西北工业大学821自动控制原理重难点解析课程讲义
西北工业大学自动控制原理 (2)
第二章：控制系统的数学模型§2.1 引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。
·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§2.2控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dtdiL u +⋅+⋅=↓ci C u =⋅c c c u u C R u C L +'⋅⋅+''⋅⋅=11cc c r R u u u u LLC LC'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =-=-∴ 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出012i A x k k x x -=代入B 等式：020012i x k )x x k k xf(=-- 02012i x k x )k k 1f(xf ++=⋅ 得：()i 1021021x fk x k k xk k f =++ ── 一阶线性定常微分方程 （3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：i C M m m ⋅=┈安培力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω┈牛顿变量关系：m mb a M E i u ω----消去中间变量有：a m m m m u k T =+ωω [][]⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R RJ T m e m mm m e m m m（4）X-Y 记录仪（不加内电路）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⋅===+∆⋅==∆ll 4p 3m2am m m m 1a p r k u :k :k :u k T :u k u :u -u u :电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θθθθθ a m rp u u u u l θθ∆----------- 消去中间变量得：a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l ─二阶线性定常微分方程即：a mm 321m m 4321m u T kk k k l T k k k k k l T 1l =++2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 ● 线性系统便于分析研究。
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ur
u u a m up
l
消去中间变量得：
Tm l l k 1 k 2 k 3 k 4 k m l k 1k 2 k 3 k m u a ─二阶线性定常微分方程
即： l
1 k1k 2 k 3k 4 k m kk kk l l 1 2 3 m ua Tm Tm Tm
R 1 1 uc uc ur L LC LC
── 2 阶线性定常微分方程
（2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析 A、B 点受力情况
A x 0 ) k2x0 k1 (x i x A ) f(x
A
B
由 k 1 ( x i x A ) k1 x A 解出 x A x i
第一章：自动控制理论的一般概念 §1.1 引言 §1.2 自动控制理论发展概述 发展过程： 19 世纪
呼应 与西方工业革命发展相
时域 复域 频域
20 世纪 60 年代初
古典控制理论 （单入/出）
与航天技术发展相呼应
现（近）代控制理论 （多入 / 出）
2．
闭环（信号有反向作用） 特点：复杂、抗干扰能力强、精度高、有稳定性问题。
3．
复合（前向联系、反向作用） 特点：性能要求高时用之。 例如：炉温系统可以采用开环或闭环的。
闭环控制工作原理：
给定量：使c跟踪r 外部作用： 干扰量：使c偏离r
控制目的：排除干扰因素、影响、使被控量随给定量变化。 负反馈原理——构成闭环控制系统的核心
0
at e
t 0 t 0
L[f ( t )] e at e st dt e sa t dt
0 0
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联系并准备
实验二：典型环节模拟 实验三：二阶系统特征参数对性能的影响
联系地点： 实验大楼 12 楼
联 系 人： 杨建华 (实验中心主任)
§3.5
线性系统的稳定性分析
§3.5.1 稳定性的概念 lim k(t) 0 t
§3.5.2 稳定的充要条件
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部 或所有闭环特征根均位于左半s平面
自动控制原理
西北工业大学自动化学院
自动控制原理教学组
自动控制原理
本次课程作业(9)
3 — 8, 9, 10
自动控制原理
（第 9 讲） §3 线性系统的时域分析与校正
§3.1 概述 §3.2 一阶系统的时间响应及动态性能 §3.3 二阶系统的时间响应及动态性能 §3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能 §3.5 线性系统的稳定性分析 §3.6 线性系统的稳态误差 §3.7 线性系统时域校正
§3.5
线性系统的稳定性分析（2）
§3.5.2 稳定的充要条件
根据系统稳定的定义，若 lim k(t) 0 ,则系统是稳定的。
t
必要性： (s) M (s) bm (s z1 ) (s z2 ) (s zm ) D(s) an(s 1 ) (s 2 ) (s n )
充分性：
C(s) (s)
解. 列劳斯表
s5 1
0
s4 2
0
s3 80
00
s2 e0
-2
s1 16 /e
0
s0 -2
-1
-2
列辅助方程： 2s4 2 0
d 2s4 2 8s3 0
ds
第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定
§3.5
自动控制原理基本知识点和重点难点-第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析2011年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
(NEW)西北工业大学《821自动控制原理》历年考研真题汇编(含部分答案)
目 录
2014年西北工业大学821自动控制原理考研试题（回忆版）
2013年西北工业大学821自动控制原理考研试题（回忆版）
2012年西北工业大学821自动控制原理考研试题（回忆版）
2011年西北工业大学821自动控制原理（B）考研真题
2010年西北工业大学821自动控制原理（A）考研真题
2009年西北工业大学821自动控制原理（B）考研真题
2008年西北工业大学427自动控制原理（A）考研真题
2007年西北工业大学427自动控制原理（A）考研真题
2006年西北工业大学427自动控制原理（A）考研真题（含答案）
2005年西北工业大学427自动控制原理（B）考研真题（含答案）
2004年西北工业大学427自动控制原理（A）考研真题（含答案）
2003年西北工业大学427自动控制原理考研真题（含答案）
2002年西北工业大学541自动控制原理考研真题（含答案）
2001年西北工业大学自动控制原理考研真题（含答案）。
西北工业大学自动控制原理课件-36资料教程
dx f(x, x)
dx
x
f (x, x) 0
x0
相轨迹以90°穿越 x 轴
§7.2
相平面法（3）
§7.2.3 相轨迹的绘制 —— 解析法
例2 设系统方程为 xn 2x0，
试绘制系统的相轨迹。
解
xdx dt
dx dx
dx dt
x
dx dx
n2x
x dx n 2xdx
1x2 n2 x2C
例3 系统方程 x x x 0 ,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。
解
xxdx (xx) dx
(xx) x
等倾斜线方程
x x
1
(1 )x x
3.752.191.581.180.820.42 0.19 1.75
1 1 0.36 0.84 1.73 5.67 5.761.730.840.360.00
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
例1 单位反馈系统
G(s) 5 s(s 1)
n 2.236 0.2236
r(t)1(t)
相轨迹图：相平面 + 相轨迹簇
§7.2
相平面法（2）
§7.2.2 相轨迹的性质
(1)相轨迹的斜率
设非线性系统方程为：
x f(x ,x ) 0
xd xd xd xxd xf(x,x) dxdxdt f(x,x)
x0.5xx0
特征 方程
x0.5xx0
s
s2 0.5s 1 0
s2 0.5s 1 0
s
= =
0.25
0 .7 8
-
1
.
