第二章_逻辑代数基本原理及公式化简资料讲解
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“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量， 反变量变成原变量，得到的函数是原函数的反函数 F 。
例如：已知
求：F
根据反演规则可得:
F (A B C )(A B C )(A B C )(A B C ) 使用反演规则时, 应注意保持原函式中运算符号的优先 顺序不变。 例如：已知
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：已知 F ABC ABC ABC ABC 求它的反函数 1、根据反演规则可得:
F (A B C )(A B C )(A B C )(A B C )
2、根据基本公式可得:
F ABC ABC ABC ABC ABC • ABC • ABC • ABC (A B C )(A B C )(A B C )(A B C )
如图：用两个并联的开关A、B来控制一盏灯。灯 亮的条件，只要开关A“或”开关B在“合上”位置。
假定：灯亮为“1”，不亮为
“0”；开关“合上”为“1”，
A
“断开”为“0”。
把灯的状态和开关的位置之间
B
的关系例表如下：
2.1.1 逻辑代数的基本运算
2、“或”运算：F = A + B
A+ B
F
A B
≥1
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本定理、公式应用： 证明：
1、AB AB A 2、(A B )(A B ) A 3、AB A C BCD AB A C
2.1.3 逻辑代数的基本规则
1、代入规则
任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出 现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然 成立。
“同或”、“异或”关系： A ⊙ B A B
常用的逻辑门及符号
2.1.2 逻辑代数的基本公式
互补律：
A • A 0 A A 1
1律： 0律：
1 • A A 1 A 1
0 • A 0 0 A A
2.1.2 逻辑代数的基本公式
A • B B • A 交换律： A B B A
x • f x • [xy xz (x y )(x z )] x • [1 • y 0 • z (0 y )(1 z )] x • [y y ] x
化简函数：
A [A BC A BC ABC ABC ] A [0 • BC 0 • BC 1 • BC 1 • BC ] A B AB
6、“与或非”运算: F = AB + CD
与或非门 （实现“与或非”逻辑）
真值表
ABCD F 0000 1 0001 1 0010 1 0011 0
……
2.1.1 逻辑代数的基本运算
7、“异或”运算: F = AB + AB =A + B
A B
=1
F
A B
+
F
异或门
（实现“异或”逻辑）
真值表
AB F 00 0 01 1 10 1 11 0
推论： A B AC B C D A B AC
对合律： A A
重叠律：
A
A
•
A A
A A
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
__
AB
__
A B)
A
A
B
•
B
A A•B A
A(A B) A
A______•____B______
__
A
__
__
B
__
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
包含律：
__
__
AB A C BC AB A C
__
(A B)(A C)(B C) (A B)(A C)
4、“与非”运算: F=AB
A
B
F
与非门 （实现“与非”逻辑）
真值表
AB F 00 1 10 1 01 1 11 0
2.1.1 逻辑代数的基本运算
5、“或非”运算: F = A+B
A B
+
F
或非门 （实现“或非”逻辑）
真值表
A BF 0 01 1 00 0 10 1 10
2.1.1 逻辑代数的基本运算
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
2.1.1 逻辑代数的基本运算
异或门的组成: 用基本逻辑门组成异或门 表示式：Y=A B =AB + AB
2.1.1 逻辑代数的基本运算
8、“同或”运算: F = AB + AB =A ⊙ B
A B
=1
F
A B
⊙
F
同或门
（实现“同或”逻辑）
真值表
AB F 00 1 01 0 10 0 11 1
