经典：初中数学圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系ppt
.
. .
数学应用 例1．判断下列两圆的位置关系： （1）(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16； （2）x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0．
2.2.3 圆与圆的
位置关系
探究一
圆与圆有哪几种位置关系？
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
1.⊙A和⊙B外离 d>r1+r2
A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
d=r1+r2 2.⊙A和⊙B外切
A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
3.⊙A和⊙B相交
︱r1-r2︱<d<r1+r2
Байду номын сангаас A
B
设⊙A的半径为r1,⊙B的半径为r2,圆心距为d
数学应用 例2 已知两圆半径分别为3和4，圆心的坐标 分别是（0，3）和（4，0），试判断这两圆 的位置关系.
y Y
3
5
0 4 x
x
独立作业
• p116
练习第2题。
4.⊙A和⊙B内切 d=︱r1-r2︱
A
B
圆与圆的位置关系有答案 (1)
4．2.2 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含． 温馨提示：两不相等的两圆有以上五种位置关系，它们的公切线情况如下 (1)两圆相外离，有四条公切线； (2)两圆相外切，有三条公切线； (3)两圆相交，有两条公切线； (4)两圆相内切，有一条公切线； (5)两圆相内含，没有公切线． 2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2(r 1≠r 2)，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切内含图示D 与r 1、R 2的关系d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2|0<d < |r 1－r 2| C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0.方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含圆系方程：(1)P 、Q 两点，则过交点P 、Q 的圆的方程可设为(x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F )＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )这些圆的圆心均在公共弦PQ 的垂直平分线上且以PQ 为直径的圆最小．(2)过C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1＞0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2＞0)交点的圆的方程可设为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．当λ＝－1时，所设方程为两已知相交圆的公共弦所在的直线方程．类型一 圆与圆位置关系的判断【例1】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2－15＝0，C 2：x 2＋y 2－4ax －2y ＋4a 2＝0(a ＞0)． 试求a 为何值时两圆C 1、C 2(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[思路探索] 求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a 的值． 解 对圆C 1、C 2的方程，经配方后可得： C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16， C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4；C 2(2a,1)，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切， 当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切； (2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交； (3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离；(4)当0＜|C 1C 2|＜3，即0＜a ＜3时，两圆内含．[规律方法] 判断两圆的位置关系一般有两种方法：一是代数法，一是几何法，但因代数法运算繁琐，且容易出错，因此一般采用几何法．【活学活用1】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0. (1)m ＝1时，圆C 1与圆C 2有什么位置关系？ (2)是否存在m 使得圆C 1与圆C 2内含？解 (1)∵m ＝1，∴两圆的方程分别可化为： C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， C 2：(x ＋1)2＋y 2＝1.两圆的圆心距d ＝(1＋1)2＋(－2)2＝2 2. 又∵r 1＋r 2＝3＋1＝4，r 1－r 2＝3－1＝2， ∴r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相交．(2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含， 则d ＝ (m ＋1)2＋(－2)2＜3－1， 即(m ＋1)2＜0，显然不等式无解． 故不存在m 使得圆C 1与圆C 2内含．类型二 两相交圆的公共弦问题【例2】 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[思路探索] 将两圆方程相减，先得到公共弦所在直线的方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦长．也可以利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形这一性质求解．解 联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 法一 设两圆相交于点A ，B 则A ，B 两点满足方程组 ⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.