计算结构力学有限元方法_三维结构和轴对称

σ = Sd
S = DB S为单元应力矩阵
由此可知，四面体单元的应力为常数，故又称为常应力元
三维问题的有限元方法
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵计算公式的理论依据和过程，与平面问题完全相同：
由计算单元刚度矩阵的通用公式可得： K e = ∫∫∫ BT DBdV
V
对于常应变
K
e rs
=
BrT DBsVe ,
0 2(1 + µ)
0 0
0
0
σ
0 0 0 0 0 0
0 2(1 + µ) 0
0
0 2(1 + µ)
1
µ 1− µ
µ 1− µ
0
0
0
µ
1
0
1− µ
0
0
[
D]
=
(1
E(1 − + µ)(1
µ −
) 2µ)
对
1
0
0
1− 2µ 0
2(1 − µ)
0
0
1− 2µ
0
2(1 − µ)
1 x4 y4
1 x1 y1 z1 V = 1 1 x2 y2 z2
6 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4
四面体单元体积
三维问题的有限元方法
f = ϕ0α α = ϕ −1d
f = Nd
[ ] N为形函数矩阵 N = IN1 IN2 IN3 IN4
I 3×3
Ni =（-1）i+（1 ai + bi x + ci y + di z）/ 6V , i = 1,2,3,4
空间问题的有限元格式
三维单元
空间连续体单元，主要分为四面体单元、六面体单元等
提高空间连续体单元位移函数精度的办法，通常是增加节点
自由度数或增加节点等。一个节点的自由度，除位移u,v,w 外，
还可将位移对坐标的偏导数亦取为自由度：
∂u , ∂u , ∂u , ∂v , ∂v , ∂v , ∂w , ∂w , ∂w ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
=
1,2,3,4)
位移函数取线性形式
矩阵形式 f = ϕ0α
u = a1 + a2 x + a3 y + a4 z v = a5 + a6 x + a7 y + a8z w = a9 + a10 x + a11 y + a12 z
u
ϕP
f
=
v
ϕ0
=
ϕP
w
ϕP
ϕP = [1
x
y
z]
α = [α1
几何矩阵
三维问题的有限元方法
将式 f = Nd 代入式中得：ε = Bd
B = [B1B2B3B4 ]
bi
ci
Bi
=
1 6V
ci
bi
d
i
,
i
=
1,2,3,4
di
ci
di
bi
式中，ai bi,ci,di, 由式轮换得到。由于 B 的元素均为常数， 故四面体单元为常应 变单元。
将式 ε = Bd 代入式 σ = Dε , 可得应力与节点位移之间的关系
α
2
α
12
]
三维问题的有限元方法
代入节点坐标和节点位移
d = ϕα
α = ϕ −1d
d = (d1T di = (ui
d
T 2
d3T
vi wi )T
d
T 4
T
)
(i
=
1,2,3,4)
ϕ1
ϕ
=
ϕ2
ϕ3
1 xi yi zi
ϕi
=
1 xi yi zi
1 xi yi zi
ϕ −1
=
A2
=
1- 2µ （2 1- µ）
A1brcs + A2crbs crcs + A2 (brbs + dr ds )
A1drcs + A2cr ds
A1br ds + A2drbs
A1cr ds + A2drcs
drds + A2 (brbs + crcs )
K11 K12 K13 K14
Ke
=
K
21
K 22
K 23
K
24
K K
31 41
K32 K 42
K33 K 43
K34 K 44
r, s = 1,2,3,4
四面体单元 的刚度矩阵
三维问题的有限元方法
单元等效节点载荷
建立空间问题计算模型时，作用在单元上的外载荷必须按静 力等效原则移置到节点上，与平面问题一样。
Pe = [P1T P2T P3T P4T ]T
1 6V
ϕe
ϕe
ϕe
a1 a2 a3 a4
ϕe
=
b1
dc11
b2 c2 d2
b3 c3 d3
b4
c4 d4
x2 y2 z2
a1 = x3 y3 z3
x4 y4 z4
1 x2 z2
c1 = 1 x3 z3
1 x4 z4
1 y2 z2 b1 = −1 y3 z3
1 y4 z4
1 x2 y2 d1 = 1 x3 y3
在三维问题 中，完整的 三维多项式 可排列成一 个四面体
每个节点就有12 个自由度。 四面体单元的自由度数为48, 六面体单元的自由度数为96 。
三维问题的有限元方法
四面体单元
4 节点12 自由度，常应变单元, 其节点顺序按右
手螺旋排列，i节点坐标和位移分别为
ii((uxii
, ,
yi , zi )(i vi , wi )
r, s = 1,2,3,4
四面体单元
∫∫∫ K
e rs
=
V BrT DBsdV ,
r, s = 1,2,3,4
Ke r,s
=
E(1− µ) 36(1+ µ)(1− 2µ)Ve
brbs + A2 (crcs + dr ds )
×
A1bscr + A2csbr
A1bsdr + A2dsbr
A1
=
µ 1- µ
称
1− 2µ
2(1 − µ)
或用拉梅系数和剪切弹性模量表示
=λ
Eµ = G E / 2(1 + µ)
(1 + µ)(1 − 2µ)
λ + 2G λ
λ 0 0 0
λ + 2G
λ
0
0
0
[
D]
=
(1
E(1 − + µ)(1
µ −Βιβλιοθήκη Baidu
) 2µ
)
对
λ + 2G 0 0 0
G
0
0
G 0
称
G
三维问题的有限元方法
四面体单元的
Pi = [Pix Piy Piz ]T , i = 1,2,3,4
节点载荷
∫ Pe = N T ρdx
单元节点载荷的计算公式,其中N 应为四面体单元的形函数
计算结构力学
三维问题的有限元方法
空间问题
单元的应变
根据弹性力学基本公式，有应变：
∂
一维问题 二维问题
εx
=
∂u ∂x
∂
ε
x
∂x
εy = 0
γ
xy
∂
∂y
∂x
三维问题 ε x
0
0
∂ u
∂y
v
∂
∂x
ε
y
εz
γ yz
γ
zx
=
0 0
γ xy
∂ ∂z
∂
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
u
v
w
∂
∂x
0
统一形式：ε = ∇u
∂y ∂x
三维问题的有限元方法
单元的应力
根据弹性力学基本公式，有应力：σ = Dε 三维问题
1 −µ −µ 0
0
0
−µ 1 −µ
0
0
0
ε
=
1 E
−µ
0
−µ 0
1 0