2
8
j0 .9 7
不稳定焦点 鞍点
西北工业大学考研专业课《821自动控制原理》真题、典型题解析讲义
西北工业大学考研专业课《821自动控制原理》真题、典型题解析讲义西北工业大学考研专业课《821自动控制原理》真题、典型题解析讲义一、文章类型及主题本文主要针对西北工业大学考研专业课《821自动控制原理》的真题和典型题进行解析，旨在帮助考生更好地掌握自动控制原理的基本概念和方法，提高解题能力和应试水平。
二、资料收集与整理为了编写本文，我们收集了大量的与《821自动控制原理》相关的资料，包括历年真题、典型题解析、教材笔记等。
通过对这些资料进行分类整理和筛选，我们选出了具有代表性的真题和典型题，并对其进行了详细的解析。
三、大纲与结构本文的结构如下：1、引言：介绍《821自动控制原理》这门课程的重要性和主要内容。
2、历年真题解析：对历年考研真题进行分类解析，包括单项选择题、多项选择题、填空题、简答题和综合题等。
3、典型题解析：选取具有代表性的典型题进行详细解析，包括解题思路、方法、步骤和注意事项等。
4、解题技巧与方法：总结解题技巧和方法，提出针对性的学习建议和策略。
5、结论：总结本文的主要内容和观点，强调自动控制原理的重要性和应对考研的策略。
四、逐步展开首先，引言部分我们将介绍《821自动控制原理》这门课程的重要性和主要内容，让读者了解该课程的背景和基础知识。
其次，历年真题解析部分我们将对历年考研真题进行分类解析，包括单项选择题、多项选择题、填空题、简答题和综合题等。
我们将针对不同题型的特点和考察点，对每一道真题进行详细的解析和指导，帮助读者了解考研的命题规律和解题技巧。
接着，典型题解析部分我们将选取具有代表性的典型题进行详细解析，包括解题思路、方法、步骤和注意事项等。
通过分析这些典型题目，我们将深入探讨自动控制原理的基本概念和方法，帮助读者掌握核心知识点和提高解题能力。
接下来，我们将总结解题技巧和方法，提出针对性的学习建议和策略。
我们将针对不同类型的题目进行分析，提出有效的解题策略和技巧，帮助读者在考试中取得更好的成绩。
《自动控制原理》课程教案
《自动控制原理》课程教案前言一、重要性1、自动控制原理是自动化专业主干课程，是最重要的专业基础课，该课程涉及到电路、电机拖动、电子技术等方面的知识，为学好专业课打下良好的基础。
2、自动控制原理课不仅是高校控制类专业必修课程，而且越来越多的非控制专业也列入必修课，也各高校研究生入学考试的课程。
3、自动化的核心是控制技术，控制技术的的基础是控制理论，没有先进的控制理论就没有先进的控制技术。
二、本课主要内容自动控制系统的基本概念、控制系统的数学模型建立、介绍线性系统的时域分析、根轨迹分析、频域分析三大分析设计方法，并介绍校正的相关概念与系统校正的设计方法。
三、如何学好该课程要学好这门课程主要把握几个环节：1、知识的连续性，一环扣一环，及时消化理解；2、要掌握好电路、电机拖动及模拟电子技术方面的知识；3、加强作业练习，作好课堂笔记；4、利用好答疑时间，发现问题及时解决；5、加强实践环节，上好实验课。
四、参考书1、卢京潮编著，自动控制原理，西北工业大学出版社，2004年9月2、蒋大明等编著，自动控制原理，清华大学出版社，2003年3月3、谢克明等编著，自动控制原理，电子工业出版社，2004年4月4、杨自厚编著，自动控制原理，冶金工业出版社，2002年5月卢京潮编著：主要特点：（1）内容较丰富；（2）有系统仿真分析；（3）第一章有相关新知识。
蒋大明等编著：主要特点：（1）系统实例较多，具有一定的实用性。
（2）主要参考第二章和第五章内容。
杨自厚编著主要特点：（1）系统设计方面讲述全面、系统。
（3）主要参考第三章、第五章和第六章内容。
五、学时分配（80学时）六、本课程自学内容1、动态误差系数（2学时）提纲：广义误差系数：动态位置误差系数、动态速度误差系数、动态加速度误差系数等。
要求：能求系统的动态误差。
所需知识：传递函数、稳态误差2、高阶系统（2学时）提纲：（1）高阶系统的单位阶跃响应。
（2）高阶系统的动态性能估算。
