()()P P B A B A >D. ()()P P B A B A <（8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是：（ ）(A) 2()i X μ∑-服从2χ分布(B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D) 2()n X μ- 服从2χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则( ) （A)12ab =（B)12ab =- （C)0ab = （D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-（D ）()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12(B ）6（C)4（D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ） （A ）010t = (B)01520t <<(C)025t = (D ）025t >()s（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ） （A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ）（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一 （C ） A 与C 不相似，B 与C 相似（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。
2008年考研数学一真题及分析
类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类）【例 2.20】，精选习题二 1（9）.
∞
∞
∑ ∑ （11）已知幂级数 an ( x + 2)n 在 x = 0 处收敛，在 x = −4 处发散，则幂级数 an ( x − 3)n
n=0
n=0
的收敛域为________. 【分析】本题考查关于幂级数收敛域特征的阿贝尔定理. 由题中条件可知，该幂级数收敛区
调有界，故收敛，故选（B） 【评注】本题为基础题型.
定理可见各教材和辅导讲义.
（5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3 = O ，则
（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 （B） E − A 不可逆， E + A 可逆
（C） E − A 可逆， E + A 可逆
（A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0
（C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]
【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征 值，然后从特征方程入手.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
（9）微分方程 xy′ + y = 0 满足条件 y (1) = 1 的解 y = __________.
【分析】本题为变量可分离方程.
【详解】 xy′ + y = 0 ⇒ y′ = − 1 ，两边积分得 y = C ，将 y (1) = 1 代入得 C = 1，
2008考研数一真题答案及详细解析
nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时 ， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时 ， 几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开 ， 得 矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解 若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此
2008-2014历年考研数学一真题及答案详解资料
个区域 Dk k 1,2,3,4 , I k
y cos xdxdy , 则 max I k
1k 4
Dk
(A) I1 (C) I 3
(B)
I2
(D)
I4
(3) 设函数 y f x 在区间 1,3 上的图形为 f (x)
x
则函数 F x f t dt 的图形为 0
O
-2
0 12
3
x
-1
f (x)
1
-2
0 123
二、填空题 (9-14 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分, 请将答案写在答题纸指定位置上 .)
(9) 微分方程 xy y 0 满足条件 y 1 1 的解是 y
.
(10) 曲线 sin xy ln y x x 在点 0,1 处的切线方程为
.
(11) 已知幂级数 an x 2 n 在 x 0 处收敛 , 在 x 4 处发散 , 则幂级数 an x 3 n 的
BO
6
(A) O 3B*
2A* O
(C) O 3A*
2B* O
(B) O 2B*
3 A* O
(D) O 2 A*
3B* O
(7) 设随机变量 X 的分布函数为 F x 0.3 x 0.7 x 1 , 其中 x 为标准正态分
2
布函数 , 则 EX
(A)0
(B)0.3
(C)0.7
(D)1
(8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 且 X 服从标准正态分布 N 0,1 , Y 的概率分布为
x y 3z 5
(16)( 本题满分 10 分) 计算曲线积分 sin 2xdx 2 x2 1 ydy , 其中 L 是曲线 y sin x 上从点 0,0 到点 ,0 的
2008考研数学(一)试题及详细答案解析
1
ydV x2dxdy ．
x2 y2 4
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0 1
(x2 y2 )dxdy 1
2
d
2 r2 rdr
16 4 ．
xydydz xdzdx x2dxdy
.
【答案】 4 ．
【详解】作辅助面 1 : z 0 取下侧．则由高斯公式，有
xydydz xdzdx x2dxdy
xydydz xdzdx x2dxdy xydydz xdzdx x2dxdy
x o(sin2 3x2
x)
)
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1． 6
【详解
2】
lim
x0
sin
x
sin(sin x4
x)
sin
x
sin x sin(sin x)sin x
lim x0
sin4 x
（8）设随机变量 X N(0,1) , Y N(1, 4) , 且相关系数 XY 1，则【 】
(A) P{Y 2X 1} 1
(B) P{Y 2X 1} 1
(C) P{Y 2X 1} 1
(D) P{Y 2X 1} 1
【答案】应选 (D)．
【详解】用排除法．设Y aX b ．由 XY 1 ，知 X ，Y 正相关，得 a 0 ．排除（A）
定理，知 f (x) 至少有一个零点．
又
f (x) 2ln(2 x2 )
4x2 2 x2
2008年全国考研数学一真题
y
）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(A)
i
(B) i .
(C)
j.
(D) j .
【答案】 应选(A).
1 x y2 x ． y 【详解】因为 f y ． f x 1 x2 x 2 y 2 y 1 x2 x 2 y2 y2 y2
所以
f x (0,1)
1，
f y
0 ，于是gradf (x, y)
(B) E A 不可逆，则 E A 可逆. (D) E A 可逆，则 E A 不可逆.
(E A)(E A A 2 ) E A3 E ， (E A)(E A A2 ) E A3 E ．
故 E A ， E A 均可逆．故应选(C).
X N (0,1) ， Y N (1, 4) ，得
EX 0, EY 1, E(aX b) aEX b ． 1 a 0 b ， b 1 ．从而排除(B).故应选 (D)．
( 1)( 2i)( 2i) ( 1)(2 4) 3 4 2 4 3 2 4 4
所以所求微分方程为 y y 4 y 4 y 0 ．应选(D).
4
设函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界，{xn } 为数列，下列命题正确的是（ (A) 若 {xn } 收敛，则 { f ( xn )} 收敛 (C) 若 { f ( xn )} 收敛，则 {xn } 收敛. (B) 若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 收敛 (D) 若 { f ( xn )} 单调，则 {xn } 收敛.