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.1 逻辑代数的基本运算
1、“与”运算： 两变量“与”运算的真值表和门电路符号。
A
B
F
A B
&
F
F = A • B = A∧B=AB
真值表
ABF 00 0 10 0 01 0 11 1
2.1.1 逻辑代数的基本运算
2、“或”运算：
当决定一个事件的各个条件中，只要具备一个， 事件就会发生，这样的关系称为“或”逻辑关系，或 称逻辑加。
F
F = A + B = A∨B
真值表
AB F 00 0 10 1 01 1 11 1
2.1.1 逻辑代数的基本运算
3、“非”运算：就是否定。
当决定事件的一个条件不具备时，事件就会 发生；条件具备时，事件不会发生。称这种关系 为“非”逻辑关系。
如图：用一个与灯并联的开关A来控制一盏灯。 开关A在“合上”的位置时，灯不亮；开关A在 “断开”的位置时，灯亮。
2.1.1 逻辑代数的基本运算
1、“与”运算：
当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件
才会而且一定会发生，称这种关系为“与”逻辑关
系，也称为逻辑乘。
如图：用两个串联的开关A、B来控制一盏灯。
灯亮的条件是开关A“与”开关B“同时”处在
“合上”位置。
假定：灯亮为“1”，不亮为
A
B
“0”；开关“合上”为“1”，
A______•____B______
__
A
__
__
B
__
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
例题：求下列函数的对偶式：
1、F A（B C） 2、F AB AC 3、F （A B)(A C)(C DE) M 4、F [AB A C C(D E)] • M
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式一：
当包含变量 x，x 的函数f和变量x相“与”时，函数 f中的x均可由“1”代之，x 均可由“0”代之；当f和变 量 x 相“与”时，函数f中的x均可由“0”代之， x 均
AB BD （ A B） (A B)(B E) B • [AB BD （ A B） (A B)(B E)]
B • [AB BD （ A B） (A B)(B E)] B • [1 • A 0 • D （1 A） ( 0 A)(1 E)]
B • [0 • A 1 • D （ 0 A） (1 A)( 0 E)] B[A A] B [D AE] AB BD ABE AB AE BD
第2章 逻辑代数及逻辑函数化简
➢ 逻辑代数的基本运算 ➢ 基本逻辑电路 ➢ 逻辑代数的公式、规则 ➢ 公式法化简逻辑函数 ➢ 图解法(卡诺图)化简 ➢ 多输出函数的化简 ➢ 包含任意项的逻辑函数化简 ➢ 逻辑函数的变换、化简
2.1 逻辑代数的基本原理
逻辑代数的基本概念和性质是由英国数学家乔治·布尔 在19世纪中期首先提出的。又叫布尔代数。是数字系统分析 和设计的数学工具。
A • (B • C ) (A • B ) • C
结合律： A (B C ) (A B ) C A • (B C ) A • B A • C
分配律： A B • C (A B ) • (A C )
2.1.2 逻辑代数的基本公式
吸收律：
反演律： (德·摩根定律)
A
A •(
逻辑函数是F 的对偶式 F'。如果F'是F 的对偶式，则F 也 是F' 的对偶式，即F 与F' 互为对偶式。
例: F = A + B + C F’= A B C
求某一函数F 的对偶式时，要注意保持原函数的运算
顺序不变。
对偶规则：若两个逻辑函数F 和G 相等，则其对偶式F’ 和G’也相等。函数的对偶的对偶式，为函数本身。
假定：灯亮为“1”，不亮为
“0”；开关“合上”为“1”，
“断开”为“0”。
A
把灯的状态和开关的位置
之间的关系例表如下：
2.1.1逻辑代数的基本运算
3、“非”运算：就是否定、逻辑反 F = A
A
F
பைடு நூலகம்
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
真值表
AF 01 10
2.1.1 逻辑代数的基本运算
将基本的逻辑门加以组合，可以构成“与非”、 “或非”、“与或非”、“异或”、“同或”、等 门电路。
逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑图、卡诺图、 波形图。
逻辑函数的生成：逻辑问题的描述—由文字叙述设计要 求，抽象为逻辑表达式的过程。然后化简。实现逻辑设计的 第一步。
逻辑函数、逻辑变量的取值：０、１ 逻辑代数的基本运算：与、或、非 1、“与”运算，逻辑乘 2、“或”运算，逻辑加 3、“非”运算，取反
“断开”为“0”。
