初中数学函数与图形经典难题
动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)
动点的函数图象问题数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB 上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两段，用排除法解决．解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，过点M作MT⊥BC于点T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD==BT=12BM=t，∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四边形CTMP为矩形，∴PM=CT=BC―BT=4―t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM2=4―t2，∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2，∵E为CD中点，∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，由①可得QN=ED=DM=2―2t，DN=32t，S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD==，∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1，∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t ≤2，即从点M 与点D 重合至点M 到达终点，如图，由①可得DN =32t ，MN =4―t 2，∵AD ==6， DG =12AD =3，∴NG =DG ―DN =3―32t ，∴QF =NG =3―32t ，∴PQ==，∴HQ ==1―12t ，∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数，综上，只有选项A 的图象符合，故选：A ．1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD －DC －CB 以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设△AMN的面积为y (cm2)，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分别求解y与x的解析式，从而求解．【解题过程】解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AD上，此时AM=x cm，AN=2x cm，y=S△AMN=12×AM×AN=x2，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当1≤x<3时，M、N分别在线段、CD上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为AD=2cm，y=S△AMN=12×AM×AD=x，为一次函数，图象为直线；当3≤x<4时，M、N分别在线段AB、BC上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm，y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有A选项符合题意，故选：A．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=P为BC边上一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S△BPQ=y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ，∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x ．∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中，∠ECQ =45°，∴QE ==―x )=2―，∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选：C.3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，点A 从点D 运动到点E 的过程中，AB 和DF 相交于点G ，AC 和EF 相交于点H ，(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ，点A 移动的距离为横坐标x ，则y 与x 关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，证明四边形ACFD 为平行四边形，可得AD =CF =x ，BF =4―x ，求解CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，再利用面积公式建立函数关系式即可判断．【解题过程】解：如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，由题意可得：AD∥CF ，DF∥AC ，∴四边形ACFD 为平行四边形，∴AD =CF =x ，∴BF =4―x ，∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，AD∥CF ，∴∠D =∠DFB =60°，而∠B =60°，∴△BGF 为等边三角形，同理：△CFH 为等边三角形，∵HT ⊥BC ，∴CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4，到CD 的距离等于6，求出点Q 到达点C 的时间为6s ，点P 到达点C 的时间为12s ，点Q 到达点D 的时间为14s ，然后分①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，表示出CP 、CQ ，然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解；③12<t ≤14时，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解题过程】解：∵矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离=12AB =4，到CD 的距离=12AD =6，∵点M 是BC 的中点，∴CM =12BC =6，∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s，点P到达点C的时间为12÷1=12s，点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s，①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×4=12；②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP=12―t，CQ=t―6，SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ，=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6)，=12t2―8t+42，=12(t―8)2+10，③12<t≤14时，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×6=18；纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函数关系的图像大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ，然后分①点Q 在CD 上时，表示出BP 、CP 、CQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，列式整理即可得解；②点Q 在AD 上时，表示出BP 、AQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．【解题过程】解：∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位，∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4（秒），∵E 为AB 中点，∴AE =BE =12AB =12×4=2，①如图1，点Q 在CD 上时，0≤x ≤4，则BP =x,CP =6―x,CQ =x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2，点Q 在AD 上时，4<x ≤6，则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10，综上所述，y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6)，函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段，只有A 选项符合．故选：A ．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC 中，∠B =60°，点D 从点B 出发，沿BC 运动，速度为1cm/s ．点P 在折线BAC 上，且PD ⊥BC 于点D ．点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示，E 是函数图象的最高点．当S (cm 2)取最大值时，PD 的长为（ ）A ．B ．(1+cm C ．(1+cm D ．(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．从而求得PD ==，再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ，从而求得DC =BC ―BD =2+2=，得出PD =DC ，然后根据由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解：由题意知，点D 运动2s 时，点P ，D 的位置如图1所示．此时，在Rt △PBD 中，BD =2cm ，∠B =60°，PD ⊥BC ，∴PB =2BD =4(cm)，∴PD ==．由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ，∴DC =BC ―BD =2+2=，∴PD =DC ．由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．当2≤t ≤2+P 在AC 边上，如图2，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t ．∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0，∴当t =1+S △PBD 的值最大，此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm ．故选：B ．7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，CD ⊥AD ，∠BCD =90°, AB =BC =4，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，△APQ 的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分当0≤x <2时，点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：过Q 作QN ⊥AD 于N ，当0≤x <2时，点Q 在AB 上，∵∠A =60°，∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ，∴QN ==，∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2，当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，∵BM ⊥AD ，∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2，∴BM ==∵CD ⊥AD ，QN ⊥AD ，∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=，综上所述，当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x ≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD =，D 为AC 上一点，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C→B→A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF ，设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，当点P 由点C 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等，当t 3=5t 1时，则正方形DPEF 的面积为（ ）A ．3B ．349C ．4D ．5【思路点拨】由题意可得：CD =CP =t ，当点P 在BC 上运动时S =t 2+2，由图可得，当点P 与点B 重合时，S =6，求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，t1+t2=4①，t2+t3=8②，结合t3=5t1③，求出t的值即可得出答案．【解题过程】解：由题意可得：CD=CP=t，当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，∴t2+2=6，∴t=2或t=―2（不符合题意，舍去），∴BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2，将2，6代入得：a(2―4)2+2=6，∴a=1，∴抛物线的表达式为：S=(t―4)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，∴t1+t2=4①，t2+t3=8②，∵t3=5t1③，由①③③解得t1=1，∴S=t2+2=1+2=3，故选：A．9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点O为AC 中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ，先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ，然后再根据勾股定理求得函数解析式，最后确定函数图像即可．【解题过程】解：如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°，∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时，y =0―+274=63当x =152时，y =―+274=274当x =12时，y =12+274=27则函数图像为．故选C ．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =8，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A→C→B 方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设△DMN 的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t ≤6时，得MN =AE =6，结合三角形面积公式求解即可；（2）当6<t ≤12时，得AM ，MC ，CN 和BN ，结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ；（3）当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，结合DF 和MN 求面积即可．【解题过程】解：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，∴DF ∥AC ，DF =12AC =6∵点D 、E 是中点，∴DE =12BC =4，DF ∥CB ，∵∠C =90°，∴四边形DECF 为矩形，当0<t ≤6时，点M 在AE 上，点N 在EC 上，MN =AE =6，∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12；如图，当6<t ≤12时，点M 在EC 上，点N 在BC 上，∵AM =t ，∴MC =12―t ，CN =t ―6，BN =14―t ，∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42；如图，当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18，综上判断选项A 的图象符合题意．故选：A ．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点，∠A =60°．现有两个机器人(看成点)分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C 和C→D→A ．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．【解题过程】解：①设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴CK=1，FT=KB=∴AE=t，CF=2―t，∴FK=2―t―1=1+t，∴ET=2―t―(1+t)=1+2t，∴在Rt△EFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4；②设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴BM=t―2，CM=2―(t―2)=4―t，CP=1，PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t，∴在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12，∴函数图像为两个二次函数图象；③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从C出发的机器人在C点，此时距离是AC；∵设AD=2，∠A=60°，∴BD=2，AE=∴AC=2AE=∴BD<AC，∴函数图象的起点和终点高于中间点；综上所述：A项符合题意；故选A．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC于点Q，可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．【解题过程】解：如图①，设AC与DE交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形，∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时，在Rt △HCE 中，∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ，∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2，所以，S 关于x 的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x ≤1内的一段；当1<x ≤2时，如图，设AB 与DE 交于点P ，∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得，PE =x ―2)，∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以，图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索；当2<x ≤3时，如图，S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即S=<x≤3)，故选：C13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD 沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移距离为x，当点B1与点A重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1，然后分情况讨论：当0<x≤1时，当1<x≤2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解．【解题过程】解：过点D作DM⊥AB于M，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴ AB =BC ，设AB =BC =2，∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1，当0<x ≤1时，设B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交BD 于N ，∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ，由平移知B 1G ∥BD ，∠AB 1G =∠ABD ，∴ △AB 1G 是等腰直角三角形，∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2，又∵ S △ABD =12×12×2×2=1，S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ，当x =―=23时取得最大值，故排除A 、B 选项当1<x ≤2时，B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交AC 于点H ，∵ B 1H ∥BC ，∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°，又∵ ∠D 1B 1C 1=45°，∴ △B 1GH 为等腰三角形，∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ，∴ AB 1G 为等腰三角形，∴ B 1G =1=―x )，∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2，即当1<x ≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C 选项故选：D ．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．【解题过程】解：设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，①当0≤x≤1时，点P在BC上时，过点P作PE⊥BA，，∵根据题知：∠B =60°，PB =3x,BQ =x ，∴BE =32x ，PE =，∴y =12BQ·PE =12x·=2；②当1<x ≤2时，点P 在CD 上时，过点P 作PH ⊥BA ，，∵根据题知：∠B =60°，BC =3,BQ =x ，∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=；③当2<x ≤3时，点P 在AD 上时，过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ，，∵根据题知：∠B =60°，即∠FAD =60°，∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ，BC +CD +DP =3x ，∴AP =(9―3x)cm ，∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2；∴结合三种情况，图像如下所示：，故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D，P(―1,―1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【解题过程】解：∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，∴ AB =AD =2，OA=∴ OB===1，∴ OC =OB +BC =1+2=3，∴ A ，B (1,0)，C (3,0)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A ，B (1,0)代入，得：k +b = ，解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴，∴N 的横坐标为x ，（1）当M 的横坐标x 在0∼1之间时，点N 在线段AB 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，∴ N (x,―+，∴ MN=(―+=，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+，∴该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M 的横坐标x 在1∼2之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线；（3）当M 的横坐标x 在2∼3之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，由D ，C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+，N (x,0)，∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A 满足条件，故选A ．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (2,0)，点B，点C (―，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t 的关系图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，∴OA=2，OB∴AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM =BM CM =3，∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形，∠BOC =60°，∴点P 在OA 上运动用时2s ，在AB 上运动用时4s ，点Q 在OC 上运动用时2s ，在OC 上运动用时2s ，即点P 和点Q 共运动4s 后停止；由此可排除D 选项．当点P 在线段OA 上运动时，点Q 在线段OC 上运动，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，由点P ，点Q 的运动可知，OP =t ，OQ ，∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0＜t ＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A ，C ．故选：B ．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情形∶①当0＜x≤2时，△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解题过程】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，BC＝2，AM＝∴BM＝CM＝12BC•AM＝∴S△ABC＝12①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DGCD•DG2；∴S＝12②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG4﹣x），×（4﹣x）4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝﹣12∴S＝2﹣x﹣4）2③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）A ．AB:AD =4:5B ．当t =2.5秒时，PQ =C ．当t =294时，BQ PQ =53D ．当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =5cm ，然后由5<t <7时，y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，AE ==4cm ，可以判定A ；当0<t ≤5时，根据y =25t 2得到y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2，设QH =x cm ，根勾股定理计算QH =1cm ，可计算PQ =根据AB =CD =4cm ，得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，确定直线HN 或475秒；当t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y =at 2，当t =5时，y =10，∴10=25a ，解得a =25，∴y =25t 2，由图2中的函数图像得当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =BE =5cm ，∵5＜t ＜7时，y =10，∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ，∴AB:AD =4:5，故A 正确，不符合题意；当0<t ≤5时，∵y =25t 2，t =2.5，∴BP =BQ =2.5cm ，y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2，设QH =x cm ，则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ，∴2.52=22+(2.5―x )2，解得x =1,x =4（舍去），∴QH =1cm ，∴PQ==故B 正确，不符合题意；根据AB =CD =4cm ，∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，设直线HN 的解析式为y =kt +b ，根据题意，得11k +b =07k +b =10 ，解得k =―52b =552 ，∴直线HN 的解析式为y =―52t +552，∵△BPQ 的面积为4cm 2，故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475，故D 正确，不符合题意；∵t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，当t =294时，y =―52×294+552=758，12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43．故C错误，符合题意．故选：C．19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【解题过程】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0<x≤3，∵EG∥AC，∴∠MAD=∠AGE=30°，∴∠NAD=∠AGE=30°，∴AE=EG=x，在Rt△AEF中，∠EAF=60°，∴EF==，∴S=2；②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，x=6，解得x=4，则x+12由图2到图3，此时3<x≤4，如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，∴EQ=EB=BQ=6―x，∴GQ=x―(6―x)=2x―6，而∠PQG=60°，∴PG==2x―6)，∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时，x =6，由图3到图6，此时4<x ≤6，如图5，同理△EKB 是正三角形，∴EK =KB =EB =6―x ，FC =AC ―AF =6―12x ，EF =， ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A ．20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为t （秒），菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示，由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当0≤t ≤2时；②当2<t <4时；③当4≤t ≤6时；④当t >6时；四种情况，作图求解S 关于t 的函数解析式，作出图像即可得到答案．【解题过程】解：过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，∴OE =2,OB =4，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =60°，BE =①当0≤t ≤2时，如图（1）所示：S =12OA ⋅OF =12×t ×=2；②当2<t <4时，如图（2）所示：S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时，如图（3）所示：∵∠C =60°，OD =OA ―AD =t ―4，∴∠KDO =60°,OK=t ―4)，∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2，∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6，S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时，S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ，∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于x轴的射线，故选：A．。
初中数学：函数及其图像易错题归纳
初中数学：函数及其图像易错题归纳
函数是中考数学的重点和难点，因为函数的题型变化太多，可以和很多知识点进行糅合。
但是，我们把最基础的概念完全理解透彻，牢牢掌握。
能够把函数的三种基本形式：一般式，顶点式和交点式的特点和异同特性做到灵活运用。
我们可以通过函数图像的开口方向，对称轴，和坐标系x轴y轴的交点，或者根据抛物线上的点，就可以快速地求出函数的解析式。
考试中求解析式的题目非常常见，特别是在中考的最后一道大题，算作是数学大题中的压轴题。
而对学生来说，抛物线学不好，函数就无从下手，抛物线中的开口问题、对称轴问题、交点问题等充斥大脑，会让很多同学望而却步。
虽然话是这样说，但是学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性质画图像，正所谓数形结合，函数无敌。
初中数学专题——函数及其图像的经典例题解析，非常全...