又 f (x) 2 ln(2 x )
2
4x2 0 ，恒大于零，所以 f (x) 在 ( , ) 上是单调递增的．又 2 x2
2008年考研数学一真题及参考答案
2008年考研数学一真题及参考答案一、选择题部分1. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且对任意x∈(a, b) 有f'(x) ≠ 0，则 f(x) 在 [a, b] 上是增函数的充分必要条件是：(A) f(a) < f(b)(B) f(a) = f(b)(C) f(a) > f(b)(D) f(a) ≤ f(b)参考答案：(A) f(a) < f(b)2. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且对任意x∈(a, b) 有f'(x) ≠ 0，则 f(x) 在 [a, b] 上是减函数的充分必要条件是：(A) f(a) < f(b)(B) f(a) = f(b)(C) f(a) > f(b)(D) f(a) ≤ f(b)参考答案：(C) f(a) > f(b)3. 设 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 为三次多项式，其中 a, b, c 都是实数，且满足 f(-1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 2，则 f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值为：(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4参考答案：(D) 44. 设函数 f(x) = e^x + ax + b，其中 a, b 是常数。
若 f(x) 在 (0, 1) 上取得最小值，则 a, b 的值为：(A) a = -1, b = -e(B) a = -1, b = e(C) a = 1, b = -e(D) a = 1, b = e参考答案：(A) a = -1, b = -e5. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 1，g(x) = f(f(f(x)))，则 g(1) 的值为：(A) -1(B) 0(C) 1(D) 2参考答案：(C) 1二、填空题部分1. 设函数 f(x) = ln(1 + x^2) + Cx，其中 C 是常数，若 f'(x) 在整个实数集上恒为正，则 C 的取值范围是 _______。
(完整版)考研数学历年真题(2008-2017)年数学一
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >-(D)()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12(B)6(C)4(D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t =(B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) TE αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆(D)2TE αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ）(A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似(C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ） A.()()P B A P B A > B ()()P B A P B A < C. ()()P P B A B A >D. ()()P P B A B A <（8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是：（ ）(A) 2()i X μ∑-服从2χ分布(B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D) 2()n X μ- 服从2χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
2008考研数学一真题及答案解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考答案和评分参考数 学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为 （B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）函数(,)arctanxf x y y=在点（0，1）处的梯度等于 （A ） （A ）i （B ）i - （C ）j （D ）j -（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是 （D ） （A ）044=-'-''+'''y y y y . （B ）044=+'+''+'''y y y y （C ）044=+'-''-'''y y y y . （D ）044=-'+''-'''y y y y（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是 （B ）（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛. (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛. (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. （5） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若03=A ，则 （C ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆. （B ）E A -不可逆，E A +可逆.（C ）E A -可逆，E A +可逆. （D ）E A -可逆，E A +不可逆 （6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为 （B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7） 随机变量X ，Y 独立同分布，且X 的分布函数为F(x)，则Z=max{X, Y}分布函数为 （A ）（A ）)(2x F ；（B ）)()(y F x F ；（C ）2)](1[1x F --；（D ）)](1)][(1[y F x F -- （8）随机变量~(0,1),~(1,4)X N Y N ，且相关系数1XY ρ=，则 （D ）（A ）{21}1P Y X =--= （B ）{21}1P Y X =-= （C ）{21}1P Y X =-+= （D ）{21}1P Y X =+=二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 微分方程'0xy y +=满足条件(1)1y =的解是=y x/1(10) 曲线sin()ln()xy y x x +-=在点（0，1）处的切线方程是1+=x y .(11) 已知幂级数(2)nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(]5,1(12) 设曲面∑是z =⎰⎰∑++dxdy x xdzdx xydydz 2=π4(13) 设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+则A 的非零特征值为__1___(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2EX X P ==e21三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-解： ()[]()3040sin sin sin lim sin sin sin sin limx x x x x x x x x -=-→→ ……2分＝()()20203sin cos 1lim 3cos sin cos cos lim xx x x x x x x -=-→→ ……6分 613sin lim 22210==→x x x ……9分 (16)（本题满分9分） 计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点（0，0）到点(,0)π的一段.解法1：()()[]⎰⎰⋅-+=-+π22cos sin 122sin 122sin dx x x x x ydy x xdx Ldx x x⎰=π22sin ……4分⎰+-=ππ0022c o s 2c o s 2x d x x x x ……6分 22s i n 212s i n 222002ππππ-=-+-=⎰x d x x x ……9分解法2：取1L 为x 轴上从点()0,π到点()0,0的一段，D 是由L 与1L 围成的区域()⎰⎰⎰-+--+=-++11)1(22sin )1(22sin 122sin 222L L L Lydy x xdx ydy x xdx ydy xxdx ……2分⎰⎰⎰--=02sin 4πxdx xydxdy D……5分⎰⎰⎰⎰--=-=--=ππππ0020sin 00)2cos 1(sin 22cos 214dx x x xdx x x xydy dx x22sin 212sin 2220002ππππ-=-+-=⎰xdx x x x ……9分 (17)（本题满分11分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点.解：点),,(z y x 到xOy 面的距离为z ，故求C 上距离xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2z H =在条件02222=-+z y x 与53=++z y x 下的最大值点和最小值点. ……3分 令)53()2(),,,,(2222-+++-++=z y x z y x z z y x L μλμλ ……5分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-+=+-==+==+=530203*********'''z y x z y x z z L y L x L z y x μλμλμλ ……7分 得y x =，从而⎩⎨⎧=+=-53202222z x z x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=555z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x ……10分根据几何意义，曲线C 上存在距离xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为)5,5,5(--和)1,1,1( ……11分(18)（本题满分10分） 设()f x 是连续函数， (I) 利用定义证明函数⎰=x dt t f x F 0)()(可导，且()()F x f x '=；(II) 当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数⎰⎰-=2)()(2)(dt t f x dt t f x G x 也是以2为周期的周期函数.