高数A2习题册答案
高等数学A2 答案详解
考试科目： 高等数学A2 考试班级： 理工类2015级班级 考试方式： 闭 卷命题人签字： 命题组 教研室主任签字： 教学院长签字：考生班级： 考生姓名： 考生学号：一、单项选择题（每小题2分，共28分）。
1.D2.A3.D4.C5.A6.D7.C8.B9.B 10.D 11.A 12.C 13.C 14.B二、填空题（每小题2分，共12分）。
15．42123y x C x C x C =+++ 16. 2 17. 3 18. 1(1,,2)4- 19.2sin 2x y xye y +- 20.23012!3!!!n n n x x x x n x n ∞==+++++∑L L 三、解答题（每小题5分，共15分）。
21. 解：分离变量sin sincos cos x ydx dy x y =------------------------------- 1分 两端积分ln cos ln cos ln x y C =+--------------------------- 2分可得通解 cos cos y C x =-------------------------------- 3分由初始值确定常数得2C =----------------------------- 4分于是问题的特解为：cos cos 2y x =cos y x =------ 5分22、解：特征方程为2340r r --=，---------------- 1分即(1)(4)0r r +-= 特征根为 121,4r r =-=，------------------ 2分通解为 412xx y C e C e -=+，----------------------------------- 3分可得 4124xxy C e C e -'=-+ 由初始值得 121,1C C ==-，---- 4分故问题的特解为：4x x y e e -=-.--------------------------------5分23、取()()2,5,2,1,3,8AB AC =---=--u u u r u u u r -------------1分 所求平面法向量为252138i j kn AB AC =⨯=-----rr r u u u r u u u r r ----------------- 2分()34,18,11=-------------- 3分代入A B C (,,),(,,),(,,)135123203---其中任意一点，得到点法式方程------- 4分整理可得所求平面的一般式方程为：------------- 5分四、计算题（每小题5分，共15分）。
高数A2试题参考答案
高数A2试题参考答案一、填空题：1. 2222xdx ydy x y ++ ；2. 110(,)dy f x y dx ⎰；； 4. (3,3)- 5. 22x Ce -+二、选择题：1).D 2).A 3) C . 4).C 5).B 三、计算题：（共21分）1、略解：123uyf f f x∂'''=++∂ 221112132232332222uy f yf yf f f f x∂''''''''''''=+++++∂ 2、略解：D⎰⎰ 220sin d d πππθρρρ=⎰⎰=26π-3、略解：补上曲面1∑：0,z =(,)x y ∈22:x y R +≤xy D ，取上则 有高斯公式得333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ =11333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑∑++-++⎰⎰⎰⎰=-32222222()03sin Rx y z dv d d d ππθϕρρϕρΩ++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 565R π=-4、略解：补上OA:0,y x =从0到4。
设L 与OA 所围成的区域为D ， 则2222(2)(2)(2)(2)LL OAy xy dx x x y dy y xy dx x x y dy +++++=++++⎰⎰-22(2)(2)OAy xy dx xx y dy ++++⎰=4[22(21)]0Dx x dxdy dx +-+-⎰⎰⎰2Ddxdy π==⎰⎰5、略解：方程20y y y '''--=的特征方程为2r -r-2=0，其根为121,2r r =-=， 故微分方程20y y y '''--=的通解为212x x y C e C e -=+1λ=不是特征方程的根，故设x y ae *=，代入原方程可得1a =- 22x y y y e '''--=的一个特解为x y e =-6、略解：从点A （1，1）到点B （2，2）的方向的方向余弦为cos 22sin αα==在点A （1，1）处4,2,z zx y∂∂==∂∂cos sin z z zl x xαα∂∂∂=+=∂∂∂ (1,1)|42grandz i j =+7、略解：(1)lim1(1)n n n n n ρ→∞-==+ ，∴级数的收敛半径11R ρ==。
深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案
AC1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 MC AM = MD BM ==+=+=∴AD 与BC 平行且相等，结论得证．3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M的单位向量． 解： k j 2i 21+--=M M2)21()02()34(222=-+-+-=方向余弦：21cos -=α，22cos -=β，21cos =γ． 方向角：32πα=，43πβ=，3πγ=． 平行于向量21M M 的单位向量是k 21j 22i 21±． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量． 解：因为p n 3m 4a -+=k15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++=所以在x 轴上的投影为13a =x ． 在y 轴上的分向量为j 7．1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M垂直的单位向量．