概率论与数理统计课件数学期望EX

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数学期望ExDxPPT学习教案

b
x
1
dx a b
a ba
2
e x x 0 f (x)
0 x0
证：E( X )
xf ( x)dx
e xdx
1
。
0
第9页/共39页
3.随机变量的函数的数学期望
定理设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，
(1) X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk ， k=1，2，…，
(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。
E( X ) xk pk k 1
第3页/共39页
例1: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，－15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？
度为f(θ( x>)0)1 e x/ x 0
0 x 0
若将这5个电子装置串联工作组成整机，求整机寿命N的数学期望；
解: Xk(k= 1，2， 3，4， 5)的分布函数为
1 e x / x 0 F(x)
0 x0
第16页/共39页
(1) 由第三章知N=min(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数为
二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有
E(Z) E[g(X ,Y )]
g( x, y) f (x, y)dxdy
这里设上式右边的积分绝对收敛，又若(X，Y )
为离散型随机变量。其分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i,j=1,2,….

天津大学《概率论与数理统计》数学期望.ppt

例如， 1. 假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？ 2. 统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天) 的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？
1.离散型随机变量的数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征引例 1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1 40 660 970 1580 790 2100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离均值的情况
内
—— 方差
容描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
或者是：两个随机变量相依的程度。
第一节数学期望
一. 数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
E(X )
xf (x, y)dxdy, E(Y )
yf (x, y)dxdy
证关于X、Y的边缘概率密度函数分别为
fX (x) f (x, y)dy
于是有
fY ( y) f (x, y)dx
E(X )
xfX (x)dx
x[
f (x, y)dy]dx
xf (x, y)dxdy
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为

《数学期望》课件

注意事项
在计算过程中需要注意积分的上下限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基本原理，通过将每个可能的结果与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质，如线性性质、期望值不变性质等，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望，我们可以了解投资组合的预期收益，从而制定更加合理的投资策

【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望和方差

8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终，显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件

概率论与数理统计课件数学期望

二、重要概率分布的方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 12 p 02 (1 p) p2 pq.
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
若Y a.

E(Q) 0 QfY ( y)d y
x[my n(a y)] 1 ey θ d y ma 1ey θ d y
0
θ
x
θ
(m n)θ (m n)θea θ nx,
令 d E(Q) (m n)ea θ n 0, dx
D( X ) D(Y ).
推广若 X1, X2 ,, Xn 相互独立,则有
D( X1 X2 Xn ) D( X1) D( X2 ) D( Xn ).
(4) D( X ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即
P{X C} 1.
5 k nk 3.37.
k0 n
平均射中环数 5 k nk
随机波动 k0 n
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ?
5 k nk
k0 n
n
5
k pk
k0
随机波动
稳定值
“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加
1. 离散型随机变量的数学期望
则有

E( g( X )) g( xk ) pk .
k 1
例5，P94，6
2. 连续型随机变量函数的数学期望若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则

概率论与数理统计4.2连续型随机变量的数学期望

例11 设(X,Y )服从以点 (0, 0), (0, 2), (1, 0)为顶点的三角形区域 A上
的均匀分布,试求函数 Z XY的数学期望.
解三角形区域 A 如图3-1, 易知 A 的面积为1，故
1 (x, y) D f (x, y) 0 其它
y 2
A O
x y 1 2
1 x
河北农业大学理学院
EX=
xf X (x)dx
而
同理
河北农业大学理学院
二维连续型随机变量数学期望的例题分析
例 1 已知 X,Y的联合密度函数
求，EX,EY 解：
同理
y
y=x
0
1
x
河北农业大学理学院
概率论与数理统计
连续型随机变量函数的数学期望
二维连续型随机变量函数的数学期望
E(g(X )) g(x) f (x)dx
b
a
x [a,b]
0
其它
所以
EX=
xf (x)dx
b a
x
b
1abd1xa21
a
x
2bb 2a
河北农业大学理学院
一维连续型随机变量数学期望的例题分析
例1 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX.
解
X的概率密度函数为
ex
f (x)
0
x0 x0
所以,
EX=
xf (x)dx
xexdx xd (ex )
连续型随机变量函数的数学期望例题分析
于是
E(Z) E(XY )
xy f (x, y)dxdy
y 21Biblioteka 2 (1 x )xydxdy 0 dx 0 xydy A