自动控制原理基本知识点和重点难点第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析20XX年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
自动控制原理西北工业大学课件
Routh s3 s2 s1
s0
2
1+0.6K
3
K
3(1+0.6K)-2K 0 3
K
3-0.2K>0 K<15 K>0
10 < K <15
§3.6.4
动态误差系数法(1)
动态误差系数法
用静态误差系数法只能求出稳态误差
值
ess
lim
t
e(t )
；而稳态误差随时间变化的
规律无法表达。
用动态误差系数法可以研究动态误差 es (t )
(((32GKK2K))()K(Ktttss)ttG)GKKKD2(2((ttt(,sss,s22ss)))02()::s.1007.K1140时s1s时0K0ss121710tK(10212K201s40t0t0K,0t110st0101)0K00010Kt00tt)tst0s0s000K30vn00.Kv50.t14t5s10Ks9100021t50101Kn0K30,0n0t00.t51K02nt
1
0
G2(s) s
线性系统的时域分析与校正
第三章小结
时域分析法小结（1）
自动控制原理1～3章测验题
一. 单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一
个正确的答案，将其题号写入题干的○内，每小题
1分，共 分 ) 1．适合于应用传递函数描述的系统是
○
A．非线性定常系统； B．线性时变系统； C．线性定常系统； D．非线性时变系统。
i0
E(s) Φ e (s).R(s)
C0 R(s) C1sR(s) C2s2 R(s) Ci si R(s)
es (t ) C0 r(t ) C1r(t ) C2r(t ) Cir (i) (t ) Cir (i) (t ) i0
自动控制原理讲义
4．自动控制系统的基本职能元件及基本框图等
5．开环控制与闭环控制
目的与要 求
了解自动控制系统的基本职能元件、基本术语及方框图 掌握自动控制定义 掌握开环、闭环控制的定义、基本框图
重 点 与 难 重点：自动控制的定义、开环控制与闭环控制的定义及框图 点
教学手段 授课、例题讲解
思考题或 作业题 1-2
1.1 引言 无论是人们的日常生活、工业生产，还是空间探索、导弹制导等尖端科技领域中，自动控制技术 无所不在、无所不能。自动控制理论和技术已经渗透到社会、经济和科学研究的各个方面。 自动控制技术是建立在控制论基础上的，而控制论研究的是控制的一般性理论，它不具体面对某 一类控制系统的，因此它是一门以理论为主的课程。 自动控制理论是一门理论性和工程性的综合科学。 1．控制理论的基础观念 控制理论是建立在有可能发展一种方法来研究各式各样系统中控制过程这一基础上的理论（也即， 它是研究系统共性的控制过程的理论，可以把实际对象的物理涵义抽象出来，因此，它一定是以数学 工具作为主要研究手段的）。 2．控制理论的研究对象 控制论的研究是面向系统的。 广义地讲：控制论是研究信息的产生、转换、传递、控制和预报的科学； 狭义地讲：根据期望的输出来改变控制输入，使系统的输出能达到某中预期的效果。 3．控制论与数学及自动化技术的关系 控制论是应用数学的一个分支，它的某些理论的研究还要借助于抽象数学。而控制论的研究成果 若要应用于实际工程中，就必须在理论概念与用来解决这些实际问题的实用方法之间架起一座桥梁。 1.2 自动控制和自动控制系统 1.2.1 自动控制问题的提出 人们存在着一种普遍的要求或希望，即要求某些物理量维持在某种特定的（如恒定不变或按某种 规律变化或跟踪某个变化的量等等）标准上。
课外作业
自动控制原理西北工业大学课件
规律无法表达。 用动态误差系数法可以研究动态误差 e s ( t ) (误差中的稳态分量）随时间的变换规律。
§3.6.4
动态误差系数法(2)
E ( s) 1 1 1 (i ) 2 i Φ e ( 0) Φ ( 0 ) s Φ ( 0 ) s Φ ( 0 ) s e e e R( s ) 1! 2! i! 1 (i ) C i Φ e ( 0) i 0, 1, 2, i!
