量子力学作业答案..
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
《量子力学》基本概念考查题目以及答案
《量子力学》基本概念考查题目以及答案1. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了什么？A. 粒子的位置和动量可以同时准确知道B. 粒子的位置和动量不能同时准确知道C. 粒子的速度和动量可以同时准确知道D. 粒子的位置和能量可以同时准确知道答案：B3. 量子纠缠是指什么？A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子的量子态不能独立于彼此描述D. 两个粒子的量子态可以独立于彼此描述答案：C4. 在量子力学中，一个粒子通过一个势垒的隧穿概率是由什么决定的？A. 粒子的能量B. 势垒的宽度C. 势垒的高度D. 所有以上因素答案：D5. 量子力学的基本方程是什么？A. 牛顿第二定律B. 麦克斯韦方程组C. 薛定谔方程D. 热力学第二定律答案：C6. 在量子力学中，一个系统的波函数坍缩通常发生在什么情况下？A. 当系统处于叠加态时B. 当系统被测量时C. 当系统与环境相互作用时D. B 和 C答案：D7. 量子力学中的泡利不相容原理指出，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这主要影响什么？A. 电子的质量B. 电子的自旋C. 电子的能级D. 电子的电荷答案：C8. 量子退相干是什么？A. 量子态的相干性增强的过程B. 量子态的相干性丧失的过程C. 量子态的叠加态减少的过程D. 量子态的不确定性减少的过程答案：B9. 在量子力学中，哪个原理说明了全同粒子不能被区分？A. 泡利不相容原理B. 量子叠加原理C. 量子不确定性原理D. 量子对称性原理答案：D10. 量子力学中的“观测者效应”指的是什么？A. 观测者的存在改变了被观测系统的状态B. 观测者的存在增强了被观测系统的能量C. 观测者的存在减小了被观测系统的不确定性D. 观测者的存在导致了被观测系统的量子坍缩答案：A11. 在量子力学中，一个粒子的波函数通常是复数还是实数？A. 实数B. 复数C. 整数D. 可以是复数也可以是实数答案：B12. 量子力学中的“粒子-波动二象性”指的是什么？A. 粒子有时表现为波动，有时表现为粒子B. 粒子和波动是两种完全不同的实体C. 粒子和波动是同一种实体的不同表现形式D. 粒子的存在需要波动作为媒介答案：C13. 在量子力学中，一个粒子的动量和位置可以同时被准确测量吗？A. 是的，可以同时准确测量B. 不可以，这受到海森堡不确定性原理的限制C. 只有在特定条件下可以D. 只有使用特殊仪器才可以答案：B14. 量子力学中的“超定性”是指什么？A. 系统的状态由多个波函数描述B. 系统的多个性质可以独立测量C. 系统的波函数可以有多个解D. 系统的多个状态可以共存答案：A15. 在量子力学中，一个粒子的自旋是什么？A. 粒子旋转的速度B. 粒子的量子态的一个内在属性C. 粒子的角动量D. 粒子的动能答案：B16. 量子力学中的“测量问题”指的是什么？A. 如何测量量子系统的尺寸B. 如何测量量子系统的动量C. 测量过程如何影响量子系统的状态D. 测量结果的统计性质答案：C17. 量子力学中的“波函数坍缩”是指什么？A. 波函数在空间中的扩散B. 波函数在时间中的演化C. 波函数从叠加态突然转变为某个特定的状态D. 波函数的数学表达式变得复杂答案：C18. 在量子力学中，一个系统的能量通常是量子化的，这意味着什么？A. 系统的能量可以连续变化B. 系统的能量可以是任何值C. 系统的能量只能取特定的离散值D. 系统的能量只能增加或减少特定的量答案：C19. 量子力学中的“非局域性”指的是什么？A. 量子系统的状态不能在空间中定位B. 量子系统的状态不能在时间中定位C. 量子系统的状态不受空间距离的限制D. 量子系统的状态不受时间距离的限制答案：C20. 在量子力学中，一个粒子的波函数的绝对值平方代表什么？A. 粒子的总能量B. 粒子的总动量C. 粒子在某个位置被发现的概率密度D. 粒子的电荷密度答案：C这套选择题覆盖了量子力学的多个基本概念，适合用于检验学生对量子力学基础知识的掌握情况。
量子力学答案完全版
⒈热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律： 表示，其中。
求人体热辐射的峰值波长（设体温为）。
解：，由题意，人体辐射峰值波长为：。
⒉宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于黑体辐射。
此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解：T=2.726K ，由维恩位移定律，属于毫米波。
⒊波长为的X 射线光子与静止的电子发生碰撞。
在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV ？解：设碰撞后，光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为θ,α，由能量守恒，，动量守恒:;；整理得:;联立第一式：nm c m h e 01.0;2sin 20201===-λλθλλ ;则X 射线的波长为：01.02sin 221+=θλc m h e ；电子能量：1λλhchc E e -= ⒋在一束电子束中，单电子的动能为，求此电子的德布罗意波长。
解：电子速度远小于光速，故：;则：。
5.设归一化函数： （x ）=Aexp(-2x 2)(-)a 为常数，求归一化常数A 。