[规律方法] 求两圆的公共弦所在的直线方程时，若采用相减法，必须注意两圆方程中二次项的系数是否相同，只有二次项的系数相同时，才能利用相减法来处理．若二次项的系数不相同，需先将两圆的二次项的系数调整为相同．【活学活用2】 (1)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．解析 (1)两圆方程相减得公共弦所在直线为y ＝1a(a ＞0)．由如图可知弦长|AB |＝23，又OB 为圆x 2＋y 2＝4的半径， ∴|OB |＝2，则|OC |＝1，即公共弦为y ＝1，即1a＝1，故a ＝1.(2)由题意圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 为x ＋y －1＝0.圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12.由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234， ∴弦长为2×232＝23. 答案 (1)1 (2)23类型三 两圆的公切问题【例3】 已知圆O 1：x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆O 2：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0.求圆O 1和圆O 2的公切线方程．[思路探索] 先判定两圆位置关系以确定公切线的条数，再设出公切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径求得公切线的方程，并注意考虑公切线斜率不存在的情况．解 圆O 1的圆心坐标为O 1(－1，－3)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标O 2(3，－1)，半径r 2＝3，则|O 1O 2|＞r 1＋r 2，∴两圆相离，有四条公切线，设公切线的方程为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|－3＋k －b |1＋k 2＝1，①|3k ＋1＋b |1＋k 2＝3，②解得⎩⎨⎧k ＝0，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝－52，当斜率不存在时，x ＝0也和两圆相切，∴所求切线的方程为y ＋4＝0或4x －3y ＝0或x ＝0或3x ＋4y ＋10＝0.[规律方法] (1)此类问题首先根据两圆的位置关系确定公切线有几条，然后设出公切线方程再利用几何性质求出公切线方程． (2)当求出的公切线数目不够时，注意考虑斜率不存在的特殊情况，并找回特殊的公切线．【活学活用3】 (1)圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条． (2)已知动圆M 与y 轴相切且与定圆A ：(x －3)2＋y 2＝9外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是________． 解析 (1)∵C 1(－2,2)，r 1＝1，C 2(2,5)，r 2＝4 ∴|C 1C 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5 ∴圆C 1、C 2外切，公共线有3条． (2)设点M (x ，y )，动圆的半径为r ， 由题意，得|MA |＝r ＋3且r ＝|x |，∴ (x －3)2＋y 2＝|x |＋3.当x ＞0时，两边平方化简得y 2＝12x (x ＞0)； 当x ＜0时，两边平方化简得y ＝0(x ＜0)． 答案 (1)3 (2)y 2＝12x (x ＞0)或y ＝0(x ＜0) 类型四 圆系方程的应用【例4】 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点的圆的方程． [思路探索] 既可以先通过解方程组得到两圆的交点坐标再求解，也可以通过经过两圆交点的圆系方程求解． 解 法一 解方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，得交点坐标分别为(0,2)，(－4,0)． 设所求圆心坐标为(a ，－a )，则有a 2＋(－a －2)2＝(a ＋4)2＋a 2＝r ， 解得a ＝－3，r ＝10，因此所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0，因为这个圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， 所以(2λ－2)＋(2λ＋10)＝0，解得λ＝－2. 所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.[规律方法] 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程问题利用圆系方程可避开求交点的复杂计算，因而常被采用． 【活学活用4】 (1)求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程． (2)若圆C 过点(0,2)及直线x －2y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点，求圆C 的方程．解 (1)设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.(2)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －4＋λ(x －2y )＝0.又圆C 过点(0,2)，代入上述方程得－8－4λ＝0，即λ＝－2.故圆C 的方程为x 2＋y 2－4＝0.易错辨析 因忽略内切情形而致错【示例】 求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．[错解] 由题意，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝16，因为圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，故b ＝±4，所以圆心坐标为C (a,4)或C (a ，－4)．又已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，设圆心坐标为A (2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA |＝4＋3＝7.(1)当取C (a,4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72，故a ＝2±210，此时圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.(2)当取C (a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72，故a ＝2±26，此时圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.