0.5 t
0.5 0.5 t e1 ( t ) 0 .5 t 2 2e cos 0.75t e sin 0.75t 0.75 稳态分量
瞬态分量
§3.7
§3.7.1 反馈校正
反馈的作用
线性系统时域校正（2）
（1）减小被包围环节的时间常数 （3 ）深度负反馈可降低被包围环节的灵敏度 2）局部正反馈可提高环节增益
解
已知：r ( t ) 2t t 4 ①. r ( t ) 2 t 2
2
r ( t ) 1 2 r ( t ) 0
e1 ( s ) E( s) R( s ) 1 1 1 s( s 1)
e s 1 ( t ) C 0 r C 1 r C 2 r 2 t 2
说明：es(t) 是 e(t) 中的稳态分量 例2 以例1中系统(1)为例 Φe1 ( s )
A2 lim
A1
s( s 1) 2 1 1 . 3 解. E1 ( s ) Φe1 ( s ). R( s ) 2 2 s s1s 2 s
1 d ( s 1)(4 s 1) lim 2 1! s 0 ds 2( s 2 s 1)
西工大821自动控制原理-2习题及答案-第二章 控制系统的数学模型
西工大821自动控制原理第二章 控制系统的数学模型习题及答案2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。
其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。
解（a ）以平衡状态为基点，对质块m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。
根据牛顿定理可写出22)()(dty d m dt dy f t ky t F =-- 整理得)(1)()()(22t F m t y m k dt t dy m f dt t y d =++（b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。
对A 点有 )()(111dtdydt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dtdydt dx f 21)(=- （2） 联立式（1）、（2）可得：dtdx k k k y k k f k k dt dy2112121)(+=++ (c) 应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11s U s I cs R cs R s U c r ++= （3） 2)()(R s Uc s I = （4）联立式（3）、（4），可解得： CsR R R R Cs R R s U s U r c 212112)1()()(+++=微分方程为: r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++(d) 由图解2-1（d ）可写出[]Css I s I s I R s U c R R r 1)()()()(++= （5） )()(1)(s RI s RI Css I c R c -= （6） []Css I s I R s I s U c R c c 1)()()()(++= （7）联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和)(s I R ，可得：1312)()(222222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c 微分方程为 r r r c c c u RC dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221213++=++2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。
考研西北工业大学-《827信号与系统》-重难点解析讲义
西北工业大学《827信号与系统》重难点解析第1讲第一章信号与系统的基本概念一、信号的主要分类(1)连续时间信号：自变量的取值是连续的离散时间信号：自变量的取值是离散的(2)周期信号：具有周期性，且是无始无终信号非周期信号：不具有周期性(3)因果信号：t＜0时，f( t) ＝0；t＞0时，f( t) ≠0的信号非因果信号：t＞0时，f( t) ＝0的信号(4)功率信号：平均功率为有限值，能量趋近于无穷；能量信号：平均功率为0，能量为有限值的信号注意：(1)两个连续周期信号的和不一定是周期信号，只有当这两个信号的周期比为有理数时，该信号才是周期信号，且周期为原信号周期的最小公倍数；(2)直流信号和有界的周期信号均为功率信号；阶跃信号和有始周期信号也是功率信号；有界的非周期信号均为能量信号；无界的周期信号和无界的非周期信号均为非功率非能量信号。
一个信号只能是功率信号和能量信号两者之一，不会两者都是，但可以两者都不是，也就是非周期非能量信号。
【例1】判断下列各信号是否为周期信号后，若为周期信号，求出其周期。