灯的状态和开关的位置之间的关系例表如：
2.1.1 逻辑代数的基本运算
1、“与”运算： 常用真值表来表示逻辑命
真值表
题的真假关系 。
真值表：把所有的条件的
全部组合以表格的形式列出来，
再把在每一种组合下对应的事
件的值求出来，这样的表格即
为真值表。
F = A • B = AB
每个条件有“0”、“1”两种状态，n个条件 有2n个组合。
例如：给定逻辑等式 A(B+C)=AB+AC，若用 A+BC 代替A，则该等式仍然成立，即：
(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C
由互补率(A+A=1)，同样有等式
f (A1, A2, …, An)＋f (A1, A2, …, An)＝1
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变成
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 F AD (A B )(A C )(A D )(A E )
F AD (A B )(A C )(A D )(A E) (A [AD (A B )(A C )(A D )(A E)]) • (A [AD (A B )(A C )(A D )(A E)]) (A [0 • D (0 B )(1 C )(0 D )(1 E)]) • (A [1 • D (1 B )(0 C )(1 D )(0 E)]) (A BD)(A CE D) AD BD ACE
可由“1”代之。
当包含变量x，x 的函数f和变量x相“或”时，函数 f中的x均可由“0”代之， x 均可由“1”代之；当f和 变量 x 相“或”时，函数f中的x均可由“1”代之，x
均可由“0”代之。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：若 f xy xz (x y )(x z)，求x • f
2.2 逻辑函数的化简
逻辑函数化简的目的: 省器件！用最少的门实现 相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。主要掌握 “与或”表达式的化简。
最简“与或”表达式： 1、乘积项的个数最少(用门电路实现，所用与门 的个数最少) 2、在满足（1）的条件下，乘积项中的变量个数 最少(与门的输入端最少) 最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功耗 最小或者可靠性最高是目标，化简的结果完全不同！
例如：已知
求：F
根据反演规则可得:
F (A B C )(A B C )(A B C )(A B C ) 使用反演规则时, 应注意保持原函式中运算符号的优先 顺序不变。 例如：已知
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：已知 F ABC ABC ABC ABC 求它的反函数 1、根据反演规则可得:
F (A B C )(A B C )(A B C )(A B C )
2、根据基本公式可得:
F ABC ABC ABC ABC ABC • ABC • ABC • ABC (A B C )(A B C )(A B C )(A B C )
如图：用两个并联的开关A、B来控制一盏灯。灯 亮的条件，只要开关A“或”开关B在“合上”位置。
假定：灯亮为“1”，不亮为
“0”；开关“合上”为“1”，
A
“断开”为“0”。
把灯的状态和开关的位置之间
B
的关系例表如下：
2.1.1 逻辑代数的基本运算
2、“或”运算：F = A + B
A+ B
F
A B
≥1
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本定理、公式应用： 证明：
1、AB AB A 2、(A B )(A B ) A 3、AB A C BCD AB A C
2.1.3 逻辑代数的基本规则
1、代入规则
任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出 现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然 成立。
“同或”、“异或”关系： A ⊙ B A B
常用的逻辑门及符号
2.1.2 逻辑代数的基本公式
互补律：
A • A 0 A A 1
1律： 0律：
1 • A A 1 A 1
0 • A 0 0 A A
2.1.2 逻辑代数的基本公式
A • B B • A 交换律： A B B A
x • f x • [xy xz (x y )(x z )] x • [1 • y 0 • z (0 y )(1 z )] x • [y y ] x
化简函数：
