数值分析上机第四次作业

数值分析上机第四次作业

实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组

实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组

(1) 123421003131020141100155x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 迭代20次或满足()(1)

1110k k x x --∞-<时停止计算。

(2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵，

A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n

b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1

迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。

（3）*考虑模型问题，方程为 222222(),(,)(0,1)(0,1)(0,)1,(1,),01(,0)1,(,1),01

xy y x u u x y e x y D x y

u y u y e y u x u x e x ∂∂+=+∈=⨯∂∂==≤≤==≤≤

用正方形网格离散化，若取1/,10h N N ==，得到100n =的线性方程组，并用共轭梯度法（CG 法）求解，并对解作图。

实验要求：迭代初值可以取01(,1,...,)ij u i j N ==，计算到32||||10k r -≤停止．本

题有精确解(,)xy u x y e =，这里k u 表示以k ij u 为分量的向量，

u 表示在相应点(,)i j 上取值作为分量的向量．

实验一：

（1）

编制函数子程序CGmethod 。

function [x,k]=CGmethod(A,b)

n=length(A);x=zeros(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r;

k=0;

while rho>10^(-12) & k<20

k=k+1;

if k==1

p=r;

else

beta=rho/rho1;

p=r+beta*p;

end

w=A*p;

alpha=rho/(p'*w);

x=x+alpha*p;

r=r-alpha*w;

rho1=rho;

rho=r'*r;

end

编制主程序shiyan1_1：

clear,clc

A=[2,-1,0,0;-1,3,-1,0;0,-1,4,1;0,0,-1,5]; b=[3,-2,1,5]';

[x,k]=CGmethod(A,b)

运行结果为：

x =

1.3882

-0.2855

-0.0222

0.9367

k =

20

（2）

编制函数子程序CGmethod_1

function [x,k]=CGmethod_1(A,b)

n=length(A);x(1:n,1)=0;r=b-A*x;r1=r;

k=0;

while norm(r1,1)>=10^(-7)&k<10^4

k=k+1;

if k==1

p=r;

else

beta=(r1'*r1)/(r'*r);p=r1+beta*p;

end

r=r1;

w=A*p;

alpha=(r'*r)/(p'*w);

x=x+alpha*p;

r1=r-alpha*w;

end

编制主程序shiyan1_2:

clear,clc

n=1000;

A=hilb(n);

b=sum(A')';

[x,k]=CGmethod_1(A,b)

运行结果为：x 的值,均接近1，迭代次数k=32

实验二

实验目的：用复化Simpson 方法、自适应复化梯形方法和Romberg 方法求数值积分。

实验内容：计算下列定积分 (1) dx x x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2

02610 (2)⎰10dx x x (3) ⎰20051dx x 实验要求：

（1）分别用复化Simpson 公式、自适应复化梯形公式计算要求绝对误差限为7102

1-⨯=ε，输出每种方法所需的节点数和积分近似值，对于自适应方法，显示实际计算节点上离散函数值的分布图；

（2）分析比较计算结果。

2、实验目的：高斯数值积分方法用于积分方程求解。

实验内容：线性的积分方程的数值求解，可以被转化为线性代数方程组的求解问题。而线性代数方程组所含未知数的个数，与用来离散积分的数值方法的节点个数相同。在节点数相同的前提下，高斯数值积分方法有较高的代数精度，用它通常会得到较好的结果。对第二类Fredholm 积分方程

b t a t f ds s y s t k t y b

a ≤≤+=⎰),()(),()( 首先将积分区间[a,b]等分成n 份，在每个子区间上离散方程中的积分就得到线性代数方程组。

实验要求：分别使用如下方法，离散积分方程中的积分

1.复化梯形方法；

2.复化辛甫森方法；

3.复化高斯方法。求解如下的积分方程

t t e ds s y e e t y --=⎰10)(1

2)(，方程的准确解为t e ， 并比较各算法的优劣。

实验二

1、复化Simpson 方法）

输入积分区间下限0

输入积分区间上限2

输入等分份数20

输入被积函数（以x 为自变量）x^6/10-x^2+x

S =

1.1619

输入积分区间下限0

输入积分区间上限1

输入等分份数20