解：由归一化条件 |2dx=1 得A 2==A=6.设归一化波函数=A(0n为整数，a为常数，求归一化常数A解：由归一化条件|2dx得A2=1解得A=7.自由粒子的波函数为=Aexp()其中和是粒子的动量和能量，和t是空间与时间变量，ℏ是普朗克常数，A是归一化常数，试建立自由粒子波函数所满足的方程。
解：由=Aexp()，将其对时间求偏微商，得到=-E,然后对其空间求偏微商，得到：=-利用自由粒子的能量和动能的关系式：E=就可以得到：i=---------自由粒子波函数所满足的方程8．设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为Ĥ=该粒子的初始波函数为=+设和是实数，求任意时刻的波函数及粒子的几率密度.解：由=exp()=dx=== exp()+ exp()粒子的几率密度===[ exp()+ exp()][ exp()+ exp()]因为和是实数，利用欧拉公式：原式=9.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为=求证本征函数的正交性：dx=0(m)证：===[]=0()10．原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的，按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（n=2）跃迁到基态（n=1）时，释放的能量是多少MeV?核的线度按a=1.0m计算。
量子力学作业参考答案(刘觉平)
习题一1. 计算下列情况的Einstein-de Broglie 波长，指出哪种过程要用量子力学处理：（1）能量为0.025eV 的慢中子24n 1.6710g m -=⨯（）被铀吸收；（2）能量为5MeV 的α粒子穿过原子246.6410g m α-=⨯（）；（3）飞行速度为100m /s 质量40g 为的子弹的运动。
解：（1）由242220m c p c E +=注意到：22481851.6710310 1.503109.3810n m c g m s J Mev ---=⨯⨯⨯⋅=⨯=⨯>>0.025ev 所以202k p E m =利用Einstein-de Broglie 关系: hp λ=得: 0.181nm λ=而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181nm 小，因此要用量子力学处理。
（2）由242220m c p c E +=注意到：2855.97610 3.7310m c J Mev α-=⨯=⨯>> 6.4fm λ= 得h εν=利用Einstein-de Broglie 关系hp λ=得： 6.4fm λ=这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。
（3）显然子弹不是相对论的，故可利用p mv =。
代入Einstein-de Broglie 关系hp λ=得：341.6510m λ-=⨯，这比子弹的运动尺度小的多，不需用量子力学处理。
2. 两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对.如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？解：若会发生这种转化，由能量守恒的限制，两个光子的能量必须要大于正负电子对的静能即202 1.022e E m c Mev ==。
光子能量h εν=，得到min 2.42fm λ=。
3. 考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕。
利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置。
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学_参考答案
∫ x cos axdx = a
2
cos ax +
x sin ax a
(7 x cos axdx =
∫
2x x2 2 cos ax + ( − ) sin ax ) a a3 a2 x c ax 2 + c + ln( a x + ax 2 + c ) 2 2 a
(a > 0)
(8)
∫
ax 2 + c dx = x c −a ax 2 + c + arcsin( x) 2 c 2 −a
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
ψ ( x) x = − a / 2 = 0 ψ ( x) x = + a / 2 = 0
将通解代入有
− A sin
ka ka + B cos = 0 2 2 ka ka A sin + B cos = 0 2 2
由此可得
ka =0 2 ka B cos = 0 2 A sin
n = 1,3,5,L n = 2,4,6,L
mπ ⎧ ⎪ B cos b x, Ym ( y ) = ⎨ mπ ⎪ B′ sin x, b ⎩ lπ ⎧ ⎪ C cos c x, Z l ( x) = ⎨ lπ ⎪C ′ sin x, c ⎩
由波函数的连续性可知在边界上
X (− a / 2) = X (a / 2) = 0 Y (−b / 2) = Y (b / 2) = 0 Z (−c / 2) = Z (c / 2) = 0
由方程和边界条件可得
nπ ⎧ ⎪ A cos a x, X n ( x) = ⎨ nπ ⎪ A′ sin x, a ⎩
7
量子力学练习答案
