经济预测与决策方法 (9)

D W 检验适用条件：
⑴变量x是非随机变量；
⑵随机项的产生机制是一阶自回归：ut ut1 vt ，－1≤ ≤ 1，
为一阶自回归系数；
⑶不适合于被解释变量的滞后值作为解释变量的滞后模型,
如
yt 0 1xt 2 yt1 ut
；
⑷大样本， 即n充分大；
(5)截距项不为零；
(6)统计数据无缺失项。
D W
统源自文库量为
n
DW

(et et1)2
t2
n

2(1 r)
et2
t 1
分子是残差的一阶差分平方和，分母是残差平方和。
DW值介于0到4之间，DW值越接近于2，u的自相关性越小； DW值越接近于零，u越呈正自相关；DW值越接近于4，u越 呈负自相关。
在给定显著性水平下，建立了检验的下临界值dL与上临界值dU
（1H）0：当 D≠W0＜，d存L时在，一拒阶绝正原自假相设关H。0： =0；接受备择假设 ：
（2） 当DW＞(4－dL)时，拒绝原假设 H0 ： =0；接受备择假
设 H0： ≠ 0，存在一阶负自相关。
（3） 当dU ＜DW＜(4－ dU)时，接受原假设 H0： =0，不
存在自相关。
（4） 当dL ＜DW＜ dU或 (4－ dU)＜＜(4－ dL)时，则这种检 验没有结果，即是否存在自相关，不能确定。
得
yi
i


0
(
1 i
)

1
(xii
)

ui i
（ 4.2.1）
令 即
vi

ui
i
ui | xi ～
，称为变换后的模型的随机项，由于 ui的条件分布
N
(0,
2 i
)
，则 u（ii 标准正态化）的条件分布
即 vi | xi ～N（0，1），由此可得
Var(uii ) Var(vi ) 1
(i 1,2,,n) （4.2.2）
这表明式(4.2.1)模型中的随机项 vi 满足了同方差性的假定。 对变换后的模型（4.2.1）就可以用常规的 进OL行S 估计了。
n ei2
i 1

n i 1
(
yi i

yˆi i
)2

i
n 1
(
yi i
b0 i

b1
xi i
三、异方差的消除方法
异方差消除的基本思路是将原模型加以“变换”，使得“变换”
后的模型具有同方差性。
当

2 i
已知或者可以估计出来，可利用加权最小二乘法消除异方差。
当选择的权数为
wi

1
i2
时，加权最小二乘法的实质是用
方差
的 i2平方根
对i 原模型进行变换。
以一元线性回归模型为例，其变换的方法是用除以模型的两端，
（4）步骤如下：
1）利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差 ei (i 1， 2，…，n) 。
2）对 ei 关于某个 xi 的各种幂次关系进行回归，再利用最小
二乘法进行估计。
3）检验每个回归方程参数的显著性。对各个回归方程进行统 计检验，如果某种回归形式的拟合优度高，系数的t检验显 著，就说明 ei 存在该种影响关系，从而存在异方差。
若 Cov(ui,u j ) 0 ,即u在不同观测点下的取值相关联，则称u存 在序列相关或叫自相关。自相关性的一般形式为
ut 1ut1 2ut2 put p t
称之为p阶自回归形式，或模型存在阶自相关。 变量为截面数据的模型的随机项，可以存在自相关问题，但自
b i1 i1
1
n
n
i 1
i 1
n
wi wi xi2 ( wi xi )2
i1 i1
i 1
n
wi yi
n
wi xi
b0
y * b1x *
i 1 n
b1
i 1 n
wi
wi
其中，wi

