系统辨识的数学模型

非参数指模型用响应曲线来描述，如时域中的脉 冲响应模型、频域中的频率响应模型。
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系统描述的数学模型
从发展上看，以往动态系统的设计和控制分析中， 非参数模型曾得到了广泛的应用，目前也有很多应用。 随着计算机的发展，参数模型已成为应用广泛的数学描 述方法。 辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手 段。可以用动态拟合的方法，从响应曲线求取传递函数 或系数矩阵。 非参数模型可通过实验获得，而参数模型又可从非 参数模型得到。例如，可从脉冲响应或频率特性，用最 2013-6-30 18 小二乘法拟合的方法，得到传递函数。
ˆ T b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n
T T k a1T k 1 anT k n
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系统辨识的基本原理
ˆ2 J e 2 k T T
k 1 k 1 l l
再选定一个等价准则 l
G s
SISO系统示意图
C s
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系统描述的数学模型-参数模型类
（一）连续系统的参数模型 微分系数ai i 1,2,, n 和 b j j 1,2,, m与系统阶次 n和m，决定了系统的动态特性，是系统需要辨识的 参数。 对（B）式进行Laplace（拉式）变换，在假定初 始条件为零的条件下，写成复数域形式：
et A q 1 y t B q 1 u t y k a1 y k 1 a 2 y k 2 a n y k n b1u k 1 b2 u k 2 bn u k n
方程误差表示为
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系统辨识的基本原理—等价准则
在广义误差中，特别常用的是方程式误差。例 如对于离散时间系统，当G1 、 1为 G
G2 1 : A q 1 1 a1q 1 a 2 q 2 a n q n
G : Bq b q
1 1 1
2
1
b2 q 2 bn q n
系统辨识与控制理论的联系较为密切。随着计算机 技术的发展以及对系统控制技术要求的提高，控制理论 得到了广泛的应用。但是，控制理论的大多数应用场 合，若想获得理想的使用效果，则与是否能获得被控对 象的数学描述是密不可分的。然而，很多时候，被控对 象的数学模型是不知道的，甚至涉及这个系统的工艺方 面的工程师都无法描述。 在应用控制理论去实施系统控制时，事先建立对象 的数学描述（数学模型），成为应用是否成功的关键。
系统辨识的基本原理—等价准则
在SI中，有一个很重要的概念，就是等价准则，它 是用来衡量模型接近实际过程的标准。而通常被辨识对 象和模型的等价性是通过引入评价函数来定义的，这个 评价函数称为等价准则函数。 对于相同的输入u，若实际系统的输出为y，模型Gg 的输出为yg，而被辨识对象和模型输出这两个输出量之 间的偏离值（误差）e=y-yg ，采用的准则函数如下： ① 连续信号下，准则函数为 t t
F s f t e st dt
dt
换为相应的象函数C(s)和R(s)。
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j
系统描述的数学模型-参数模型类
S平面
0 Laplace变换的重要性质: ① 时域微分 若 L f t F s ，则 L f t sF s f 0 ② 初值定理 若 L f t F s ，且 lim sF s 存在，则 s
系统描述的数学模型-参数模型类
b1Qk 1 b2 Qk 2 bn Qk n ek
（A）
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系统辨识的基本原理
ˆ （A）式相当于表达了 T T ek 的关系，在这个关 系式中，T表示量测温度，可表示为
ˆ T 表示了估计（计算）温度 ，可表示为
ek 表示干扰噪声（量测误差），表达了量测温度 等于估计温度和量测误差之和。
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系统描述的数学模型
前面我们已对数学模型做过分析，对于SI过程，弄 清各类模型的表达形式、相互转换及应用场合十分必要。 ① 按系统施加信息的特征，分为连续型和离散型； 连续系统施加的是连续信号；离散系统施加的信号 是离散的； ② 按系统分析定义，分为时间域和频率域； 一般经典控制论中多采用频域传递函数建模，而现 代控制论中多采用时域状态空间方程建模。
System Identification
系统辨识篇
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讲述内容
Chapter1系统辨识理论、方法及应用； Chapter2系统辨识的经典方法； Chapter3系统辨识的脉冲响应法 Chapter4智能技术在系统辨识中的应用；
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Chapter1
f1 t f 2 t f1 f 2 t d
0
则卷积定理为 L f t f t F s F s 1 2 1 2
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系统描述的数学模型-参数模型类
下面引入R-C电路，说明卷积的应用 ur 由基尔霍夫电压定律，有