初中数学专题——函数及其图像的经典例题解析，非常全...（一）巧解直角三角形与函数图像例1：如图1所示，已知等边ABC的两个顶点坐标为A（－4，0）、B（2，0），试求：（1）C点的坐标；（2）ABC的面积。
常规策略：设C点的坐标为（x，y），根据等边三角形的性质建立方程，解出x、y，即可求得C点的坐标。
巧妙解法：画龙点睛：利用设元求解点的坐标往往比较复杂，但利用点的坐标的几何意义，可将直角坐标系中的问题转化为解直角三角形的问题来处理。
练习题：图3（二）挖掘隐含条件解题（三）巧用函数图像与x轴的交点例3：已知二次函数的图象经过点P（2，－3），并且以直线x＝1为对称轴，若它与x轴交于A（－1，0）点，求二次函数的解析式。
常规策略：用求出点A或点P关于x＝1的对称点后，将三点代入y＝ax2＋bx＋c后求解。
巧妙解法：因为抛物线对称轴为x＝1，且点（2，－3）和点（－1，0）在抛物线上，所以点（2，－3）和点（－1，0）的对称点（0，－3）和点（3，0）也在抛物线上。
从而设抛物线的解析式为：y＝a（x＋1）（x－3），把点（0，－3）的坐标代入，得－3＝a（0＋1）（0－3），解得a＝1，所以二次函数的解析式为y＝（x＋1）（x－3），即y＝x2－2x－3画龙点睛：求二次函数的解析式时如知道函数图象与x轴的交点时，应避免用一般式y＝ax2＋bx＋c解题，而应采用两根式解题，可使运算简便。
练习题：2. 已知函数y＝－x＋m与y＝mx－4的图象的交点在x轴的负半轴上，那么m的值为（）。
3. 以x为自变量的二次函数y＝x2－（2m＋2）x＋（m2＋4m－3）中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴交于点A和点B，其中点A在原点左侧，点B在原点右侧。
（1）求这个二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx＋b的图象经过A点，与这个二次函数的图象交于点C，且S ABC＝10，求一次函数的解析式。
（四）判别式的妙用例4：已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点，且坐标为（2，0），求二次函数的解析式。
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题8(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题8（附答案）1．如图，分别过点P i （i ，0）（i ＝1、2、…、n ）作x 轴的垂线，交212y x =的图象于点A i，交直线12y x =-于点B i ．则111A B +121A B +1n nA B +的值为（ ）A ．21n n +B ．2C ．2(1)n n +D ．2n 1+ 2．小明以二次函数y=2x 2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE 为( )A ．14B ．11C ．6D ．33．现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为ycm 2的无盖的长方体盒子，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y=x 2-70x+1200B ．y=x 2-140x+4800C ．y=4x 2-280x+4800D ．y=4800-4x 2 4．矩形的周长为12cm ，设其一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围均正确的是（ ）A ．y=﹣x 2+6x （3＜x ＜6）B ．y=﹣x 2+6x （0＜x ＜6）C ．y=﹣x 2+12x （6＜x ＜12）D ．y=﹣x 2+12x （0＜x ＜12）5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x 2经过平移得到抛物线y=ax 2+bx ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为83，则a 、b 的值分别为（ ）A ．13，43B ．13，﹣83C ．13，﹣43D ．﹣13，436．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A ．6425m 2B ．43m 2C ．83m 2D ．4m 27．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（ ）A ．225y x 4=B ．225y x 4=-C ．24y x 25=-D ．24y x 25= 8．把一个物体以初速度v 0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h ＝v 0t －12gt 2(其中g 是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O 点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( )A ．1.05米B ．－1.05米C ．0.95米D ．－0.95米9．如图，正方形ABCD 的边长为2m ，点P ，点Q 同时从点A 出发，速度均2cm/s ，点P 沿A D C --向点C 运动，点Q 沿A B C --向点C 运动，则△APQ 的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间函数关系的大致图象是（ ） A ．B ．C ． D ．10．用长度为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（ ）m 2．A ．256B ．83C ．2D ．411．一个边长是5的正方形，当边长增加x 时，面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为________.12．从半径是4cm 的圆中挖去一个半径是xcm 的圆，剩下的圆环的面积是ycm 2，则y 与x 之间的函数关系式是____________________.13． 用长为8 m 的铝合金材料做成如图所示的矩形窗框，要使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是____m 2.14．将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________ .15．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6厘米，BC ＝8厘米，点P 、Q 同时由A 、C 两点出发，分别沿AC 、CB 方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P 点运动_______秒时，△PCQ 面积为4平方厘米。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。
初中数学一次函数的图像专项练习30题(有答案)ok
一次函数的图像专项练习30题（有答案）1．函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）A．B．C．D．2．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＞2时，y2＞y 1，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．一次函数y=kx+b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A．B．C．D．4．下列函数图象不可能是一次函数y=ax﹣（a﹣2）图象的是（）A．B．C．D．5．如图所示，如果k•b＜0，且k＜0，那么函数y=kx+b的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=﹣x﹣把平面直角坐标系分成四个部分，则点（，）在（）A ． 第一部分B ． 第二部分C ． 第三部分D ． 第四部分7．已知正比例函数y=﹣kx 和一次函数y=kx ﹣2（x 为自变量），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．8．函数y=2x+3的图象是（ ） A ．过点（0，3），（0，﹣）的直线 B ．过点（1，5），（0，﹣）的直线C ．过点（﹣1，﹣1），（﹣，0）的直线D ． 过点（0，3），（﹣，0）的直线9．下列图象中，与关系式y=﹣x ﹣1表示的是同一个一次函数的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．10．函数kx ﹣y=2中，y 随x 的增大而减小，则它的图象是下图中的（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知直线y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，满足b 1＜b 2，且k 1k 2＜0，两直线的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．A．B．C．D．13．连降6天大雨，某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升．若该水库的蓄水量V（万米3）与降雨的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．降雨后，蓄水量每天减少5万米3B．降雨后，蓄水量每天增加5万米3C．降雨开始时，蓄水量为20万米3D．降雨第6天，蓄水量增加40万米314．拖拉机开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油y（升）与它工作的时间t（时）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．15．已知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则y=kx﹣k的大致图象可能是下图的（）A．B ．C．D．16．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x_________时，y＞2．17．一次函数的图象如图所示，根据图象可知，当x_________时，有y＜0．18．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，当x_________时，y＞0．19．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x=3时，y1=y2；④当x＞3时，y1＜y2中，正确的判断是_________．20．如图，已知函数y1=ax+b和y2=kx的图象交于点P，则根据图象可得，当x_________时，y1＞y2．21．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是_________．22．在平面直角坐标系中画出函数的图象．（1）在图象上标出横坐标为﹣4的点A，并写出它的坐标；（2）在图象上标出和y轴的距离是2个单位长度的点，并写出它的坐标．23．作函数y=2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题．（1）当﹣2≤x≤4，求函数y的取值范围．（2）当x取何值时，y＜0？y=0？y＞0？24．如图是一次函数y=﹣x+5图象的一部分，利用图象回答下列问题：（1）求自变量的取值范围．（2）在（1）在条件下，y是否有最小值？如果有就求出最小值；如果没有，请说明理由．25．已知函数y1=﹣x+和y2=2x﹣1．（1）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；（2）根据图象，写出它们的交点坐标；（3）根据图象，试说明当x取什么值时，y1＞y2？26．作出函数y=3﹣3x的图象，并根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的增大而_________；（2）图象与x轴的交点坐标是_________；与y轴的交点坐标是_________；（3）当x_________时，y≥0；（4）函数y=3﹣3x的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？27．已知函数y=2x﹣1．（1）在直角坐标系中画出这函数的图象；（2）判断点A（﹣2.5，﹣4），B（2.5，4）是否在函数y=2x﹣1的图象上；（3）当x取什么值时，y≤0．28．已知函数y=﹣2x﹣6．（1）求当x=﹣4时，y的值，当y=﹣2时，x的值．（2）画出函数图象．（3）如果y的取值范围﹣4≤y≤2，求x的取值范围．29．已知一次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（﹣1，1）两点．（1）画出图象；（2）x为何值时，y＞0，y=0，y＜0？30．已知一次函数y=﹣2x+2，（1）在所给的平面直角坐标系中画出它的图象；（2）根据图象回答问题：①图象与x轴的交点坐标是_________，与y轴的交点坐标是_________；②当x_________时，y＞0．参考答案：1．分四种情况：①当a＞0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；②当a＞0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第一、三、四象限；y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，C选项符合；③当a＜0，b＞0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、三、四象限，无选项符合；④当a＜0，b＜0时，y=ax+b的图象经过第二、三、四象限；y=bx+a的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．故选C2．由一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象可知k＜0，a＜0，当x＞2时，y2＞y1，①③正确．故选C3．∵一次函数y=kx+b，y随x的增大而减小，∴k＜0，又∵kb＞0，∴b＜0，∴函数的图象经过第二、三、四象限．故选C4．根据图象知：A、a＞0，﹣（a﹣2）＞0．解得0＜a＜2，所以有可能；B、a＜0，﹣（a﹣2）＜0．解得两不等式没有公共部分，所以不可能；C、a＜0，﹣（a﹣2）＞0．解得a＜0，所以有可能；D、a＞0，﹣（a﹣2）＜0．解得a＞2，所以有可能．故选B5．∵k•b＜0，且k＜0，∴b＞0，k＜0，∴函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，故选D6．由题意可得，解得，故点（，）应在交点的上方，即第二部分．故选B．7．分两种情况：（1）当k＞0时，正比例函数y=﹣kx的图象过原点、第一、三象限，一次函数y=kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，选项A符合；（2）当k＜0时，正比例函数y=﹣kx的图象过原点、第二、四象限，一次函数y=kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．故选A．8．A、把x=0代入函数关系式得2×0+3=3，故函数图象过点（0，3），不过（0，﹣），故错误；B、由A知函数图象不过点（0，﹣），故错误；C、把x=﹣1代入函数关系式得，2×（﹣1）+3=1，故（﹣1，﹣1）不在函数图象上，故错误；D、分别令x=0，y=0，此函数成立，故正确．故选D9．函数y=﹣x﹣1是一次函数，其图象是一条直线．当x=0时，y=﹣1，所以直线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；当y=0时，x=﹣1，所以直线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）．由两点确定一条直线，连接这两点就可得到y=﹣x﹣1的图象．故选D10．整理为y=kx﹣2∵y随x的增大而减小∴k＜0又因为图象过2，4，3象限故选D．11．k1k2＜0，则k1与k2异号，因而两个函数一个y随x的增大而增大，另一个y随x的增大而减小，因而A是错误的；b1＜b2，则y1与y轴的交点在y2与y轴的交点的下边，因而B、C都是错误的．12．①当ab＞0，正比例函数y=abx过第一、三象限；a与b同号，同正时y=ax+b过第一、二、三象限，故D错误；同负时过第二、三、四象限，故B错误；②当ab＜0时，正比例函数y=abx过第二、四象限；a与b异号，a＞0，b＜0时y=ax+b过第一、三、四象限，故C错误；a＜0，b＞0时过第一、二、四象限．故选A13．A、根据图象知，水库的蓄水量因该随着降雨的时间的增加而增多；故本选项错误；B、本图象的直线，所以每天的降雨量是相等的，所以，蓄水库每天的增加的水的量是（40﹣10）÷6=5；故本选项正确；C、根据图示知，降雨开始时，蓄水量为10万米3，故本选项错误；D、根据图示知，降雨第6天，蓄水量增加了40万米3﹣30万米3=10万米3，故本选项错误；故选B14．根据题意列出关系式为：y=40﹣5t，考虑实际情况：拖拉机开始工作时，油箱中有油4升，即开始时，函数图象与y轴交于点（0，40），如果每小时耗油0.5升，且8小时，耗完油，故函数图象为一条线段．故选D15．∵正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴﹣k＜0，∴y=kx﹣k的大致图象经过一、三、四象限，故选：B．16．由图形可知，该函数过点（0，2），（3，0），故斜率k==，所以解析式为y=，令y＞2，即＞2，解之得：x＜017．根据题意，要求y＜0时，x的范围，即：x+3＜0，解可得：x＜﹣2，故答案为x＜﹣218．根据题意，观察图象，可得直线l过点（2，0），且y随x的增大而增大，分析可得，当x＞2时，有y＞0 19．根据图示及数据可知：①一次函数y1=kx+b的图象经过第二、四象限，则k＜0正确；②y2=x+a的图象经与y轴交与负半轴，则a＞0错误；③一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象交点的横坐标是3，所以当x=3时，y1=y2正确；④当x＞3时，y1＜y2正确；故正确的判断是①，③，④20．根据图示可知点P的坐标是（﹣4，2），所以y1＞y2即直线1在直线2的上方，则x＜﹣4．21．根据图象和数据可知，当y＜0即图象在x轴下侧，x＜1．故答案为x＜122．函数与坐标轴的交点的坐标为（0，3），（6，0）．（1）点A的坐标（﹣4，5）；（2）和y轴的距离是2个单位长度的点的坐标M（2，2），N（﹣2，4）23．当x=0时，y=﹣4；当y=0时，2x﹣4=0，解得x=2，∴函数图象与两坐标轴的交点为（0，﹣4）（2，0）．图象如下：（1）x=﹣2时，y=2×（﹣2）﹣4=﹣8，x=4时，y=2×4﹣4=4，∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴﹣8≤y≤4；24．（1）由图象可看出当y=2.5时，x=5，因此x的取值范围应该是0＜x≤5（y轴上的点是空心圆，因此x≠0）；（2）由图象可看出，当x=5时，函数的值最小，是y=2.525．（1）如图所示：（2）由（1）中两函数图象可知，其交点坐标为（1，1）；（3）由（1）中两函数图象可知，当x＞1时，y1＞y2．26．如图．（1）因为一次项系数是﹣3＜0，所以y的值随x的增大而减小；（2）当y=0时，x=1，所以图象与x轴的交点坐标是（1，0）；当x=0时，y=3，所以图象与y轴的交点坐标是（0，3）；（3）由图象知，在A点左边，图象在x轴上方，函数值大于0．所以x≤1时，y≥0．（4）∵OA=1，OB=3，∴函数y=3﹣3x的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是S△AOB=×1×3=．27．（1）函数y=2x﹣1与坐标轴的坐标为（0，﹣1）（，0），描点即可，如图所示；（2）将A、B的坐标代入函数式中，可得出A点不在直线y=2x﹣1的图象上，B点在直线y=2x﹣1的图象上，A代入函数后发现﹣2.5×2﹣1=﹣6≠﹣4，因此A点不在函数y=2x﹣1的图象上，然后用同样的方法判定B是否在函数的图象上；（3）当y≤0时，2x﹣1≤0，因此x≤．28．（1）当x=﹣4时，y=2；当y=﹣2时，x=﹣2；（2）由（1）可知函数图象过（﹣4，2）、（﹣2，﹣2），由此可画出函数的图象，如下图所示：（3）∵y=﹣2x﹣6，﹣4≤y≤2∴﹣4≤﹣2x﹣6≤22≤﹣2x≤8﹣4≤x≤﹣129．（1）图象如图：（2）观察图象可得，当x＞﹣3时，y＞0；当x=﹣3时，y=0；当x＜﹣3时，y＜0．30．（1）列表：x 0 1y 2 0描点，连线（如图）…（也可以写成过点（0，2）和（1，0）画直线）（2）①（1，0）；（0，2）②＜1。
初中数学经典几何难题与答案解析
经典难题（一）仁已知：如图，0是半圆的圆心.C 、E 是圆上的两点，CD 丄AB, EF 丄AB, EG 丄CO. 求证：CD=GF ・（初二）求证：APBC 是正三角形.（初二）3、 如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形，2、B 2. C2、D2分别是 从、BB ・、CG 、DD（的中 点.求证：四边形A2B2C2D2是正方形.（初二）第3题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD = BC, MMN 于 E 、F.求证：ZDEN=ZF ・经典难题（二）1、已知：ZiABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），0为外心，且0M 丄BC 于M.（1） 求证：AH=20M;（2） 若ZBAC=60°,求证：AH=AO ・（初二）第4题图、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交2、 已知：如图.P 是正方形ABCD 内点，ZPAD=ZPDA = 15°.2、设MN 是圆0外一直线.过0作0A 丄MN 于A,自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q.求证：AP=AQ ・（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆0的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC. DE,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q. 求证：AP=AQ ・（初二）求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半・（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE/7AC, AE=AC, AE 与CD 相交于F. 求证：CE=CF ・（初二）第4题图在AABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点PAGA第2题图是EF 的中点.3、设P 是正方形ABCD-边BC 上的任一点，PF 丄AP, CF 平分ZDCE. 求证：PA=PF ・（初二）第3题图 第4题图4、如图，PC 切圆0于C, AC 为圆的直径，PEF 为國的割线，AE 、AF 与直线P0相交于B 、D.求证：AB=DC, BC=AD ・（初三）经典难题（四）1.已知：ZiABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA=3, PB=4, PC=5.求：ZAPB 的慶数.（初二）求证：AE=AF ・（初二）2、 设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且ZPBA=ZPDA ・求证：ZPAB=ZPCB.（初二）3、 设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB • CD+AD • BC=AC • BD.（初三）2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA + PB+PC 的最小值. A4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC.AE = CF ・ 求证：ZDPA=ZDPC ・（初二）经典难题（五）1 ＞设 P 是边长为1的正△ ABC 内任一点，L = PA + PB + PC ,求证：WLV2.3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a, PB = 2a, PC = 3a,求正方形的边长.经典难题（一）1、已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB, EF丄AB, EG丄CO.求证：CD=GFo （初二）证一：连接0E。
初中数学解题技巧专题---一次函数与几何图形的综合问题
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参考答案与解析 ．1 16 解析：如图，∵点 ，A B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，
＝＝BC24＝x×－54，6＝上∴16，在.即∴R线2t△x段－AB6B＝CC扫4中，过，解的由得面勾x积股＝为定5.即理16得O. AA′＝C＝5，∴BCC2C－′＝AABA2＝′＝45，－∴1＝A′C4.′＝∴4S.▱∵BCC点′B′C＝′在C直C′线·CAy
9
Hale Waihona Puke AP OP OA 2 AP OP OA 2
S△ABP
1 2AP·OB
1 2
9 2
3
27 4
S△ABP
1 2AP·OB
＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为247或94. 3．解：(1)∵点 P 在直线 y＝－x＋10 上，且点 P 在第一象限内，∴x>0 且 y>0，即－x
＋10>0，解得 ∵点 0<x<10. A(8，0)，∴OA＝8，∴S＝12OA·|yP|＝12×8×(－x＋10)＝－4x＋ ． 40(0<x<10)
＝ ，∴ ， ， ， ， ， … ∵ ＝ － ， ＝ － ， ＝ － ，…∴ B2B3 8 B1(2 0) B2(6 0) B3(14 0) . 2 22 2 6 23 2 14 24 2
Bn
的横坐标为 － 故答案为 － 2n＋1 2.