(1)f( t) ＝cos8t－sin12t(2)f(k) ＝cos k＋2sin2πk解：(1) T1＝＝T2＝＝由于＝，故f( t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数，即T＝(2) cos k为周期信号，N1＝＝842π2π故f(k)为周期信号，为N1和N2的最小公倍数，即N＝8个间隔2cos2πk为周期信号，N2＝＝1三、δ(t )和 δ′( t ) 函数的性质【例 2】 (3t －2)[ δ(t ) ＋ δ(t －2) ]dtt 2 －2t ＋ 3) δ＇( t －2)dt(3t －2) δ(t －2)dt＝ －2 ＋ (3 ×2 －2) ＝ 2(2) 原式 ＝ － ( t 2 ＋ 3 －2t ) ＇ t ＝2 ＝ － (2t －2) t ＝2 ＝ －2四、系统的分类(1)线性系统：同时满足齐次性和叠加性的系统 非线性系统：不能同时满足以上两个条件的系统 (2)时不变系统：满足时不变的系统 时变系统：不满足时不变的系统(3)因果系统：响应不产生激励之前的系统 非因果系统：响应产生于激励之前的系统(4)稳定系统：系统的激励有界，响应也有界的系统 非稳定系统：系统的激励有界，响应无界的系统【例 3】 已知系统：a ：y ( t ) ＝2f ( t ) ＋3 b ：y ( t ) ＝f (2t ) c ：y ( t ) ＝f ( －t ) d ：y ( t ) ＝tf ( t ) 试判断上述哪些系统满足下列条件： (1)不是线性系统的是： (2)不是稳定系统的是： (3)不是时不变系统的是： (4)不是因果系统的是：解：(1) a (2)d (3)b ，c ，d (4)b ，c五、线性时不变系统的性质f ( t ) →y ( t )，f 1 ( t ) →y 1 ( t )，f 2 ( t ) →y 2 ( t )， A 1，A 2，A 为任意常数，常见性质如下： 1．齐次性：Af ( t ) →Ay ( t )2．叠加性：f 1 ( t ) ＋f 2 ( t ) →y 1 ( t ) ＋y 2 ( t )5 555西北工业大学《827 信号与系统》重难点解析3．线性：A 1f 1 ( t ) ＋A 2f 2 ( t ) →A 1 y 1 ( t ) ＋A 2 y 2 ( t ) 4．时不变性：f ( t －τ) →y ( t －τ) 5．微分性：→6．积分性：)d τ→)d τ【例 4】 一阶系统的初始状态为 y (0 － )，激励与响应分别为f ( t )，y ( t ) 。
自动控制原理讲义
自动控制原理：以自动控制系统为对象，学习研究从各类控制系统所抽象出来的，具有共性的规律（组成原理，数学模型，各种分析方法及基本设计方法）。
抽象性、综合性较强，用较多的数学工具解决应用问题。
第一章1.1 引言1.1.1 基本概念（1）自动控制：不需要人直接参与，而使被控量自动的按预定规律变化的过程，叫自动控制。
①不需要人直接参与；②被控量按预定规律变化。
（2）自动控制系统：为实现某一控制目标所需要的所有物理部件的有机组合体①实体；②有机组合1.1.2 自动控制技术及应用自动控制应用极为广泛，在工业、国防、航空航天、交通、农业、经济管理、以及人们的日常生活，处处可见。
1.1.3 自动控制理论的发展 一般可分为三个阶段：（1）第一阶段。
时间为本世纪40～60年代，称为“经典控制理论”时期。
三大分析方法:时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法.（2）第二阶段。
时间为本世纪60～70年代，称为“现代控制理论”时期。
（3）第三阶段。
时间为本世纪70年代末至今。
70年代末，控制理论向着“智能控制”方向发展。
（1）被控对象（2）被控量（被调参数，输出量）（3）给定量（参考输入量，给定信号）（4）扰动量（扰动输入量，扰动信号，干扰量）（5）测量信号（6）偏差信号（详见课本）1.2 自动控制技术中的基本控制方式系统的基本控制方式按有无反馈，即按结构分为三大类：开环控制、闭环控制、复合控制。
1.2.1 开环控制系统 (1)定义开环控制是一种最简单的控制方式，在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。
示意图：优点：结构简单、调整方便、成本低缺点：控制精度低、对扰动没有控制能力。
用于输出精度要求低的场合。
若出现扰动，只能靠人工操作，使输出达到期望值1.2.2 闭环控制系统——重点控制装置与被控对象之间既有正向作用，又有反向联系的控制过程，也称为反馈控制①系统的输出参与控制，系统结构图构成回路②依靠偏差进行控制的系统，只要偏差存在，就有控制作用，其结果试图使偏差减小 ③控制精度高④对系统内部除反馈通道和给定通道外的一切扰动都有抑制作用 ⑤引起振荡1.2.3 复合控制系统将开环控制和闭环控制系统结合在一起，构成复合控制系统。
821自动控制原理
821自动控制原理自动控制原理是指对系统进行自动控制的一种理论和方法。
自动控制是指用硬件、软件和算法等自动化设备和系统对现实世界中的物理、化学、生物等系统进行测量、判断、决策和实施等一系列自动化过程。
自动控制通过对系统的测量和反馈，对系统进行判断和决策，并采取相应的控制措施，使系统在给定的要求和目标下，达到稳定、良好的控制性能，从而实现对系统的自动控制。
自动控制原理主要包括传感器、执行器、控制器和反馈环节等组成。
传感器是自动控制系统的感知器，它能够将系统的物理量转变为电信号，从而实现对系统的测量。
传感器可以是温度传感器、压力传感器、光电传感器等。
传感器的信号将被输入到控制器中进行处理。
控制器是自动控制系统的核心部件，负责对输入的传感器信号进行处理和判断，并输出相应的控制指令。