概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望

概率论与数理统计
第4章数字特征与极限定理
第2讲随机变量函数的数学期望
主讲教师 |
第2讲随机变量函数的数学期望
上一讲我们介绍了数学期望，如果已知随机变量X的分布，我们可以求出X的期望.
现在提出一个问题：假如需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
02 典型例题
例设(X, Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线 x+y+1=0所围成的区域. 求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY).
解
2, (x, y) A f (x, y) 0, 其它；
Байду номын сангаас
E(Z )
g(x, y) f (x, y)dxdy
E(X )
X
0
1
2
3
P
0.1 0.2 0.3 0.4
每台仪器进货价500元，销售价1000，若卖不出去厂家按200元回
购，求利润Y 的数学期望.
解 Y 800X 900 E(Y ) g(xi ) pi i 1
E(Y ) E(800X 900) (900) 0.1 (100) 0.2 700 0.3 1500 0.4 700
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
g(xi , y j ) pij

概率论与数理统计数学期望

X
x1 x2 x3
xn
P
p1 xk pk
p2
p3
pn
k 1

则称 xk pk 为离散型随机变量X的数学期望
k 1
（或均值），记作E（X），即

E( X ) xk pk k 1
例1 已知甲、乙两射手射击中靶概率的
分布如下：
甲得分 X1
P
012 0 0.2 0.8
乙得分X 2
P
012 0.6 0.3 0.1
试判定他们成绩的好坏。
例2 投两粒骰子，所得点数之和X是随机变量，求X的数学期望。
3个常用的离散型随机变量的数学期望
1、（0-1）分布
X
0
1
P
q
p
其中 0 p 1, p q 1,则
E(X ) 0 q 1 p p
2、二项分布
pk P（X =k)=Ckn pkqnk (k=0,1,2, ,n)
n
n
E( X ) kpk kCnk pk qnk
k 0
k 0
*n
= nCnk11 pk qnk k 1
n
=np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k=1
=np(p+q)n-1 np
3、泊松分布
pk

P（X
=k)=
ke
k!
(k=0,1,2, ,n)
f (x)
0
x0
则
E(X ) + xf (x）dx= xexdx xd(ex )
-
0
0
=-xe-x
|0

概率论课件-3-1数学期望17p

在未来，概率论将会与更多的学科领域进行交叉融合，如物理学、生物学、计算机科学等，从而产生更加丰富的研究成果和应用价值。
同时，概率论本身也还有很多未解决的问题和需要进一步研究的方向，如高维随机变量的性质、复杂系统的概率模型等，这些问题的解决将会推动概率论的进一步发展。
THANKS FOR WATCHING
数学期望在统计学、金融学、决策理论等领域中有着广泛的应用，是这些领域中重要的数学工具之一。
数学期望的概念可以帮助我们理解随机变量的本质和特性，从而更好地应用概率论解决实际问题。
未来研究方向和展望
随着科技的发展和实际应用的需要，概率论将会得到更加广泛的应用和发展。
随着大数据和人工智能的兴起，概率论将会在数据分析和机器学习等领域中发挥更加重要的作用，为这些领域的发展提供更加有力的支持。
应用
可以利用极限性质来研究随机变量的期望在极限情况下的性质。
04 数学期望的应用
在统计推断中的应用
参数估计
数学期望可以用来估计未知参数，例如使用样本均值来估计总体均值。
假设检验
通过比较样本均值与预期值，可以检验关于总体分布的假设。
回归分析
在回归分析中，数学期望可以用来预测因变量的值，基于自变量的值。
定义
对于随机变量X的函数f(X)，其数学期望E[f(X)]定义为
E[f(X)]=∫f(X)p(X)dX。
性质
如果函数f(X)是线性函数aX+b，则E[f(X)]=aE(X)+b；如果函数f(X) 是非线性函数，则需要进行相应的变换和计算。
计算方法
根据定义，对概率密度函数进行积分并应用相应的变换即可得到随机变量的函数的数学期望。