2n＋1 2.
B直∴形3(线点2A217，ByB．＝212C的(3x21－－On坐－111是标)，，上正为2…，n－方(2∴，，1形)点∴3，)点A，解∴2同B析的An1理：坐的B1∵可标坐＝y得为标O＝A点为(x21＝－，(B21113n－，)的与．1，∴坐∵x2点标四轴n－为边交B11()形于4的．，点坐A72)B标A．21C，为∵2∴C(B11，1点是(210正A)，．1方的2∵1形－坐C，1标1A)∴，为2∥AB(2x12B(，2轴21＝0，，)．A2点22∵C－1A四＝12)边在2，，
【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)
冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。
中考数学真题- 函数与几何综合问题
函数与几何综合问题一、解答题1．（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ． （1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ． ①若BA BO =，求证：CD CO =．①若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．2．（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，分别交x 轴、y 轴于()2,0A ，()0,8B ，连结AB ．直线CM 分别交M 于点D ，E （点D 在左侧），交x 轴于点()17,0C ，连结AE ．（1）求M 的半径和直线CM 的函数表达式．（2）求点D ，E 的坐标．（3）点P 在线段AC 上，连结PE ．当AEP ∠与OBD 的一个内角相等时，求所有满足条件的OP 的长．3．（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与y 轴的正半轴交于点A ，与反比例函数4y x=的图像交于,P D 两点．以AD 为边作正方形ABCD ，点B 落在x 轴的负半轴上，已知BOD 的面积与AOB 的面积之比为1:4．（1）求一次函数y kx b =+的表达式： （2）求点P 的坐标及CPD △外接圆半径的长．4．（2021·江苏中考真题）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，90AEF ∠=︒，设BE m =．（1）如图1，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ， ①当13m =时，求线段CF 的长；①在PQE ¢V 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值；（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式．5．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M -、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B 、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______； （2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围； （3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．6．（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:42l y x =+分别与x 轴，y 轴相交于A 、B 两点，点(),P x y 为直线l 在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作PAO的外接圆C，延长PC交C于点Q，当POQ△的面积最小时，求C的半径．7．（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B （0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F 的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．8．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数33y x42=+的图象与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点(),3A a ，与x 轴相交于点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C ，交x 轴正半轴于点D ，当ABD △是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标．9．（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0ky k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值． 10．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点B ，求k 的值．11．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1k y x=（0x >）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点E 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，点P 的坐标为______．12．（2021·广西中考真题）如图①，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，14BC =，8AD =，6BD =点E 是AD 上一动点（不与点A ，D 重合），在ADC 内作矩形EFGH ，点F 在DC 上，点G ，H 在AC 上，设DE x =，连接BE ．（1）当矩形EFGH 是正方形时，直接写出EF 的长；（2）设ABE △的面积为1S ，矩形EFGH 的面积为2S ，令12S y S =，求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）如图①，点(,)P a b 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P 的直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于M ，N 两点，求OMN 面积的最小值，并说明理由．13．（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． （理解）（1）如图1，,AC BC CD AB ⊥⊥，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE ．已知AD a =，()0BD b a b =<<．①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）；①比较大小：CE __________CD （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数()10y x x=>的图像上，横坐标分别为m 、n ．设11,p m n q m n =+=+，记14l pq =． ①当1,2m n ==时，l =__________；当3,3m n ==时，l =________；①通过归纳猜想，可得l 的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 14．（2021·四川中考真题）已知反比例函数my x=的图象经过点(2,3)A ．（1）求该反比例函数的表达式； （2）如图，在反比例函数my x=的图象上点A 的右侧取点C ，作CH ①x 轴于H ，过点A 作y 轴的垂线AG 交直线CH 于点D ．①过点A ，点C 分别作x 轴，y 轴的垂线，交于B ，垂足分别为为F 、E ，连结OB ，BD ，求证：O ，B ，D 三点共线；①若2AC OA =，求证：2AOD DOH ∠=∠．15．（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD 的两边,AB BC 的长分别为3，8，C ，D 在y 轴上，E 是AD 的中点，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点E ，与BC 交于点F ，且1CF BE -=． （1）求反比例函数的解析式； （2）在y 轴上找一点P ，使得23CEPABCD SS =矩形，求此时点P 的坐标．16．（2021·湖南中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·湖北中考真题）抛物线21y x =-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边）．（1）ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点C 的坐标是()0,3，点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标； ①如图（2），若点D 在抛物线上，且ACDE 的面积是12，求点E 的坐标；（2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点，若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证FG FH +的值是定值． 18．（2021·湖南中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；①连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值．19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点． （1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时， ①求点M 的坐标： ①若点15,4B y ⎛⎫⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．20．（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．21．（2021·四川中考真题）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =，3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大．求出点P 的坐标（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ．使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D ¢处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D ¢左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．23．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于除原点O 和点A ，且其顶点B 关于x 轴的对称点坐标为()2,1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F ，使得抛物线2y ax bx c =++上的任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线2y =-的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F 的坐标；①过点F 的直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于,M N 两点．证明：当直线l 绕点F 旋转时，11MF NF+是定值，并求出该定值；（3）点()3,C m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQBC 周长最小，直接写出,P Q 的坐标．24．（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()()14y x x n =-+-与x 轴交于点A 和点()(),04B n n ≥-，顶点坐标记为()11,h k ．抛物线()222229y x n n n =-+-++的顶点坐标记为()22,h k ．（1）写出A 点坐标；（2）求1k ，2k 的值（用含n 的代数式表示）； （3）当44n -≤≤时，探究1k 与2k 的大小关系； （4）经过点()229,5M n n+-和点()22,95N n n -的直线与抛物线()()14yx x n =-+-，()222229y x n n n =-+-++的公共点恰好为3个不同点时，求n 的值．25．（2021·山西中考真题）如图，抛物线21262y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D ． ①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；①设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当DMN AOC S S =△△时，请直接写出DM 的长．26．（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”． （1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时． ①求c 的取值范围； ①求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式； （2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．28．（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程． （4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．29．（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与坐标轴交于()()0,2,4,0A B -两点，直线:28BC y x =-+交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为,G DG 分别交直线,BC AB 于点,E F ．（1）求抛物线212y x bx c =++的表达式； （2）当12GF =，连接BD ，求BDF 的面积；（3）①H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标；①在①的条件下，第一象限有一动点P ，满足2PH PC =+，求PHB △周长的最小值．30．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．①设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．31．（2021·江苏中考真题）如图，二次函数()21y x m x m =-++（m 是实数，且10m -<<）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其对称轴与x 轴交于点C ，已知点D 位于第一象限，且在对称轴上，OD BD ⊥，点E 在x 轴的正半轴上，OC EC =．连接ED 并延长交y 轴于点F ，连接AF ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示）； （2）已知点Q 在抛物线的对称轴上，当AFQ △的周长的最小值等于125，求m 的值．32．（2021·贵州中考真题）如图，抛物线()2=2+0y ax x c a -≠与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线的顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P 、Q 、B 、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P 、Q 的坐标；（3）已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与①BCD 相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y m x x -++⋅=->与x 轴交于()()1,0,,0A B m -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P 位于直线BC 上方的抛物线上，当PBC 面积最大时，求点P 的坐标； （3）设直线12y x b =+与抛物线交于,B G 两点，问是否存在点E （在抛物线上）．点F （在抛物线的对称轴上），使得以,,,B G E F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点,E F 的坐标；若不存在，说明理由． 34．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标； （3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．35．（2021·湖北中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A 出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ①sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．36．（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O 的半径为，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．37．（2021·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，OA AB =，且线段OA 的长是方程2450x x --=的根，过点B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，4tan 3BAE ∠=，动点M 以每秒1个单位长度的速度，从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，到达点B 停止．过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，以MD 为边作正方形MDCF ，点C 在线段OA 上，设正方形MDCF 与AOB ∆重叠部分的面积为S ，点M 的运动时间为()0t t >秒．（1）求点B 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当点F 落在线段OB 上时，坐标平面内是否存在一点P ，使以M A O P 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．。
初中数学一次函数的图像专项练习30题(有答案)
初中数学一次函数的图像专项练习30题(有答案)1.本题为选择题，无需改写。
2.在图中，当x＞2时，y2＞y1，因此结论③正确。
由于y1=kx+b与y2=x+a的图象相交于第三象限，因此a＜0，结论②也正确。
而k＜0，因此结论①错误。
因此选项C正确。
3.根据题目中的条件，k＜0，b＞0，因此函数的图象是下降的直线，截距为正数，应该是选项A。
4.本题为选择题，无需改写。
5.根据题目中的条件，k＜0，b＞0，因此函数的图象是下降的直线，截距为正数，斜率的绝对值小于1，应该是选项B。
6.将直线l1和直线l2的方程化简可得y=2x+1和y=-x-1，因此直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1.由于x+y=0，因此该点在第三部分。
因此选项C正确。
7.根据两个函数的表达式可知它们的图象分别是斜率为负数的直线和斜率为正数的直线，应该是选项B。
8.函数y=2x+3的斜率为2，截距为3，应该是选项A。
9.根据图象可知，选项C表示的是y=-x-1的图象，因此选项C正确。
10.将函数kx-y=2化简可得y=kx-2，因此函数的图象是斜率为正数的直线，截距为-2，应该是选项C。
11.由于b1＜b2，因此直线y1在直线y2的下方。
由于k1k2＜0，因此直线y1和直线y2的斜率异号，相交于第二象限。
因此选项B正确。
12.根据图象可知，选项D表示的是y=abx的图象，因此选项D正确。
13.根据图象可知，降雨后，蓄水量每天增加5万立方米，因此选项B正确。
14.本题为选择题，无需改写。
15.将y=kx代入y=kx-k可得y=k(x-1)，因此函数的图象是斜率为正数的直线，截距为-k，应该是选项C。
16.当x增加时，y的值也会增加，且当x大于某个值时，y会大于2.17.当x增加时，y的值也会增加，但当x大于某个值时，y会小于某个值。
18.当x增加时，y的值也会增加，且当x大于某个值时，y会大于某个值。
19.正确的判断是：①k0；③当x=3时，y1=y2；④当03时，y1>y2.20.当x增加时，y1的值也会增加，且当x大于某个值时，y1会大于y2.21.当y小于某个值时，x的取值范围是一定的，具体取值范围需要根据具体函数图象来确定。