(I) 证：对任意的x ，由于()f x 是连续函数，所以xdt t f x dtt f dt t f x x F x x F xx xx x xx x x ∆=∆-=∆-∆+⎰⎰⎰∆+→∆∆+→∆→∆)(lim )()(lim )()(lim 00000 ……2分 )(lim )(lim 00ξξf xx f x x →∆→∆=∆∆= （其中ξ介于x 与x x ∆+之间） 由)()(lim 0x f f x =→∆ξ，可知函数)(x F 在x 处可导，且)()('x f x F = ……5分(II) 证法1：要证明)(x G 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有)()2(x G x G =+，记)()2()(x G x G x H -+=，则()()222()2()(2)()2()()x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dt +'''=-+--⎰⎰⎰⎰0)()(2)()2(222=+--+=⎰⎰dt t f x f dt t f x f ……8分又因为00)(2)(2)0()2()0(2020=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰dt t f dt t f G G H 所以0)(=x H ，即)()2(x G x G =+ ……10分证法2：由于()f x 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有⎰⎰⎰⎰++-+-=-+220)()(2)()2()(2)()2(x xx dt t f x dt t f dt t f x dt t f x G x G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+x xx x dt t f du u f dt t f dt t f dt t f dt t f 002002022)()2(2)()()()(2……8分[]0)()2(20=-+=⎰x dt t f t f即)(x G 是以2为周期的周期函数. ……10分(19)（本题满分11分）将函数21)(x x f -=，)0(π≤≤x 展开成余弦级数，并求级数121(1)n n n +∞=-∑的和.解：由于⎰-=-=πππ220322)1(2dx x a ……2分,2,1,)1(4cos )1(21202=-=-=+⎰n nnxdx x a n n ππ……5分 所以nx n nx a a x f n n n n cos )1(431cos 2)(121210∑∑∞=+∞=-+-=+=π，π≤≤x 0， ……7分 令0=x ，有∑∞=+-+-=1212)1(431)0(n n n f π， 又1)0(=f ，所以12)1(2121π=-∑∞=-n n n ……11分(20)（本题满分10分）设βα,为3维列向量，矩阵,T T A ααββ=+其中Tα，Tβ为α，β的转置. 证明： (I) 秩()2r A ≤；(II) 若,αβ线性相关，则秩() 2.r A < 证：(I) ()()T T r A r ααββ=+()()T T r r ααββ≤+ ……3分2)()(≤+≤βαr r ……6分(II) 由于βα,线性相关，不妨设βαk =，于是21)())1(()()(2<≤≤+=+=βββββααr k r r A r T T T ……10分(21)（本题满分12分）设n 元线性方程b Ax =，其中A =2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (I) 证明行列式na n A )1(+=；(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； (Ⅲ) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(I) 证法1：记n D A ==2222212121212na a a a aa a a a当1=n 时，a D 21=，结论成立， 当2=n 时，2223212a aa a D ==，结论成立 ……2分假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得2122n n n D aD a D --=-n n n a n a n a ana )1()1(2221+=--=--，即na n A )1(+= ……6分证法2：2222122222121321012211212212122nna a a a a a aa aA r ar a a a a aa a a =-……2分3222221301240123321212na a a r ar a a a a a a -=……4分nnn n a n a n n a n n a a a ar nn r )1(111013412301211+=+----……6分(Ⅱ) 解：当0≠a 时，方程组系数行列式0≠n D ，故方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212121212122n n n na a a aaaD na a a aa a a aa ---===所以，an nD D x n n )1(11+==- ……9分(Ⅲ) 解：当0=a 时，方程组为 12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1-n ，所以方程组有无穷多解，其通解为()()01001000TTx k =+ ,其中k 为任意常数 ……12分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为1{}(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为101()0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩，其它记 Y X Z += (I) 求1{0}2P Z X ≤=； (II) 求Z 的概率密度)(z f z . 解：(I) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤021021X Y X P X Z P 2121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=Y P ……4分(II) {}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=)({}{}{}1,0,1,=≤++=≤++-=≤+=X z Y X P X z Y X P X z Y X P {}{}{}1,10,1,1=-≤+=≤+-=+≤=X z Y P X z Y P X z Y P {}{}{}{}{}{}11011=-≤+=≤+-=+≤=X P z Y P X P z Y P X P z Y P{}{}{}[]1131-≤+≤++≤=z Y P z Y P z Y P [])1()()1(31-+++=z F z F z FY Y Y ……7分 []13()()(1)()(1)Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z '==+++- ……9分 ⎩⎨⎧<≤-=其他,021,31z ……11分 (23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==n i i X n X 11，212)(11∑=--=n i iX X n S ，221S nX T -= (I) 证明T 是2μ的无偏估计量； (II) 当0,1μσ==时，求DT.(I) 证：因2222221)(1)1(ES nX D X E ES n X E S n X E ET -+=-=-= ……4分2222μσσμ=-+=nn所以T 是2μ的无偏估计量 ……7分(II) 解：当0=μ，1=σ时，由于X 与2S 独立 ，有)1(22S n X D DT -=2221DS nX D += ……9分 []22222)1()1(11)(1S n D n n X n D n --⋅+= )1(21112)1(2)1(11212222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅-⋅+⋅=n n n n n n n n ……11分数 学（二）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则()f x '的零点个数为 （D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）如图，曲线段的方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数， 则定积分()axf x dx '⎰等于 （C ）（A ）曲边梯形ABCD 面积. （B ）梯形ABCD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积. （D ）三角形ACD 面积. （3）【 同数学一（3）题 】 （4）判断函数x x x x f sin 1ln )(-=，则)(x f 有 （A ）（A ）1个可去间断点，1个跳跃间断点； （B ）1个跳跃间断点，1个无穷间断点.（C ）2个跳跃间断点； （D ）2个无穷间断点（5）【 同数学一（4）题 】 （6）设函数f 连续，若dxdy yx y x f v u F vu D ⎰⎰++=2222)(),(，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ （A ） （A ）)(2u vf （B ）)(2u f u v （C ） )(u vf （D ）)(u f uv（7）【 同数学一（5）题 】（8）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为 （D ）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 已知函数()f x 连续，且1)()1()](cos[1lim2=--→x f ex xf x x ，则=)0(f 2. (10) 微分方程0)(2=-+-xdy dx e x y x 的通解是=y )(x e C x --.(11) 【 同数学一（10）题 】 (12) 曲线32)5(x x y -=的拐点坐标为)6,1(--.(13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则=∂∂)2,1(xz)12(ln 22-.(14) 设3阶矩阵A 的特征值是λ,3,2，若行列式482-=A ，则=λ1-.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学一（15）题 】 (16)（本题满分10分）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰20)1ln()(t du u y t x x 确定，其中)(t x 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-=-020t xx te dt dx 的解，求22dx y d . 解：由02=--x te dtdx得tdt dx e x 2=，积分并由条件00==t x ，得21t e x +=， 即)1ln(2t x += ……4分)1ln()1(122)1ln(2222t t t t t t dt dxdt dydx dy ++=+⋅+== ……7分[][]1)1ln()1(122)1ln(2)1ln()1()(22222222+++=+++=++==t t t t t t t dt dx t t dt ddx dy dx d dxy d ……10分(17)（本题满分9分） 计算21⎰.解：由于+∞=--→2211arcsin lim x xx x ，故dx xx x ⎰-10221arcsin 是反常积分 令t x =arcsin ，有t x sin =，[0,)2t π∈⎰⎰⎰==-120202222sin cos cos sin 1arcsin ππtdt t tdt ttt dx xx x ……3分⎰+-=202022sin 4142sin 16πππtdt t t ……7分 41162cos 81162202+=-=πππt ……9分 (18)（本题满分11分） 计算{}⎰⎰Ddxdy xy 1,max ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D .