[错因分析] 上述解答由于思维定势，想当然认为两圆外切只考虑|CA |＝4＋3＝7，遗漏掉了|CA |＝4－3＝1的情况，本例另一种常见错误是忽略圆心在x 轴下方的情况从而导致所求方程个数丢失一半．[正解] 由题意，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝16，因为圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，故b ＝±4，所以圆心坐标为C (a,4)或C (a ，－4)．又已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，设圆心坐标为A (2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA |＝4＋3＝7或|CA |＝4－3＝1.(1)当取C (a,4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±210，此时圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.(2)当取C (a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±26，此时圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.[防范措施] (1)涉及到两圆相切的情况，要考虑分清是内切还是外切，切莫将外切等同于相切，以免出现知识性错误． (2)可通过作图思考有哪些情况，以避免遗漏某些情形.课堂达标1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝ 42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．答案 B2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( )． A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)解析 由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0.答案 C3．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为________．解析 设两圆相交于A 、B 两点，则A 、B 两点满足⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x －1)2＋y 2＝1.两式相减得－2x ＋1＝0，即x ＝12.答案 x ＝124．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4相切，则m 的值为________．解析 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为 2.当C 1、C 2外切时有(－2－m )2＋(m ＋1)2＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5；当C 1、C 2内切时有(－2－m )2＋(m ＋1)2＝3－2，即m 2＋3m ＋2＝0解得m ＝－1或m ＝－2. 答案 －5，－2，－1,25．求以点(－3,4)为圆心且与圆x 2＋y 2＝4相外切的圆的标准方程． 解 设所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)， 由两圆相外切可知 (－3)2＋42＝2＋r ，解得r ＝3. 故所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9.§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C. 答案 C【点评】 本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观.2．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1. 分别令x ＝0，y ＝0得A (1x 0，0)，B (0，1y 0)，∴|AB |＝1x 02＋1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2. 答案 C3．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围( )． A ．－2－5＜a ＜－2＋ 5 B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5 C ．－5≤a ≤ 5D ．－5＜a ＜ 5 解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1， 解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 B4．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )． A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，将点(4,1)代入得a 2－10a ＋17＝0，解得a＝5±22，设C 1(5－22，5－22)，则C 2(5＋22，5＋22)，则|C 1C 2|＝32＋32＝8. 答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.[]－3，3D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析 如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵ 直线方程为y ＝kx ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k2＝1，解得 k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 答案 B6．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( ) A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C 7.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案 B 二、填空题8．