导数与参数分离(习题)

导数与参数分离

例1．已知函数ln 1()ln ,() 2.

x f x ax x g x x =-=

+若[][]101,,1,x e x e ∀∈∃∈,10()()f x g x =,求a 的取值范围.

@

答案：

213]2a e e ∈+

例2．已知.,,ln )(],,0(,ln )(R a e x x x g e x x ax x f ∈=

∈-=是自然常数其中 （1）讨论)(,1x f a 时=的单调性、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，;21)(|)(|+

>x g x f &

（3）是否存在实数)(,x f a 使的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

~

2e a =

例4．已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且 ．

（1）求函数)(x f 的单调区间；

…

（2）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为1，问： m 在什么范围取值时，

对于任意的]2,1[∈t ，函数)](2

[)(2

3x f m x x x g '++=在区间)3,(t 上总存在极值 （3）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=x e p x p x h ，若在区间],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．

综上所述，p 的取值范围是),14(

2+∞-e e (

例5. 已知函数)(cos 2sin )(R b bx x x x f ∈-+=

（1）是否存在实数b ，使得()f x 在2(0,

)3π为增函数，2(,)3ππ为减函数，若存在，求出b 的值，若不存在，请说明理由；

（2）如果当0x ≥时，都有()0f x ≤恒成立，试求b 的取值范围.

;

综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,31b 。

例6.已知函数211()ln()22f x ax x ax =+

+-.（a 为常数,0a >） 、

（Ⅰ）(1)若12

x =

是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （Ⅱ）(15)求证：当02a <≤时，()f x 在1[, )2

+∞上是增函数； （Ⅲ）(51)若对任意．．的(1, 2)a ∈，总存在．．01[, 1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围.

]

为1[, )4+∞.

例7．设函数.

2)(,ln 2)1()(x e x g x x x p x f =--=（p 是实数，e 是自然对数的底数） \

（1）当2p =时，求与函数()y f x =的图象在点A （1，0）处相切的切线方程；

（2）若)(x f 在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围；

（3）若在],1[e 上至少存在一点)()(,0

00x g x f x >使得成立，求p 的取值范围. min 22()()21

p e T x T e e ≥==-

例8．设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2

（1）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；

（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有)4(2e x f ≤成立，注：e 为自然

对数的底数。

综上，a 的取值范围是33.

e a e ≤≤