解：曲线1=xy 将区域D 分成如图所示的两个区域1D 和2D ……3分{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=211,m ax D D Ddxdy xydxdy dxdy xy ……5分⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=x xdy dx dy dx xydy dx 102212021021221 ……8分2ln 4192ln 212ln 415+=++-=……11分 (19)（本题满分11分）设)(x f 是区间[)+∞,0上具有连续导数的单调增加函数，且1)0(=f ，对任意的[)+∞∈,0t ，直线t x x ==,0，曲线)(x f y =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数)(x f 的表达式.解：旋转体的体积⎰=t dx x f V 02)(π，侧面积⎰+=tdx x f x f S 02')(1)(2π，由题设条件知⎰⎰+=t t dx x f x f dx x f 02;02)(1)()( ……4分上式两端对t 求导得：)(1)()(2'2t f t f t f +=， 即y '=……6分由分离变量法解得12)1ln(C t y y +=-+，即 t Ce y y =-+12 ……9分将1)0(=y 代入知1=C ，故t e y y =-+12，)(21t t e e y -+=于是所求函数为)(21)(x x e e x f y -+== ……11分(20)（本题满分11分）(I) 证明积分中值定理：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈η，使得)()()(a b f dx x f ba-=⎰η；(II) 若函数)(x ϕ具有二阶导数，且满足)1()2(ϕϕ>，⎰>32)()2(dx x ϕϕ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得()0ϕξ''<证：(I) 设M 与m 是连续函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值，即M x f m ≤≤)(，[]b a x ,∈由积分性质，有⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(，即M dx x f a b m ba ≤-≤⎰)(1……2分 由连续函数介值定理，至少存在一点[]b a ,∈η，使得⎰-=badx x f a b f )(1)(η，即))(()(a b f dx x f ba-=⎰η ……4分(II) 由 (I) 知至少存在一点[]3,2∈η，使)()23)(()(32ηϕηϕϕ=-=⎰dx x ……6分又由)()()2(32ηϕϕϕ=>⎰dx x 知，32≤<η，对)(x ϕ在]2,1[和],2[η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到)1()2(ϕϕ>，)()2(ηϕϕ>，得21,012)1()2()('11<<>--=ξϕϕξϕ，32,02)2()()('22≤<<<--=ηξηϕηϕξϕ ……9分在],[21ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有211221()()()0,(,)(1,3)ϕξϕξϕξξξξξξ''-''=<∈⊂- ……11分(21)（本题满分11分）求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 下的最大值与最小值.解：作拉格朗日函数)4()(),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x F μλμλ……3分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=04002022022'22''''z y x F z y x F z F y y F x x F z y x μλμλμλμλ ……6分解方程组得)2,1,1(),,(111=z y x ，)8,2,2(),,(222--=z y x ……9分 故所求的最大值为72，最小值为6. ……11分(22)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (23)（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； （Ⅱ）令123{,,}P ααα=，求1P AP -.证明: (I) 设存在数321,,k k k ，使得0332211=++αααk k k ○1 用A 左乘○1的两边，并由11αα-=A ，22αα=A ，得：0)(3323211=+++-αααk k k k ○2 ……3分 ○1－○2得：022311=-ααk k ○3 因为21,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以21,αα线性无关，从而031==k k 代入○1得，022=αk ，又由于02≠α，所以02=k ，故123,,ααα线性无关. ……7分 （Ⅱ）由题设，可得),,(),,(321321ααααααA A A A AP ==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100110001100110001),,(321P ααα由(I)知，P 为可逆矩阵，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1001100011AP P ……10分数 学（三）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数()f x 在区间]1,1[-上连续，则x=0是函数0()()xf t dtg x x=⎰的 （B ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点. （C ）无穷间断点. （D ）振荡间断点.（2）【 同数学二（2）题 】 （3）已知(,)f x y =则 （B ）（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在（C ）)0,0(x f '存在，)0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f ' )0,0(y f '都不存在 （4）【 同数学二（6）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 设函数21,()2,x x c f x x cx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则=c 1.(10) 函数3411x x f x x x +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求积分⎰=222)(dx x f 3ln 21. (11) 设{}1),(22≤+=y x y x D ，则⎰⎰=-Ddxdy y x )(24/π.(12) 【 同数学一（9）题 】(13) 设3阶矩阵A 的特征值是1, 2, 2，E 为3阶单位矩阵，则E A --14= _3___ . (14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 计算201sin limlnx xx x→. 解：原式＝20lnsin ln lim x x x x →-=xx xx x x sin 2sin cos lim 20-→ ……4分 302sin cos lim x x x x x -=→206sin limx xx x -=→ ……7分 61-= ……9分 (16)（本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数且1ϕ'≠-，(I) 求 dz ； (II) 记 1(,)()z z u x y x y x y ∂∂=--∂∂，求ux∂∂. 解法1：(I) 设)(),,(22z y x z y x z y x F ++--+=ϕ则2x F x ϕ'=-，2y F y ϕ''=-，1z F ϕ''=-- ……3分由公式x z F z x F '∂=-∂'，y zF z y F '∂=-∂'，得 21z x x ϕϕ'∂-='∂+，21z y y ϕϕ'∂-='∂+ 所以[]1(2)(2)1z z dz dx dy x dx y dy x y ϕϕϕ∂∂''=+=-+-'∂∂+ ……7分 (II) 由于2(,)1u x y ϕ='+， 所以 2322(21)(1)(1)(1)u z x x x ϕϕϕϕ'∂-∂+''=+=-''∂+∂+ ……10分 解法2：(I) 对等式)(22z y x z y x ++=-+ϕ两端求微分,得22()xdx ydy dz dx dy dz ϕ'+-=⋅++ ……5分解出dz 得 2211x y dz dx dy ϕϕϕϕ''--=+''++ ……7分(II) 同解法1 ……10分 (17)（本题满分11分） 【 同数学二（18）题 】 (18)（本题满分10分） ()f x 是周期为2的连续函数， (I) 证明对任意实数t ，有⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t；(II) 证明⎰⎰+-=xt tdt ds s f t f x G 02])()(2[)(是周期为2的周期函数.证法1：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，⎰⎰⎰⎰++++=022202)()()()(tt t tdx x f dx x f dx x f dx x f ……2分令2-=x s ，则有⎰⎰⎰⎰-==+=+0022)()()2()(tttt dx x f ds s f ds s f dx x f所以⎰⎰⎰⎰⎰=-+=+222)()()()()(dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ttt t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰20)(，则ax dt t f x G x-=⎰0)(2)(因为对任意的x ，ax dt t f x a dt t f x G x G xx +-+-=-+⎰⎰+020)(2)2()(2)()2(a dt t f x x 2)(22-=⎰+ ……8分02)(22=-=⎰a dt t f所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分证法2：(I) 设 ⎰+=2)()(t tdx x f t F ，由于0)()2()('=-+=t f t f t F ， ……2分所以)(t F 为常数，从而有)0()(F t F = 而⎰=20)()0(dx x f F ，所以⎰=20)()(dx x f t F ，即⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰2)(，则ax dt t f x G x -=⎰0)(2)(，⎰++-=+20)2()(2)2(x x a dt t f x G ……7分由于对任意x ，((2))2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，(())2()G x f x a '=- 所以((2)())0G x G x '+-=，从而)()2(x G x G -+是常数，即有0)0()2()()2(=-=-+G G x G x G ，所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为05.0=r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元实 现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取)910(n +万元，并能按此规 律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？