2017-相似三角形解题技巧及口诀---B

2017-相似三角形解题技巧及口诀---B

相似三角形解题技巧及口诀

常见相似类型： A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X

型），双垂直（母子型），,旋转形

【双垂直结论，即直角三角形射影定理】： 【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；

【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边

的比例中项。

（1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD ²=AD •BD

⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC ²=AD •AB

（3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC ²=BD •AB

结论：⑵÷⑶得AC ²:BC ²=AD:BD

结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式

【证明等积式(比例式)策略】:

1、直接法：找同一三角形两条边

变化：等号同侧两边同一三角形， 三点定形法

B

C

A

D E

对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．

⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换；

⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型

②先证其它三角形相似——创造边、角条件

相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比

【口诀】：

遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；

四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边；

彼相似，我角等，两边成比边代换。

或：

遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似；

不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截；

平行线，转比例，等线等比来代替；

☞遇等积，改等比，横看竖看找关系

①△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形，求证：BD•CN=BM•CE．

②等边三角形ABC中，P为BC上任一点，

AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。

求证：BP•PC=BM•CN

☞斜边上面作高线，比例中项一大片

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF

分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF 在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两对三角形相似证得结论。

①ABCD中，AC是平行四边形ABCD的对角线G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E，

②梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD,求证：OC²=OA·OE，

☞四共线，看条件，其中一条可转换；

Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。求证：EF²=BE•FC

求证：BP ²=PE·PF 。

。

③

AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AB 于F.求证： DE ²=BE·CE.

☞两共线，上下比，过端平行条件边。

引平行线应注意以下几点：

1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 AD 是△ABC 的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.

12

F D A

②在△ABC 中，AB>AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP:CP=BD:CE.

③在△ABC 中，BF 交AD 于E.

(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC

(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED

（3）BD:CD=2:3, AE:ED=3:4 ，求AF:FC

④在△ABC中，P、Q分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AP于D，交AQ于E，若BM=10cm，试求BD、DE、EM的长.

☞彼相似，我条件，创造边角再相似

①AE²＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，试说明△EBC∽△DEB.

②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．

③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC

为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=

∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。

④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上，且AE •AB=AD •

巧求三角形中线段的比值 例1. 如图1，在△ABC 中，BD ：DC ＝1：3，AE ：ED ＝2：3，求AF ：FC 。

O C D B A

E

11

所以DG ：FC ＝BD ：BC

因为BD ：DC ＝1：3 所以BD ：BC ＝1：4

即DG ：FC ＝1：4，FC ＝4DG

因为DG ：AF ＝DE ：AE 又因为AE ：ED ＝2：3

所以DG ：AF ＝3：2 即

所以AF ：FC ＝：4DG ＝1：6

例2. 如图2，BC ＝CD ，AF ＝FC ，求EF ：FD

解：过点C 作CG//DE 交AB 于点G ，则有EF ：GC ＝AF ：AC

因为AF ＝FC 所以AF ：AC ＝1：2

即EF ：GC ＝1：2，

因为CG ：DE ＝BC ：BD 又因为BC ＝CD

所以BC ：BD ＝1：2 CG ：DE ＝1：2 即DE ＝2GC

因为FD ＝ED －EF ＝ 所以EF ：FD ＝

小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请练习下面3题，让我们感受其中的奥妙！

练习：

在△ABC 中，BF 交AD 于E.

(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC

(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED

（3）BD:CD=2:3, AE:ED=3:4 ，求AF:FC

E

A C F E A C F

E A C F