1

2 i
。
i 1
i 1
（4.2.4） （4.2.5）
出残差 et （t=1, 2, …, n）然后绘制 et 、et1 的散点图。
如果大部分散点落在Ⅰ、Ⅲ象限，那么, et 与 et1 就是正相关，
这表明随机项 ut 存在正自相关；如果大部分点落在Ⅱ、Ⅳ象限，
那么
与et
就et是1 负相关，这表明随机项
存在ut 负自相
关。
⒉ Durbin—Watson检验（ 简称 D W 检验）
（5）特点：Glejser检验的计算工作量较大，一般是先通过 其检验方法确定了异方差存在之后，再用此方法确定异方
差的形式。
⒊ White（怀特）检验 G-Q检验需要按某一被认为有可能引起异方差的解释变
量观察值的大小排序，因此，需要对各个解释变量进行 轮流试验。而且，该方法只能检验单调递增或单调递减 型异方差。White（怀特）检验则不需要排序，且对任何 形式的异方差都适用，只要在大样本的情况下即可。
假定2：随机项
ui
等(条件)方差，即 Var(ui
|
xi
)


2 u
假定3：随机项无序列相关性，即
Cov(ui , u j ) 0 或 E(ui , u j ) 0
假定4：解释变量 x j 是非随机的（即在重复抽样中是固定
的），如果 x j 是随机的，则与随机项 ui 不相关，即
Cov( x j , ui ) 0
不妨设回归模型为二元线性回归模型 y 0 1x1 2x2 u
White（怀特）检验的步骤如下： （1）用OLS估计模型，计算出相应的残差平方和ei2 ，作辅
助回归模型 e2 0 1x1 2 x2 3x12 4 x22 5 x1x2 对于一元线形回归模型，辅助回归模型为：e2 0 1x 2 x2
相关更常出现在变量为时间序列数据的模型中。
自相关产生的原因很多，主要有： ⒈ 被解释变量的自相关（经济变量的惯性作用）。 ⒉ 模型省略了存在自相关的解释变量。 ⒊ 随机项本身存在自相关。 ⒋ 回归模型的数学形式不正确。
二、自相关检验
⒈ 图示检验法
根据给定的样本数据，先应用普通最小二乘法进行参数估计，求
若x散点分布的区域随着的增大，而逐渐变宽或逐渐变窄，或 是偏离了带状区域的复杂变化，则可认为随机项u可能出现 了异方差。
⒉ Glejser（戈里瑟）检验 （1）基本原理：建立残差序列对解释变量的（辅助）回归模型，
判断残差与解释变量之间是否存在着较强的相关关系。
（2）基本思想：由普通最小二乘法得到残差后，取残差得绝对
D-W检验仅适用于一阶自回归，且D-W检验有着两个不能确定的 区域。一旦DW的值落在这两个区域，就无法确定u是否存在 自相关。
⒊ 回归检验法
（1）对原模型应用OLS，求出残差et；
（2）建立et与et-1 、 et-2的回归模型。由于它们之间的相互 关系形式未知，因此需要用多种函数模拟。常用的函数形
有了以上这些假定，根据Gauss-Markov定理，我们知
道古典回归模型的最小二乘估计量（ OL）SE是线性、无偏、
有效的
(估BL计UE量) ，而且由于正态性假定，它们服从正
态分布的。因此，就有可能得出区间估计式，而且也可以
检验真实总体回归系数。
二、违背古典假设造成的后果
⒈ 参数估计方差偏大； ⒉ 显著性检验失真； ⒊ 预测精确度降低。
在Eviews软件中可以进行加权最小二乘估计，其过程如下： （1）使用OLS估计模型 y 0 1x1 2x2 k xk u （2）进行Glejser（戈里瑟）等检验，得到异方差的具体形
式
（3）生成权数变量序列。可以选某个与异方差反向变动的变 量序列，如1/x，1/x2等。
式主要有：
et et1
e；t

et
2 1
；
et ； 1et1 2et2
et / e；t 1 et et1
（3）对建立et与et-1 、 et-2的回归模型进行统计显著性检验。 如果检验的结果是每一估计式都不显著，表明et与et-1 、 et-2不相关，即随机误差项序列无关。如果检验发现某一 个估计式显著，表明et与et-1 、 et-2相关，即随机误差项 序列相关。从而也就知道了相关的形式。
⒋ 高阶自相关性检验
（1）偏相关系数检验 可直接利用Eviews软件计算残差序列偏相关系数。 在方程窗口，点击View→Residual Test→Correlogram-Q-
( j 1，2，…， k )
假定5：在给定一定值的条件下， 随机项服从正态分布，即
ui
～
N
(0,
2 u
)
假定6：在多元回归模型中解释变量 x j ( j 1，2，…，k) 之
间不存在多重共线性。 设 X 为解释变量的观测值矩阵，
为n (k 1) 阶数值矩阵，则 rank( X ) k 1 , k 1 ＜ n 。
)2

