大学数学练习题

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大学数学习题及答案

一 填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程2

1y dx dy -=

的常数解是________.

6 方程0

')('')

(==+-x q

x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换

_______

7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.

8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.

9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)

()('x q y x p y =+有积分因子

(=μ ).

12 求解方程y x dx

dy /-=的解是( ). 13

已知(

)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则

a

=____________.

14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0

)0(22y y

x dx

dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区

间是( ). 15方程0652

=+-⎪

⎭

⎫

⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ).

16方程

5

34

y x y dx dy =++⎪⎭

⎫ ⎝⎛的阶数为_______________.

17若向量函数)()();();(3

2

1

x x x x n

Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.

18若P(X)是方程组Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19．方程

d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是

____________________．

20．方程04=+''y y 的基本解组是____________________． 21．方程

1

d d +=y x

y

满足解的存在唯一性定理条件的区域是

____________________． 22．函数组)

(,),(),(2

1

x x x n ϕϕ

ϕΛ在区间I 上线性无关的

____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零． 23．若)

(),

(21

x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解

组，则它们____________________共同零点． 二 单项选择:

1 方程

y x dx

dy

+=-31

满足初值问题解存在且唯一定理条件的

区域是( ).

(A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程1

+=

y dx

dy ( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个

3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).

(A) 1

=y (B)

x

y = (C)

x

y sin =

(D)x

e y =

4 方程x

e y y x

==-''的一个特解*y 形如( ).

(A)b

ae x

= (B)bx

axe

x

+ (C)c

bx ae

x

++ (D)c

bx axe

x

++

5

)

(y f 连续可微是保证方程)(y f dx

dy =解存在且唯一的( )条件．

（A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分

6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间

(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

7 方程

32

3y dx

dy

=过点(0,0)有( ).

(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题 ⎝

⎛=1

0'x

⎪⎪⎭

⎫01x ,

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=11)

0(x 在区间,

∞

<<∞-t 上的解是

( ). (A)

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B)

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C)

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D)

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=e e u t )(

9 方程0

cos 2

=++x y x

dx

dy 是( ).

(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程 10 方程0

32

=+⎪⎭

⎫

⎝⎛dx dy dx dy 的通解是( ).

(A)x

e C C

321

+ (B) x

e C x C 321-+ (C)x

e C C

321

-+ (D)x e C 32

-

11 方程

442

=++⎪⎭

⎫

⎝⎛y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).

(A) x

e x 2,- (B)x

e 2,1- (C)x

e x

22

,- (D)x

x

xe e

22,--

12 若y1和y2是方程

)()(2

=++⎪⎭

⎫

⎝⎛y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则

2

211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数）

(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解 (C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解