控制器可以是模拟控制器、数字控制器等，它们可以通过调节执行器的动作，实现对系统的控制。
执行器是自动控制系统的执行器件，负责对控制指令进行动作，并对系统进行控制。
执行器可以是电动机、阀门、喷嘴等，它们能够通过转动、开关等动作实现对系统的控制。
反馈环节是自动控制系统中的一个重要环节，它通过将执行器的动作再次反馈给控制器，从而实现对系统的调节和校正。
反馈环节的作用是让系统能够根据实际情况进行调整，实现目标控制结果。
自动控制系统的设计和调试过程主要包括以下几个步骤：1.系统的建立：确定需要进行控制的系统，对系统进行建模和分析，确定系统的输入和输出。
2.传感器的选择和安装：根据系统的要求，选择合适的传感器，并进行传感器的安装和调试。
3.控制器的设计和调试：根据系统的特点和要求，选择和设计合适的控制器，并对控制器进行调试和优化。
4.执行器的选择和安装：根据系统的要求，选择合适的执行器，并进行执行器的安装和调试。
5.反馈环节的设计和调试：根据系统的控制目标，设计合适的反馈环节，并对反馈环节进行调试和校正。
6.整体系统的调试和优化：对整个自动控制系统进行调试和优化，使系统达到稳定、良好的控制性能。
西北工业大学自动控制原理-第3讲-控制系统的复域模型
ur = Ri + uc
̇c ↓ i = Cu ̇ c + uc ur = RCu
RC[ sU c ( s ) − uc (0)] + U c ( s ) = U r ( s )
( RCs + 1) U c ( s ) = U r ( s ) + RCuc (0)
RCuc (0) RCuc (0) U ( s) E0 U c ( s) = r + = + RCs + 1 RCs + 1 s( RCs + 1) RCs + 1
p1 t
+ C 2e
p2 t
+ ⋯ + C ne
pn t
= ∑ C i e pi t
i =1
7） 复习拉普拉斯变换有关内容（ 复习拉普拉斯变换有关内容（7
s+3 例4 已知 F ( s ) = 2 ，求 f ( t ) = ? s + 2s + 2 s+3 C1 C2 F(s) = = + . 解一 解一. (s + 1-j)(s + 1 + j) s + 1-j s + 1 + j
[
]
f(t) = e − t cos t + 2e − t sin t
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
) 重根，其余为单根) II.当有重根时 A( s ) = ( s − p1 ) ⋯ ( s − pn ) = 0 (设 p1为m重根，其余为单根
Cm Cm-1 Cn C1 Cm+1 F(s)= + + ⋯+ + + ⋯+ m m-1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm+1 s-pn
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Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ １ ２ ３ ４＋ １ ２ ４＋ ２ ３ ４ ５＋ ２ ４ ５－ ３ ４ ６－ ２ ４ ６ ２ ｓ ）＝ Φ（ １－ Ｇ Ｈ ＋ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ＋ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ２ ２ １ ２ ３ ４ １ １ ２ ４ １ 【 例６ 】 已知系统结构图， 求 Ｃ （ ｓ ） ＝ ？ ） Ｒ （ Ｓ
西北工业大学 ８ ２ １自动控制原理重难点解析篇
第 １讲 控制系统的数学模型
拉普拉斯变换有关内容 拉氏变换的几个重要定理 （ １ ） 线性性质 Ｌ ［ ａ ｆ （ ｔ ）± ｂ ｆ （ ｔ ） ］＝ ａ Ｆ （ ｓ ）± ｂ Ｆ （ ｓ ） １ ２ １ ２ （ ２ ） 微分定理 Ｌ ［ ｆ ′ （ ｔ ） ］＝ ｓ ·Ｆ （ ｓ ）－ ｆ （ ０ ）
２ ｔ ／ ２ － ａ ｔ ｅ
１ １ ／ ｓ
２ １ ／ ｓ ３ １ ／ ｓ
１ ／ （ ｓ ＋ ａ ）
２ ２ ／ （ ｓ ＋ ω ω） ２ ２ ｓ ／ （ ｓ ＋ ω）
ｓ ｉ ｎ ｔ ω ｃ ｏ ｓ ｔ ω
线性定常微分方程求解 【 例１ 】 Ｒ－ Ｃ电路计算 ｕ Ｒ ｉ ＋ ｕ ｒ＝ ｃ
· ｉ ＝ ｃ ｕ ｕ （ ｔ ）＝ Ｅ ·１ （ ｔ ） ｃ ｒ ０
考试点（ ｗ ｗ ｗ ． ｋ ａ ｏ ｓ ｈ ｉ ｄ ｉ ａ ｎ ． ｃ ｏ ｍ ） 名师精品课程 电话： ４ ０ ０ ６ ８ ８ ５ ３ ６ ５
其中初条件引起的自由响应部分 Ｃ Ｃ － ４１ １ １ － （ ｓ ＋ ５ ） １ ２ Ｃ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ｓ ）＝ ０ ） ｓ ＋ １ ｓ ＋ ４ ３ｓ ＋ １ ３ｓ ＋ ４ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４
Ｃ ｉ ｍ １ ＝ｌ
ｓ １ →－
－ （ ｓ ＋ ５ ） － ４ － （ ｓ ＋ ５ ） １ ＝ Ｃ ｉ ｍ ＝ ２ ＝ｌ ｓ ４ ｓ ｓ ３ ＋ ４ ３ ＋ １ →－
增益
西北工业大学 ８ ２ １自动控制原理重难点解析篇