n i 1
1

2 i
( yi

b0

b1xi )2

min
即
n ei2
i 1
n i 1
wi ( yi
b0
b1xi )2

min（其中： wi

1

2 i
），由
此可得模型（4.2.1）的参数估计式为：
n
n
n
n
wi wi xi yi wi xi wi yi
指定因变量和自变量,将选入Weight变量框。系统默认的
取值，是从2到2，每隔0.5取一值，即取2，1.5，1，
0.5，0，0.5，1，1.5，2。当然也可以自己定义取值的
范围和间隔。系统对这些取值逐一代入，计算其对数似然
函数。最大的对数似然函数对应的取值即为最优权数。
一、自相关的含义及其产生的原因
（2）计算统计量 nR2
（3）在H0 :1 2 3 4 5 0 条件下，nR2 渐近地服从自 由度为5的 2分布（对于一元回归，自由度为2）。给定显 著水平 ，比较 nR2 与 2 (5) ，若 nR2 ＞ 2 (5) ，则 拒绝 H0 ，说明模型参数中至少有一个显著地不为零，即 存在异方差。
• 了解：违背古典假设的原因和后果 • 理解：异方差性、序列相关性、多重共线性 • 掌握：应用Excel、SPSS、Eviews软件对违背古
典假设的回归模型进行数据拟合。
4.1 违背古典假设造成的后果 4.2 异方差 4.3 序列相关 4.4 多重共线性
一、古典假设
假定1：在给定解释变量 (xi ) 之值的条件下，随机项的条件均 值为零，即 E(ui | xi ) = 0
值 ei ，然后将 ei 对某个解释变量 xki 回归，根据回归系数
的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差。
（3）作用：不仅可以用于检验异方差的存在， 更重要的是可以 查明异方差的表现形式。
（4）Glejser检验的基本思路是：在残差 ei 关于解释变量的各 种幂次影响关系中，确定出一个最显著的函数形式，它不仅 可以说明异方差的存在，还确定了异方差的表现形式。
（5）对估计后的模型，再使用怀特检验判断异方差是否消除
在实际应用时，我们也经常使用自变量的幂函数的
倒数形式作为权数对原模型进行加权
wi

1 xim
但究竟m取何值合适，需要通过估计。SPSS提供了
权数估计的功能。运行SPSS，依次点击
AnalyzeRegressionWeight Estimate，打开对话框，
由于经济现象是错综复杂的, 所以等方差性的假定往往不符 合实际情况，而异方差是大量存在的。
⒉ 产生异方差的原因
（1）模型中省略的变量； （2）测量误差； （3）模型函数形式的设定误差； （4）偶然因素的影响。
二、异方差的检验
⒈ 图示法
从前面的分析可知，随机项 ui 的异方差与解释变量x的变化有 关。因此，我们可以利用因变量y与解释变量x的散点图或残 差 ei2 与x的散点图（在多个解释变量时作y或ei2 与认为和 异方差有关的x散点图，对随机u项i 的异方差作近似的直观 判断。
（4）使用WLS估计模型 y 0 1x1 2 x2 k xk u
在方程窗口点击Estimate按钮，在弹出方程说明对话 框中点击Option，在弹出的参数设置对话框中选定 Weighted LS，并在权数变量栏中输入权数变量，点击 OK，返回方程说明对话框；点击OK。
一、异方差的含义及其产生原因
⒈ 异方差的含义 古典线性回归模型的一个很重要的假定是随机项的同方差性，
对于每个 ，xi 的u方i 差都是同一个常数。当此假定不能满
足时，则 的方ui 差在不同次的观测中不再是一个常数，而是 取得不同的数值，即
Var(ui | xi ) i2≠常数 (i 1，2，…， n) 则称随机项 ui具有异方差性（Heteroscedasticity）。