T k a1T k 1 anT k n b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n2
k 1
而Q与T之间的数学描述就是T/Q的数学模型的辨识问题，即 根据所观测的In-Out数据 Qk , k 1,2,, l k , k 1,2,, l 和 T 从模型类（A）式中寻找一个模型，也就是确定（A）式中的模型 阶次n及未知参数 ai , bi , i 1,2,, n ，使准则J=min。 由于观测到的数据一般都含有噪声，辨识建模实际上是一种实 验统计的方法，所获得的模型只不过是与实际过程外特性等价的 一种近似描述[6] 。 2013-6-30 8
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J y, y g
t T
yt y t dt e t dt
2 2 g t T
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系统辨识的基本原理—等价准则
② 离散信号下，准则函数为
N k 2
J y, y g y y g e
2
在给定的模型类中，当Gg使准则函数最小时，定义 Gg与对象等价。因此，辨识就是求使准则函数最小的模 型Gg的优化问题[7]。若模型类采用参数模型描述时，辨 识就归结为参数优化问题。 我们发现，准则函数通常表示成误差e的函数，写作 2 J y, yg f e，而在具体表达中，平方误差准则 f e e 用得最多，而根据误差的定义形式，又可分为输出误 2013-6-30 10 差、输入误差和广义误差形式。
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系统辨识的基本原理
燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输出）之间的关 系： 欲建立T/Q模型，经观测得到一组输入-输出数据， 记为Qk , k 1,2,, l 和 T k , k 1,2,, l，其中l 为数据 长度，同时，选定一组模型：
T k a1T k 1 anT k n
→
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系统描述的数学模型-参数模型类
Laplace变换: 设函数f(t)当 t 0 时有定义，积分 f t e st dt （s为复 参量）在s平面的某一域内收敛，称 0
0 为函数f(t)的Laplace变换，记为 F s L f t 。 F(s)称为f(t)的象函数。 将微分方程的 d 用复变量s替换，c(t)和r(t)就转
duc RC uc ur duc dt
RC电路
R
i
C
uc
其中， C ，即获得该电路的微分方程。现要 i dt 求在已知ur (t)的条件下，求uc (t) ？ （1）直接解微分方程，求出两者的关系式； （2）将微分方程做拉式变换，得到 RCs 1Uc s U r s 将ur(t)转换为Ur(s)，代入，求得Uc(s)，再拉式 反变换。 2013-6-30 24


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系统辨识的基本原理—等价准则
其中，q-1为后移算子，即
1
q yk yk 1 则误差准则为
J
L 1 k 1
Aq yt Bq ut
1
2
这里， 表示方程中的参数，即ai , bi , i 1,2,, n 。 当给定输入输出u和y时，误差是线性的，即误差准 则函数J 关于模型参数空间是线性的，其参数可 以用最小二乘法辨识得到。
输入误差示意图
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系统辨识的基本原理—等价准则
③ 广义误差：将输入、输出误差组合而成， et Gg 1 y t G1u t 定义为 G 其中， 1 和 G 21称为广义模型。
激励信号u 辨识对象 模型 +
逆模型 G2 1
y
G1
e
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广义误差示意图
系统辨识的基本原理—等价准则
① 输出误差：令输出误差为 e y yg 输出误差通常是参数的非线性函数，这种参数辨识 是一种复杂的非线性最优化问题，当误差和参数的关系 是一次函数时，称模型是关于参数线性的。 参数线性模型按照最小均方误差准则，采用最小二 乘（LS，Least Square），可实现对参数辨识。 辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手段。 这里，系统线性和参数线性是不同的概念。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Chapter1
系统辨识的基本原理； 系统描述的数学模型； 随机信号的描述与分析； 白噪声与伪随机码；
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系统辨识的基本原理
例如，一个工业炉加热过程中，若忽略其他因素， 控制的主要目标是燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输 出）之间的关系：
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系统描述的数学模型
③ 动态系统按描述模型方式，划分为参数型和非参 数型，参数型用模型的系数来描述系统，如微分方程和 传递函数中的ai、bi系数，状态空间方程中的系数矩阵 A，B，C，D等。 线性定常系统状态空间表达式： xt Axt But
y t Cxt Dut
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系统辨识的基本原理—等价准则
② 输入误差：令输入误差为 et ut ut ut Gg 1 y t


其中， Gg 1 为模型Gg的逆系统，其关系如图：
激励信号u 辨识对象 e y


系统逆模型
Gg 1
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f 0 lim sF s
s

③ 终值定理 若 L f t F s ，且 sF s 所有极点均在s平面左 半平面（稳定），则 f lim sF s
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s 0
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系统描述的数学模型-参数模型类
Laplace变换的重要性质: ④ 卷积定理 在Fourier变换中，卷积定义为： f1 t f 2 t f1 f 2 t d 在Laplace变换中，当t<0时，f1(t)=f2(t)=0，此 t 时，卷积为
系统描述的数学模型-参数模型类
（一）连续系统的参数模型 一个线性连续动态系统可以分别用时域的微分方 程和频域的传递函数来表示。连续时间、线性、定常 系统，其动态特性可以用n阶微分方程来表示：
（B）
r t
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Rs
g t
d n c(t) d n -1c(t) dc(t) an a n -1 a1 a 0 c(t) n n -1 dt dt c t dt