A [A BC A BC ABC ABC ] A [0 • BC 0 • BC 1 • BC 1 • BC ] A B AB
6、“与或非”运算: F = AB + CD
与或非门 （实现“与或非”逻辑）
真值表
ABCD F 0000 1 0001 1 0010 1 0011 0
……
2.1.1 逻辑代数的基本运算
7、“异或”运算: F = AB + AB =A + B
A B
=1
F
A B
+
F
异或门
（实现“异或”逻辑）
真值表
AB F 00 0 01 1 10 1 11 0
推论： A B AC B C D A B AC
对合律： A A
重叠律：
A
A
•
A A
A A
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
__
AB
__
A B)
A
A
B
•
B
A A•B A
A(A B) A
A______•____B______
__
A
__
__
B
__
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
包含律：
__
__
AB A C BC AB A C
__
(A B)(A C)(B C) (A B)(A C)
4、“与非”运算: F=AB
A
B
F
与非门 （实现“与非”逻辑）
真值表
AB F 00 1 10 1 01 1 11 0
2.1.1 逻辑代数的基本运算
5、“或非”运算: F = A+B
A B
+
F
或非门 （实现“或非”逻辑）
真值表
A BF 0 01 1 00 0 10 1 10
2.1.1 逻辑代数的基本运算
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
2.1.1 逻辑代数的基本运算
异或门的组成: 用基本逻辑门组成异或门 表示式：Y=A B =AB + AB
2.1.1 逻辑代数的基本运算
8、“同或”运算: F = AB + AB =A ⊙ B
A B
=1
F
A B
⊙
F
同或门
（实现“同或”逻辑）
真值表
AB F 00 1 01 0 10 0 11 1
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.1 逻辑代数的基本运算
1、“与”运算： 两变量“与”运算的真值表和门电路符号。
A
B
F
A B
&
F
F = A • B = A∧B=AB
真值表
ABF 00 0 10 0 01 0 11 1
2.1.1 逻辑代数的基本运算
2、“或”运算：
当决定一个事件的各个条件中，只要具备一个， 事件就会发生，这样的关系称为“或”逻辑关系，或 称逻辑加。
F
F = A + B = A∨B
真值表
AB F 00 0 10 1 01 1 11 1
2.1.1 逻辑代数的基本运算
3、“非”运算：就是否定。
当决定事件的一个条件不具备时，事件就会 发生；条件具备时，事件不会发生。称这种关系 为“非”逻辑关系。
如图：用一个与灯并联的开关A来控制一盏灯。 开关A在“合上”的位置时，灯不亮；开关A在 “断开”的位置时，灯亮。
2.1.1 逻辑代数的基本运算
1、“与”运算：
当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件
才会而且一定会发生，称这种关系为“与”逻辑关
系，也称为逻辑乘。
如图：用两个串联的开关A、B来控制一盏灯。
灯亮的条件是开关A“与”开关B“同时”处在
“合上”位置。
假定：灯亮为“1”，不亮为
A
B
“0”；开关“合上”为“1”，
A______•____B______
__
A
__
__
B
__
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
例题：求下列函数的对偶式：
1、F A（B C） 2、F AB AC 3、F （A B)(A C)(C DE) M 4、F [AB A C C(D E)] • M
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式一：
当包含变量 x，x 的函数f和变量x相“与”时，函数 f中的x均可由“1”代之，x 均可由“0”代之；当f和变 量 x 相“与”时，函数f中的x均可由“0”代之， x 均
AB BD （ A B） (A B)(B E) B • [AB BD （ A B） (A B)(B E)]
B • [AB BD （ A B） (A B)(B E)] B • [1 • A 0 • D （1 A） ( 0 A)(1 E)]
B • [0 • A 1 • D （ 0 A） (1 A)( 0 E)] B[A A] B [D AE] AB BD ABE AB AE BD
第2章 逻辑代数及逻辑函数化简
