有限域的运算

有限域GF（2n）运算

在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。同时我们引入概念，域。一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。

给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。

交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群）

结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c.

分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3.

有限域多项式：

GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。

1、有限域加法

多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。而各系数求和是在域F中进行的；

c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi

2、有限域乘法

多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积：

C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x))

二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。

在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下：

m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1

(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）

(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)

(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02'

记为xtime（）。乘以一个高于一次的多项式可以通过反复使用xtime（）操作，然后将多个中间结果相加的方法来实现。

有限域上的乘法（全面理解）

对于有限域GF(256),可以先计算出其乘法表。

在GF(256)中，加法就是异或运算，任意一个元素都可以表示成GF(2) 上的一个最多7次的多项式，

所以

0=000 就是0

1=001 就是 1

2=0010就是x+0=x

3=0011就是x+1

4=00100就是x^2

然后对于两个变量

u,v

可以先计算两个对应多项式的乘积（需要注意的是加法是模2的，或者说是异或运算），

比如

3*7=(x+1)*(x^2+x+1)=x*x^2+x*x+x+x^2+x+1=x^3+1 (模2运算中x+x=0 and x^2+x^2=0)

所以3*7=9

在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)求余数，也就是

129*5=(x^7+1)*(x^2+1)=x^9+x^7+x^2+1

将上面的函数加上x*h(x)可以消去x^9,这里的h(x)是既约多项式x^8+x^4+x^3+x^2+1，（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1），所以

129*5=x^9+x^7+x^2+1+x^9+x^5+x^4+x^3+x=x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

=0010111111=191

在得出乘法表以后，我们可以很快的从表格中对于每一个元素找到它的逆，于是逆运算也有了，除法就可以分解为乘法和逆运算。

有了加乘逆以后（对于GF(2^n)减法同加法没有分别）

就可以使用手工除法了