Matlab求解线性方程组、非线性方程组

Matlab求解线性方程组、非线性方程组

姓名：罗宝晶学号：15 专业：材料学院高分子系

第一部分数值计算

Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B

在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用除法运算符“/”和“\”。如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；

X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。

对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：

m＝n 恰定方程，求解精确解；

m>n 超定方程，寻求最小二乘解；

m

针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。

一．恰定方程组

恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：

Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；

在线性代数中，最常用的方程组解法有：

（1）利用Cramer公式来求解法；

（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；

（3）利用Gaussian消去法；

（4）利用Lu法求解。

一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB 中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在Lu分解的基础上进行。

在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。

在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行Lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。

如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。

此外还要注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b

的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。二．超定方程组

对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；

例子：求解超定方程组

A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]

A=

2 -1 3

3 1 -5

4 -1 1

1 3 -13

b＝[3 0 3 -6]’;

rank(A)

ans=

3

x1=A\b

x1=

1.0000

2.0000

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

1.0000

2.0000

1.0000

A*x1-b

ans=

1.0e-014

-0.0888

-0.0888

-0.1332

可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。二．欠定方程组

欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。例子：解欠定方程组

A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]

A=

1 -

2 1 1

1 -

2 1 -1

1 -

2 1 -1

1 -

2 1 5

b=[1 -1 5]’

x1=A\b

Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015

x1=

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

-0.0000

0.0000

1.0000

四．方程组的非负最小二乘解

在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：

（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；

（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为

TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。

例子：求方程组的非负最小二乘解

A=[3.4336 -0.5238 0.6710

-0.5238 3.2833 -0.7302

0.6710 -0.7302 4.0261];

b=[-1.000 1.5000 2.5000];

[X,W]=nnls(A,b)

X=

0.6563

0.6998

W=

-3.6820

-0.0000

-0.0000

x1=A\b

x1=

-0.3569

0.5744

0.7846

A*X-b

ans=

1.1258

0.1437

-0.1616