２× ２ ＝ １ （ ２ ） Ｋ＝ ４ （ ３ ）
{
－ ｔ １ ｅ λ １ ＝－ － ４ ｔ ｅ ４ λ ２ ＝－
{
（ ４ ） 如图所示
－ １ － １ （ ５ ） ｋ （ ｔ ）＝ Ｌ ［ Ｇ （ ｓ ） ］＝ Ｌ
Ｃ Ｃ ２ （ ｓ ＋ ２ ） ＋ [ （ｓ＋ ] ＝Ｌ [ ｓ ] ） １ ） （ ｓ ＋ ４ ＋ １ ｓ ＋ ４
解： 本结构图有 ２条前向通道， ６个回路（ 其中 Ｉ ， Ｖ两回路不相交） １－ ｛－ Ｈ－ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ （－ Ｇ ）－ ［－ （－ Ｇ ） ］ ｝＋ ［－ （－ Ｇ ） ］ ·（－ Ｈ ） Δ＝ ２－ １－ １ ２－ ３ ３ ３ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ＝ １＋ Ｈ＋ Ｇ ２＋ １＋ １ ２－ ３ ｐ Ｇ Ｇ ； Δ １ １＝ １ ２ １＝ — ５—
－ ｔ
－ ４ ｔ
２ （ ｓ ＋ ２ ） ２ ｓ ＋ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ （ ｓ ） ｓ ） ＋ ５ ｓ ＋ ４ Ｒ
２ ＋ ５ ｓ ＋ ４ ） Ｃ （ ｓ ）＝ （ ２ ｓ ＋ ４ ） Ｒ （ ｓ ） （ ｓ － １ Ｌ ： ｃ＋ ５ ｃ ＋ ４ ｃ ＝ ２ ｒ ＋ ４ ｒ ２ （ ７ ） Ｌ ： ［ ｓ Ｃ （ ｓ ）－ ｓ ｃ （ ０ ）－ｃ （ ０ ） ］ · · · · ·
ｓ →０
Ｆ （ ｓ ）＝
ｆ （ ｔ ） ·ｅ ｄ ｔ ∫
－ ｔ ｓ ０
∞
３ ． 常见函数 Ｌ 变换 ｆ （ ｔ ） Ｆ （ ｓ ） （ １ ） 单位脉冲 （ ２ ） 单位阶跃 （ ３ ） 单位斜坡 （ ４ ） 单位加速度 （ ５ ） 指数函数 （ ６ ） 正弦函数 （ ７ ） 余弦函数 （ ｔ ） δ １ （ ｔ ） ｔ
－ ·ｓ τ ０ Ｌ ［ ｆ （ ｔ － ） ］＝ ｅ ·Ｆ （ ｓ ） τ ０ Ａ ·ｔ ｆ （ ｔ ） ］＝ Ｆ （ ｓ － Ａ ） Ｌ ［ ｅ
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｔ ）＝ｌ ｉ ｍ Ｓ ·Ｆ （ ｓ ）
ｔ →０ ｓ →∞ ｔ →∞
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｔ ）＝ ｌ ｉ ｍ ｓ ·Ｆ （ ｓ ） （ 终值确实存在时）
ｃ （ ｔ ）＝ ０
－ ４ －ｔ １ －４ ｅ ＋ ｅｔ ３ ３
２ －ｔ １ －４ ４ －ｔ １ －４ － ｔ － ｅｔ － ｅ － ｅｔ ＝ ｃ （ ｔ ）＝ ｃ （ ｔ ）＋ ｃ （ ｔ ）＝ １－ ｅ １－ ２ ｅ ｒ ０ ３ ３ ３ ３
(
) (
)
— ３—
考试点（ ｗ ｗ ｗ ． ｋ ａ ｏ ｓ ｈ ｉ ｄ ｉ ａ ｎ ． ｃ ｏ ｍ ） 名师精品课程 电话： ４ ０ ０ ６ ８ ８ ５ ３ ６ ５
控制系统结构图
ｓ
— ４—
西北工业大学 ８ ２ １自动控制原理重难点解析篇
解： １－ ［ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ］＋ （－ Ｇ Ｇ Ｈ ） （－ Ｇ Ｇ Ｈ ） Δ＝ ２ ３ ２－ ４ ５ ３－ ３ ４ ４－ １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ２ ４ ５ ３ ＝ １＋ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｈ ２ ３ ２＋ ４ ５ ３＋ ３ ４ ４＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ １＋ ２ ３ ４ ５ ２ ３ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Δ １ １＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ １＝ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ １ ２ ３ ４ ５ ６ ｓ ）＝ Φ（ １＋ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｈ ２ ３ ２＋ ４ ５ ３＋ ３ ４ ４＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ １＋ ２ ３ ４ ５ ２ ３ 【 例５ 】 求传递函数 Ｃ （ ｓ ） ／ Ｒ （ ｓ ）（ 前向通道隐藏）
控制系统结构图
１－ ［ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ］ Δ＝ ２ ２－ １ ２ ３ ４ １－ １ ２ ４ １ ＝ １－ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｇ Ｈ ２ ２＋ １ ２ ３ ４ １＋ １ ２ ４ １ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ Δ １ １＝ １ ２ ３ ４ １＝ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ ２＝ １ ２ ４ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ Ｇ ３＝ ２ ３ ４ ５ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ ４＝ ２ ４ ５ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ ５ ＝－ ３ ４ ６ Ｇ Ｈ Ｇ Ｇ Ｐ ６ ＝－ ６ ２ ２ ４ １ Δ ２＝ １ Δ ３＝ １ Δ ４＝ １ Δ ５＝ １ Δ ６＝