解：设n A 为用于第n 年提取)910(n +万元的贴现值，则)910()1(n r A n n ++=-故∑∑∞=∞=++==11)1(910n nn n r nA A ……3分 ∑∑∑∞=∞=∞=++=+++=111)1(9200)1(9)1(110n nn n n n r nr n r ……6分 设∑∞==1)(n nnxx S ，)1,1(-∈x因为21()()()1(1)n n x x S x x x x x x ∞=''===--∑，)1,1(-∈x ……9分 所以42005.1111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S r S （万元）故39804209200=⨯+=A （万元），即至少应存入3980万元. ……10分(20) ( 本题满分12分 ) 【 同数学一（21）题 】 (21) ( 本题满分10分 ) 【 同数学二（23）题 】 (22) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（22）题 】 (23) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（23）题 】数 学（四）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设0a b <<，则=+--∞→nnn n b a1)(lim （B ）（A ）a . （B ）1-a . （C ）b . （D ）1-b . （2）【 同数学三（1）题 】（3）设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域},10),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=则以下结论正确的是 （A ） （A ）()()0.Df yg x dxdy =⎰⎰ （B ）()()0.Df xg y dxdy =⎰⎰（C ）[()()]0.Df xg y dxdy +=⎰⎰ （D ）[()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰（4）【 同数学二（2）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 【 同数学三（9）题 】 (10) 已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程是xy 2= .(11)=⎰⎰121ln xdy x dx y2/1.(12) 【 同数学二（10）题 】(13) 设3阶矩阵A 的特征值互不相同，且行列式0A =，则A 的秩为___2___. (14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学三（15）题 】 (16)（本题满分10分）设函数dt x t t x f ⎰-=10)()()10(<<x ，求()f x 的极值、单调区间及曲线)(x f y =的凹凸区间.解：31231)()()(310+-=-+-=⎰⎰x x dt x t t dt t x t x f xx……4分 令21()02f x x '=-=，得22,22-==x x （舍去） 因()20f x x ''=>（10<<x ） ……5分故22=x 为()f x 的极小值点，极小值)221(31)22(-=f ，且曲线)(x f y =在)1,0(内是凹的. ……8分 由21()2f x x '=-知，()f x 在)22,0(内单调递减，在)1,22(内单调递增. ……10分(17)（本题满分11分） 【 同数学二（21）题 】 (18)（本题满分10分） 【 同数学三（16）题 】 (19)（本题满分10分） 【 同数学三（18）题 】 (20)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (21)（本题满分10分） 【 同数学二（23）题 】 (22)（本题满分11分） 【 同数学一（22）题 】 (23)（本题满分11分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该 企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？解：进行再加工后，产品的合格率984.08.075.004.096.0=⨯⨯+=p ……4分 记X 为n 件产品中的合格产品数，)(n T 为n 件产品的利润，则n np EX p n B X 984.0),,(~== ……8分 )(2080)(X n X n T --=，()1002078.4ET n EX n n =-= ……10分要20000)(≥n ET ，则256≥n ，即该企业每天至少应生产256件产品. ……11分。
2008年考研数学一真题答案
2008年考研数学一真题答案2008年考研数学一真题答案的解析及对数学学习的思考2008年考研数学一真题是考研数学考试中的一道典型题目，它涉及到了数学分析、线性代数、概率论等多个数学学科的知识点。
通过对这道题目的解析，我们可以深入了解数学学科的重要性和学习数学的方法。
首先，我们来看这道题目的具体内容。
题目要求我们计算一个函数的极限值，给出了函数的表达式和一些参数的取值范围。
在解答这道题目之前，我们需要回顾一下数学分析中的极限概念和计算方法。
极限是数学分析中一个基础且重要的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
通过计算极限，我们可以了解函数的性质和趋势，进而解决一些实际问题。
接下来，我们需要运用线性代数的知识来解决这道题目。
线性代数是数学学科中的一个重要分支，它研究了向量、矩阵和线性变换等概念。
在这道题目中，我们需要运用线性代数的知识来求解一个矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵运算中的重要概念，它们描述了矩阵在某个方向上的变化情况。
通过求解特征值和特征向量，我们可以了解矩阵的性质和变换规律。
除了数学分析和线性代数，这道题目还涉及到了概率论的知识。
概率论是数学学科中的一个重要分支，它研究了随机事件的发生规律和概率分布等问题。
在这道题目中，我们需要利用概率论的知识来计算一个随机变量的期望值和方差。
期望值和方差是概率论中的两个重要概念，它们描述了随机变量的平均值和离散程度。
通过计算期望值和方差，我们可以了解随机变量的分布情况和性质。
通过对这道题目的解析，我们可以看到数学学科的广泛应用和重要性。
数学是一门精密的科学，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。
通过学习数学，我们可以培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
数学学科的知识点相互关联，它们共同构成了一个完整的体系。
在学习数学的过程中，我们需要注重理论与实践相结合，通过解决实际问题来加深对数学知识的理解和运用。
同时，我们也要注意数学学科的学习方法。
2008-2014历年考研数学一真题及答案详解.pdf
0
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(2) 函数 f (x, y) arctan x 在点 (0,1) 处的梯度等于
y
(A) i
(B)- i
(C) j
(D) j
(3) 在下列微分方程中 , 以 y C1ex C2 cos2x C3 sin 2x ( C1,C2 , C3 为任意常数 ) 为
通解的是
(A) y y 4 y 4 y 0
文档鉴赏
(22)( 本题满分 11 分)
设随机变量 X 与 Y 相互独立 , X 的概率分布为 P X i
1 i
3
率密度为 fY y
1 0 y 1, 记 Z X Y,
0 其它
1,0,1 , Y 的概
(1) 求 P Z 1 X 0 .
2
(2) 求 Z 的概率密度 .
(23)( 本题满分 11 分)
设 X1, X 2,L , X n 是总体为 N ( , 2 ) 的简单随机样本 .
文档鉴赏
(6) 设 A 为 3 阶 实对 称 矩 阵 , 如 果二次 曲 面 方 程
x
( x, y, z)A y 1 在正交变换下的标准方程的图形如图 , 则
z
A 的正特征值个数为 (A)0
(B)1
(C)2
(D)3 (7) 设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F x , 则 Z max X ,Y 分布
n0
an x 3 n 的收敛域为
பைடு நூலகம்
.
n0
(12) 设曲面 是 z 4 x2 y2 的上侧 , 则 xydydz xdzdx x2dxdy
.
(13) 设 A 为 2 阶矩阵 , α1, α2 为线性无关的 2 维列向量 , A α1 0, A α2 2α1 α2 ,
2008年考研数学真题
2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.（C ）无穷间断点.（D ）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at xf x dx⎰等于（ ）（A ）曲边梯形ABOD 面积.（B ） 梯形ABOD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积.（D ）三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中uvD 为图中阴影部分，则Fu ∂=∂（ ）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()v f u u（5）设A 为阶非0矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若30A =，则（ ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆.（B ）E A -不可逆，E A +可逆. （C ）E A -可逆，E A +可逆.（D ）E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同的矩阵为（ ） （A ）2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.（B ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）（A ）()2F x .（B ）()()F x F y .（C ）()211F x --⎡⎤⎣⎦.（D ）()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）（A ）{}211P Y X =--=.（B ）{}211P Y X =-=.（C ）{}211P Y X =-+=.（D ）{}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dxy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限201sin limln x x x x →.(16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（Ⅰ）求dz（Ⅱ）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求ux ∂∂.(17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分） 设()f x 是周期为2的连续函数，（Ⅰ）证明对任意的实数t ，有()()22t tf x dx f x dx+=⎰⎰；（Ⅱ）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分） 设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （Ⅰ）求证行列式()1nA n a =+;（Ⅱ）a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（Ⅲ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。