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析 由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a >0，则圆C 的半径为|a －1|，圆心到直线l 的距离为|a －1|2，根据勾股定理可得，(|a －1|2)2＋(2)2＝|a －1|2，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)，所以圆C 的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案 x ＋y －3＝09．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________． 解析 将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，∴|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，∴k ＝1或k ＝177.答案 1或17710．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．解析 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m 2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|OA →＋OB →|≥|AB →|即|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|，平方得OA →·OB→≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|OA →＋OB →|≥|AB →|等价于向量OA →，OB →的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B是直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2. 答案 (－2，－2]∪[2，2)11．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________． 解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π【点评】 数形结合法是把题中的“数”与“形”有效结合，相辅相助，解题方便、直观，在圆的有关问题中较为常见.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案 (－13,13) 三、解答题13．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB . 设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.。
圆与圆得位置关系
共心
定义
两个圆有共同的圆心，但半径不相等。
性质
共心的两个圆具有相同的圆心，但半径不同。它们有公共 的弦和弧。
判定
可以通过比较两个圆的圆心距和半径来判断两个圆是否共 心。如果圆心距等于两个圆的半径之和或差，则两个圆共 心。
1 2
定义
两圆的圆心之间的距离等于两圆的半径之和或差。
特征
两圆只有一个公共点。
3
示例
两个相距1厘米的圆，半径分别为3厘米和4厘米。
04
相切关系
外切
定义
两个圆心之间的距离等于两个圆 的半径之和，即两圆外切。
性质
两圆外切时，两圆的交点只有一 个，且该交点为两圆的切点。
判定
若两圆在某点相切，且该点到两 圆心的距离之和等于两圆的半径
03
相离关系
外离
定义
两个圆心之间的距离大于两圆的半径之和。
特征
两圆没有公共点。
示例
两个相距1厘米的圆，半径分别为2厘米和3厘米。
内含
定义
一个圆的圆心位于另一个圆内，或者一个圆的半径小于另一个圆 的半径。
特征
一个圆完全位于另一个圆内。
示例
一个半径为2厘米的圆完全位于Leabharlann 个半径为4厘米的圆内。相切相离
圆与圆的位置关系
contents
目录
• 圆与圆的位置关系概述 • 相交关系 • 相离关系 • 相切关系 • 特殊位置关系
01
圆与圆的位置关系概述
定义与分类
定义
两个圆之间的相对位置关系，可以通过它们之间的位置关系来描述。
圆圆的位置关系知识点总结
圆圆的位置关系知识点总结圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到圆与直线、圆与圆之间的相对位置关系。
下面是关于圆的位置关系的知识点总结。
一、圆与直线的位置关系：1.外切：当直线与圆相切于圆的一点时，我们称这条直线与圆外切。
2.内切：当直线与圆只在圆的内部与圆相切时，我们称这条直线与圆内切。
3.交于两点：当直线与圆相交并有两个交点时，我们称这条直线与圆相交于两点。
4.不相交：当直线与圆没有交点时，我们称这条直线与圆不相交。
二、圆与圆的位置关系：1.相切：当两个圆相切于圆的一点时，我们称这两个圆相切。
2.相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆相交。
3.重合：当两个圆的圆心和半径完全相同时，我们称这两个圆重合。
4.内含：当一个圆完全在另一个圆内部时，我们称这个圆在另一个圆内含。
5.相离：当两个圆没有交点，且一个圆的外部不与另一个圆的内部相交时，我们称这两个圆相离。
三、判别圆与直线的位置关系的方法：1.利用距离：计算直线上一点到圆心的距离，根据距离与圆的半径的大小关系来判断圆与直线的位置关系。
-当直线上一点到圆心的距离等于圆的半径时，这条直线与圆相切。
-当直线上一点到圆心的距离大于圆的半径时，这条直线与圆相交。
-当直线上一点到圆心的距离小于圆的半径时，这条直线与圆不相交。
2.利用方程：通过圆的方程和直线的方程来求解相交的点，根据求解得到的交点的数量来判断圆与直线的位置关系。
四、判别圆与圆的位置关系的方法：1.利用距离：计算两个圆心之间的距离，根据距离与两个圆的半径之和、之差的大小关系来判断圆与圆的位置关系。
-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。
-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。
-当两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值时，一个圆完全包含在另一个圆内即一个圆内含于另一个圆。
-当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，但小于两个圆的半径之和时这两个圆相交于两个交点。
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系圆形是几何学中最基本的图形之一，它由平面上所有到一个固定点的距离相等的点组成。
当涉及到两个或多个圆时，它们的位置关系成为一个有趣而重要的话题。
本文将探讨圆与圆之间的各种位置关系，并介绍这些关系在几何学和实际生活中的应用。
1. 包含关系当一个圆完全包含另一个圆时，称为包含关系。
在这种情况下，大圆被称为外切圆，小圆被称为内切圆。
