matlab有限域上的运算

1 有限域基础知识

1.1 有限域（Galois域）的构造

令p为一个素数. 则对任意的一个正整数n，存在一个特征为p，元素个数为p n的有限域GF(p n).

注：任意一个有限域，其元素的个数一定为p n，其中p为一个素数（有限域的特征），n为一个正整数.

例1（有限域GF(p)）令p为一个素数，集合

GF(p)=Z p={0,1,2,…,p?1}.

在GF(p)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模p加法和模p乘法，即任意的a,b∈GF(p)，

a⊕b=(a+b)mod p, a⊙b=(a?b)mod p

则为一个有p个元素的有限域，其中零元素为0，单位元为1.

令a为GF(p)中的一个非零元素. 由于gcd(a,p)=1，因此，存在整数b,c，使得ab+pc=1. 由此得到a的逆元为a?1=b mod p.

域GF(p)称为一个素域(prime field).

例注1：给定a和p，例1中的等式ab+pc=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(p)中任意非零元素的逆元.

例2（有限域GF(p n)）从GF(p)出发，对任意正整数n，n≥2，我们可以构造元素元素个数为p n的有限域GF(p n)如下：

令g(x)为一个GF(p)上次数为n的不可约多项式，集合

GF(p n)=GF(p)[x]/?g(x)?={a0+a1x+a2x2+?+a n?1x n?1 | a i∈

GF(p),0≤i≤n?1}

在GF(p n)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即任意的a(x),b(x)∈GF(p n)，

a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x), a(x)⊙b(x)=(a(x)?b(x))mod g(x)

则为一个有p n个元素，特征为p的有限域，其中零元素为GF(p)中的0，单位元为GF(p)中的1.

令a(x)为GF(p n)中的一个非零元素. 由于gcd(a(x),g(x))=1，因此，存在GF(p)上的多项式b(x),c(x)，使得a(x)b(x)+g(x)c(x)=1. 由此得到

a(x)的逆元为a?1(x)=b(x)mod g(x).

域GF(p n)称为GF(p)的（n次）扩域(extension field)，而GF(p)称为GF(p n)的子域(subfield).

例注2.1：给定GF(p)上的多项式a(x)和g(x)，例2中的等式

a(x)b(x)+g(x)c(x)=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(p n)中任意非零元素的逆元.

例注2.2：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域. 对任意正整数n, GF(q)

上的n次不可约多项式一定存在. 更进一步，GF(q)上首项系数为1的n 次不可约多项式的个数为

N q(n)=1n∑d|nμ(nd)q d=1n∑d|nμ(d)q n/d

其中μ为Moebius函数，定义为

μ(m)=???1(?1)k0如果m=1如果m=p1p2?p k,其中p1,p2,…,p k为互不相

同的素数其它

1.2 有限域的性质

令GF(q)是一个含有q个元素的有限域，F?q=GF(q)?{0}为有限域GF(q)中所有非零元素构成的集合. 则在乘法之下F?q是一个有限循环群. 循环群

F?q的一个生成元称为有限域GF(q)的一个本原元.

若α∈GF(q)为一个本原元，则

GF(q)={0,1,α,α2,…,αq?2}

并且αq?1=1，即αq=α.

定义：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域（p不一定为素数），α∈GF(q). 则GF(p)上以α为

根，首项系数为1，并且次数最低的多项式称为α在GF(p)上的极小多项式(minimal polynomial of α over GF(p)).

特别地，若α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元，则α在GF(p)上的极小多项式称为GF(p)上的一个本原多项式(primitive polynomial for GF(q) over GF(p)).

定义注1：对任意的α∈GF(q)，α在GF(p)上的极小多项式存在并且唯一，并且α在GF(p)上的极小多项式为GF(p)上的一个不可约多项式.

定义注2：设α∈GF(q)，则α和αp在GF(p)上具有相同的极小多项式. 更进一步，集合

B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αp i,…}

中的元素具有相同的极小多项式. 设q=p n，则αp n=α. 因此，集合B(α)中互不相同的元素的个数（记为r）不超过n. 可以证明，α为GF(q)的一个本原元当且仅当r=n.