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题6(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题6（附答案）1．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ） A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．36cm2．用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）.A ．28425m B ．243m C ．283mD ．24m3．某校的围墙上端由- -段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，栅栏的跨径AB 间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.6米，以O 为原点，OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据以上的数据，则这段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）为（ ）A ．1.5米B ．1.9米C ．2.3米D ．2.5米4．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( ) A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．36cm5．长方形的周长为24cm ，其中一边长为xcm （0x >），面积为ycm 2，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．2yx B ．212y x =-C ．y=（12-x ）xD ．212y x =-（）6．矩形一边长为x ，周长为8，则当矩形面积最大时，x 的值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．57．在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.若AB 所在的直角边为8m ，AD 所在的直角边为6m ，则矩形的面积y （m 2）与AB 边的长x （m ）的函数关系及y 的最大值为（ ）A ．2364y x x =-+，12 B ．2364y x x =--，12 C ．2364y x x =-+，16D ．2364y x x =--，168．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y =﹣14x 2，当水位线在 AB 位置时，水面宽 12m ，这时水面离桥顶的高度为（ ）A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m9．一块边缘呈抛物线形的铁片如图放置，测得20AB cm =，抛物线的顶点到AB 边的距离为25cm .现要沿AB 边向上依次截取宽度均为4cm 的矩形铁皮，如图所示.已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是（ ）.A ．第七块B ．第六块C ．第五块D ．第四块10．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，D 为AB 的中点，点E ，F 分别在线段AD ，BC 上，且BF ＝2AE ，连结EF 交中线AD 于点G ，连结BG ，设AE ＝x （0＜x ＜2），△BEG 的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．38y =x 2+32x B ．234y x =3x C ．23y x =+23x D ．23y x =+3x11．已知抛物线()2210y ax ax a a =+++≠过点(),3Am ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于2，则代数式22a a --的最小值是_______.12．如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽8m 时，水深4m ，当水面下降1m 时，水面宽为_____m ．13．如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x= -2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间（C 不与A 、B 重合）.若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为_________ .（ 用含a 的式子表示）.16．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为103m ，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m 处达到最高，高度为6m ，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB 为____m ．17．如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线y ＝12x 2+1、y ＝12x 2﹣1所截．当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为_____平方单位．18．如图，抛物线与轴正半轴交于点A （3，0）．以OA 为边在轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF ，则= ，点E 的坐标是 ．19．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=1cm ，BD=2cm ．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为__________________________________．20．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.21．关于x 的二次函数y=-x 2+bx+c 经过点A （-3，0），点C （0，3），点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，利用一面墙（墙的长度为15 m ），用篱笆围成一个矩形花园ABCD ，中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，共用去篱笆42 m.设平行于墙的一边BC 长为x m ，花园的面积为S m 2．（1）求S 与x 之间的函数解析式；（2）问花园面积可以达到120平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由.23． 已知：直线y=-x-4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点， （1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E为⊙D上一动点(不与A、O重合)，连结AE、OE，问在x轴上是否存在点Q，使∠ACQ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；25．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF＝2，BF＝1，为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．26．已知:ABC中，边AB及AB边上的高CD的和为40cm．()1请直接写出ABC的面积()2x cm之间的函数关系式(不要求S cm与边AB的长()写出自变量x的取值范围)；()2当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？27．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求出△BCD的面积.ABCD，饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为28．某农场要建一个饲养场（长方形)27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处ABCD的宽各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形)为x米．（1）求饲养场的长BC（用含x的代数式表示）．270m，求x的值．（2）若饲养场的面积为2（3）当x为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少2m？29．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．参考答案1．A 【解析】 【分析】设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论． 【详解】解：设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx 2，由题意，得 18＝9k ， 解得：k ＝2， ∴y ＝2x 2，当y ＝72时，72＝2x 2， ∴x ＝6． 故选：A ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 2．C 【解析】 【分析】设窗的高度为xm ，宽为823x-m ，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为xm ，宽为（823x-）m ， 故S=()823x x -． ∴S=22833x x -+ =()228233x --+ ． ∴当x=2m 时，S 最大值为83m 2．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键．3．C【解析】【分析】由题意可知，A点坐标为（0.6，0.6），代入y=ax2，可求出解析式．由于OC左右两边四根栅栏的底端横坐标已知，根据所求解析式，可计算出纵坐标，高度也就可以表示出来，计算即可．【详解】解：抛物线顶点在原点，设抛物线解析式为y=ax2，把点A（0.6，0.6）代入解析式得a=53，∴y=53x2，∴（0.2，115），（0.4，415）是该抛物线的两点，∴这段栅栏所需立柱的总长度=（0.6-115+0.6-415）×2+0.6≈2.3（米）．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，得出抛物线上点的坐标是解题关键．4．A【解析】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得18=9k，解得：k=2，∴y=2x2，当y=72时,72=2x2，∴x=6.故选A.5．C【解析】【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．【详解】∵长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0)，∴长方形的另一边长为12−x ，∴y=(12−x)⋅x.故选C.【点睛】本题考查二次函数的关系式，解题的关键是掌握长方形的面积公式.6．B【解析】【分析】根据矩形面积公式列出函数关系式，用配方法化成顶点式求解即可.【详解】 解：由题意得：矩形面积221=(82)=4(2)42S x x x x x ，所以当x=2时，矩形面积S 有最大值4，故选：B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．7．A【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质先用含x 的式子表示出AD ，然后根据矩形面积公式列出函数关系式，用配方法化成顶点式求解即可.【详解】解：∵AB ∥CD ，∴△NDC ∽△NAM ，∴ND CD NA AM ，即68ND x ， ∴ND=34x ， ∴AD=(6-34x )， ∴y=(6-34x )x=22336(4)1244x x x -+=--+， 所以当x=4时，y 有最大值12，故选：A.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．8．D【解析】试题解析：由已知12m AB =知：点B 的横坐标为6.把6x =代入214y x =-， 得9.y =-即水面离桥顶的高度为9m.故选D.9．B【解析】试题分析：依题意设抛物线函数关系式为2y=ax bx c ++，则设顶点为（0,25）；A 为（-10,0）B 为（10,0）把顶点坐标代入解析式得：c=25.则2y=ax bx 25++，分别把A ，B 两点坐标代入求得a=14-，b=0. 所以21y=-x 254+ 则所求矩形底边2x =4．则x=±2.把x=2代入解析式，求出y=24．则24÷4=6（块） 选B考点：抛物线点评：本题难度中等，主要考查学生结合抛物线图像解决实际问题．分析铁皮边长关系是解题关键．10．B【解析】【分析】过点F 作FH ⊥AB ，在Rt △FBH 中，∠FBH ＝60°，HB ＝x ，FH ，利用中位线求出GD x ，则y ＝1(4)2x x ⨯-； 【详解】过点F 作FH ⊥AB ，∵AE ＝x ，BF ＝2AE ，∴BF ＝2x ，在Rt △FBH 中，∠FBH ＝60°，∴HB ＝x ，FH ，∵AB ＝4，D 为AB 的中点，∴DE ＝2﹣x ，DH ＝2﹣x ，∴GD x ，∴y ＝21(4)2x x x ⨯-=+ 故选B ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质；掌握三角形中位线的性质，30°角的直角三角形边角关系是解题的关键．11．0【解析】【分析】根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段AB 的长不大于2，求出a 的取值范围，再根据22a a --的增减性，求出最小值.【详解】 解：如图：∵抛物线()2210y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点， ∴对称轴为：2122+=-=-m n a a， ∴顶点为()1,1-，∴由题意可知a>0，∵线段AB 的长不大于2，∴a+1≥3，∴a≥2，∵当a≥2时22a a--随着a的增大而增大．∴当a=2时，22a a--有最小值，最小值为0；故答案为0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出a+1≥3，求出a 的取值范围是解题的关键．12．43【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系求出函数解析式，进而得出答案．【详解】如图所示：建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：y＝ax2，∵A（4，4），故4＝16a，解得：a＝14，则y＝14x2，当水面下降1m时，y＝3，则3＝14x2，解得：x＝±3故当水面下降1m时，水面宽为3．故答案为：3【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数函数解析式是解题关键．13．0<h<1【解析】【分析】分别画出h 不同取值时函数图象,由图直观得出与正方形有3个交点时h 的取值范围.【详解】图(1) 图(2) 图(3)图(1)当h=0时,抛物线与正方形有2个公共点,图(2)当 0<h<1时, 抛物线与正方形有3个公共点,图(3) 当h=1时,抛物线与正方形有2个公共点,所以当 0<h<1时符合要求.【点睛】本题考查函数图象的特点,数形结合是解答此题的关键.14．15【解析】试题解析：∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设2(,6)D x x x ，-+∵顶点C 的坐标为(4,3)，22435OC ，∴+= ∵四边形OABC 是菱形，5,BC OC BC x ∴==轴，22155(63)(3)1522S BCD x x x ，∴=⨯⨯-+-=--+ 502，-< BCD S ∴有最大值，最大值为15，故答案为15.15．a+4【解析】∵抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，∴OB ＝4.由抛物线的对称性知AB ＝AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO ＋AC ＋BC ＋OB ＝△ABC 的周长＋OB ＝a ＋4.故答案为a ＋4.点睛: 本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形AOBC 的周长转化为求（△ABC 的周长＋OB ）是值．16．20【解析】【分析】根据题意在离中心水平距离4m 处达到最高，高度为6m ，设顶点式解析式，求出解析式，再求出与x 轴的交点坐标即可求出这个喷水池的直径AB ．【详解】∵喷出的水柱中心4m 处达到最高，高度为6m ，∴抛物线的顶点坐标为(4,6)或(−4,6)，设抛物线解析式为21(4)6y a x =-+或22(4)6y a x =++，即这个喷水头应设计的高度为103m . 把100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式，解得：1216a a ==-， 所以,函数解析式为21(4)66y x =--+或21(4)66y x =-++， 当0y =时, 抛物线与x 轴的交点坐标为(10,0)或(−10,0)，∴圆形喷水池的直径为20m，故答案为20.【点睛】考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 17．6【解析】【分析】由于抛物线y＝12x2+1是y＝12x2-1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6平方单位．【详解】解：抛物线y＝12x2+1是y＝12x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|＝2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是，2×3＝6．故答案为：6.【点睛】本题主要考查了函数图象动态变化中的不变的量，本题的关键点是在能否看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形，直接2×3=6即可求出．18．12；（1+10，1+10）【解析】【分析】把点A（3，0）代入抛物线,即可求得a的值，正方形OABC可得点C坐标，代入函数解析式求得点D坐标，可知点E横坐标，再利用正方形BDEF的性质得出点E纵坐标问题得解．【详解】把点A（3，0）代入抛物线，解得a=12；∵四边形OABC为正方形，∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，代入y=12x2-x-32，解得x110，x210，因此正方形BDEF的边长B为1010-2，所以1010由此可以得出点E的坐标为（10，10）．故答案为12；（10，10）．19．y= 14（x﹣3）2【解析】【分析】由B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【详解】解：∵高CH=1cm，BD=2cm，AB∥x轴，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=14，故右边抛物线的解析式为y=14（x-3）2．故答案为：y=14（x-3）2．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题时利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．20．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，22(30)(32)-+-=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.21．（1）y=-x2-2x+3，（2）存在；（-1，5-1）或（-1，-5-1）.【解析】试题分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标.试题解析：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），∴3{930 cb c=--+=，解得2 {3bc=-=，∴抛物线的解析式y=-x2-2x+3，（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，设P（-1，m），则PM=PD•sin∠5（4-m），PE=m，∵PM=PE，5（4-m）=m，5，∴P点坐标为（-15）；当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P （-1，n ），则PN=PD•sin ∠5（4-n ），PE=-n ， ∵PN=PE ， 5（4-n ）=-n ，5-1， ∴P 点坐标为（-1，5）；综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（-15）或（-1，5）.考点：二次函数综合题．22．（1）S 21143x x =+；（2）花园面积可以达到120平方米，此时花园的长为12 m ，宽10 m ． 【解析】【分析】(1) 根据矩形的面积公式，即可得出关于S 与x 之间的函数解析式;(2)假设能，当S=120时，可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；【详解】解：（1）S ＝423x x - ＝21143x x -+； （2）由21141203x x -+=得 242360x x -+＝0，解得x 1＝12，x 2＝30．∵墙的长度为15 m ，∴x ＝30不合题意，舍去．当x＝12时，423x-＝10．答：花园面积可以达到120平方米，此时花园的长为12 m，宽10 m．【点睛】考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出函数关系式是解题的关键．23．（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为，或；（3）Q坐标为，0)、，0)、(4，0)．【解析】【分析】（1）求直线y=-x-4与坐标轴交点A、C坐标，求AC中点B坐标，即能用待定系数法求抛物线的函数关系式；（2）根据点B坐标(-2，-2)，可得D坐标为(-2，2)，所以△ADO、△ACO均为等腰直角三角形，连接AD并延长交y轴于点F，可知使S△ACP=2S△ACD的点P在过点F且平行于直线y=-x-4的直线上，求出直线与抛物线交点即使所求点P；（3）由（2）可知，∠AEO度数有两种情况，当点E在优弧AO上时，∠ACQ=23∠AEO=30°．构造直角三角形列方程即可求出Q坐标，当点E在劣弧AO上时，∠AEO=135°，∠ACQ=90°．由等腰直角三角形性质和对称即可求出点Q．【详解】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x 2+2x ． （2）在抛物线上存在点P 使S △ACP =2S △ACD ．如图1，连接AD 并延长交y 轴于点F ，∵y=12x 2+2x=12(x-2)2-2， ∴点B 为抛物线的顶点，∵点D 为点B 关于x 轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO ，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x-4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为)或；（3）在x轴上存在点Q使∠ACQ：∠AEO=2：3．∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E在⊙D上且不与A、O重合，∠ACQ：∠AEO=2：3．①如图2，当点E在优弧AO上时，∠AEO=12∠ADO=45°，∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，33．