(完整版)北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案
(完整版),复变函数与积分变换期末考试题及答案,推荐文档
1. z0 为函数 f z 的 m 阶零点;
2. z0 为函数 f z 的 m 阶极点;
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六.(15 分)写出函数
的幂级数展开式至含项为止,并指出其收敛范围。
cos z
七.(10 分)求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题(15 分,每空 3 分)
1. ln 2 i 。2. i 。3. 2 z 3 3 。4. 半平面 Re w 1 R。5.0。
4
2
三.(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件,先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷(B)
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式:闭卷
专业年级:电子科学与技术 总分 100 分,占总评成绩 70 %
注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上
三、单项选择题(15 分,每小题 3 分)
1.A。2. B 。3. A。4. C。5.C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz
完整版《复变函数》期末试卷及答案A卷
学号和姓名务必正确清楚填写。
因填写错误或不清楚造成不良结果的,均由自己负责;如故意涂改、乱写的,考试成绩视为无效。
系别专业班级姓名XXXX学院 2016— 2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号(最后两位)总分题号一二三四统分人题分30 20 30 30复查人得分答一、单项选择题(本大题共10 小题,每题 3 分,共 30得分评卷人复查人题分,请从每题备选项中选出唯一吻合题干要求的选项,请并将其前面的字母填在题中括号内。
)勿1. Re(i z) ( )超过 A. Re(i z) B. Im(i z)此 C. Im z D. Im z密2. 函数f ( z)2( )封z 在复平面上线 A. 各处不连续 B.各处连续,各处不可以导, C. 各处连续,仅在点z 0 处可导 D. 各处连续,仅在点z 0 处剖析否1,则a b的值则 3. 设复数a与b有且仅有一个模为( )视1 abA. 大于 1B. 等于 1C. 小于 1D.为无量大无4. 设z x iy, f ( z) y i x ,则 f ( z) ( )效 A. 1 i B. i C. 1 D. 0。
C z 1sin z2 i ,则整数n 等于设是正向圆周,5. C z n dz ( )A. 1B. 0C. 1D. 26. z 0 是f (z)e z 1的( )z2A. 1 阶极点B. 2 阶极点C. 可去奇点D. 本性奇点7. 幂级数( 1)n z n 的和函数是( )n 02n n!z zA. e zB. e2C. e 2D. sin z8. 设C是正向圆周z 2 ,则dz( )C z2A. 0B. 2 iC. iD. 2 i9. 设函数f ( z)在0 z z0 R (0 R ) 内剖析,那么z0是 f (z) 的极点的充要条件是( )A. lim f (z) a (a为复常数)B. lim f ( z)z z0 z z0C. lim f (z) 不存在D. 以上都对z z010. ln z 在 z 1处的泰勒级数张开式为( )A. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11B. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 1 n 1 n 1 nC. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11D. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 0 n 1 n 0 n得分评卷人复查人二、填空题 ( 本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分 )11. z 1 2i 的共轭复数 z ________ .12. 设 z (2 3i )( 2 i ) ,则arg z ________ .13. 在复平面上,函数 f (z) x2 y 2 x i (2xy y2 ) 在直线________ 上可导 .14. 设 C 是正向圆周z 1 ,则cos5z________ .dzC z15. 若级数z n收敛,而级数z n发散,则称复级数z n为________ .n 1 n 1 n 1《复变函数》试卷第 1页(共 4 页)《复变函数》试卷第2页(共4页)1 / 3得分评卷人复查人5 小题,每题8 分,共 40 分 ) 1 i 2dz .三、计算题 ( 本大题共20. 计算积分z16.利用柯西 - 黎曼条件谈论函数 f (z) z的剖析性 .17. 判断数列2017 ni 的收敛性 . 若收敛,求出其极限 . 得分评卷人复查人z n三、证明题 ( 本大题共 1 小题,每题 15 分,共 15 分 )n 121. 试证明柯西不等式定理: 设函数f ( z)在圆C : z z0 R 所围的地域内剖析,且在 C上连续,则f ( n) ( z0 ) Mn! ( n 1,2,...)R n其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.18. 求在照射w z2下, z 平面上的直线z ( 2 i )t 被照射成 w 平面上的曲线的方程.19. 求e z在z0 处的泰勒张开式.《复变函数》试卷第 3页(共 4 页)《复变函数》试卷第4页(共4页)2 / 33 / 3XXXX 学院 2016-2017 学年度第一学期期末考试复变函数 答案( A 卷)一、单项选择题(本大题共10 小题,每题 3 分,共 30 分)1 -5 C C B B D 6-10 A C A B C二、单项选择题(本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分)11. 1 2i 12. arctan813. 1y 14. 2 i 15.2条件收敛三、计算题(本大题共 5 小题,每题 8 分,共 40 分) 16. 解:因 f ( z)z x iy ,故 u( x, y)x, v(x, y)y ,从而u 1,u 0,u 0,u 1,x yxy因此在任何点 ( x, y) 处,uv,因此 f (z) 在复平面内各处不剖析。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题(一) 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z I d ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ,则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题(A)1.1 -i⼀.填空题(每⼩题3 分,共计15 分)的幅⾓是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1);3.f (z) =1 +z 2,z - sin z f (5)(0) =();f (z) =1,4.z = 0 是z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=();⼆.选择题(每⼩题3 分,共计15 分)1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为();(A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y;(C) f '(z) =ux+ivy ;(D) f '(z) =u y +iv x.2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则?C f (z)d z = 0 .3;(B)3(z -1);(C)3(z -1);(D)3.n=1(A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛;(C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点⼀定发散.4.下列结论正确的是( )(A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点⼀定解析;得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ?C f (z )dz = 0(C )如果 ?C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析;(D )函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是().