高考数学真题专题(文数) 递推数列与数列求和
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专题六数列
第十七讲 递推数列与数列求和
2019年
1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.
（1）已知等比数列{a n }*
()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M
－数列”；
（2）已知数列{b n }*
()n ∈N 满足：11
122
1,
n n n b S b b +==-
，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*
()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有
1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．
2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =1
2
时，a 10＞10 B ．当b =14
时，a 10＞10
C ．当b =-2时，a 10＞10
D ．当b =-4时，a 10＞10
3.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满
足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *
++∈+++N 成等比数列.
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2
）记,n c n *=
∈N
证明：12+.n c c c n *++<∈N
2010-2018年
一、选择题
1．（2013大纲）已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-
，则{}n a 的前10项和等于
A ．10
6(13
)--- B ．101
(13)9
- C ．103(13)-- D ．103(13)-+
2．（2012新课标）数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为
A ．3690
B ．3660
C ．1845
D ．1830
3．（2011安徽）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)n a n =-⋅-,则1210a a a ++⋅⋅⋅+= A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 二、填空题
4．（2015新课标1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则
n = ．
5．（2015安徽）已知数列}{n a 中，11=a ，2
1
1+
=-n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前9项和等于______．
6．（2015江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1
{
n
a 前10项的和为 ．
7．（2014新课标2）数列{}n a 满足11
1n n
a a +=
-，2a =2，则1a =_________． 8．（2013新课标1）若数列{n a }的前n 项和为n S ＝
21
33
n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______．
9．（2013湖南）设n S 为数列{}
n a 的前n 项和，1
(1),,2
n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；
（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．
10．（2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n
n ，则}{n a 的前60项和为
．
11．（2012福建）数列{}n a 的通项公式cos
12
n n a n π
=+，前n 项和为n S ，则2012S =___． 12．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧
⎫+⎨⎬⎩⎭
中的最大项是第k 项，则k =____________． 三、解答题
13．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比
大于0，其前n 项和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，
5462b a a =+．
(1)求n S 和n T ；
(2)若12()4n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值．
14．设（2017新课标Ⅲ）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．
(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{
}21
n
a n +的前n 项和． 15．（2016全国I 卷）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n
b 满足11b =，213
b =
， 11n n n n a b b nb +++=．
（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和．
16．（2016年全国II 卷）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=．
(Ⅰ)求{n a }的通项公式；
(Ⅱ)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[0.9]=0，[2.6]=2．
17．（2015浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足，12a =，11b =，*12(N )n n a a n +=∈，
12311
23
b b b +++
*11
1(N )n n b b n n
++=-∈． （Ⅰ）求n a 与n b ；
（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．
18．（2015湖南）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，
且23n n a S +=*
13,()n S n N +-+∈．
（Ⅰ）证明：23n n a a +=；