➢ 逻辑代数的基本运算 ➢ 基本逻辑电路 ➢ 逻辑代数的公式、规则 ➢ 公式法化简逻辑函数 ➢ 图解法(卡诺图)化简 ➢ 多输出函数的化简 ➢ 包含任意项的逻辑函数化简 ➢ 逻辑函数的变换、化简
2.1 逻辑代数的基本原理
逻辑代数的基本概念和性质是由英国数学家乔治·布尔 在19世纪中期首先提出的。又叫布尔代数。是数字系统分析 和设计的数学工具。
A • (B • C ) (A • B ) • C
结合律： A (B C ) (A B ) C A • (B C ) A • B A • C
分配律： A B • C (A B ) • (A C )
2.1.2 逻辑代数的基本公式
吸收律：
反演律： (德·摩根定律)
A
A •(
逻辑函数是F 的对偶式 F'。如果F'是F 的对偶式，则F 也 是F' 的对偶式，即F 与F' 互为对偶式。
例: F = A + B + C F’= A B C
求某一函数F 的对偶式时，要注意保持原函数的运算
顺序不变。
对偶规则：若两个逻辑函数F 和G 相等，则其对偶式F’ 和G’也相等。函数的对偶的对偶式，为函数本身。
假定：灯亮为“1”，不亮为
“0”；开关“合上”为“1”，
“断开”为“0”。
A
把灯的状态和开关的位置
之间的关系例表如下：
2.1.1逻辑代数的基本运算
3、“非”运算：就是否定、逻辑反 F = A
A
F
பைடு நூலகம்
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
真值表
AF 01 10
2.1.1 逻辑代数的基本运算
将基本的逻辑门加以组合，可以构成“与非”、 “或非”、“与或非”、“异或”、“同或”、等 门电路。
逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑图、卡诺图、 波形图。
逻辑函数的生成：逻辑问题的描述—由文字叙述设计要 求，抽象为逻辑表达式的过程。然后化简。实现逻辑设计的 第一步。
逻辑函数、逻辑变量的取值：０、１ 逻辑代数的基本运算：与、或、非 1、“与”运算，逻辑乘 2、“或”运算，逻辑加 3、“非”运算，取反
“断开”为“0”。
灯的状态和开关的位置之间的关系例表如：
2.1.1 逻辑代数的基本运算
1、“与”运算： 常用真值表来表示逻辑命
真值表
题的真假关系 。
真值表：把所有的条件的
全部组合以表格的形式列出来，
再把在每一种组合下对应的事
件的值求出来，这样的表格即
为真值表。
F = A • B = AB
每个条件有“0”、“1”两种状态，n个条件 有2n个组合。
例如：给定逻辑等式 A(B+C)=AB+AC，若用 A+BC 代替A，则该等式仍然成立，即：
(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C
由互补率(A+A=1)，同样有等式
f (A1, A2, …, An)＋f (A1, A2, …, An)＝1
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变成
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 F AD (A B )(A C )(A D )(A E )
F AD (A B )(A C )(A D )(A E) (A [AD (A B )(A C )(A D )(A E)]) • (A [AD (A B )(A C )(A D )(A E)]) (A [0 • D (0 B )(1 C )(0 D )(1 E)]) • (A [1 • D (1 B )(0 C )(1 D )(0 E)]) (A BD)(A CE D) AD BD ACE
可由“1”代之。
当包含变量x，x 的函数f和变量x相“或”时，函数 f中的x均可由“0”代之， x 均可由“1”代之；当f和 变量 x 相“或”时，函数f中的x均可由“1”代之，x
均可由“0”代之。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：若 f xy xz (x y )(x z)，求x • f
2.2 逻辑函数的化简
逻辑函数化简的目的: 省器件！用最少的门实现 相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。主要掌握 “与或”表达式的化简。
最简“与或”表达式： 1、乘积项的个数最少(用门电路实现，所用与门 的个数最少) 2、在满足（1）的条件下，乘积项中的变量个数 最少(与门的输入端最少) 最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功耗 最小或者可靠性最高是目标，化简的结果完全不同！