《量子力学》试题(A) 答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分） 1．何谓势垒贯穿？是举例说明。
答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。
它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。
例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。
2．波函数()t r ,ψ是应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
()2,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。
3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。
若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。
将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。
线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。
5．坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。
答：对易关系为[] i ˆ,=x px ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值nλ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=-及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ ，得z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。
量子力学练习题答案
一、 简答题 1． 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。 答：光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有： （1）对入射光存在截止频率ν0 ，小于该频率的入射光没有光电子逸出；（2） 逸出的光电子的能量只与入射光的频率ν 有关，入射光的强度无关；（3） 截止频率只与材料有关而与光强无关；（4）入射光的强度只影响逸出的光 电子的数量；（5）无论多弱的光，只要其频率大于截止频率，一照射到金 属表面，就有光电子逸出。 2． 简述 Planck 的光量子假设。 答：Planck 的光量子假设为，对于一定的频率为ν 的辐射，物体吸收或发 射的能量只能以 hν 为单位来进行。 3． 写出 Einstein 光电方程，并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释。 答：Einstein 光电方程为 hν = 1 mv2 + W 。
⎤ ⎥ ⎦
16． 简述粒子动量与位置的不确定关系。
答：若要想精确地知道粒子的动量值，就无法得知粒子的具体位置；要想
精确地知道粒子的位置，就无法得知粒子的具体动量值，位置分布的均方
差和动量分布的均方差受到下面关系的制约
Δx ⋅ Δp ≥ = 2
17． 简述量子力学的态叠加原理。
答：量子力学的态叠加原理是指如果ψ1 、ψ 2 、ψ 3 ……均是体系的可能状态，
ψ ( x, t) = eip0x / = ⋅ e−iEt / = = e−i(Et− p0x)/ =
14． 写出动量算符、动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的
表达式。 答：动量算符 lpK = −i=∇
动能算符 Tl = 1 (−i=∇)2
2m
角动量各分量的算符
L x
=
−i=
⎛ ⎜
量子力学试题含答案
量子力学试题含答案1. 选择题a) 以下哪个说法正确？A. 量子力学只适用于微观领域B. 量子力学只适用于宏观领域C. 量子力学适用于微观和宏观领域D. 量子力学不适用于任何领域答案：A. 量子力学只适用于微观领域b) 以下哪个量不是量子力学的基本量？A. 质量B. 电荷C. 动量D. 能量答案：D. 能量c) 下面哪个原理是量子力学的基础？A. 相对论B. Newton力学定律C. 不确定性原理D. 统计力学答案：C. 不确定性原理2. 填空题a) 波粒二象性指的是在特定条件下，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种相互转化的现象称为________。
答案：波粒二象性的相互转化b) ____________________是描述微观粒子运动的方程。
答案：薛定谔方程c) Ψ(x, t)代表粒子的波函数，那么|Ψ(x, t)|^2表示__________________。
答案：粒子在坐标x处被测量到的概率密度3. 简答题a) 请简要说明波粒二象性的原理和实验观察。
答案：波粒二象性原理指出，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这意味着微观粒子的行为既可以用波动的方式来描述（例如干涉和衍射现象），也可以用粒子的方式来描述（例如在特定的位置进行观测）。
实验观察可以通过使用干涉仪和双缝实验等经典实验来验证波动性质。
当光或电子通过干涉仪或双缝实验时，会出现干涉和衍射现象，这表明了粒子具有波动性。