(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共计 40 分)(1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .z(2).计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ;得分zd z (3)计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数;(1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞五.(本题 10 分)⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、(本题 6 分)求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换,并由此证明:costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准⼀.填空题(每⼩题 3 分,共计 15 分)得分3 的幅⾓是( 2k Ln (-1 + i ) ee 1. 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 );2.的主值是( 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 , f(5)(0) = ( 0),4. z = 0 是1 z4的(⼀级)极点;5. f (z ) = z, R e s [ f (z ),∞] =(-1);⼆.选择题(每题 3 分,共 15 分)1----5B DC B D三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共 40 分)(1).设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .解:因为 f (z ) 解析,由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, , a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( )A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( )4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4.关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ).z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( )A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7.在下列复数中,使得ze i =成立的是( ).ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8.已知31z i =+,则下列正确的是( )12.iA z e π=34.i B z π=712.i C z eπ=3.iD z π=9.积分||342z dz z =-⎰的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于( ) A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上,条件收敛12.0=z 是函数(1cos )ze z z -的( )A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13.1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为( )A. 0.1B C.12D. 12-14.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π15.已知()[()]F f t ω=F ,则下列命题正确的是( ) A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 16. 设121,1z i z =-=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=,则映射在01z i =+处的旋转角为____________,伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =,则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到3-4i 的直线段,计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f '24.已知22(,)4u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题(共4小题,每题8分,共32分) 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=,使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =,arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案
一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ); 2.)1(i Ln +-的主值是( i 432ln 21π+ ); 3. 211)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ), 4.0=z 是 4sin zzz -的( 一级 )极点; 5.zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 );二.选择题(每题4分,共24分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为(B ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=⎰Cz z f . (A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z .3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(C )(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( B )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰Cdz z f(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( D ).的可去奇点;为、z A 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分) (1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)
给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。
(2).计算
C
(z
ez 1)2
z
dz
其中
C
是正向圆周:
解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算, 仅给出用前者计算过程
因为函数
f
(z)
(z
ez 1)2
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0, z 2
1,分别以
z15
(3).
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
解:设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在: z 3 内,由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
-----(5 分)
2i Re s[ f (1) 1 ] z z2
f (1) 1
( 1 )15 z
1
z z 2 (1 1 )2 (2 (1 )4 )3 z 2
z2
z
----(8 分)
1 f( )
1
1
有唯一的孤立奇点z 0,
z z 2 z(1 z 2 )2 (2z 4 1)3
lim lim Re s[ f
1 ()
1
,0]
1 zf ( )
1
1
1
z z2
z 0
(4) z 2,3,4L ,为f (z)的三级极点;
:
f
(z)
z(z2
1)(z 2)3 (z (sin z)3
3)2
的奇点为z
k, k
0,1,2,3,L
,
(1) z k,k 0,1,2,3,L 。。 sinz。 3 0。。。。。。
(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)