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，22t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则32，解得：6-22，∴(22622434=，∴x Q33；ii)若点Q 在线段OA 延长上时，如图3：则AC=CG-AG=3t-t=42， 解得：2622t =+，∴AQ=()22622434⨯+=+，∴x Q =-4-(43+4)=-43-8，②当点E 在劣弧AO 上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°， ∴∠ACQ=23∠AEO=90°． ∵∠CAO=45°，△ACO 是等腰直角三角形，∴Q 点与A 点对称，A (-4，0)∴x Q =4．综上所述：满足条件的点Q 有三个，坐标分别为3，0)、3-8，0)、(4，0)【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.25．80%【解析】【分析】根据题意画图分析．用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长．借助三角形相似建立关系．【详解】解：如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设DN ＝x ，PN ＝y ，则面积S ＝xy ①，∵点P 在AB 上，由△APQ ∽△ABF 得，()41242y x -=--， 即x ＝10﹣2y ，∴代入①，得S ＝（10﹣2y ）y ＝﹣2y 2+10y ，即2525222y y⎛⎫=--+⎪⎝⎭，因为3≤y≤4，而52y=不在自变量的取值范围内，所以52y=不是最值点，当y＝3时，S＝12；当y＝4时，S＝8，故面积的最大值是S＝12，此时，钢板的最大利用率是80%．【点睛】本题结合三角形相似考查了二次函数的实际应用中的图形面积与最值问题，分析题意作出取得最值时的图形，转化为二次函数求最值问题是解答关键.26．（1）21202S x x=-+；（2）当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是2200cm 【解析】【分析】（1）S=12x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：()21114020222S AB CD x x x x=⨯=⨯⨯-=-+；（2）12a=-<，S∴有最大值，当2bxa=-=20122-⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=20时，S有最大值为212020202002S=-⨯+⨯=，∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是2200cm．本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的最值求法是解决本题的关键．27．（1）223y x x =--+ ；（2）3【解析】【分析】（1）利用待定系数法把两已知点代入即可求；（2）求出顶点D 坐标后连接BD ，CD ，BC 用中垂高与水平宽乘积一半的面积公式计算即可.【详解】解:(1)把点A(1,0),B(-3,0)代入y=-x 2+bx+c 中,得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩ , 解得23b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为223y x x =--+(2)如图，连接BD,CD,BC,过点D 作DE ⊥x 轴,交BC 于点E.∵2223(1)4y x x x ,∴D(- 1,4),C(0,3).∵B(-3,0),∴直线BC 的解析式为y=x +3,OB=3.当x=-1时,y=-1+3=2.∴DE =2.∴S △BCD =S △BED 十S △DEC =12⋅DE OB =1232⨯⨯ =3【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，正确选用面积公式是解答此题的关键.28．（1）(633)x -米；（2）15；（3）当x 为12时，饲养场的面积最大，最大面积为2324m ．【解析】【分析】（1）根据题意和图形，可以用含x 的代数式表示出BC 的长；（2）根据长方形的面积计算公式可以得到相应的方程，从而可以得到x 的值，注意墙最大可用长度为27米；（3）根据题意可以得到S 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x 的取值范围，解答即可．【详解】解：（1）由图可得，BC 的长是60312(633)x x -++=-（米)，即BC 的长是(633)x -米；（2）令(633)270x x -=，解得，16x =，215x =，63327x -，得12x ，15x ∴=，即x 的值是15；（3）设饲养场的面积是2Sm ，则2211323(633)3()24S x x x =-=--+， 63327x -，得12x ，∴当12x =时，S 取得最大值，此时324S =，答：当x 为12时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为2324m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，灵活利用二次函数的性质和方程的知识解答．29．（1）y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)．【解析】【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．（2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点．（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA ＝AC 、②MA ＝MC 、②AC ＝MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）．又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1．∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ． 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)．∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)．∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10．①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得：m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得：m ＝1．②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2＋4＝10，得：m ＝±6．③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得：m 2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6，当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)． 30．5小时．【解析】试题分析；首先在图中建立合适的坐标系（这里选择AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，也可另外建立），然后根据题目中的已知条件可得A 、B 、C 、D 四点的坐标，设出解析式，代入相应点的坐标建立方程（组），解方程（组）求得待定系数的值得到解析式，由解析式可得顶点E 的坐标，再结合题中条件可解得答案；试题解析：如上图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则由已知得A （4，0），D （2，3），设抛物线解析式为：2y ax c =+，把A 、D 坐标代入解析式可得：16043a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：144a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴抛物线解析式为：2144y x =-+，∴顶点E的坐标为（0，4），设CD与y轴的交点为点F，∴EF=4-3=1（m），∵1 0.2=5（小时），∴水过警戒水位后5小时淹到桥拱顶.。
中考数学函数图象中的存在性问题30题必练
函数圄象申的存在性问题30题本专题的制作目的是提高学生在图象中的存在性问题这一部分的解题能力。
分了四个模块：①函数与三角形综合：存在等腰三角形（5题）；②函数与三角形综合：存在直角三角形（5题）；③函数与三角形综合：存在性之全等与相似（10题）；④函数与四边形综合：存在性之平行四边形（10题）；共30题。
先仔细研究方法总结、易错总结，再进行巩固练习。
重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞模块－函数与三角形综合：存在等腰三角形�1.(1）数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定．(2）函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用．(3）找动点使之与已知两点构成等腰三角形的方法：问题｜ 作圄｜求点坐标等｜｜ ｜”万能法”民他扣、去腰｜/ B I ,,--'r<-----\ 抬别表示出点A,B ,P lt 乍等腰三角形底三I A/ 1 tAili1阳坐标，再表示出线段阳的高，用勾股角｜11鸟飞－－－－�：：川、马·�B I B P I A P 的长度，战相似建立等量形｜己知点A,B 和直｜嘀圆一垂”阳快系l，在l上求点P ,t:,.PA B 为等腰三形2.在平面内使构成等腰三角形的三个点中3动点个数大于或等于两个．解决问题的万法：让三个点轮流做顶角顶点，进行分类讨论．3.在具体题目中高时不仅要找出符合题意的点，还要计算出此点的坐标，计算点坐标的方法可以参考以下几种：1.全等或相似（找相等线段或成比例线段）; 2.勾股定理；3.锐角三角函数；4.面积法；5.方程或方程组．四军事E＠如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3,1），点B的坐标为（6，日，点C 的坐标为(0，日，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．( 1 ）求这个二次函数的解中斤式．( 2）假如点Q在该二次函数图像的对称轴上，＿§今ACQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．\Y \Y。
初中数学函数及其图像训练题
精心整理函数及其图像初中数学一、选择题1．当ab ＞0时，y=2ax 与y=ax+b 的图象大致是（ ）.． ．．3．彼此相似的矩形1111A B C D ，2222A B C D ，3333A B C D ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…，和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线y=kx+b （k ＞0）和x 轴上，已知点1B 、2B 的坐标分别为（1，2），（3，4），则n B 的坐标是（ ）. A ．（12n -，2n ） B ．（2n ﹣12，2n ）C ．（12n -﹣12，12n -） D ．（12n -﹣1，12n -）4．如图所示，已知△ABC 中，BC=8，BC 上的高h=4，D 为BC 上一点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）.． D ．． B ．． D 6．二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞3b ；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，1y ）、点B （12-，2y ）、点C （72，3y ）在该函数图象上，则1y ＜3y ＜2y ；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为1x 和2x ，且1x ＜2x ，则1x ＜﹣1＜5＜2x ．其中正确的结论有（ ）.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，矩形OABC 上，点A 、C 分别在x 、y 轴上，点B 在反比例y=k x位于第二象限的图象上，矩形面积为6，则k 的值是（ ）. A ．3 B ．6 C ．﹣3 D ．﹣68．某同学在用描点法画二次函数y=2ax +bx+c 的图象时，列出了为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标． 10．如图，已知二次函数y=212x +bx+c 的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．11．如图是函数y=3x与函数y=6x在第一象限内的图象，点P 是y=6x 的图象上一动点，PA ⊥x 轴于点A ，交y=3x的图象于点C ，PB ⊥y 轴于点B ，交y=3x的图象于点D ．（1）求证：D 是BP 的中点； （2）求四边形ODPC 的面积．12．如图，已知直线y=kx+6与抛物线y=2ax +bx+c 相交于A ，B 两x （元/个）的函数关系式；（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？ 14．如图，抛物线y=212x +bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．18．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，如果每件涨价1元（售价不可以高于45），那么每星期少卖出10件，设每件涨价x元，每星期销量为y件．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）如何定价才能使每星期的利润为1560元？每星期的销量是多少？19．如图，一次函数1y =x+1的图象与反比例函数2y =kx（k 为常数，且k ≠0）的图象都经过点A （m ，2）， （1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x ＞0时，1y 和2y 的大小． 三、解答题20．设抛物线y=2x +8x ﹣k 的顶点在x 轴上，则k= ．填“＞”、“=”、“＜”）．参考答案1．D ． 【解析】试题分析：根据题意，ab ＞0，即a 、b 同号，分a ＞0与a ＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．根据题意，ab ＞0，即a 、b 同号，当a【解析】试题分析：根据矩形的性质求出点1A （0，2），2A （1，4）的坐标，然后根据这两点的坐标利用待定系数法求一次函数解析式y=2x+2，进而求出3A 的坐标（3，8），然后求出3B 的坐标（7，8），…，最后根据点的坐标特征的变化规律写出n B 的坐标为（12n -，2n ）.故选：A.考点：相似多边形的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 4．C ． 【解析】试题分析：可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的【解析】试题分析：（1）∵2ba-=2，∴4a+b=0．故（1）正确．（2）∵x=﹣3时，y ＜0，∴9a ﹣3b+c ＜0，∴9a+c ＜3b ，故（2）错误．（3）由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴02550a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得45b ac a=-⎧⎨=-⎩，∴8a+7b+2c=8a ﹣28a ﹣10a=﹣30a ，∵a ＜0，∴8a+7b+2c ＞0，故（3）正确．（4）∵点A （（﹣3，1y ）、点B （12-，2y ）、点C （72，3y ），∵72﹣2=32，2﹣（12-）=52，∴32＜52，∴点C 离对称轴的距离近，∴3y ＞2y ，∵a ＜0，﹣3＜12-＜2，∴1y ＜2y ，∴1y ＜2y ＜3y ，故（4）错误．（5）∵a ＜0，∴（x+1）（x ﹣5）=3a-＞0，即（x+1）（x ﹣5）＞0，故x ＜﹣1或x ＞5，故（5）正确．∴正确的有三个.案．由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得a-b+c=-2，c=1，a+b+c=-2，解得a=-3，b=0，c=1，所以函数解析式为y=23x -+1，x=2时y=﹣11. 故选：D ．考点：二次函数的图象．9．(1)y=212x +x ﹣4；(2) S=2m -﹣4m ；m=﹣2时S 有最大值S=4；(3)（﹣4，4）或（2-+2-2--2+. 【解析】试题分析：（1）设抛物线解析式为y=2ax +bx+c ，然后把点A 、B 、C∴M 点的坐标为：（m ，212m +m ﹣4），∴AOM OBMAOB S S S S =+﹣=12×4×（212m +m ﹣4）+12×4×（﹣m ）﹣12×4×4=2m -﹣4m=()224m -++， ∵﹣4＜m ＜0，当m=﹣2时，S 有最大值为：S=﹣4+8=4，答：S 关于 m 的函数关系式为S=2m -﹣4m ；m=﹣2时S 有最大值S=4； （3）∵点Q 是直线y=﹣x 上的动点， ∴设点Q 的坐标为（a ，﹣a ）， ∵点P 在抛物线上，且PQ ∥y 轴， ∴点P 的坐标为（a ，212a +a ﹣4），综上所述，Q 坐标为（﹣4，4）或（2-+2-2--2+P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形．考点：二次函数综合题． 10．(1)y=212x -+4x ﹣6；(2)6. 【解析】试题分析：（1）二次函数图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点，两点代入y=212x -+bx+c ，算出b 和c ，即可得解析式．（2）先求出对称轴方程，写出C 点的坐标，计算出AC ，然后由面积公式计算值．试题解析：（1）把A （2，0）、B （0，﹣6）代入y=212x -+bx+c ， ABC S=12考点：二次函数综合题．试题分析：（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P 、D 点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案． 试题解析：（1）∵点P 在函数y=6x上， ∴设P 点坐标为（6m，m ）．∵点D 在函数y=3x上，BP ∥x 轴，∴设点D 坐标为（3m ，m ）， 由题意得BD=3m ，BP=6m=2BD ，∴D 是BP 的中点． （2）OAPB S 四边形=6m?m=6， OBD =OAC =OBDOAC S S ﹣=6﹣考点：反比例函数与一次函数的交点问题．3BOQ ∽3Q EA ，列出比例式建立方程求解即可．试题解析：（1）把A （1，4）代入y=kx+6， ∴k=﹣2， ∴y=﹣2x+6， 由y=﹣2x+6=0，得x=3∴B （3，0）． ∵A 为顶点∴设抛物线的解析为y=()21a x -+4， ∴a=﹣1，∴y=()21x --+4=2x -+2x+3；22（3）①如图，当1Q AB ∠=90°时，作AE ⊥y 轴于E ， ∴E （0，4）∵1DAQ ∠=∠DOB=90°，1ADQ ∠=∠BDO ， ∴1DAQ ∽△DOB ，∴1DQ AD OD DB==，∴1DQ =52，∴1OQ =72，∴1Q （0，72）；2BOQ ∽△OQ OB OD OB =3OQ∴33BOQ Q EA ∽， ∴33OQ OB Q E AE =，即33341OQ OQ =-， ∴233OQ 4OQ 3+﹣=0， ∴3OQ =1或3，∴3Q （0，1）或（0，3）．综上，Q点坐标为（0，72）或（0，32-）或（0，1）或（0，3）．考点：二次函数综合题．13．(1)y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）；(2)W=()()20.11021030602400706080x x xxx⎧-+-≤≤⎪⎨-+≤⎪⎩；(3)当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润8b=⎩∴y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）；（2）根据题意，当30≤x≤60时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50=20.1x-+10x﹣210，当60＜x≤80时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）?120x ﹣50=2400x-+70，综上所述：W=()()20.11021030602400706080x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎨-+≤⎪⎩； （3）当30≤x ≤60时，W=20.1x -+10x ﹣210=()20.15040x --+， 当x=50时，W 最大=40（万元）； 当60＜x ≤80时，W=2400x-+70，求解即可；（3）求出直线BC 的解析式，设E(m ，122m -+)，则F(m ，213222m m -++)，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．试题解析：（1）把A （﹣1，0），C （0，2）代入y=212x -+bx+c 得122b c c ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得b=32，c=2，∴抛物线的解析式为y=212x -+32x+2；（2）存在．如图1中，∵C （0，2），D （32，0）， ∴OC=2，OD=32，52，①当CP=CD 时，可得1P （32，4），∴当E 运动到BC 的中点时，△EBC 面积最大，∴△EBC 最大面积=12×4×EF=12×4×2=4，此时E （2，1）． 考点：二次函数综合题．15．(1) B （2，1）；y=x ﹣1；(2) P （0，1）或（0，3）． 【解析】试题分析：（1）由点在函数图象上，得到点的坐标满足函数解析式，利用待定系数法即可求得；（2）分两种情况，一种是∠BPA=90°，另一种是∠PBA=90°，所以有两种答案．试题解析：（1）∵B在的图象上，∴=4，∴OP=4﹣1=3，∴P点的坐标为（0，3），∴P点的坐标为（0，1）或（0，3）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．16．(1) y=31x -+；(2)2. 【解析】试题分析：（1）设出函数解析式，把相应的点代入即可； （2）把自变量的取值代入（1）中所求的函数解析式即可．试题解析：（1）设y=1kx +，∴A （﹣1，0），又B 点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3， ∴B （2，3），∵抛物线顶点在y 轴上， ∴可设抛物线解析式为y=2ax +c ，把A 、B 两点坐标代入可得043a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得11a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=2x ﹣1；（2）△ABM 为直角三角形．理由如下：销售量=总利润，列方程求解．试题解析：（1）∵如果售价每涨1元，那么每星期少卖10件， ∴每件涨价x 元（x 为非负整数），每星期销量为：y=150﹣10x ； （2）设每件涨价x 元，依题意得（10+x ）=1560， 解这个方程，得1x =2，2x =3，∵售价不高于45元， ∴1x =2，2x =3均符合题意，当1x =2时，每星期的销量是150﹣10×2=130（件）； 当2x =3时，每星期的销量是150﹣10×3=120（件）；答：该商品每件定价42元或43元才能使每星期的利润为1560元，故点A 坐标为（1，2），将点A 的坐标代入2y =k x，得：2=1k ， 解得：k=2，则反比例函数的表达式2y =2x ； (2)结合函数图象可得：当0＜x＜1时，y＜2y；1当x=1时，y=2y；1当x＞1时，y＞2y．1考点：反比例函数与一次函数的交点问题．20．﹣16.考点：反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．22．y=3-．x【解析】（k≠0），设C 试题分析：设经过C点的反比例函数的解析式是y=kx（x，y），根据平行四边形的性质求出点C的坐标（﹣1，3），∵点C在反比例函数y=kx （k≠0）的图象上，∴3=1k-，解得，k=﹣3，∴经过C点的反比例函数的解析式是y=3x-．故答案为：y=3x-．考点：待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质．23．y=2x﹣6x+8．口向上，∴a＞0，∴b=﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为：①④．考点：二次函数图象与系数的关系．25．＜.【解析】试题分析：根据反比例函数的增减性解答．把点（﹣1，3）代入双曲，得k=﹣3＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象线y=kx限，且在每个象限内y随x的增大而增大，∵A（a，1b），B（2a，2b）1两点在该双曲线上，且a＜2a＜0，∴A、B在同一象限，∴1b＜2b．1。