2008考研数学一真题及答案
2008考研数学一真题及答案一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-•=-•<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x ''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x x x y y ∂==∂++．222221xf x y x y x y y-∂-==∂++．所以(0,1)1fx ∂=∂，(0,1)0f y ∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+ 3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆. (C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x=． 【详解】由dy ydx x=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+． 代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=． （10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-， (0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则nn n a x∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ22200116424=•==⎰⎰． (13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e． 三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x→-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x→=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=) 16=． 【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]40sin sin(sin )sin limsin x x x x x→-=＝30sin lim t t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰20sin 2x xdx π=⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰20cos 22x xdx ππ=-+⎰ 200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰20cos 22xx xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰ 22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P y x∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关． 10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ，2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰ 2cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=． 解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 代入35x y z ++=，得z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰00()limlim ()()x x f xf f x xξξ∆→∆→∆===∆ 【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()limlimx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有22200(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x xf t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x xf t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx x f t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰222002()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰202cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰20020cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰2002sin 2sin x nxx nx dxn n πππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 1222(1)n n ππ--=124(1)n n--=． 所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤． 令x=0，有n n f n π2121(1)(0)143-∞=-=-+∑ 又(0)1f =，所以n n n π1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤== ⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1}=P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i YY Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES n n nσμσ=+-=+-2μ= 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111n ni j ki j k n T X X X X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1n j k j kn ET E X EX n ≠=-∑2μ=， 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nX χ，22(1)(1)n S n χ--．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-． 所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n S n n n n n =+-=--。
2008年考研数学一真题及答案
2008年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)设函数,则的零点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。
【解析】且，则是唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数在点处的梯度等于(A)(B)(C)(D)【答案】A。
【解析】所以综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以为任意常数为通解的是(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】由通解表达式可知其特征根为可见其对应特征方程为故对应微分方程为综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛(B)若单调，则收敛(C)若收敛，则收敛(D)若单调，则收敛【答案】B。
【解析】【方法一】由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。
【方法二】排除法：若取,,则显然单调，收敛，但，为偶数为奇数，显然不收敛，排除A。
若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)不可逆，不可逆(B)不可逆，可逆(C)可逆，可逆(D)可逆，不可逆【答案】C。
【解析】因为所以可知可逆，可逆综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则的正特征值的个数为(A)(B)1(C)2 (D)3【答案】B。
【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征值，可知的正特征值的个数为 1综上所述，本题正确答案是B。
2008考研数一真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于( )()A i()B -i ()C j()D -j(3) 在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(5) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，满足30A =，则( ) ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(6) 设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为( )()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.(7) 设随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}m ax ,Z X Y =分布函数为( )()A()2F x .()B ()()F x F y . ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(8)设随机变量()0,1X N ，()1,4Y N ，且相关系数1XY ρ=，则( )()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (11) 已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()3nn n a x ∞=-∑的收敛域为 . (12) 设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+，则A 的非零特征值为 .(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦(16)(本题满分9分) 计算曲线积分()2sin 221Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)(本题满分11分)已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分)设()f x 是连续函数， (I) 利用定义证明函数()()0xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=.(II) 当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数()()()22xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)()21f x x =-()0x π≤≤展开成(以2π为周期的)余弦级数，并求级数()1211n n n -∞=-∑的和。