a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ,则⎰C z2=()楚造成不良后果的,均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责;如故意涂改、乱写 的,考试成绩 答一、单项选择题(本大题共 10 小题,每题 3 分,共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析,那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a ( a 为复常数)B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
)()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续,处处不可导线 C.处处连续,仅在点 z = 0 处可导D.处处连续,仅在点 z = 0 处解析,3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1,则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ,f (z ) = - y + i x ,则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 , ⎰C dz = 2i ,则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号(最后两位)总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下, z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ,则arg z =.13.在复平面上,函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ,则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛,而级数∑ zn 发散,则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛,求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题,每小题15 分,共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析,且在C因此在任何点(x , y ) 处, ∂u ≠∂v,所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
北京交通大学复变函数和积分变换期末试卷及其答案
北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷(B )学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一.(1) 方程()t i 1z +=(t 为实参数)给出的曲线是 ; (2) 复数3i 1+的指数形式是 ; (3) 函数()224z z 1z +-,z=0为 级极点,2i z ±=为 级极点;(4)(5) 若∑==0n n n2nz )(z f ,则其收敛半径 ;(6) 计算留数:⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ;(7) 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为;(8) 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ;(9) C 为以a 为圆心,r 为半径的圆周,计算()⎰-Cna z dz(n 为正整数); (10) 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题(25分,每小题各5分) (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为:①连接由原点到1+i 的直线段;②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知:()()3z e 1zsinzz f -=求:]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r(4)、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-,其中2||=z C 为正向圆周:。
(5)计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-(7分)四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=,已知()233x y x y ,x u -= ,且()i 0f =.(7分)五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程,即0,0=∆=∆ψϕ;其中22y x ∂∂+∂∂=∆, 并求以此为虚部的解析函数()z f .(8分)六、(8分)求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式(1).1|1|0<-<z (2)0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线(8分) 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换(7分)一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y(9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为:z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
北京交通大学《复变函数与积分变换B》试卷A及其答案
2006-2007 学年第一学期《复变函数 B》期末考试卷(A)答案
一、填空题(本题满分 20 分,每空 1 分)
1.复数 z =
2i ,则 Re( z ) = i −1
1 5− i 2
1
, Im z = -1
,z =
2 , arg z = −
π
4
;
2.
8 + 6i = 10 , arg(2e
2分
4分
六、应用题(本题满分 10 分)
30.求把单位圆映成单位圆的分式线性映射,并满足 f ( ) = 0, arg f ′( ) =
π
2
.
1 iφ 2 解: w = e 1 1− z 2
z−
2分
由已知条件,可有 w = i
2z −1 。 2− z
4分
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15.( 16.(
× )若 f ( z ) 在 z0 点可导,则 f ( z ) 在 z0 点解析; × ) cos z ≤ 1 ( z 为任意复数) ;
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17.( 18.( 19.( 20.( 21.( 22.(
× )∫
C
1 dz = 2πi ( C 为平面内任一条闭曲线) ; z−a
Hale Waihona Puke )=−1 ; 22006 级极点; 角 性, 保 ; 圆 性, 保 对称点 性;
3. z = 0 是函数 f ( z ) =
ez −1 的 z 2007
4.分式线性映射在扩充复平面是 1-1 对应的, 且具有 5.设 z = 0 是 z (e
2 z2
− 1) 的 m 级零点,则 m =
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题(一) 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z I d ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ,则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
北京交通大学复变函数和积分变换期末试卷及其答案
北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷(B )学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一.(1) 方程()t i 1z +=(t 为实参数)给出的曲线是 ; (2) 复数3i 1+的指数形式是 ; (3) 函数()224z z 1z +-,z=0为 级极点,2i z ±=为 级极点;(4)(5) 若∑==0n n n2nz )(z f ,则其收敛半径 ;(6) 计算留数:⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ;(7) 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为;(8) 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ;(9) C 为以a 为圆心,r 为半径的圆周,计算()⎰-Cna z dz(n 为正整数); (10) 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题(25分,每小题各5分) (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为:①连接由原点到1+i 的直线段;②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知:()()3z e 1zsinzz f -=求:]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r(4)、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-,其中2||=z C 为正向圆周:。