初中函数难题答案
初中函数难题及答案一、选择题（本大题共5小题，共15.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 函数y =√x −3中自变量x 的取值范围是( )A. x >3B. x ≠3C. x ≥3D. x ≥02. 如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C1：y =x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y =x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD//x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF//x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为( )A. √26B. √24C. 14D. 163. 二次函数y =ax 2+bx 的图象如图所示，若一元二次方程ax 2+bx +m =0有实数根，则m 的取值范围是( )A. m ≤3B. m ≥3C. m ≥−3D. m ≤−34. 如图，点A ，B ，C 在一次函数y =−2x +m 的图像上，它们的横坐标依次为−1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是( )A. 1B. 3C. 3(m −1)D. 32(m −2)5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2x(x<0)的图象于点C，点D在x轴上(D在A的左侧)，且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ①④二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）6.已知当−1<x<0时，二次函数y=x2−3mx+2的值恒大于1，则m的取值范围为______．7.关于x的一元二次方程x2−x−n=0无实数根，则抛物线y=x2−x−n的顶点在第______象限．8.如图，正方形ABCD的边长为a，P为正方形边上一动点，运动路线是A−D−C−B−A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积是y，图象反映了y与x的关系，当S△ADP=14S正方形ABCD时，x=______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）9.已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？10.如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°，AC⊥PC于点C，P、A两点相距8√3米．请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题．(1)求水平距离PC的长；(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A．四、解答题（本大题共13小题，共104.0分。
初中数学函数与图形经典难题
函数与图形经典好题一、选择题1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k 为（ ）A 、16B 、-16C 、±16D 、±132、若11m n -=3，2322m mn nm mn n+---的值是（ ） A 、1.5 B 、35 C 、-2 D 、-753、判断下列真命题有（ ）①任意两个全等三角形可拼成平行四边形②两条对角线垂直且相等的四边形是正方形③四边形ABCD ，AB=BC=CD ，∠A=90°，那么它是正方形④在同一平面内，两条线段不相交就会平行⑤有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 A 、②③ B 、①②④ C 、①⑤ D 、②③④4、如图，矩形ABCD 中,已知AB=5,AD=12,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC ，E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF=（ ） A 、5 B 、6013 C 、245 D 、55125、在直角坐标系中，已知两点A （-8，3）、B （-4，5）以及动点C （0，n ）、D(m,0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值为 mn（ ）A 、-23B 、-32C 、-34D 、34二、填空题 6、当x= 时，||3x x -与3x x-互为倒数。
9、已知x 2-3x+1=0，求（x-1x ）2=7、一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为v ，下山的速度为v ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为 8、将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A '，则点A '的坐标是9、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程(X-3)(X-4)=0的解，则菱形ABCD 的周长为 10、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是△ABC 的中线，△CDB 内以CD 为边的等腰直角三角形周长是 11. 如图，边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AE=AB ，F 是AC•上一动点，EF+BF 的最小值为 12、如图，边长为3的正方形ABCD 顺时针旋转30°，得上图，交DE 于D ’,阴影部分面积是11235...315211321④③13、如图，已知四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ， 且∠AOD ＝90°，若BC ＝2AD ，AB ＝12，CD ＝9，四边形ABCD 的周长是14、有这样一组数：1，1，2，3，5…，现以这组数据的数作为正方形边长的长度构造如下正方形；再分别从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形记为①、②、③、④.第⑩个矩形周长是15、如图，在直线y=-33x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，第二象限内有一点P （a,12 ）,且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，则a=三、解答题16、如图，已知矩形ABCD ，延长CB 到E ，使CE=CA ，连结AE 并取中点F ，连结AE 并取中点F ，连结BF 、DF ，求证BF ⊥DF 。
2020年中考数学压轴专题：函数的图象与性质专题(含答案)
2020中考数学 压轴专题 函数的图象与性质专题（含答案）1. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =mx ＋5(m ≠0)的图象与反比例函数y =足为点M ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ,使PA ＋PB 的值最小并求出此时点P 的坐标．第1题图将B (4,1)代入y =mx ＋5得:1=4m ＋5,△m =－1,△y =－x ＋5；(3)如解图,作点A 关于y 轴的对称点N ,则N (－1,4)．连接BN 交y 轴于点P ,点P 即为所求．设直线BN的关系式为y=kx＋b,第1题解图第2题图△A(4,0),令x=0,则y=3,△等腰Rt△ABC中,△BAC=90°,(2)△如解图,连接PO,△P(a,1),△△S△ABP=S△ABC,第2题解图3.如图△,在直角坐标系中,点A的坐标为(0,12),经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B(m,n).(1)若m=9,n=3,求直线l1和l2的解析式；(2)将△BAO绕点B顺时针旋转180°得△BFE,如图△,连接AE,OF.△证明:四边形OFEA是平行四边形；△若四边形OFEA是正方形,求m和n的值．第3题解图4.如图,在△ABC中,点A(4,0),点B在x轴上,点C在第四象限且横坐标为2,直线l1:y=－3x＋3经过点B,C；直线l2经过点C,与x轴交于点P(点P在点B 右侧),设点P的横坐标为m．(2)若P是AB的中点,求m的值；(3)当S△PBC=3时,求直线l2的解析式．第4题图解:(1)(1,0),(2,－3)；【解法提示】△y=－3x＋3经过点B,C,点B在x轴上,点C横坐标为2,△B(1,0),C(2,－3).(2)△P 是AB 中点,(3)△S△PBC =3,△PB =2,△P (3,0),设直线l 2的解析式为y =kx ＋b ,则有3=02=3k b k b ++-⎧⎨⎩, 解得=3=9k b -⎧⎨⎩,△直线l 2的解析式为y =3x －9．5. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点B 的坐标为(0,4),点M 是线段AB 上任意一点(A ,B 两点除外)．(1)求直线AB 的解析式；(2)过点M 分别作MC △OA 于点C ,MD △OB 于点D ,当点M 在AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；(3)当点M 把线段AB 分成的两部分的比为1:3时,请求出点M 的坐标．第5题图解:(1)设直线AB 的解析式为y=kx ＋b ,由题意可得4=0=4k bb+⎧⎨⎩,解得=1=4kb-⎧⎨⎩,△AB的解析式为y=－x＋4；(2)不发生变化．理由:设M点的坐标为(x,－x＋4),则MD=|x|=x,MC=|－x＋4|=－x＋4,△四边形OCMD的周长=2(MD＋MC)=2[x＋(－x＋4)]=8,△四边形OCMD的周长不发生变化；(3)△DM△x轴,则点M的横坐标为1,此时纵坐标=－x＋4=－1＋4=3,△M(1,3)；则点M的横坐标为3,此时纵坐标=－x＋4=－3＋4=1,△M(3,1),综上可知,点M的坐标为(1,3)或(3,1)．6.如图,已知一次函数y=2x－4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函数的图象上,P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．(1)当P为线段AB的中点时,求d1＋d2的值；(2)直接写出d1＋d2的范围,并求当d1＋d2=3时点P的坐标；(3)若在线段AB上存在无数个P点,使d1＋ad2=4(a为常数),求a的值．解:(1)对于一次函数y=2x－4,令x=0,得到y=－4；令y=0,得到x=2,△A(2,0),B(0,－4),△P为AB的中点,△P(1,－2),△d1＋d2=3；(2)d1＋d2≥2；设P(m,2m－4),△d1＋d2=|m|＋|2m－4|,当0≤m≤2时,d1＋d2=m＋4－2m=4－m=3,解得m=1,此时P1(1,－2)；当m＞2时,d1＋d2=m＋2m－4=3,当m＜0时,不存在,(3)设P(m,2m－4),△d1=|2m－4|,d2=|m|,△P在线段AB上,△0≤m≤2,△d1=4－2m,d2=m,△d1＋ad2=4,△4－2m＋am=4,即(a－2)m=0,△有无数个点,△a=2．7.M,N,高为3的等边三角形ABC,边BC在x轴上,将此三角形沿着x轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A1B1C1,当点B1与原点重合时,解答下列问题:(1)求出点A1的坐标,并判断点A1是否在直线l上；(2)求出边A1C1所在直线的解析式；(3)在坐标平面内找一点P,使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形,求出P点的坐标．第7题图解:(1)如解图,作A1H△x轴于H．在Rt△A1OH中,△A1H=3,△A1OH=60°,由解图可知,当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时,P1 (3第7题解图8.如图,在平面直角坐标系xoy中,平行四边形ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).(1)求点C的坐标及直线AB的解析式；(2)动点P在直线23y x=上运动.△当PB=PC时,求出P点的坐标；△将直线23y x=怎样平移,能将平行四边形ABCO的面积平分？并求出此时它与直线AB交点Q的坐标；(3)在x轴上是否存在两点M、N(M在N左侧),使MN=1,且CM＋MN＋BN的值最小？若存在,求出M、N两点的坐标,并求出这个最小值；若不存在,请说明理由.第8题图解:(1)△四边形ABCO是平行四边形,△CB△OA,CB=OA=3,△点C的坐标为(－3,2),设直线AB的解析式为y=kx＋b,代入A(3,0),B(0,2)得032k bb=+⎧⎨=⎩,解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,△223y x=-+；(2)△当PB=PC时,P点在BC的垂直平分线上,即直线x=－32上,又△点P在直线23y x=上,△23()132y=⨯-=-,△P点的坐标为(－32,－1)；△若将平行四边形ABCO的面积平分,则直线必过平行四边形ABCO对角线的交点,即过点(0,1),△将直线23y x=向上平移1个单位即可,此时直线的解析式为213y x=+,联立方程组223213y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得3432xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,△它与直线AB 的交点Q 的坐标为(34,32)； (3)存在.如解图,将点 C 向右平移1个单位长度得C ',作C '关于x 轴的对称点C '',连接C ''B ,交 x 轴于点 N ,将 N 点向左平移1个单位得M ,M 、N 即为所求作的点. 由题意可知,点C '(－2,2),△以点C '关于x 轴的对称点C ''(－2,－2),设直线C ''B 的解析式为y kx b =+,代入C ''(－2,－2),B (0,2)得222k bb -=-+⎧⎨=⎩,解得22k b =⎧⎨=⎩ , △22yx =+,△点 N 的坐标为(－1,0),点 M 的坐标为(－2,0), △CM ＋MN ＋BN 的最小值即为C ''B ＋MN1+=1+.第8题解图9. 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直角三角形OBD 的直角顶点D 在(1)求图象经过点B 的反比例函数的解析式；(2)点E 是(1)中反比例函数图象上一点,连接BE 、DE ,若BE =DE ,求四边形OBED 的面积．第9题图△BD =2OD ,△OD =2,BD =4,△B (2,4),(2)如解图,作EF △BD 于点F ,由BD △x 轴, △△EFD =△ODF ,△EF △x 轴, △BE =DE ,EF △BD 于点F ,△x =4,△E (4,2),EF =2,第9题解图10.于点B,平行于x轴的直线y=n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM．(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,△BMN的面积最大？第10题图解:(1)△直线y=2x＋6经过点A(1,m),△m=2×1＋6=8,△A(1,8),△k=8,△n=3时,△BMN的面积最大．11.点,且A点的橫坐标为1．(1)求一次函数的函数表达式；(2)当y1＞y2时,求x的取值范围；(3)已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C橫坐标为3,求△ABC的面积．第11题图将点A(1,6)代入y1=x＋m,得:1＋m=6,解得m=5,则一次函数解析式为y1=x＋5；则点A (1,6)、点B (－6,－1),由图象可知y 1＞y 2时－6＜x ＜0或x ＞1；则点C (3,2),如解图,连接AC ,BC ,则AD =2、CD =4、BE =9、CE =3,第11题解图12. B (m ,n )(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线,垂足为点C ． (1)求该反比例函数解析式；(2)当△ABC 面积为2时,求点B 的坐标；(3)P 为线段AB 上一动点(P 不与A 、B 重合),在(2)的情况下,直线y =ax －1与线段AB 交于点P ,直接写出a 的取值范围．第12题图△k=1×2=2,△mn=2,(3)将A(1,2)代入y=ax－1中,2=a－1,解得a=3；△直线y=ax－1与线段AB交于点P,P为线段AB上一动点(P不与点A、B重合),第13题图解:(1)根据题意得点B的横坐标为0,点A的纵坐标为0,△B(0,6),A(－8,0),△OA=8,OB=6,△CB平分△ABO,CD△AB,CO△BO,△CD=CO,△BC=BC,△Rt△BCD△Rt△BCO,△BD=BO=6,△AD=AB－BD=4,△△ADC=△AOB=90°,△CAD=△BAO,△△ACD△△ABO,△AC=5,△OC=OA－AC=3,△C(－3,0),△△EDB=△AOB=90°,BD=BO,△EBD=△ABO,△△EBD△△ABO,△BE=AB=10,△OE=BE－OB=4,△E(0,－4),设直线CE的解析式为y=kx－4,△－3k－4=0,解得(2)存在.第13题解图。
中考数学函数与几何结合问题练习题
中考数学：函数与几何结合问题练习题1. 题目：已知函数f(x)=2x+3，求函数f(x)在直线y=2x-1上的截距。
解析：截距就是函数与直线相交的点的纵坐标。
所以我们只需要将函数f(x)与直线y=2x-1联立，解方程即可。
将函数f(x)代入直线方程，得到2x+3=2x-1，化简得到3=-1，显然等式不成立。
所以函数f(x)与直线y=2x-1没有交点，因此没有截距。
2. 题目：已知函数f(x)=3x-2，求函数f(x)在直线y=x+1上的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=x+1联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到3x-2=x+1，化简得到2x=3，解得x=3/2。
将x=3/2代入直线方程，得到y=3/2+1=5/2。
所以函数f(x)在直线y=x+1上的截距为(3/2, 5/2)。
3. 题目：已知函数f(x)=x^2+2x，求函数f(x)在直线y=2x的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=2x联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到x^2+2x=2x，化简得到x^2=0，解得x=0。
将x=0代入直线方程，得到y=2(0)=0。
所以函数f(x)在直线y=2x上的截距为(0, 0)。
4. 题目：已知函数f(x)=3x^2-4x+1，求函数f(x)在直线y=3的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=3联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到3x^2-4x+1=3，化简得到3x^2-4x-2=0。
解方程得到x≈-0.732和x≈1.065。
将x≈-0.732代入函数f(x)，得到f(-0.732)=3(-0.732)^2-4(-0.732)+1≈3.529。
将x≈1.065代入函数f(x)，得到f(1.065)=3(1.065)^2-4(1.065)+1≈1.126。
所以函数f(x)在直线y=3上的截距为(-0.732, 3.529)和(1.065, 1.126)。