同时，通过探测器对光或电子的位置进行测量，可以观察到粒子的粒子性。
b) 请解释量子力学中的不确定性原理及其意义。
答案：不确定性原理是由德国物理学家海森伯提出的，它指出在测量某个粒子的某个物理量的同时，不可避免地会对另一个物理量的测量结果带来不确定性。
不确定性原理的意义在于限制了我们对微观世界的认知。
它告诉我们，粒子的位置和动量无法同时被精确地确定。
这是由于测量过程中的不可避免的干扰和相互关联性导致的。
量子力学作业答案
量子力学课后习题答案2.1证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇s i n r 1e r 1e r r 0 r m r k r m r k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rm r k r m r k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr3020220*2*222 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )2(-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m ψψψ=+-在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxd m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须0)(1=x ψ 0)(2=x ψ即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
量子力学作业答案：第三四七章
求
† P 1 P 1 1
c1
2
i
c1
i 2 1 2 c1 1 1 2 1 2 1
c 4 2 2 1
2 2 1
42 2
1 1 2 i
P 1
i 1 4 2 2 1 2 42 2
，由上题可知厄米算符的平均值必为实 数，所以厄米算符的本征值也为实数。 4、 证明：厄米算符属于不同本征值的本征态彼此正交。 证明：
量子力学初步作业(含答案解析)
量子力学初步1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψ须满足的条件是_______________________________；其归一化条件是_______________________________.2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变)3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为()()30x x x a a πψ=<<粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________.4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ∆= _________N·s.(普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)5. 波长λ= 5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ∆= 10-3 Å，则利用不确定关系式x p x h ∆∆≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________.6. 粒子做一维运动，其波函数为()000xAxe x x x λψ-≥=≤式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________.7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现.8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________.9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而从量子力学得出，谐振子的能量只能为___________.10. 频率为ν的一维线性谐振子的量子力学解，其能量由下式给出：______________________，其中最低的量子态能量为__________，称为“零点能”.11. 根据量子力学，粒子能透入势能大于其总能量的势垒，当势垒加宽时，贯穿系数__________；当势垒变高时，贯穿系数________. (填入：变大、变小或不变)12. 写出以下算符表达式：ˆx p=__________；ˆH =__________；ˆyL =__________. 13. ˆx与ˆx p 的对易关系[]ˆˆ,x x p 等于__________. 14. 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数()()sin 1,2,3,n n xx A n a πψ==的归一化形式. 式中a 为势阱宽度.15. 利用不确定关系式x x p h ∆∆≥，估算在直径为d = 10-14 m 的核的质子最小动能的数量级.（质子的质量m =1.67×10-27 kg ， 普朗克常量h =6.63×10-34 J·s ）16. 已知粒子处于宽度为a 的一维无限深方势阱中运动的波函数为(),1,2,3,n n x x n a πψ==试计算n =1时，在x 1=a /4 → x 2=3a /4 区间找到粒子的概率.17. 一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两段固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。