(5)计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-(7分)四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=,已知()233x y x y ,x u -= ,且()i 0f =.(7分)五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程,即0,0=∆=∆ψϕ;其中22y x ∂∂+∂∂=∆, 并求以此为虚部的解析函数()z f .(8分)六、(8分)求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式(1).1|1|0<-<z (2)0<2z -<1. 七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线(8分) 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换(7分) 一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为:z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、(本题6分)求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
(2).计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周: 解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ,分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。
(3).⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解:设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在:3<z 内,由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----(5分) ]1)1([Re 22z z f s i π= ----(8分)234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------(10分)(4)函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级. 解:∞±±±==-+-=,的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π(1)的三级零点,)为(032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,(2)的可去奇点,是的二级极点,为,)()(,z f z z f z z 210-=±== (3)的一级极点,为)(3z f z =(4)的三级极点;,为)(4,3,2z f z±-=(5)的非孤立奇点。
复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -2.)1(i Ln +-的主值是();3. 211)(z z f +=,=)0()5(f( 0 ),4.0=z 是4sin z z z -的( 一级 )极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 );二.选择题(每题3分,共15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );(A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰Cz z f .(A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ;3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z+=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试补考试卷考试时间: 年 月 类型:闭卷 时间:120分钟 总分:100分 专业:信工一、填空题(3'1030'⨯=)1、i +1的模和副角主值分别为___2____,______4π_____。
2、3i 副角主值是____2π________________。
3、设(32)(25)13,_____,______i x i y i x y ++-=-==4、f(z)=21(4)z z -的孤立奇点是 _-2_______,______2i_____,______-2i______。
5、2Re ,1(1)(1)zs z z ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦ 2i π , 6、(33)i e+=_______3(cos3sin 3)e i +。
7、⎰=22z dz z =_________________。
8、()311i -的解是_____)12sin 12(cos 26ππi -___,_____)127sin 127(cos26ππi +______,_____)1215sin 1215(cos 26ππi -_______。
9、⎰=231cos z dz z z =___12iπ_____。
10、级数∑∞=12n n 的敛散性是发散(填:发散,条件收敛,绝对收敛) 二、选择题 (3186=⨯)1、下列复数中,位于第Ⅱ象限的复数是( C )A.1+iB. .-1+i C 1-i D.-1-i2、设,11iiz +-=则 =z z ( C ). (A) i ; (B) i -; (C) 1 ; (D) 1-C 、0,()aa =≠∞∞D 、0⋅∞=∞3、对于幂级数,下列说法正确的是( A ) A 、在收敛圆内绝对收敛 B 、在收敛圆内条件收敛C 、在收敛圆周上处处收敛D 、在收敛圆周上处处发散 4、级数∑∞=-0n n )i (的和为( B )A.0B.不存在C.iD.-i5、z=0是zzz f sin )(=的哪类孤立奇点( B ) A 、极点 B 、可去奇点 C 、本性奇点 D 、不能确定6、ϕϕsin cos 1+-(πϕ<<0)的三角形式是(A )A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin 22cos 2sin 2ϕπϕπϕi C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2cos 2sin 2sin 2ϕϕϕi三、解答题(共6题,共计52分)1、(12分)计算积分z =1dz z(z-3)⎰ 和||221(1)z z dz z z =--⎰, (3)利用留数求积分⎰=-4|41z dz z z解:z =1dz z(z-3)⎰=01lim 2(33223z iz iππ→--=-分)(分)||221(1)z z dz z z =--⎰=||21z dz z =⎰+||21(1)z dz z =-⎰(3分)=4i π(2分)(3)解:孤立奇点分别为、i i --,,1,1,且为简单极点院系: 专业班级: 姓名: 学号:装 订 线 内 不 准 答 题装 订 线⎰=-4|41z dz z z=0 (4分)2、(8分)已知f(z)=u+iv 是解析函数,xy y x u +-=22,且满足0)0(=f 求f(z) 解:写出柯西黎曼方程 2分y x yvx u +=∂∂=∂∂2 2分 x y yu x v -=∂∂-=∂∂2 )2(2)(x y i y x z f -++='=iz z -22分f(z)= c iz z +-2221 又因为 0)0(=f ,f(z)=2221iz z -所以2分3、(8分) 将函数)(z f =2)1(1z z -在圆环0<z 10<z 11<-<和内展成洛朗级数。
复变函数与积分变换期末试题及答案
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题:(每题3分)1.i 31--的三角表达形式: ; 指数表达形式: ; 几何表达形式: . 2.=-i 2)3( ;3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度,则≤⎰z z f C d )( . 4.级数21n z z z +++++的和函数的解析域是 。