＋ ５ ［ ｓ Ｃ （ ｓ ）－ ｃ （ ０ ） ］＋ ［ ４ Ｃ （ ｓ ） ］
２ ＋ ５ ｓ ＋ ４ ） Ｃ （ ｓ ）－ （ ｓ ＋ ５ ） ｃ （ ０ ）－ｃ （ ０ ）＝ ２ （ ｓ ＋ ２ ） Ｒ （ ｓ ） （ ｓ ２ ｓ ＋ ５ － ｓ － ３ ｓ ＋ ４ ２ （ ｓ ＋ ２ ） １ · －２ ＝ Ｃ （ ｓ ）＝ ２ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ ） ５ ｓ ＋ ４ ｓ ｓ＋ ５ ｓ ＋ ４ ｓ ｓ＋ ·
Ｅ ０ · Ｒ Ｃｕ ｕ Ｕ （ ｓ ）＝ ｕ ｒ＝ ｃ＋ ｃ ｒ ｓ
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考试点（ ｗ ｗ ｗ ． ｋ ａ ｏ ｓ ｈ ｉ ｄ ｉ ａ ｎ ． ｃ ｏ ｍ ） 名师精品课程 电话： ４ ０ ０ ６ ８ ８ ５ ３ ６ ５
· Ｒ Ｃｕ ｕ ｕ ｃ＝ ｒ ｃ＋
Ｒ Ｃ ［ ｓ Ｕ （ ｓ ）－ ｕ （ ０ ） ］＋ Ｕ （ ｓ ）＝ Ｕ （ ｓ ） ｃ ｃ ｃ ｒ （ Ｒ Ｃ ｓ ＋ １ ） Ｕ （ ｓ ）＝ Ｕ （ ｓ ）＋ Ｒ Ｃ Ｕ （ ０ ） ｃ ｒ ｃ Ｅ Ｒ Ｃ ０／ Ｃ ＝ Ｃ ｕ Ｅ Ｒ Ｃ ｕ ｕ （ ｓ ） Ｒ （ ０ ） （ ０ ） ｉ ｍ ｓ ＝ Ｅ ｒ ｃ ０ ｃ ０ ｌ ０ ＋ ＝ ＋ （ ｓ ） ＝ Ｕ Ｓ ０ １ → ｃ Ｒ Ｃ ｓ Ｃ ｓ Ｃ ｓ ＋ １ Ｒ ＋ １ ｓ （ Ｒ Ｃ １ ） Ｒ ＋ １ ｓ （ ｓ ＋ ） ｓ＋ Ｒ Ｃ Ｅ Ｃ Ｒ Ｃ ｕ （ ０ ） Ｃ （ ０ ） ｕ ０／ ０ ０ １ ０ Ｒ Ｃ １ Ｅ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ０／ Ｃ ＝ｌ ｉ ｍ（ ｓ ＋ ） ＝－ Ｅ １ １ ｓ １ １ １ ０ － １ Ｒ Ｃ １ ｓ （ ｓ ＋ ） Ｓ ＋ ｓ ＋ ｓ ＋ ｓ →Ｒ ｓ （ ｓ ＋ ） Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ Ｅ （ ０ ） Ｅ ｕ ０ ０ ｃ Ｕ （ ｓ ）＝ － ＋ ｃ ｓ １ １ ｓ ＋ ｓ ＋ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ
Ｌ ∑Ｌ ｂ ｃ — 两两互不接触回路的回路增益乘积之和 Ｌ Ｌ — 互不接触回路中， 每次取其中三个的回路增益乘积之和 Ｌ ｄ ｅ ｆ Δ ｋ 特征式 Ｍ ａ ｓ ｏ ｎ公式（ １ ） 【 例４ 】 求传递函数 Ｃ （ ｓ ） ／ Ｒ （ ｓ ） —第ｋ 条前向通路的余子式（ 把与第 ｋ 条前向通路接触的回路去除， 剩余回路构成的子
ｔ － ｔ Ｒ Ｃ Ｒ Ｃ ｕ （ ｔ ）＝ Ｅ Ｅ ｅ ＋ ｕ （ ０ ） ·ｅ ｃ ０－ ０ ｃ － ｔ Ｒ Ｃ ｕ （ ｔ ）＝ Ｅ ［ Ｅ ｕ （ ０ ） ］ ·ｅ ｃ ０－ ０－ ｃ
１ １ １
控制系统的复域模型—传递函数 ４ ｓ － ４ 【 例２ 】 已知 Ｇ （ ｓ ）＝ ３ ２ ｓ＋ ３ ｓ＋ ２ ｓ 将其化为首 １ 、 尾 １标准型， 并确定其增益。 ４ （ ｓ － １ ） ４ （ ｓ － １ ） 首 １标准型 解 Ｇ （ ｓ ）＝ ３ ＝ ２ ） （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ２ ｓ＋ ３ ｓ ＋ ２ ｓｓ ４ Ｇ （ ｓ ）＝ · ２ Ｋ＝ ２ 【 例３ 】 已知某系统在 ０初条件下的单位阶跃响应为： ２ －ｔ １ －４ － ｅｔ ｃ （ ｔ ）＝ １－ ｅ ３ ３ 试求： （ １ ）系统的传递函数； （ ２ ）系统的增益； （ ３ ）系统的特征根及相应的模态； （ ４ ）画出对应的零极点图； （ ５ ）求系统的单位脉冲响应； （ ６ ）求系统微分方程； （ ７ ）当 ｃ （ ０ ）＝－ １ ，ｃ ’ （ ０ ）＝ ０ ；ｒ （ ｔ ）＝ １ （ ｔ ）时， 求系统的响应。 １ ２ １ １ １ ２ （ ｓ ＋ ２ ） 解 （ １ ） Ｃ （ ｓ ）＝ － · － · ＝ ｓ ３ Ｓ ＋ １ ３ ｓ ＋ ４ ｓ ） （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ Ｃ （ ｓ ） Ｃ （ Ｓ ） ２ （ ｓ ＋ ２ ） Ｇ （ ｓ ）＝ ＝ ＝ ｓ ·Ｇ （ ｓ ）＝ Ｒ （ ｓ ） １ ／ ｓ （ ｓ ＋ １ ） （ ｓ ＋ ４ ） — ２— ｓ － １ （ ｓ － １ ） ＝ ２ · １２ ３ １ ｓ （ ｓ＋ ｓ ＋ １ ＋ １ ） （ ｓ ＋ １ ） ｓ （ ｓ ） ２ ２ ２ 尾 １标准型