外切圆和内切圆之间的关系可以通过观察它们的半径和圆心之间的距离来确定。
如果两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差，则为外切关系；如果距离等于两个圆的半径之和，则为内切关系。
包含关系在工程、建筑和几何学中经常被使用，例如制作不同大小的齿轮。
2. 相离关系当两个圆之间没有任何交点时，称为相离关系。
相离关系可以进一步分为两种情况：外离和内离。
对于外离关系，两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
即使两个圆的边缘相接触或靠近，它们也没有任何交点。
对于内离关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之差。
相离关系在可视化设计和物体的布局中经常被使用，以确保对象之间有足够的空间。
3. 相交关系当两个圆有一个或多个交点时，称为相交关系。
相交关系可以进一步分为两种情况：外交和内交。
对于外交关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，但大于两个圆的半径之差。
这种情况下，两个圆有两个交点。
对于内交关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，且小于两个圆的半径之差。
这种情况下，两个圆有两个交点。
相交关系在建筑设计、路径规划和汽车制造等领域中具有重要的应用。
4. 切线关系当两个圆之间只有一条公共切线时，称为切线关系。
切线是一条与圆正好相切的直线。
当两个圆互相切线时，它们的切线相互平行。
切线关系在光学、天文学和工程设计中都有着广泛的应用，例如用于设计太阳能集热器的反射面。
总结：在几何学中，两个圆之间的位置关系可以是包含关系、相离关系、相交关系或切线关系。
这些关系在工程、建筑、可视化设计和其他领域中都有重要的应用。
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系圆与圆之间的位置关系在几何学中占据着重要的地位。
研究圆与圆的位置关系，可以帮助我们解决许多实际问题，比如在建筑设计中确定柱子的位置，或者在交通规划中确定车辆行驶的路线等等。
下面我将介绍几种常见的圆与圆的位置关系。
1. 相离当两个圆没有任何部分重叠时，它们被称为相离。
这意味着两个圆之间没有共同的点。
在平面几何中，我们可以用一个圆心到另一个圆心的距离来判断两个圆是否相离。
如果这个距离大于两个圆的半径之和，那么它们是相离的。
2. 外切如果两个圆之间有且仅有一个公共切点，并且两个圆的切点直接与它们的圆心连线垂直，那么它们被称为外切。
在外切的情况下，两个圆的半径之和等于它们的切点到圆心的距离。
3. 相交当两个圆有部分重叠时，它们被称为相交。
在相交的情况下，两个圆有两个公共切点。
这样的位置关系在很多实际问题中都有应用，比如在某个半径固定的圆内部找到与之相切的另一个半径未知的圆。
在判断两个圆是否相交时，我们需要比较它们的圆心到圆心的距离与两个圆的半径之和。
4. 内切当两个圆的半径不同，但是其中一个圆完全位于另一个圆的内部，并且切点处的切线与两个圆的半径垂直时，它们被称为内切。
在内切的情况下，两个圆的半径之差等于它们的切点到圆心的距离。
5. 同心圆如果两个圆的圆心重合，那么它们被称为同心圆。
同心圆的半径可以不同，但是它们不会相交或相切。
在实际问题中，我们可以利用这些位置关系来解决一些几何难题。
通过观察两个圆的位置关系，我们可以计算圆心的坐标、切点的位置以及两个圆的半径之比等等。
这些计算有助于我们更好地理解圆与圆之间的关系，为我们解决其他几何问题提供了一种思路。
总结起来，圆与圆之间有五种常见的位置关系：相离、外切、相交、内切和同心圆。
通过对这些位置关系的研究，我们可以解决许多实际问题，同时也能够加深对几何学的理解。
无论是在建筑设计中确定位置，还是在日常生活中解决其他难题，几何学的知识都能够帮助我们找到最佳的解决方案。
初中数学圆与圆的位置关系
S=So-So1-So2= （ CD ） 2 π （ - CM ） 2 π （ - DM ）π
2
2
2
= CM * DMπ 2
=50π
A O1 OM O2 D
B
如图，两个等圆圆A圆B分别与直线l相切于点C、D，连接 AB,与直线l相交于点O，∠AOC=30°，连接AC，BC，若 AB=4，则圆的半径为 。
解：因为圆A和圆B是等圆
所以它们的半径相等 又因为直线l与两圆相切 所以AC=BD
l D
∠ACO= ∠BDO=90°
又因为∠AOC= ∠BOD =30°
已知圆O1与圆O2的半径为r1,r2分别是方程x2-6x+8=0的两实数根，
若圆O1与圆O2的圆心距d=5,则：因为 x2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x1=2,x2=4 所以2,4分别为两圆的半径。 又因为 4-2=2<d<2+4=6 所以是相交的关系。
已知圆O1和圆O2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外 离，那么圆心距O1O2的取值范围在x上的表示正确的是（ C ）
O1 O2 A
如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为 （a,0）,半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是 。 y
解：因为内含时，圆心距的取值范围为：
0≤d<2 而该两圆的圆心距就为a 所以 0≤a<2
O (a,0) x
如图，三个半径都为3cm的圆两外切，切点分别为D、E、F，
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
圆与圆的5种位置关系
圆与圆的5种位置关系为了更好地理解圆与圆的位置关系，我们需要先大体了解一下圆的特性。
圆可以用一个点为圆心和一个长度为半径的线段描述。
圆的基本特性包括：1. 圆周是一个封闭的曲线，其上每一点到圆心的距离都相等。
2. 圆周的长度是由半径决定的，即圆周长L=2πr。
3. 圆与平面各部分的交线总是一条曲线，且圆与平面各部分的交线总在圆周内部。
有了这些基础，我们可以探讨圆与圆之间的5种主要位置关系：1. 相离两个圆不相交，也不相切，这种情况下两个圆被称为“相离”的。
这意味着两个圆之间存在一定的距离，以至于它们不会相互干涉、重叠或相交。
这种情况下两个圆的圆心距离大于两个圆的半径之和。
2. 外切两个圆在一个点相接触的情况下被称为“外切”。
这个接触的点称为外切点，与之对应的距离为两圆心距离减去两个圆的半径之和。
两个圆相切的情况下，它们的圆心连线与外切点形成一条正切线。
3. 相交两个圆交于两个点时被称为“相交”。
两个圆的圆心连线与相交的两点之间形成一条线段，这条线段称为过两圆圆心的公共弦，公共弦的长度由两个圆的圆心距离以及它们的半径决定。
4. 内切两个圆在一个圆内侧相接触被称为“内切”。
这个接触的点同样称为内切点，与之对应的距离为两圆心距离减去两个圆的半径之差。
如上所述，两个圆相切的情况下，它们的圆心连线与内切点形成一条正切线。
