二次函数拔高训练 第六讲

2020年九年级二次函数模型专题

母题:如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

模型一：点P为抛物线上直线AM下方一动点，E为线段AM上一动点，且PE//Y轴，当点P的坐标为多少时，线段PE的长度有最大值？

模型二：点P为抛物线上一动点，E为直线AM上一动点，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由。

模型三：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

是直角三角形，若存在，请求模型四：在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得BMP

出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

模型五：点P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

∆面积的最大值。

模型六：点P为抛物线上直线AM下方一动点，请求出AMP

模型七：点P为X轴下方抛物线上一动点，当点P的坐标为多少时，四边形ACPB面积有最大值，并求出四边形ACPB面积的最大值

∆的周长最小，若存在，请求出点P 模型八：在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得BMP

的坐标，若不存在，请说明理由。

模型九：在抛物线的对称轴上找一点P ，使得的坐标的值最大，求出点P BP MP

模型十：如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥ x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

二次函数与角

方法：点----线-----点 【典例分析】

【例1】如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于C ． （1）点P 为抛物线上，若∠PAB ＝∠ABC ，求P 点坐标；

（2）点P 为抛物线上，若∠PCA ＝45°，求P 点坐标．

【同类变式】

【变式1】如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于C ．点P 为第抛物线上

一点，∠PAC ＝45°，求P 点坐标．

【变式2】如图，抛物线y ＝2x －4x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连AC ，将直线AC 向右平移交抛物线于点P ，交x 轴于Q 点，且∠CPQ ＝135°，求直线PQ 的解析式．

【拓展变式】

【例2】如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于C ．点P 为第抛物线上

一点，∠PCA ＝90°，求P 点坐标．

【练习】如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于C ．点P 为第抛物线上 一点，PA ⊥AC ，垂足为A ，求P 点坐标．

【例3】（2016年武汉中考）如图，抛物线y ＝

215

x －16

5与x 轴交于A ，B ，点P （1，m ）在抛

物线上，若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标．

【变式】如图，抛物线y＝

1 2

2

x＋x＋

3

2

交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点C，P为第一限抛物线上一点，若∠PBC＝∠OBC，求点P的坐标．

【综合练习】

（江岸区九上期中）如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m为常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD；过点A作射线AE交二次函数图象于点E，使AB平分∠DAE．证明：无论a，m取何值，点E在同一直线上．

x

y

O

P

B

C