5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 二、解答题(每题8分)1.设22()i f z xy x y =+,则()f z 在何处可导?何处解析?2.已知f (z )的虚部为222121),(y x y x v +-=,求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。
4.求sin d (1)Czz z z -⎰,其中C 为||2z =。
5.求e d cos zCz z⎰,其中C 为||2z =。
6.把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
7.指出 6sin )(z zz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内, 且满足0)21(=f ,2)21(arg π='f 的分式线性映照。
四、利用拉氏变换求解微分方程(6分)⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t (提示:1[]1t L e s -=+)试题答案一、填空题:(每题3分) 1.i 31--的三角表达形式:222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式:2(2)32k i eππ-+ ;几何表达形式:|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2.=-i 2)3(222ln3k ieππ--+;3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度,则()d Cf z z ML ≤⎰.4.级数21n z z z +++++的和函数的解析域是||1z <。
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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷(B )学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一.(1) 方程()t i 1z +=(t 为实参数)给出的曲线是 ; (2) 复数3i 1+的指数形式是 ; (3) 函数()224z z 1z +-,z=0为 级极点,2i z ±=为 级极点;(4)(5) 若∑==0n n n2nz )(z f ,则其收敛半径 ;(6) 计算留数:⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ;(7) 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为;(8) 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ;(9) C 为以a 为圆心,r 为半径的圆周,计算()⎰-Cna z dz(n 为正整数); (10) 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题(25分,每小题各5分) (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为:①连接由原点到1+i 的直线段;②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知:()()3z e 1zsinzz f -=求:]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r(4)、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-,其中2||=z C 为正向圆周:。
(5)计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-(7分)四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=,已知()233x y x y ,x u -= ,且()i 0f =.(7分)五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程,即0,0=∆=∆ψϕ;其中22y x ∂∂+∂∂=∆, 并求以此为虚部的解析函数()z f .(8分)六、(8分)求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式(1).1|1|0<-<z (2)0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线(8分) 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换(7分)一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为:z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
将被积函数展为罗朗级数()32323233z 2!z 1!3z 1z z !2zz !3z z z e 1zsinz ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-ΛΛΛΛ, 后面那个分式在z=0为解析,故可展为z 的幂级数: Λ++z a 11 (其中1a 及以下各项不需关心) 于是在z=0的去心邻域内有()Λ---=-13z a z1e 1zsinz由此即得()10,e -1zsinz Res 3z -=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ 故由留数定理,原积分等于π2-i.(3)因为()z 1ln +在积分区域内解析,在边界连续, 故由柯西积分定理原积分等于0。
(4)因为z=-i 在积分区域内,所以 原积分=()dz i z z 9z C 2⎰--- =5|z9z i 2iz 2ππ=-⋅-= (5)在单位圆周1z =内,函数2z 1e 只有一个本性奇点z=0.在该点的去心邻域内有罗朗展式,z 1!21z 11e 42z 12Λ+++= 于是 00,e Res 2z 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡故由留数定理 原积分等于00,Re 221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅z e s i π.三、函数在4z =内有两个奇点:z=0,1.由复合闭路定理有()dz 1z z e 4z 22z⎰=-=()()⎰⎰==-+-211-z 22z21z 22zdz 1z z e dz z 1z e()()ie eii z e i z e i z zz z -=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===32262121'2'2πππππ四、由C.-R.条件中的一个得(),x y -y 3x v ,3y 3x u v 3222x y ϕ+=-==再由C.-R.条件中的另一个得(),6xy u x 6xy v y 'x =-=+=ϕ故 ()(),C x 0x '==ϕϕ即因此 ()C y y 3x y ,x v 32+-=故()()().iC iy x C y y 3x i y 3x x iv u z f 33223++=+-+-=+=要满足 f(i)=0,必C=1,故f(z)=i z 3+. 五、解:()()0x y x xxy 1x 1v 0x y x y xy 1x y v 2222y 22222x >+=+=>+-=+-=()()222y y ,222xx yx2xyv yx2xyv +=+-=(x>0)于是 ()0x 0v v y y xx >=+故在右半z 平面内,v(x,y)是调和函数。
()()y dx u y ,x u x ψ+=⎰()y dx v y ψ+=⎰=()()()y y x ln 21y dx y x x 2222ψψ++=++⎰ 两端对y 求导()22xy '22y x y v u y y x 2y 21+=-==+⋅ψ 所以 ()()(),任意常数从而C y ,0y '==ψψ()()C y x ln 21y ,x u 22++= 故 ()()()0x xyiarctg C y x ln 21z f 22>+++=Clnz C iarctgz z ln +=++=六、由题可知被积函数在z 平面内只有两个奇点z=1及z=2.则(1) 在去心邻域 .1|1|0<-<z 内 ()()()2z 1z 1z f --==2z 11z 1-+-- =()()∑∞=----=--+--n n1z 1z 111z 11z 1 (2) 在去心邻域0<2z -<1内 ()()()2z 1z 1z f --=12z 12z 1+---==()()nn n 2z 12z 1----∑∞=.七、在实轴上取三点1z ,0z ,z 321==∞=,则对应的三个象点为i 1,2,0321+===ωωω.由此得到象曲线为.11=-ω进一步还可得到,上半平面被映射到圆的内部,而下半平面被映射到圆的外部。
八、由题意知所求函数的傅立叶变换等于()()dt e dt et f F t j -tj ⎰⎰-+∞∞--==δδωωω()δωδωδωδωωωωδωδδδωsin 2sin 2e e j 1e j 1j j t j ==--=-=---。