5. 包含一个圆完全包含另一个圆并与之内部不相交时被称为“包含”。
这种情况下，大圆的圆心距离小于两圆半径的差值，小圆的圆心则被大圆所包围。
这种情况下，两个圆没有任何公共弦。
总之，这五种情况描述了圆与圆之间的所有可能位置关系。
掌握它们的特点和性质可以帮助我们更好地理解和解决涉及到圆形的问题。
九年级数学圆与圆的位置关系
九年级数学圆与圆的位置关系在我们学习数学的过程中，有些知识总是能让人拍案叫绝，比如说圆与圆之间的位置关系。
你想啊，两个圆就像两个好朋友，有时候紧紧相拥，有时候则是形同陌路。
今天咱们就来聊聊这些圆的“社交”动态，保准让你听了哈哈大笑，边学边乐。
首先呢，咱们得知道圆和圆之间的基本关系。
两个圆如果能够相交，形成两个交点，那就叫做“相交”。
这就好比是两位朋友在某个聚会上聊得火热，结果发现两个人的兴趣爱好还真是有那么一点点相似，嘿嘿，意外的发现吧。
如果这两个圆的距离刚刚好，让它们只轻轻碰了一下，那就叫做“相切”。
就像两个朋友在街上偶遇，点头致意一下，心照不宣，继续各自的旅程，既亲密又有些距离。
哦，对了，记得咱们的圆心距离和半径的关系。
圆心距小于半径之和，那就能相交；等于半径之和，那就相切；大于半径之和，嘿，那就各自飞了。
咱们得聊聊“相离”这种情况。
两圆如果完全不相交，远得像两个恋人各自生活在两个城市，联系得少之又少，那就是“相离”。
你想啊，两个圆心的距离大于半径之和，真是远得像是天涯海角，不同的生活方式，不同的爱好，没啥交集，生活就这么各自精彩。
想象一下，两个圆在画纸上悄悄地待着，互不干扰，彼此就是那种“风马牛不相及”的感觉。
再来看看特殊的情况。
比如，当两个圆的圆心重合，但半径不同，那就有点意思了。
想象一下，有个圆在外面转来转去，另一个圆在它的“肚子”里悄悄待着。
这个时候，内圆完全被外圆包裹住了，像极了朋友间的包容。
总有那么一个人，给你无条件的支持，虽然不总是被看到，但心里永远有那么一个位置。
可惜，这种情况可不是每个人都能理解的。
说到这里，咱们再来琢磨一下这些圆之间的关系的意义。
生活中，朋友之间的关系也好，爱人之间的互动也罢，都是那么复杂又简单。
有人总是希望彼此相交，有人则想要独立。
相交的朋友就像是在一起打游戏，总是能碰撞出各种火花，而相切的朋友则是在适当的时候给予彼此空间，既能相互支持，又能保留个人的独特性。
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系是初中数学中的一个重要内容，它涉及到圆的相交关系、包含关系以及外切关系等多个方面。
通过归纳总结，我们可以更好地理解和运用这些知识点。
一、相离关系当两个圆没有任何交点时，它们被称为相离的圆。
两个相离的圆之间的最大距离等于它们的半径之和。
二、外切关系如果两个圆的半径相等，并且它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，我们称这两个圆为外切的圆。
三、相交关系相交是指两个圆的内部空间存在公共点。
根据两个圆的圆心之间的距离和半径的关系，相交的情况又可以分为四种。
1.相交于两点当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，并且大于两个圆的半径之差时，两个圆相交于两个点。
2.相切于外点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆相切于外点。
3.相切于内点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆相切于内点。
4.相切于公切线当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆的半径不相等时，两个圆相切于一条公切线。
四、内含关系如果一个圆的内部完全位于另一个圆内部，我们称这两个圆为内含的关系。
在内含的情况下，内含圆的半径小于包含圆的半径。
五、包含关系如果一个圆的外部完全包含另一个圆，我们称这两个圆为包含的关系。
在包含的情况下，包含圆的半径大于内含圆的半径。
通过对圆与圆之间的位置关系进行归纳整理，我们可以更好地理解和应用这些知识点。
在解决相关题目时，我们可以根据题目给出的条件和要求，运用这些位置关系进行分析和推理。
同时，我们还可以通过观察图形特点和运用相关定理来判断两个圆之间的位置关系，从而解决问题。
初中数学中的圆与圆之间的位置关系是一个基础而重要的内容，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活和工程中也有着重要的作用。
通过掌握和运用这些知识，我们可以更好地理解和应用数学，为解决实际问题提供有力的支持。
圆与圆的位置关系课件
圆与圆的位置关系课件圆与圆的位置关系圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多有趣的性质和特点。
而圆与圆之间的位置关系更是一个引人入胜的话题。
在本文中，我们将探讨圆与圆之间可能的位置关系，并深入研究每一种情况下的性质和特点。
1. 相交首先，我们来讨论两个圆相交的情况。
当两个圆相交时，它们的边界上有一些共同的点。
这些共同的点被称为交点。
两个圆相交的情况可以分为三种：相交于两个点、相交于一个点和相切。
当两个圆相交于两个点时，它们的边界将形成一个弧。
这个弧的长度与两个圆的半径和它们之间的距离有关。
当两个圆的半径相等时，它们的交点将位于它们的中垂线上。
当两个圆相交于一个点时，它们的边界将形成一个切点。
这个切点位于两个圆的公共切线上。
两个圆的切点之间的距离等于它们的半径之差。
当两个圆相切时，它们的边界将有一个共同的切点。
这个切点位于两个圆的公共切线上。
两个圆的切点之间的距离等于它们的半径之和。
2. 不相交接下来，我们来讨论两个圆不相交的情况。
当两个圆不相交时，它们的边界没有交点。
这种情况下，两个圆之间的距离将大于它们的半径之和。
在不相交的情况下，两个圆之间可能存在四种位置关系：内离、外离、内切和外切。
当两个圆内离时，它们的边界之间有一段距离。
这段距离大于两个圆的半径之和。
当两个圆外离时，它们的边界之间也有一段距离。
这段距离大于两个圆的半径之和。
当两个圆内切时，它们的边界之间有一条公共切线。
这条公共切线同时也是两个圆的切线。
当两个圆外切时，它们的边界之间也有一条公共切线。
这条公共切线同时也是两个圆的切线。
3. 包含最后，我们来讨论一个圆包含另一个圆的情况。
当一个圆完全包含另一个圆时，它们的边界之间没有交点。
这种情况下，一个圆的半径必须大于另一个圆的半径，并且它们的圆心之间的距离小于两个圆的半径之差。
在包含的情况下，一个圆将成为另一个圆的内切圆。
内切圆与外切圆有一些特殊的性质，例如内切圆的半径等于两个圆的半径之差。
平面几何中的圆与圆的位置关系
平面几何中的圆与圆的位置关系平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面图形的性质和相互关系。
在平面几何中，圆与圆的位置关系是一个重要的研究方向。
圆与圆的位置关系可以分为四种：相交、内切、外切和相离。
下面将详细介绍每一种位置关系。
首先是相交。