定理：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域. 设α∈GF(q)，r为满足αp r=α的最小正整数. 则α在GF(p)上的极小多项式g(x)是一个r次不可约多项式，并且

B(α)={α,αp,αp2,…,αp r?1}

中的元素为g(x)在GF(q)上的所有不同的根，即

g(x)=(x?α)(x?αp)(x?αp2)?(x?αp r?1).

注：r的计算方法如下：设α在F?q中的阶为k. 集合

Z?k={m | 0≤m≤k?1,gcd(m,k)=1}

在模k乘法运算下是一个含有φ(k)个元素的有限群（其中φ为欧拉(Euler)函数）. 则r等于p mod k在Z?k中的阶.

推论：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域. 设|GF(q)|=p n，即q=p n. 设α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元，则α在GF(p)上的极小多项式g(x)的次数为n，并且

g(x)=(x?α)(x?αp)(x?αp2)?(x?αp n?1).

更进一步，α,αp,αp2,…,αp n?1均为GF(q)的本原元.

注：设GF(p)是一个含有p个元素的有限域，n是任意一个正整数，则GF(p)上的n次本原多项式一定存在. 更进一步，GF(p)上的首项系数为1的n 次本原多项式的个数为φ(p n?1)n，其中φ为欧拉函数.

例3考虑二元域GF(2)上的不可约多项式p(α)=α3+α+1，构造有限域GF(23)=GF(2)[α]/?p(α)?={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.

容易验证，α,α2,α3,α4,α5,α6都是GF(23)的本原元. GF(2)上的首项系数为1的3次本原多项式有两个，分别为

(i) α,α2,α4在GF(2)上的极小多项式

g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1

(ii) α3,α5,α6在GF(2)上的极小多项式

g(x)=x3+x2+1

有限域GF(p)上的本原多项式一定是GF(p)上的不可约多项式；但是，GF(p)上的不可约多项式不一定是GF(p)上的本原多项式.

定理：设GF(q)是一个含有q个元素的有限域，GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域，g(x)是GF(p)上的一个不可约多项式. 则g(x)为GF(p)上的本原多项式当且仅当g(x)在GF(q)上的根都是GF(q)的本原元.

下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.

例4考虑二元域GF(2)上的不可约多项式p(x)=x4+x3+x2+x+1，构造有限域

GF(24)=GF(2)[x]/?p(x)?={a+bx+cx2+dx3 | a,b,c,d∈GF(2)}.

显然，x∈GF(24). 由于x5=1，即x的阶为5，因此，x不是GF(24)的本原元. 于是，p(x)不是GF(2)上的本原多项式. 另外，可以验证x+1是GF(24)的本原元.

2 Matlab 中的有限域计算函数

Matlab 中自带的有限域的计算是在GF(2m)上进行的，即在二元域GF(2)的扩域中进行计算，其中1≤m≤16.

由“1.1 有限域的构造” 的“例2” 可知，我们只需先找到一个GF(2)上

的m次不可约多项式g(x)，得到集合GF(2)[x]/?g(x)?，然后定义其上的加法和乘法分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即得到有限域GF(2m).

然而，这样得到的有限域GF(2m)中，元素x未必是本原元，这将给后面的

（乘法）运算带来很多麻烦. 因此，在不可约多项式g(x)的挑选上，我们最好选择一个本原多项式. 这其实就是 Matlab 中的做法.

Matlab 中GF(2m)的元素：在 Matlab 中GF(2m):=GF(2)[D]/?p(D)?，

其中p(D)为一个GF(2)上的m次本原多项式.

GF(2m)={a m?1D m?1+a m?2D m?2+?+a1D+a0, | a i∈GF(2),0≤i≤m?1}

因此，每个GF(2m)中的元素本质上是一个次数小于m的多项式，每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系. 例如，取m=3和本原多项式

p(D)=D3+D+1，则我们得到有限域GF(23)，其中的元素和多项式之间的对应关系如下：

GF(23)GF(2)[D]/?p(D)?二进制

0 0000

1 1001

2 D010

3 D+1011

4 D2100

5 D2+1101