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5（附答案）1．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC +BD =16，则四边形ABCD 的面积最大值是( )A ．64B ．16C ．24D ．322．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=1cm ，BD=2cm ．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为（ ）A ．y=（x+3）2B ．y=（x+3）2 C ．y=（x ﹣3）2 D ．y=（x ﹣3）25．在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y ，则y 关于x 的函数关系为（ ）A ．y=πx 2－4B ．y=π(2－x)2C ．y=－π(x 2+4)D ．y=－πx 2+16π 6．小强用一根长为16cm 的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）A ．216cmB ．232cmC ．264cmD ．28cm7．中国贵州省内的射电望远镜(FAST )是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜，根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈现抛物线状，口径AB 为500米，最低点O 到口径面AB 的距离是100米，若按如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )A ．21100625y x =- B ．21100625y x =-- C ．21625y x = D ．21625y x =- 8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x(m)的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．已知两个正方形的面积和y 与其中一个正方形边长x 之间的函数解析式21236y ax x =-+的图象如图所示，（3，18）是该图象的顶点，当4x =时，这两个正方形的面积和为（ ）A ．19 B ．20 C ．22 D ．2410．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD 最大面积是（ ）A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 211．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y 1＝12（x +3）2﹣92，将抛物线C 1 向右平移3个单位、再向上平移4.5个单位得抛物线C 2，则图中阴影部分的面积为________．12．如图，已知抛物线 ()221y x =-- 与 x 轴交于A 、C 两点，与 y 轴交于点B ，在抛物线的对称轴上找一点Q ，使△ABQ 成为等腰三角形，则Q 点的坐标是____.13．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，围成的鸡舍面积最大是_平方米．14．如图，抛物线2y ax c =+的顶点为B ，O 为坐标原点，四边形ABCO 为正方形，则ac =______.15．如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点()2,0-，()2,0且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为______ ．16．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x ＝1，y ＝3，y ＝x +2，y ＝﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A ，C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线y ＝18（x ﹣a ）2+b 经过B ，C 两点，顶点D 在正方形内部．若点D 有一条特征线是y ＝x +2，则此抛物线的表达式是_____．17．用12m 长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，窗框的长为_____m ，此时最大面积为_____m 2．18．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为__________________；当BE =______m 时，绿地AEFG 的面积最大.19．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地为矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG ＝2BE.那么当BE ＝_____m 时，绿地AEFG 的面积最大．20．长方体底面周长为50cm ，高为10cm .则长方体体积()3y cm 关于底面的一条边长()x cm 的函数解析式是____________.（不要求写自变量的取值范围）21．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m ）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD ）外，用长为32m 的栅栏围成矩形ABCD ．设绿化带宽AB 为x m ，面积为S m 2，（1）求S 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）绿化带的面积能达到128m 2吗？若能，请求出AB 的长度；若不能，请说明理由；（3）当x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大．22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5与x 轴交于A (﹣1，0)．B (5，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求此物线的解析式；(2)在此物线的对称轴上找一点M ．使得MA +MC 最小，请求出点M 的坐标；(3)在直线BC 下方抛物线上是否存在点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在．请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点,C OB OC =.点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点.(1)求b c 、的值;(2)如图①，连接BE ， 线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F'恰好在线段BE 上，求点F 的坐标;(3)如图②,动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N .试问:直线PN 右侧的抛物线上是否存在点Q ,使得PQN V 与APM ∆的面积相等，且线段NQ 的长度最小?如果存在，求出点Q 的坐标;如果不存在，说明理由. 24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长14米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积S 有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点()30A -，、()20B ，、()04，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若AC 与抛物线的对称轴交于点E ，以A 为圆心，AE 长为半径作圆，A e 与y 轴的位置关系如何？请说明理由．（3）过点E 作A e 的切线EG ，交x 轴于点G ，请求出直线EG 的解析式及G 点坐标．26．如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm ，窗户的透光面积为ym 2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．27．已知，抛物线22y ax ax c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧.点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =.（1）求抛物线的解析式；（2）当0a >时，如图所示，若点D 是第三象限抛物线上方的动点，设点D 的横坐标为m ，三角形ADC 的面积为S ，求出S 与m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；请问当m 为何值时，S 有最大值？最大值是多少.28．已知抛物线y=-x 2-mx+2m 2（m ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧． （1）求证：OB=2OA ；（2）若直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，求m 的值．（3）若点C 与点O 关于点A 对称，且以点C 为圆心，CO 为半径的圆交抛物线于点D ，求证：DO 平分∠ADB ．29．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大长a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为xm ，面积为2Sm ．（1）求S 与x 的函数解析式并求出x 的取值范围．（2）当x 为多少时，矩形花圃面积S 最大，并求出最大值．30．如图1，抛物线213222y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为线段AC 的中点，直线BD 与抛物线交于另一点E ，与y 轴交于点F ．(1)如图1，点P 是直线BE 上方抛物线上一动点，连接PD ，PF ，当△PDF 的面积最大时，在线段BE 上找一点G ，使得PG ﹣10EG 的值最小，求出PG ﹣10EG 的最小值；(2)如图2，点M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，点K 为平面内一点，当以点A 、M 、N 、K 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N 的坐标．参考答案1．D【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，则：S=12AC•BD=12x（16-x）=-12（x-8）2+32，当x=8时，S最大=32；所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，故选D．【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．2．B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．3．D【解析】根据题意和图形可知：y=x2，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是，故选D．【点睛】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．4．C【解析】试题分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．故选C．考点：二次函数的应用．5．D【解析】【分析】剩下面积=半径为4的圆的面积-半径为x的圆的面积，据此列式即可求得答案.【详解】半径为4的圆的面积16π，半径为x 的圆的面积πx 2，因而函数解析式是：y=-πx 2+16π，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 6．A【解析】【分析】设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ，面积S =x （8-x ），利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积．【详解】解：设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ， 面积S =x （8-x ）．S =-x 2+8x ,=-(x -4)2+16,由于-1<0,S 有最大值，当x =4时，S 最大是16.所以矩形的最大面积是16cm 2． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题,解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式,再求二次函数最值.7．A【解析】【分析】观察图像可知，抛物线的顶点坐标为（0，-100），开口向上，a>0，只有选项A 满足条件【详解】观察图象可知，抛物线的顶点坐标为(0,100)-，开口向上，0a >，只有选项A 满足条件. 故选：A【点睛】本题考查了抛物线的解析式，掌握a 与开口方向的关系是解题的关键.8．D【解析】【分析】首先根据矩形的周长，求出两个边长，然后列出面积的关系式，即可判定.【详解】根据题意，矩形的周长为4m ，一边长为x ，则另一边长为2-x ，∵S ＝x(2﹣x)＝﹣(x ﹣1)2+1(0＜x ＜2)．∴函数图像是顶点坐标(1，1)开口向下的抛物线．故选：D ．【点睛】此题主要考查二次函数图像的判定，熟练掌握，即可解题.9．B【解析】【分析】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入可求出a ，然后当x=4时，求出y 即可【详解】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入得：a=2∴解析式为221236y x x =-+当x=4时，y=20；故选B【点睛】本题主要考察二次函数解析式的求解，难度不大，仔细运算即可10．C【解析】试题分析：设BC=xm ，表示出AB ，矩形面积为ym 2，表示出y 与x 的关系式为y=（16﹣x ）x=﹣x 2+16x=﹣（x ﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m 时，y max =64m 2，即所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．故答案选C ．考点：二次函数的应用．11．27 2【解析】【分析】根据上→加，下→减，左→加，右→减的原则表示抛物线C2的解析式，由对称性可知：S阴影部分=S△OPQ，先计算Q的坐标，表示PQ的长，可得面积．【详解】由平移可得：抛物线C2的解析式：y2=12（x+3-3）2-92+92，即抛物线C2的解析式：y2=12x2，由抛物线C2的解析式：y2=12x2，可知，抛物线C2过原点O，当x=-3时，y2=12×（-3）2=92，∴Q（-3，92），∵抛物线C1：y1＝12（x+3）2﹣92，∴P（-3，-92），∴PQ=92+92=9，P与Q关于x轴对称，∴OQ=OP，∴S阴影部分=S△OPQ =12×3×PQ=12×3×9=272．故答案为：272．【点睛】本题考查二次函数的平移规律、抛物线与x轴的交点、对称性、三角形面积以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移原则是关键．12．Q 1()236+，，Q 2()236-，，Q 3（2，2），Q 4（2，3）【解析】【分析】先求得点A 和点B 的坐标，由顶点式知抛物线的对称轴为直线x=2，设抛物线的对称轴上的点Q 的坐标为()2m ，，分别求得AB ，并用含m 的代数式表示BQ AQ 、的长，分AB BQ BQ AQ AB AQ ===，，三种情况构造方程求得m 的值.【详解】如图，抛物线的对称轴为直线x=2当y=0时，（x-2）2-1=0解之：x 1=3，x 2=1∴点A 的坐标为（1，0）当x=0时，y=3∴点B （0，3）设点Q 的坐标为（2，m ）.∴AB 2=32+1=10，BQ 2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ 2=m 2+1，要使△ABQ 为等腰三角形，当AB 2=BQ 2时，则（m-3）2+4=10,解之：m 1=36 ， m 2=36 ，∴点Q 1(236， ， Q 2(236，.当BQ 2=AQ 2时，则（m-3）2+4=m 2+1,解之：m=2所以点Q 2（2，2）；当AB 2=AQ 2时，则10=m 2+1,解之：m=±3若m=-3，则点B 、A ，Q 在同一直线上，∴m=-3舍去，∴点Q 4（2，3）故答案为：(23+，，Q 2(23，，（2，2），（2，3）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．13．450【解析】【分析】设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，用含x 的式子表示出AD ，根据矩形面积公式得出关于x 的二次函数，由二次函数的性质，可求得围成的鸡舍面积的最大值．【详解】解：设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，则116421(602)2x AD x m -+=+=- 由题意得：2(602)260y x x x x =-=-+ ∴当152b x a=-=时，围成的鸡舍面积最大，最大值为：22156015450-⨯+⨯=（平方米） 故答案为450．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确分析图中的数量关系列出函数关系式，是解题的关键．14．-2【解析】【分析】 抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），由四边形ABCO 是正方形，则C 点坐标为标为（2c -，2c ），代入抛物线即可解答． 【详解】解：∵抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），四边形ABCO 是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC ，∴△COB 是等腰直角三角形，∴C 点横纵坐标绝对值相等，且等于BO 长度一半，∴C 点坐标为（2c -，2c ）， 将点C 代入抛物线方程中得：2·()22cc a c -+= 解得：ac=-2．故答案为：-2．【点睛】 本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．15．8【解析】【分析】两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积．【详解】如图，∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同，∴两条抛物线是上下平移得到，∴y1-y2=-12x2+1-（-12x2-1）=2；∴S阴影=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题．16．y＝18（x-4）2+6【解析】【分析】由特征线确定a与b的关系为b＝a+2，再有D点横坐标，确定正方形边长为2a，进而得到C（0，2a），将C点坐标代入函数解析式即可求得a．【详解】由题意可知D（a，b）在y＝x+2上，∴b＝a+2，∴正方形的边长为2a，∴C（0，2a），将点C代入y＝18（x﹣a）2+b得到，18（﹣a）2+a+2＝2a，∴a1=a2＝4∴y＝18（x-4）2+6；故答案为y＝18（x-4）2+6．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，新定义问题，弄清新定义的实质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．3 6【解析】【分析】设窗框的长为xm，根据木材的总长度是12m表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据二次函数的最值解答．【详解】解：设窗框的长为xm ，则窗框的宽为()13122x -， 所以，窗框的面积()()2122361233x x x =-=--+， ∵230a =-<， ∴当x ＝3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为6m 2．故答案为：3，6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，用长表示出宽并根据矩形的面积公式列式整理成顶点式形式是解题的关键，难点在于要注意窗框有三条宽．18．22864(08)y x x x =-++<< 2【解析】由题意可知：AE=AB-BE=8-x ，DG=2BE=2x ，所以AG=AD+DG=8+2x ，∴y=AE·AG=（8-x ）(8+2x)=-2x 2+8x+64(0<x<8)；y= -2x 2+8x+64=-2（x-2）2+72，∴当x=2时，y 有最大值，故答案为：y =-2x 2+8x+64(0<x<8)， 2.19．2【解析】【分析】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，根据题意得出函数解析式进行解答即可．【详解】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，S 矩形AEFG ＝AE•AG ＝（8−x ）（8＋2x ）＝−2x 2＋8x ＋64（0＜x ＜8）；解析式变形为：y ＝−2（x−2）2＋72，所以当x ＝2时，y 有最大值72，故填：2.【点睛】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．20．210250=-+y x x【解析】【分析】由长方体底面周长50cm 和底面一条边长x 可表示出另一条边长，然后可得到底面积，最后用底面积乘高得到体积y 的解析式.【详解】∵长方体底面周长为50cm ，底面的一条边长x cm∴底面的另一条边长为()150252⨯-=-x x cm ∴()22510=10250=-⋅⋅-+y x x x x故答案为：210250=-+y x x .【点睛】本题考查根据实际问题写函数关系式，解题的关键是正确表示出长方体体积.21．（1）S ＝﹣2x 2+32x （10≤x ＜16）；（2）绿化带的面积不能达到128m 2，理由详见解析；（3）当x ＝10时，绿化带面积最大．【解析】【分析】（1）依题意易可得BC =32-2x ，根据矩形的面积公式可得出S 与x 的函数关系式，再由0＜32-2x≤12可求出x 的取值范围；（2）先将S =128代入（1）中的解析式，求出x ，再根据x 的取值范围判断即可；（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，再结合x 的取值范围利用二次函数的性质可求得结果．【详解】解：（1）由题意得，BC =32-2x ，∴S ＝x （32﹣2x ）＝﹣2x 2+32x ，又0＜32-2x ≤12，解得10≤x ＜16，故S 与x 的函数关系式为S =﹣2x 2+32x (10≤x ＜16)；（2）根据题意得，当S =128时，有﹣2x 2+32x ＝128，解得：x ＝8，又由（1）知10≤x ＜16，∴x =8不符合题意，故绿化带的面积不能达到128m 2；（3）∵S ＝﹣2x 2+32x ＝﹣2（x ﹣8）2+128，当10≤x ＜16，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝10时，绿化带面积最大．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数表达式和一元二次方程．22．