当两个圆共有两个交点时，它们被称为相交。
相交的两个圆之间会存在两个公共切线。
具体来说，如果两个圆的半径相等，且它们的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，那么这两个圆就是相交的。
相交的情况又可以进一步细分为内切和外切。
内切是指两个圆相切于内部边界的情况。
当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆就是内切的。
内切的两个圆之间共有一个公共切线。
外切是指两个圆相切于外部边界的情况。
当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，这两个圆就是外切的。
外切的两个圆之间共有一个公共切线。
最后是相离。
当两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆就是相离的。
相离的两个圆之间不存在公共切线。
除了相交、内切、外切和相离之外，两个圆之间还可能存在包含和被包含的关系。
当一个圆的内部完全包含另一个圆时，被包含的圆是位于包含圆的内部的。
被包含的圆的半径小于包含圆的半径。
在实际应用中，圆与圆的位置关系常常用于模拟求解几何问题。
例如，在工程建模中，圆与圆的位置关系可以用来判断两个物体是否相交或相互碰撞。
在地理信息系统中，圆与圆的位置关系可以用来确定两个地理要素之间的相对位置关系。
总结起来，平面几何中的圆与圆的位置关系包括相交、内切、外切和相离。
这些位置关系在数学和实际应用中都有重要的意义。
掌握这些位置关系可以帮助我们更好地理解和应用平面几何的原理。
初中数学九年级《圆与圆的位置关系》-完整版PPT课件
关 置
与 圆
的 位
2008 新北京新奥运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另 一个圆的外部时,叫两圆外离
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两 圆外切
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个 圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心 距O1O2分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）０cm （２）８ cm
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一 个圆的内部时,叫两圆内含
圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切
内含同心圆
圆
外离
与
相离
圆 的
内含
位
外切
置
相切
关
系
内切
相交
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
位置关系
R―r
性质
d 和R、 r关系
Rr
d >R+ r
两圆外切
d =R+ r
两圆相交
判断： 1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心距O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）2cm （２）4 cm 3 6 cm
判断： 2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）
判断: 3 已知两圆相切R=7, r=2则圆心距等于9 （ ）
同 心 圆 两圆内切 内
含;R+ r
圆与圆的位置关系课件
判定2
如果两个圆心之间的距离小于两圆 的半径之和且大于两圆的半径之差 ，则这两个圆是相交圆。
判定3
如果两个圆在平面上有一条且仅有 一条公共直线，则这两个圆是相交 圆。
03
相切圆的位置关系
相切圆的概念
相切圆
两个圆在某一点有且仅有一个公共点，则称这两个圆相切。
切线
与两个相切圆的公共点相切的直线。
切点
交点
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点。
交线
通过两个圆的交点所作的 直线，称为两圆的交线。
相交圆的性质
性质1
相交圆交点位于两圆的 连心线上。
性质2
相交圆的交点到两圆心的 距离相等。
性质3
相交圆的交点到两圆上任 一点的距离之和等于两圆 半径之和。
相交圆的判定
判定1
如果两个圆在平面上有且仅有一 个公共点，则这两个圆是相交圆
几何法
通过观察两圆的圆心距与两圆半 径之和、半径之差的关系，判断 两圆的位置关系。
几何意义
相交
两圆有且仅有一个公共点。
相切
两圆有一个公共点，且除该公共点外，两圆没有 其他公共点。
相离
两圆没有公共点。
02
相交圆的位置关系
相交圆的概念
01
02
03
相交圆
两个圆在平面上有且仅有 一个公共点，这个公共点 称为两圆的交点，这两个 圆称为相交圆。
圆与圆的位置关系课件
目 录
• 圆与圆的位置关系概述 • 相交圆的位置关系 • 相切圆的位置关系 • 相离圆的位置关系
01
圆与圆的位置关系概述
定义与分类
定义
两个圆在平面上的相对位置关系。
圆与圆位置关系---知识点概览
1 1 2 2 r ＝ 41＋λ ＋4－λ －41＋4λ ＝ 2 2 5λ2－16λ＋16 1 8 2 16 1 16 2 ＝ 5λ－ ＋ ≥ ＝ 5. 2 5 5 2 5 5 8 当 λ＝ 时，半径 r 最小，这时圆的方程是： 5 26 12 37 2 2 x ＋y ＋ x－ y＋ ＝0. 5 5 5
跟踪训练1 a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋ a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，(1)相切； (2)相交；(3)外离． 解：将两圆方程化为标准方程(x－a)2＋(y＋2)2＝ 9， (x＋1)2＋(y－a)2＝4. 设两圆圆心距为d，则 d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切， 此时a＝－5或a＝2. 当d＝1即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，
【点评】
关键是求圆心坐标，并进行检验
是否增、失根．
跟踪训练3
求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2 ＋y2 ＋
2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．
解：设过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋
1＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x
＋y＋4)＝0，
整理得x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.