《概率论与数理统计》课件第七章随机变量的数字特征

i 1,2, , 如果 xi pi ，则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
28
第二节方差与标准差
29
引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67

概率论与数理统计-数学期望_图文

因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平均值时，用概率替代频率，得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。

《数学数学期望》课件

连续型随机变量及其期望
连续型随机变量是一种可以取任意实数值的随机变量，期望等于概率密度函数与变量的乘积在整个区间上的积分。
离散型随机变量及其期望
离散型随机变量是一种只取一些特定值的随机变量，期望等于每个取值乘以其对应概率的总和。
期望的应用
期望在概率统计和实际生活中都有广泛应用，是一种非常重要且实用的工具。
离散型随机变量的期望
1
定义离散型随机变量

离散型随机变量是一种只取一些特定
离散型随机变量的期望公式
2
值的随机变量，其取值为有限的或可数无限的。
期望等于每个取值乘以其对应概率的
总和。
3
求解离散型随机变量期望的例
子
我们将结合案例进行详细讲解，帮助你深入理解离散型随机变量的期望。
连续型随机变量的期望
2
期望在概率统计中的应用
期望是概率统计中的重要概念，广泛应用于风险评估、实验设计、假设检验、抽样调查等领域。
3
期望在实际生活中的应用
期望在实际生活中也有着广泛的应用，如股票投资、保险计算、游戏设计等领域。
总结
期望的概念及相关性质
期望是随机变量所有可能取值的概率乘以其相应取值的总和，具有多种重要性质。
定义连续型随机变量
连续型随机变量是一种可以取任意实数值的随机变量，其取值是一个区间。
连续型随机变量的期望公式
期望等于概率密度函数与变量的乘积在整个区间上的积分。
求解连续型随机变量期望的例子
以正态分布为例，演示如何求解连续型随机变量的期望。
期望的应用
1
期望值的意义
期望值可以代表随机变量的中心趋势，帮助人们更好地理解和描述随机事件的特征。

概率论与数理统计：数学期望

前面讨论了随机变量的分布函数，分布函数能全面地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，一方面，求分布函数有时是困难的；另一方面，有时不需要了解全貌，只需了解随机变量的某些特征或某个侧面就可以了，例如分布的中心，只要知道它的这方面的特征就够了，这时可以用一个或几个实数来描述这个侧面，这种实数就称为随机变量的数字特征.在这些数字特征中最常用的数字特征有：数学期望，方差，协方差，相关系数和矩等，本章将着重介绍这些常用的数字特征，要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念.§4.1 数学期望先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为7.19100)102156203019218217(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯或 22305610171819202119.7100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。

而1718192021195++++=是把这五个数的地位或权重看得相同。

对于一般随机变量，其平均值定义如下：4.1.1离散型随机变量的数学期望定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,i i P X x p i ===, 若1i i i xp ∞=<+∞∑,则称1i i i x p ∞=∑为随机变量X 的数学期望,简称期望或均值,记为()E X , 即()E X =1i i i x p ∞=∑. 若级数1i i i xp ∞=∑发散,则称随机变量X 的数学期望不存在.注（1）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；（2）离散型随机变量的数学期望)(X E 在数学上解释就是X 加权平均，权就是其分布列；（3）级数∑∞=1)(i i i x P x 绝对收敛保证了级数的和不随各项次序的改变而改变，这是因为i x 的顺序对随机变量并不是本质的.（4）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个绝对收敛的级数的和. 引例设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为Y X ,，且分布如下：试比较他们的射击水平。