2008年考研数学试题答案与解析(数学一)
2008年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln (2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln (2)02xf x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞）所以()f x '只有一个零点. (2)【答案】A 【详解】因为2211x y f xy'=+，2221y x y f xy-'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=所以 (0,1)10f =⋅+⋅=g ra d i j i (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、co s 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= (4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z abc'''--=，即二次型的标准型为222222x y z f abc'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2m ax ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1X Y ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,E X E Y ==所以 ()()E Y E a X b a E X b =+=+01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D 二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dxx-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x=.(10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin ()ln ()F x y xy y x x =+--，则1c o s ()11c o s ()x y y x y F d y y xd xF x x y y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x d y d x==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即0nn n a t ∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5](12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xyd yd z xd zd x x d xd y ∑++⎰⎰1122x y d y d z x d z d x x d x d y x y d y d z x d z d x x d x d y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y y d x d y d z x d x d y x y d x d y Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223142d r d r πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则A P P B = 因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P A P -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1. (14)【答案】12e【详解】由22()D X E X E X =-，得22()E XD XE X =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1D X E X ==，所以2112E X =+=，所以 {}21111222P X e e--===！三、解答题 (15) 【详解】 方法一：43[sin sin (sin )]sin sin sin (sin )limlimx x x x xx x xx→→--=22221s in c o s c o s (s in )c o s 1c o s (s in )12limlimlim 3336x x x x x x xx x xx→→→--====方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin (sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+444440[s in s in (s in )]s in s in (s in )1limlim 66x x x x xx o x xx x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16) 【详解】 方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）222222s in 22(1)[s in 22(1)s in c o s ]s in 21c o s 2c o s 2s in 2s in 222222Lx d x x y d yx x x x d x x x d xxx xx x d x xx d x ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域11222sin 222s in 22(1)s in 22(1)s in 22(1)14s in 24c o s 22s in21(1c o s 2)s in 2s in 22222LL L L xDx d x x y d yx d x x y d y x d x x y d yx y d x d y x d xd x x y d y xx x d xxx x x d x xx d x πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLx d x y d y x y d y -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LL Lxd x x yd y xd x yd y x yd y I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Q yx∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10s in 20I x d x π==⎰2222202222122s in c o s s in 2c o s 221111c o s 22c o s 2s in 222221111s in 2c o s 22222LI x y d y x x x d x x x d x x d xx xx x d x x d xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到x O y 面的距离为||z ，故求C 上距离x O y 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y zz x y z x yzλμλμ=++-+++-所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 22235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或 111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以00()()()()limlimx xxx x f t d t f t d tF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰()()limlimlim ()x xxx x x f t d tf x f xxξξ+→→→===⎰，其中ξ介于x 与x x + 之间由于0lim ()()x f f x ξ→= ，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x xH x ft d t x ft d tft d t x ft d tf x ft d t f x ft d t+'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t d t f t d t =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x xG x G x ft d tx ft d t ft d tx ft d t ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()222202x xft d t ft d t ft d t ft d t +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()000222[2]0xxxft d t fu d u f t ft d t ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】 由于 220022(1)23a x d x πππ=-=-⎰21224(1)c o s (1)1,2,n n a x n x d x n nππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()c o s 14c o s 023n n n n a f x a n x n x x nππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑令0x =，有 2121(1)(0)143n n f nπ+∞=-=-+ ∑又(0)1f =，所以1221(1)12n n nπ+∞=- =∑(20)【详解】(I) ()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12TTTr A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a aa aa A r a r aaaa=-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n ar a r a n a nnn an--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n aa aa D a D aa-=-21221222(1)(1)n n nn n a D a D a n aa n an a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D a D a D --=-，所以 211212()n n n n n n D a D a D a D a D a D ------=-=-222321()()n nn n a D a D aD a D a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a a D a a a a D a a D ----=+=++=++2121(2)(1)nn nn n aaD n aaD --==-+=-+1(1)2(1)nn nn a aa n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由A x B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n aa a a aa aa D n aaaaa--⨯-⨯-===所以 11(1)n nD n x D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n nx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()100100,TTk k +为任意常数．