3．圆系与圆系方程 具有某种共同性质的圆的集合，称为_______． 圆系 (1)同心圆系(x－x0)2 ＋(y－y0)2 ＝r2 ，x0 ，y0 为常 数，r为参数． (2)圆心共线且半径相等圆系(x－x0)2 ＋(y－y0)2 ＝r2，r为常数，圆心(x0，y0)在直线Ax＋By＋C ＝0上移动． (3)过两已知圆fi(x，y)＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝ 0(i＝1,2)的交点的圆系方程，x2＋y2＋D1x＋E1y ＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
S=So-So1-So2= （CD ）2π（ - CM ）2π（ - DM ）π
2
2
2
= CM * DM π 2
=50π
1
圆与圆的位置关系：
圆心距： 内含
两圆的圆心之间的距离。 0 ≤d<R-r
内切
d=R-r
外切 外离
d=R+r d>R+r
相交
R-r< d<R+r
R r
2
已知圆O1和圆O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，则这两个圆的
位置关系是 。
解：因为 1<O1O2=8<9 所以 它们的关系是相交
已知圆O1与圆O2的半径为r1,r2分别是方程x2-6x+8=0的两实数根，
03 A
03 B
07 C
解：因为外离的圆心距为 7=R+r<d
07 D
4
如图，CD是圆O的直径，弦AB⊥CD,垂足为点M，AB=20，分别
以CM、DM为直径作两个大小不同的圆O1和圆O2，则图中阴影部
分的面积为 。
C
解：连接CA，DA ∵AB⊥CD，AB=20，∴AM=MB=10， 又∵CD为直径，∴∠CAD=90°，
若圆O1与圆O2的圆心距d=5,则圆O1=0
(x-2)(x-4)=0
x1=2,x2=4 所以2,4分别为两圆的半径。 又因为 4-2=2<d<2+4=6 所以是相交的关系。
3
已知圆O1和圆O2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外离， 那么圆心距O1O2的取值范围在x上的表示正确的是（ C ）
A
O
B
所以∆AOC ≌∆BOD（AAS）
即AO=BO=2
C
可得AC=1/2AO=1
6
如图，圆O1、圆o2相内切点A,其半径分别是8和4，
将圆O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移
动的长度是
。
解：①当圆O2向A这边移动到外切时 它所走的长度是4
②当圆O2向A相反的方向移动时 它所走的长度是8
M
O1
A
B
O2
N
9
个人观点供参考，欢迎讨论
个人观点供参考，欢迎讨论
A O1 OM O2 D
B
5
如图，两个等圆圆A圆B分别与直线l相切于点C、D，连接AB, 与直线l相交于点O，∠AOC=30°，连接AC，BC，若AB=4， 则圆的半径为 。
解：因为圆A和圆B是等圆
所以它们的半径相等 又因为直线l与两圆相切 所以AC=BD
l D
∠ACO= ∠BDO=90°
又因为∠AOC= ∠BOD =30°
解：因为三圆的半径相同
又三圆两两相切 所以O1O2=O2O3=O1O3 即三角形O1O2O3是等边三角形
O1 DE
所以∠EOF=60° 又O3E=O3F 所以三角形O3EF为等边三角形
O2 F O3
即EF=3cm
8
如图，等圆圆O1和圆O2相交于A,B两点，圆O2经过圆O1的圆心O1， 两圆的连心线交圆O1于点M，交AB于点N，连接BM,已知AB= 2 3 。 （1）求证：BM是圆O2的切线； （2）求半径的长。
求证：（1）连接O2B 因为圆O1和圆O2是等圆 又圆O2经过圆O1的圆心 所以O2M为圆O1的直径 即∠MBO2=90° 所以BM为圆Ｏ2的切线。
（2）根据垂径定理 MN平分AB和弧AB、弧AMB 连接BO1 则O1B=O2B=O1O2 所以三角形BO1O2为等边三角形
又AB= 2 3 得半径O1O2=2
O1 O2 A
7
如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为 （a,0）,半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是 。 y
解：因为内含时，圆心距的取值范围为： 0≤d<2
而该两圆的圆心距就为a 所以 0≤a<2
O (a,0) x
如图，三个半径都为3cm的圆两外切，切点分别为D、E、F，
则EF的长为 cm.