（1）y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）M (2，﹣3)；（3）存在，点P 的坐标为(52，354-) 【解析】【分析】(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5求出a 、b 的值即可确定抛物线的关系式；(2)由对称可得，直线BC 与对称轴的交点就是所求的点M ，求出直线BC 的关系式和对称轴方程，求出交点坐标即可；(3)向下平移直线BC 与抛物线有唯一公共点时，这个公共点就是要求的点M ，于是利用平移后的直线关系式与抛物线关系式联立，使其只有一个解时即可．【详解】解：(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5得， 5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得，a ＝1，b ＝﹣4，∴抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，故答案为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；(2)当x ＝0时，y ＝﹣5，∴点C (0，﹣5)设直线BC 的关系式为y ＝kx +b ，把点B 、C 坐标代入得，505k b b +=⎧⎨=-⎩ ， 解得，15k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线BC 的关系式为y ＝x ﹣5，∵抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5＝(x ﹣2)2﹣9， ∴对称轴为直线x ＝2，由对称可得，直线BC 与对称轴x ＝2交点就是所求的点M ，当x ＝2时，y ＝2﹣5＝﹣3，∴点M (2，﹣3)时，MA +MC 最小，故答案为：M (2，﹣3)；(3)向下平移直线BC ，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P 时，此时点P 到BC 的距离最大，因此△PBC 的面积最大，设将直线BC 向下平移后的直线的关系式为y ＝x ﹣5﹣m ，则方程x 2﹣4x ﹣5＝x ﹣5﹣m ，有两个相等的实数根，即x 2﹣5x +m ＝0有两个相等的实数根，∴m ＝254， 当m ＝254时，方程x 2﹣5x +m ＝0的解为x ＝52，把x ＝52代入抛物线的关系式得，y ＝254﹣4×52﹣5＝﹣354， ∴P (52，﹣354) 答：在直线BC 下方抛物线上存在点P ，使得△PBC 的面积最大，此时点P 的坐标为(52，﹣354)， 故答案为：P (52，﹣354)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称和最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，三角形的面积以及二次函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，以及交点问题是解题的关键．23．（1）2b =-，3c =-；（2）02（，）F -；（3）315,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB OC =，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；（2）可设(0,)F t ，则可表示出2F t '（，）的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F '坐标代入直线BE 解析式可得到关于t 的方程，可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为(,0)n ，可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR PN ⊥，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt QRN ∆中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【详解】解：（1）2CD =Q 且//CD x 轴，∴抛物线的对称轴为直线1x = 即2b a -=-12b =， 2b ∴=-，() ,0,OB OC C c =Q ，,0B c ∴-（）代入：220c c c ++=，解得123,0c c =-= (舍去），3c ∴=-.（2）由（1）可知222314y x x x =--=--（） 则143,0EB -（，）（） 由待定系数法可得直线BE 的解析式为：26y x =-设由0F t （，），点F 关于直线1x =的对称点F 的坐标为2Ft '（，） 则有：2262t =⨯-=-02F ∴-（，）（3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++．作QR PN ⊥，垂足为R ，S Q △PQN APM S ∆=， ∴211(1)(3)(23)?22n n n n QR +-=-++， 1QR ∴=．点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点的坐标为2(1,4)n n +-，R 点的坐标为2(,4)n n n -，N 点的坐标为2(,23)n n n --．∴在Rt QRN ∆中， 221(21)NQ n =+-，∴12n =时，NQ 取最小值1．此时Q 点的坐标为315(,)24-． 综上可知存在满足题意的点Q ，其坐标为315(,)24-． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F '的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．24．（1）12x =；（2）有，S 的最大值为112平方米．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过14米；（2）根据题意可以得到S 关于x 的二次函数，然后利用配方法及函数性质求得其最值，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由题意得：(302)72x x -=，整理得：215360x x -+=，解得13x =，212x =．当3x =时，3022414x -=>，不符合题意，故舍去，当12x =时，302614x -=<，则当苗圃园的面积为72平方米时，12x =．（2）∵平行于墙的一边长不小于8米∴830214x ≤-≤，即811x ≤≤．215225(302)222S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭Q ， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线152x =， ∴当152x >时，S 随x 的增大而减小， ∴当8x =时，S 取得最大值，S 的最大值为112平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．（1）y ＝﹣23x 2﹣23x +4；（2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由见解析；（3）直线GE 的表达式为：y ＝﹣34x +7124，G （7118，0）． 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据待定系数法，求出直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，进而求出点E 的坐标，可得AE 的长，比较AE 与AO 的大小关系，即可得到结论；（3）由直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，结合AC ⊥EG ，可得直线EG 的表达式为：y ＝﹣34x +m ，结合点E 的坐标，可得直线GE 的表达式，进而即可求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点()30A -，、()20B ，， ∴设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣2）＝a （x 2+x ﹣6），把C(0，4)代入得：﹣6a ＝4，解得：a ＝﹣23， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣23x 2﹣23x +4； （2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由如下：设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：034k b b =-+⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的表达式为：y ＝43x +4， ∵抛物线的对称轴为：直线x ＝﹣12， ∴当x ＝﹣12时，y ＝103∴点E(﹣12，103)，∴AE＝221103023⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝256＞AO，∴⊙A与y轴的位置关系是相交；（3）直线AC的表达式为：y＝43x+4，∵EG是Ae的切线，切点是点E，∴AC⊥EG，∴设直线EG的表达式为：y＝﹣34x+m，将点E的坐标代入上式，得103＝﹣34×(﹣12)+m，解得：m＝7124，∴直线GE的表达式为：y＝﹣34x+7124，∵当y＝0时，x＝71 18，∴点G(7118，0)．【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与圆的综合，掌握待定系数法，切线的性质定理，直线与圆的位置关系的判定方法，是解题的关键．26．（1）y=-32x2+3x（0＜x＜2），(2) 窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．【解析】试题分析：（1）由窗框的宽为x m ，则长为(63)2x -m ，从而根据矩形面积公式得出函数关系式即可； （2）根据二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．试题解析：（1）根据题意,得2(63)3322x y x x x -=⋅=-+（0＜x ＜2）. （2）∵()2233331222y x x x =-+=--+,∴当x=1时，32y =最大. ∴当窗框的长为32m 和宽为1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为32m 2. 考点：二次函数的应用．27．（1）223y x x =--+或223y x x =+-;（2）当12m =-时，S 取最大值，最大值为38 【解析】【分析】（1）根据点B 的坐标及OC=3OB 可得出点C 的坐标，再根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点D 作DE ⊥x 轴，交AC 于点E ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、C 的坐标，进而即可得出线段AC 所在直线的解析式，由点D 的横坐标可找出点D 、E 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S 与m 的函数关系式，利用配方法可找出S 的最大值．【详解】解：（1）∵点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =，∴点C 的坐标为(0,3)或(0,3)-，将点(1,0)B ，(0,3)C 或(0,3)-代入22y ax ax c =++， 203a a c c ++=⎧⎨=⎩或203a a c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩或13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：223y x x =--+或223y x x =+-；（2）过点D 作DE x ⊥轴，交AC 于点E ，如图所示，，∵0a >，∴抛物线的解析式为223y x x =+-，∴点C 的坐标为(0,3)-.当0y =时，有2230x x +-=，解得：13x =-，21x =，∴点A 的坐标为(3,0)-，利用待定系数法可求出线段AC 所在直线的解析式为：3y x =--.∵点D 的横坐标为m ，∴点D 的坐标为2(,23)m m m +-，点E 的坐标为(,3)m m --，∴223(23)3DE m m m m m =---+-=--， ∴21330()22S DE m m =⨯--=-+（30m -<<）， ∵302-<，且223313()()2228S m m m =-+=-++， ∴当12m =-时，S 取最大值，最大值为38. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出S 与m 的函数关系式．28．（1）见解析；（2）当79m =-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）令y=0，代入y=-x2-mx+2m2，求出A(m，0)，B(-2m，0)，进而得OB=2OA；（2）联立2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩，得x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，结合直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，得△=0，进而即可求解；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，分两种情况：①当D 在x轴上方时，②当D在x轴下方时，分别求证，即可．【详解】（1）∵抛物线y=-x2-mx+2m2（m＜0）与x轴交于A、B两点，∴关于x的方程-x2-mx+2m2=0有两个不相等的实数根x1和x2，解得：x1=m，x2=-2m，∵点A在点B的左边，且m＜0，∴A(m，0)，B(-2m，0)，∴OA=-m，OB=-2m，∴OB=2OA；（2）∵直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，∴2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩只有一组实数解，消y得：x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，∴△=0，即（m-1）2-4×1×（2-2m2）=0，整理得：9m2-2m-7=0，解得：m1=1（不合题意舍去），27 9m=-．∴当79m=-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，∴CO=CD，①当D在x轴上方时，如图1，连接CD，∵点C与点O关于点A对称，∴OC=2OA=2AC，又由（1）得OB=2OA，∴BC=2OC，∴CA CD CD BC ==12， ∵∠DCA=∠BCD ，∴△DCA ∽△BCD ，∴BD=2AD ， ∵OB=2OA ，∴S △BOD =2S △AOD ，过O 点分别作△BOD 、△AOD 的高ON ，OM ，∴S △BOD=12BD ON ⋅，S △AOD=12AD OM ⋅ ∴BD •ON=2AD•OM ，∴ON=OM ，∴OD 是∠ADB 的平分线，即DO 平分∠ADB ；②当D 在x 轴下方时，如图2，同理①，可得DO 平分∠ADB ．【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形以及圆的综合，掌握二次函数的图象和性质，三角形相似的判定定理和性质定理，是解题的关键．29．（1）2330S x x =-+(20103x <…)；（2）当203x =时，矩形花圃面积S 最大，S 最大值=22003m 【解析】。
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函数与图形经典好题
一、选择题
1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k 为（ ） A 、16 B 、-16 C 、±16 D 、±13
2、若
11m n -=3，
2322m mn n
m mn n
+---的值是（ ） A 、1.5 B 、35 C 、-2 D 、-75
3、判断下列真命题有（ ）
①任意两个全等三角形可拼成平行四边形②两条对角线垂直且相等的四边形是正方形③四边形ABCD ，AB=BC=CD ，∠A=90°，那么它是正方形④在同一平面内，两条线段不相交就会平行⑤有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 A 、②③ B 、①②④ C 、①⑤ D 、②③④
4、如图，矩形ABCD 中,已知AB=5,AD=12,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC ，E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF=（ ） A 、5 B 、6013 C 、245 D 、55
12
5、在直角坐标系中，已知两点A （-8，3）、B （-4，5）以及动点C （0，n ）、D(m,0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值为 m
n
（ ）
A 、-23
B 、-32
C 、-34
D 、34
二、填空题 6、当x= 时，
||3x x -与3x x
-互为倒数。
9、已知x 2
-3x+1=0，求（x-1
x ）
2
=
7、一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为v ，下山的速度为v ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为 8、将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点
A '，则点A '的坐标是
9、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程(X-3)(X-4)=0的解，则菱形ABCD 的周长为 10、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是△ABC 的中线，△CDB 内以CD 为边的等腰直角三角形周长是 11. 如图，边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AE=AB ，F 是AC•上一动点，EF+BF 的最小值为 12、如图，边长为3的正方形ABCD 顺时针旋转30°，得上图，交DE 于D ’,阴影部分面积是
1
1
2
3
5
...
11
23
15
1
12
11
32
1
④
③
②
①
13、如图，已知四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ， 且∠AOD ＝90°，若BC ＝2AD ，AB ＝12，CD ＝9，四边形ABCD 的周长是
14、有这样一组数：1，1，2，3，5…，现以这组数据的数作为正方形边长的长度构造如下正方形；再分别从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形记为①、②、③、④.第⑩个矩形周长是
15、如图，在直线y=-3
3
x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限
内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，第二象限内有一点P （a,1
2 ）,且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，则a=
三、解答题
16、如图，已知矩形ABCD ，延长CB 到E ，使CE=CA ，连结AE 并取中点F ，连结AE 并取中点F ，连结BF 、DF ，求证BF ⊥DF 。
17、如图，已知在等腰ABCD 中，AD=x ，BC=y,梯形高为h （1）用含x 、y 、h 的关系式表示周长C （2）（AD=8，BC=12，BD=102，求证∠DCA+∠BAC=90°
第17题
18、如图，过原点的直线l 1：y=3x ，l 2：y=12
x 。
点P 从原点O 出发沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动。
直线PQ 交y 轴正半轴于点Q ，且分别交l 1、l 2于点A 、B 。
设点P 的运动时间为t 秒时，直线PQ 的解析式为y=―x+t 。
△AOB 的面积为S l (如图①)。
以AB 为对角线作正方形ACBD ，其面积为S 2(如图②)（1）求S l 关于t 的函数解析式； （2）求S 2关于t
的函数解析式；
19、如图，菱形OABC 连长为4cm ，∠AOC=60度，动点P 从O 出发，以每秒1cm 的速度沿O —A —B 运动，点P 出发2秒后，动点Q 从O 出发，在OA 上以每秒1cm 的速度，在AB 上以每秒2cm 的速度沿O —A —B 运动，过P 、Q 两点分别作对角线AC 的平行线，设P 点运动的时间为x 秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（阴影部分）的周长为y cm,请回答下问题。
（1）当x=3时，y 是多少？
（2）求x 与y 的关系式。
（注意取值范围）
20. 已知(1)A m -，与(233)B m +，是反比例函数k
y x
=
图象上的两个点． （1）求k 、m 的值；
（2）若点(10)C -，，则在反比例函数
k
y x
=
图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
D C
②
l 2
l 1
y
x
S 2O
Q
P
B
A
①
l 2l 1
y
x
S 1
O
Q
P
B
A
21直线10-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 从B 点出发，沿线段BA 匀速运动至A 点停止；同时点Q 从
原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动 (如
图1)，且在运动过程中始终保持PO =PQ ，设OQ =x . （1）试用x 的代数式表示BP 的长.
（2）过点O 、Q 向直线AB 作垂线，垂足分别为C 、D （如图2），求证：PC =AD .
（3）在（2）的条件下，以点P 、O 、Q 、D 为顶点的四边形面积为S ，试求S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的范围.
22 。
（本题满分8分）（1）如图7，点O 是线段AD
的同侧作等边三角形OAB
和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；
（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），
求∠AEB 的大小.
x
x
C B
O D
图7
A
B
A
O
D
C
E
图8。