14讲数学期望48页PPT

24.12.2019
24
当X为连续型的随机变量时, 用前面的办法，假设进行了n次试验, 取值xk的有 nk个, 则从对g(X)进行试验的观点看即取值为g(xk)的有nk个, 则
E[g(X)]k-g(xk)nnk

g(xk)f
k-
(xk)dx

d x 0 g(x)f(x)dx
解: 产品产值X是一个随机变量, 其分布如下表:
X 6 5.4 5 4 0
P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
因此,
E(X)=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04
=5.48(元)
24.12.2019
14
连续型随机变量
24.12.2019
15
假设连续型的随机变量X的概率
绝对收敛, 则称这级数为X的数学
期望, 简称期望或均值, 记为E(X),
即

E(X) xk pk
k1
24.12.2019
9
例1 若X服从0-1分布, 其概率函数
为P{X=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求
E(X)。
解 E(X)=0(1-p)+1p=p
“平均” 的含义
1-p
密度为f(x),
P{xk≤X≤xk+1}近似P{X=xk}
f(xk)dx
...
...
dx
xk-2 xk-1 xk xk+1 xk+2
24.12.2019
17
在这种情况下我们计算X的数学期
望, 可得

E ( X ) x k f ( x k )d x

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数学期望的引例
Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
1 所以 k 2

1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
f X ( x)

f ( x , y )dy
1 xydy 2 x 2 1
3
1
所以
2 x f X ( x) 0
x [0,1] 其它
y [1, 3] 时
fY ( y )

连续型随机变量
定义设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
若广义积分 X 的数学期望

xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )

x f ( x)dx
数学期望的计算
例已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0

1
（３）另解
E( X )

3
xf ( x , y )dxdy
3 1

1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求边缘分布密度函数
0
2 x 2 xdx 3
E (Y )

1
yf ( x , y )dxdy

3
1
dy
0
1 y xydx 2
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。

xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx

1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相应概率的加权平均。试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
pk xk
pk xk
k
数学期望的计算
例已知随机变量X的分布律： X P 4 5 6 1/4
1/4
1/2
求数学期望E（X）
解
1 1 1 E( X ) 4 5 6 5 4 2 4
E( X ) p1x1 p2 x2 p3 x3
连续型随机变量的数学期望E(X)

3
1
y 13 y dy 4 6
随机变量的函数的数学期望
定理 1：一维情形
设 Y g( X ) 是随机变量 X的函数, 离散型 P{X xk } pk , k 1, 2,
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1

连续型
概率密度为f ( x)
所以
E sin X
2 0
1 sin xdx 0 2
随机变量的函数的数学期望
定理 2：二维情形设 Z g( X ,Y ) 是随机变量 X， Y的函数, 离散型
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1, 2,
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
x
在E(X)附近摆动
x E( X )
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)，均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E( X ,Y ) (E( X ), E(Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E( X ) xi P{X xi } xi pi. xi pij E(Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
kxy f ( x, y ) 0
(1) 求k
x [0,1], y [1, 3] 其它
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解
得
(1)由
3

1 0

f ( x , y )dxdy 1
k ydy
1
(2) x [0,1] 时

E (Y ) E[ g( X )]

g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X sin x f x dx

因为
1 , 0 x 2 ； f x 2 其它。 0,
f ( x, y )dx
1 1 1 xydx y 2 0 4
y [1, 3] 其它
3
1 1
1
（３）
y f y ( y) 4 0

E( X ) E (Y )

xf X ( x )dx yfY ( y )dy

0 3
2 x 2 xdx 3 y 13 y dy 4 6
以频率为权重的加权平均
数学期望E(X)
Mathematical Expectation 离散型随机变量定义设离散型随机变量的概率分布为
若级数 pk xk 绝对收敛，则称此级数为
k
P( X xk ) pk
k 1, 2,
随机变量X的数学期望，记作E（X），即
E( X ) p1 x1 p2 x2
j j j i i i i j
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )

x f X ( x)dx

x f ( x, y)dxdy,
E (Y )

y fY ( y)dy

y f ( x, y)dxdy.
例设(X,Y)的联合密度为
i j
连续型
联合概率密度为 f ( x, y )

E[ g ( X , Y )]

g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例
设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2 x, (0 x 1) f1 ( x) 0, 其它
求E（XY）解
e ( y 5) , ( y 5) f 2 ( y) 其它 0,