量子力学习题及答案
量子力学习题及答案1. 简答题a) 什么是量子力学？量子力学是一门研究微观领域中原子和基本粒子行为的物理学理论。
它描述了微观粒子的特性和相互作用，以及它们在粒子与波的二重性中所呈现出的行为。
b) 什么是波函数？波函数是描述量子体系的数学函数。
它包含了关于粒子的位置、动量、能量等信息。
波函数通常用符号ψ表示，并且可用于计算概率分布。
c) 什么是量子态？量子态是描述量子系统的状态。
它包含了有关系统性质的完整信息，并且根据量子力学规则演化。
量子系统可以处于多个量子态的叠加态。
d) 什么是量子叠加态？量子叠加态是指量子系统处于多个不同态的线性叠加。
例如，一个量子比特可以处于0态和1态的叠加态。
2. 选择题a) 下列哪个物理量在量子力学中具有不确定性？1.速度2.质量3.位置4.电荷答案：3. 位置b) 关于波函数的哪个说法是正确的？1.波函数只能描述单个粒子的行为2.波函数可以表示粒子的位置和动量的确定值3.波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布4.波函数只适用于经典力学体系答案：3. 波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布c) 下列哪个原理是量子力学的基本假设？1.宏观世界的实在性2.新托尼克力学3.不确定性原理4.不可分割性原理答案：4. 不可分割性原理3. 计算题a) 计算氢原子的基态能级氢原子的基态能级可以通过解氢原子的薛定谔方程得到。
基态能级对应的主量子数为n=1。
基态能级的能量公式为： E = -13.6 eV / n^2代入n=1，可以计算得到氢原子的基态能级为：-13.6 eVb) 简述量子力学中的双缝干涉实验双缝干涉实验是一种经典的量子力学实验，用于研究光和物质粒子的波粒二象性。
实验装置包括一道光源、两个狭缝和一个光屏。
当光的波长足够小，两个狭缝足够细时，光通过狭缝后会形成一系列的波纹，这些波纹会在光屏上出现干涉条纹。
实验结果显示，光在光屏上呈现出干涉现象，表现为明暗相间的条纹。
这种实验结果说明了光具有波动性，同时也具有粒子性。
《量子力学》作业参考答案
《量子力学》作业参考答案一 填空1． 爱因斯坦，h ν或ω ，k n h P==λ2． Ψ=A ()Et r P i e-⋅,Eh Ph μλ2==3. 归一化条件(⎰=∙1τψψd )，相因子(δi e ).4. i ψψH t ˆ=∂∂ ,()()Et i e r t r -=ψψ,. ()()∑-=ψntE in n n e r C t r ψ, 5． 6, () 2,1,0±±=z L .6． ()()()P P d r r P P '-=⎰∞*'δτψψ， 112222223==⎰⎰⎰⎰---*l l l l l l P P dz dy dx L d τψψ．7．实物粒子也应该具有波动性．电子衍射8．E=h ν=ω ,k n h P==λ9．波函数在空间各点的相对强度，强度的绝对大小。
10. i ψψH t ˆ=∂∂ , ψψE H =ˆ或()ψψψμE r V =+∇-222 . 11． ()221 +=l l L , m L z =.12．()()dr r r R dr r W nl nl 22=，()()Ω=Ωd Y d W lm lm 2,,ϕθϕθ13．C=()2321π, C=23-L14．()()dx x u x i x Fx u F q q q q ⎰'*'⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ,ˆ, ()x x x i x F F x x '-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='δ ,ˆ. 15．()()ti nmn n m mn e H t a dt t da i ω∑'= , ()⎰''='t t i mk m t d e H i t a mk 01ω , 16．mk ωω±=或ω ±=k m E E , ()ωωδπ±=-mk mk m k F w 222, 或()ωδπ±-=-k m mk m k E E F w 22 17．原子光谱线系的精细结构,塞曼效应, 斯特思-盖拉赫实验. 18． FS S 1-， n λλλ+++ 21，19． mk A ， ()mk mk B I ω，20． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01ψ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20ψ，21． ；j j ，j ，jj j j 2121211--++= 21m m m +=；22．由全同粒子构成的体系中，任意两粒子的交换，不引起体系状态的改变；全同粒子体系的波函数，具有确定的交换对称性，且这种交换对称性不随时间改变。
量子力学第四周作业参考答案
a /2
2 a 8 5
电子处于第二激发态的概率为
C3
2
64 25 2
第四周作业
2. 如图所示，E>V0的粒 子流从x=-∞向右运动，求反 射系数和透射系数。 解：由题意,设
k1 2mE
2
,
k2
2m E V0
2
则反射和透射系数为
则可得x<0和x>0的波函数分别为
a 2
0
a 2
x
a
0
a
x
将基态1 ( x)用 'n ( x)展开