(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y d y P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它 (23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X D X nσμ= =．因为 221()()E T E XS n=-221()E X E S n=-221()()D X E X E S n=+-222211nnσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T E T E T =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T E T=442222()S E X XSnn=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S nn=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n==，()221E XD XE Xn=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D D X E X⎛⎡⎤=+=++ ⎣⎦⎝(2221()DD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1E SE S D S E S D S ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n SW n Sn χσ-==-- ，所以2(1)D W n =-，又因为22(1)D W n D S =-，所以22(1)D S n =-,所以4211(1)1n E S n n +=+=--所以 2223211111n E Tnnnnn +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-.方法二：当0,1μσ==时221()()D T D XS n=-(注意X 和2S 独立)(222222221111(1)(1)D XD S DD n S nnnn ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n nnn n n =⋅+⋅⋅-=--。
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一、选择题（1 8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设函数 ,则 的零点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
且 ，则 是 唯一的零点
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程
(10)曲线 在点 处的切线方程是。
【答案】
【解析】
先求曲线在点 处的斜率
等式 两端对 求导得
在上式中，将 代入可得
所以曲线在该点处的切线方程为 即
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义
【解析】
(I)数学归纳法：
记 阶行列式 的值为
当 时 ,命题 正确；
当 时， ,命题正确
设 时，命题 正确
当 时，按第一列展开，则有
命题正确，所以 。
(II)由克拉默法则， 方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解，且用克拉默法则，有
(III)当 时，方程组为
由 ,方程组有无穷多解，其通解为 ,其中 为任意常数。
【解析】
【方法一】
定义法：由
可得矩阵 的特征值为 ，因此 的非零特征值为 。
【方法二】
矩阵相似：
可知 ， 的特征值易得为 ，所以可得矩阵 的特征值为 ，因此 的非零特征值为 。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质
则 的正特征值的个数为
(A) (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
所给图形为双叶双曲线，标准方程为
二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是 的特征值，可知 的正特征值的个数为1
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形
(7)设随机变量 独立同分布，且 的分布函数为 ,则 的分布函数为
高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则
(16)（本题满分9分）
计算曲线积分 ,其中 是曲线 上从点 到点 的一段。
【解析】
【方法一】
【方法二】
添加 轴上从点 到点 的直线段 ， 为 与 围成的封闭区域，则
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林(Green)公式
(12)设曲面 是 的上侧，则 。
【答案】 。
【解析】
补曲面 ,取下侧，记
则
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算
(13)设 为2阶矩阵， 为线性无关的2维列向量， ， ，则 的非零特征值为。
【答案】1。
【方法二】
排除法：若取 , ,则显然 单调， 收敛，但 ，显然 不收敛，排除A。
若取 ,显然 收敛且单调，但 不收敛，排除C和D。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则
(5)设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵，若 ,则
可得
已知 ,所以 ,得
又
而
所以
即
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质
二、填空题（9 14小题，每小题4分，共24分。）
(9)微分方程 满足条件 的解是 。
【答案】 。
【解析】
分离变量得 ,l两边积分有
利用条件， ，解得
(17)（本题满分11分）
已知曲线 求曲线 距 面最远和最近的点。
【解析】
设 为曲线 上任意一点，则点 到 面的距离为 ，即原题化为求 在条件 下的最值点，构造拉格朗日函数
解方程组
得 ，从而
得可能极值点：
有
根据几何意义，曲线 上存在距 面最远和最近的点，故所求点依次为 。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极值
(11)已知幂级数 在 处收敛，在 处发散，则幂级数 的收敛域为。
【答案】 。
【解析】
由题设可知，幂级数 在 处收敛，在 处发散,即 时，幂级数收敛。
对于幂级数 ，则收敛区间为
又幂级数 在 处收敛，在 处发散，
所以对于幂级数 收敛域为 。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域
又
则 ， ，即 也是以2为周期的周期函数。
【方法二】
对于任意的 ，有
则
故 也是以2为周期的周期函数。
【方法三】
对于任意的 ，有
由于 以2为周期，则
所以
故 也是以2为周期的周期函数。
【方法四】
对于任意的 ，有
则
故 也是以2为周期的周期函数。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
(2)函数 在点 处的梯度等于
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
所以
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度
(3)在下列微分方程中，以 为通解的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】
由通解表达式
可知其特征根为
可见其对应特征方程为
故对应微分方程为
(22)（本题满分11分）
设二维随机变量 相互独立， 的概率密度为 ， 的概率为
记 。
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)求 概率密度 。
【解析】
(Ⅰ)
(Ⅱ)
所以
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量函数的分布
(23)（本题满分11分）
设 为来自 的简单随机样本，记
（Ⅰ）证明 是 的无偏估计量；
（Ⅱ）当 时，求 。
(A) 不可逆， 不可逆
(B) 不可逆， 可逆
(C) 可逆， 可逆
(D) 可逆， 不可逆
【答案】C。
【解析】
因为
所以可知 可逆， 可逆
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件
(6) 设 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，
的转置。证明：
(I)秩 ；
(II)若 线性相关，则秩 。
【解析】
(I)因为 为3维列向量，所以 都是3阶矩阵，
且秩
那么
(II) 线性相关，则设
于是，
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
(21)（本题满分12分）
设 元线性方程组 ，其中
(I)证明行列式 ；
(II)当 为何值时，该方程组有唯一解，并求 ；
(III)当 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
(18)（本题满分10分）
设函数 连续，
(I)利用定义证明函数 可导，且 ；
(II)当 是以2为周期的周期函数时，证明函数 也是以2为周期的周期函数。
【解析】
(I)对于任意的 ,由于函数 连续，所以
（积分中值定理）
其中 介于 和 之间。
又 ,可知 可导，且
(II)【方法一】
对于任意的 ，有
所以，
从而有 （常数）
高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(19)（本题满分11分）
将函数 展开成余弦级数，并求 的和。
【解析】
因为 是偶函数，于是 ,对 有
所以
令 ,
故
【考点】高等数学—无穷级数—函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，函数在 上的正弦级数和余弦级数
(20)（本题满分10分）
设 为3维列向量，矩阵 ,其中 分别是
(A) (B)
(ห้องสมุดไป่ตู้) (D)
【答案】A。
【解析】
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布
(8)设随机变量 ,且相关系数 ,则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】
由相关系数的性质可知：
如果 则必有
(14)设随机变量 服从参数为1的泊松分布，则 。
【答案】
【解析】由已知，有 ,所以
所以
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变量及函数的数字特征
三、解答题： 小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)（本题满分9分）
求极限
【解析】
【方法一】
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
(4)设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是
(A)若 收敛，则 收敛
(B)若 单调，则 收敛
(C)若 收敛，则 收敛
(D)若 单调，则 收敛
【答案】B。
【解析】
【方法一】
由于 单调， 单调有界，则数列 单调有界，根据单调有界准则知数列 收敛。
（等价无穷小代换）