1 ( x) Cn 'n ( x),
1 ( x)dx 0 则 C2 a /2 '* 2 ( x)
a /2
n
阱宽为2a的本征函数
1 n 'n ( x) sin x a , a 2a
电子处于第一激发态的概率为
C2 0
2
则
C3
a /2 a /2 a /2
'* 1 ( x)dx 3 ( x)
1 a 3 2 sin x a sin x dx a 2 2a a a 3 x x cos dx a /2 cos 2a a
1 ( x) Ae 1
' 1
ik1x
Ae
' ik1x 1
, 2 x A2e
ik2 x
R
A
' 2 1 2
A1
1
2 2
k1 k2
4k1k2
2
4k1k2
[0131]《量子力学基础》在线作业及参考答案
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[0131]《量子力学基础》
[判断题]
自由粒子的能级是简并的。
参考答案：正确
[判断题]塞曼效应与电子的自旋有关。
参考答案：正确
[判断题]力学量的平均值一定是实数。
参考答案：正确
[判断题]量子力学中的算符都是幺正算符。
参考答案：错误
[判断题]量子的概念是由爱因斯坦提出的。
参考答案：错误
[判断题]波函数归一化后就完全确定了。
参考答案：错误
[判断题]自旋角动量算符与轨道角动量算符的引入方式不同，因而不能满足同一个对易关系。
参考答案：错误
[判断题]量子力学仅讨论在经典物理中存在的力学量。
参考答案：错误
[判断题]任意态的几率流密度都与时间无关。
参考答案：错误
[判断题]量子力学的建立始于人们对光的波粒二象性的认识。
参考答案：正确
[判断题]泡利首次提出电子具有自旋的假设。
参考答案：错误
[判断题]无论是属于相同本征值还是不同本征值的本征函数都必定相互正交。
参考答案：错误
[判断题]
量子力学是18 世纪20 年代诞生的科学。
参考答案：错误
[判断题]量子力学中用算符表示微观粒子的力学量。
参考答案：错误
第五批
[填空题]填空题
参考答案：1268740100038.doc。
量子力学作业答案
√
2.波函数和薛定谔方程(1/4)
2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关 证明： (1)定态波函数
(2)概率流密度
概率流密度是坐标的函数，不显含时间，因此与时间无关
√
2.波函数和薛定谔方程(2/4)
2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度： 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内 (即向原点)传播的球面波 解： (1)用到的公式
3.11 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 解： (1) 坐标的期望值 (2) 坐标平方的期望值
(3) 测不准关系
分析： 由箱归一化得到未知常数，然后具体分析中令箱长 趋于无限大；对称一维波函数的坐标期望值为零， 坐标平方的期望值不为零；自由粒子的测不准关系 为无限大
√
(2) 平均动量
(3) 平均动能
由箱归一化得到未知常数，然后具体分析中令箱长 分析： 趋于无限大；对称一维波函数的平均动量为零，平 均动能不为零
√
3.量子力学中的力学量(5/6)
3.6 的另一解法，利用 (1) 求 y(x) 的复数形式 解：
(2) 求 (3) 求 (4) 求
√
3.量子力学中的力学量(6/6)
(4) 动能的期望值 (5) 动量的概率分布函数 最可几的半径对应势能的期望值 分析： 基态能级 = 动能的期望值 + 势能期望值 最可几的半径不等于半径的期望值 最可几的动量不对应动能的期望值
√
3.量子力学中的力学量(4/6)
3.6 设 时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能 (1) 确定未知常数 A 解：
√
3.量子力学中的力学量(1/6)
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第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124109--⋅⨯=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为⎰=nh pdq其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有22212kx p E +=μ这样，便有)21(22kx E p -±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。
此外，根据221kx E =可解出 kEx 2±=± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。
这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有⎰⎰-++-=--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )21(2)()21(222μμ⇒nh dx kx E dx kx E x x x x =-+-⎰⎰+--+)21(2)21(222μμ⇒hn dx kx E x x 2)21(22=-⎰+-μ为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；θsin 2kEx =这样，便有h n k E d E 2sin 2cos 2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-θθμππ⇒⎰-=⋅222cos 2cos 2ππθθθμh nd k E E⇒h nd kE 2cos 2222=⋅⎰=ππθθμ这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分⎰-⋅=222sin 2ππθθμd kE B这样，便有⎰⎰--⋅=-⋅=⋅=+22222cos 2,22ππππθθμμπθμd kE B A kE d kE B A （1）⎰⎰--==2222,cos )2(2cos ππππϕϕϖθθμd kEd kE这里ϕ =2θ，这样，就有0sin ==-⎰-ππϕμd kEB A （2）根据式（1）和（2），便有kE A μπ=这样，便有h n kE 2=μπ⇒ kh n E μπ2=,k nhμ=其中π2h h =最后，对此解作一点讨论。
首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 B q Rυυμ=2⇒ qBR p ==μυ 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为⎰=πθ20)(nh R qBRd⇒ nh qBR =⋅π22 ⇒ nh qBR =2又因为动能耐μ22p E =，所以，有μμ22)(2222R B q qBR E ==,22B nBN q nB qBn =⋅==μμ其中，μ2q M B =是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 B BM E =∆具体到本题，有J J E 232410910910--⨯=⨯⨯=∆根据动能与温度的关系式kT E 23=以及J eV K k 223106.1101--⨯==⋅可知，当温度T=4K 时，J J E 2222106.9106.145.1--⨯=⨯⨯⨯=当温度T=100K 时，J J E 2022104.2106.11005.1--⨯=⨯⨯⨯=显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e r e r -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dxd m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-> ③由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψ令222mEk =，得 0)()(22222=+x k dxx d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤)()(32a a ψψ=⑥⑤ 0=⇒B ⑥ 0sin =⇒ka A),3 ,2 ,1( 0sin 0 ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2= 由归一化条件 1)(2=⎰∞dx x ψ得 1sin 022=⎰axdx an Aπ由mn abaxdx a n x a m δππ⎰=*2sin sinx an a x aA πψsin 2)(22=∴=⇒222mE k =),3,2,1( 22222 ==⇒n n maE n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=-a x a x a x xe an a t x tE in n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA 1='证：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （2.6-14）由归一化，得aA a x a n n a A a A dx a x an A x A dx a x an A dx a x an A dx aa aaaa a a aan 222222222)(sin 2)(cos22)](cos 1[21)(sin 1'=+⋅'-'=+'-'=+-'=+'==-----∞⎰⎰⎰⎰πππππψ∴归一化常数aA 1=' #2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：222122)(xxe x ααπαψ-⋅=222223222112 24)()(xxe x e x x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231x e x x dx x d ααπαω--=令0 )(1=dxx d ω，得 ±∞=±==x x x 10α由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。
显然不是最大几率的位置。
2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223322223212xx e x x ex x x x dx x d ααααπααααπαω----=---=而 0142 )(321212<-=±=e dx x d x παω 可见μωα±=±=1x 是所求几率最大的位置。
#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/2320⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。