解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ，设所求向量为),,(c b a b =，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a因为32M M b ⊥，所以 022=+-c b ， 因为1||=b ，所以1222=++c b a求得173±=a ，172=b ，172=c故所求单位向量为)172,172,173(±=be方法二：所求向量)4,4,6(2201422221--±=--±=⨯±=kj iM M M M b故)172,172,173(161636)4,4,6(||±=++--±==b b e b2．设{}=3,5,-2a ，{}=2,1,4b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直．解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλk )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++=因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=⇒=+-．3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ；(2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？解：(方法一) 设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b = ，由题意已知1222=++z y x a a a ，4222=++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a}2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++=(1) 已知n m⊥，所以0))(2())(2())(2(=++++++++z z z z y y y y x x x x b ka b a b ka b a b ka b a求得 2-=k ．(2) 根据题意，||6n m⨯=，得1-=k ，或5=k ．(方法二) (1) n m ⊥ ，0 =⋅∴n m ⇒0)()2(=+⋅+b a k b a ⇒0||||222=+b a k⇒042=+k ⇒2-=k .(2) 6 =S ，6|| =⨯∴n m ⇒6|)()2(|=+⨯+b a k b a⇒6|)()(2|=⨯-⨯b a k b a ⇒6|||2|=⨯⋅-b a k⇒6|||||2|=⋅⋅-b a k ⇒3|2|=-k ⇒51=-=k k 或.§7—31．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为),,(z y x ，根据题意，有222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x等式两边平方，然后化简得 0631044=-++z y x ． 2．求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为),,(z y x ，根据已知条件，得222222)20()30()10()2()3()1(++-+-=++-+-z y x整理得 0462222=+--++z y x z y x ． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) 22244x y z ++=； 解：椭球抛物面 (2) 22240x y z +-=； 解：圆锥面(3) 22349z x y =+．解：旋转抛物面§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：(1) 12x y =⎧⎨=⎩；解：(2) 0z x y ⎧⎪=⎨-=⎪⎩解：(3) 222222x y a x z a⎧+=⎨+=⎩．解：2．方程组221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？ 解：在平面解析几何中，表示椭圆22149x y +=与直线3y =(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面22149x y +=与其切平面3y =的交线(直线).3．求由上半球面z =220x y ax +-=及平面0z =所围成的立体，在xOy 面和xOz 面上的投影．解：想象该立体的形状，知向xoy 面上的投影柱面的方程为ax y x =+22，即为圆柱面222)2()2(ay a x =+-，故该立体在xoy 面上的投影为圆面： ⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-0)2()2(222z a y a x ．消去y ：222y x a z --=，在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==+0222y az x柱面022=-+ax y x 在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==-002y ax x故在xoz 面上的投影是⎩⎨⎧=≥≥≤+0,0 ,222y x z a z x .§7—51．求通过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程． 解：设所求平面方程为0573=++-D z y x ，因为过点)1,0,3(-，所以0)1(*50*73*3=+-+-D ，得4-=D ，故所求平面方程为04573=-+-z y x2．求过点0(2,9,6)M -且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程． 解：由条件 }6,9,2{0-=OM 与平面垂直，所以}6,9,2{-=n，所求平面方程为0)6(6)9(9)2(2=+--+-z y x ， 即0121692=--+z y x ．3．求平面2250x y z -++=与各坐标面的夹角余弦． 解：与xoy 平面的夹角余弦为319|1*10*)2(0*2|cos 1=+-+=θ 与xoz 平面的夹角余弦为329|0*11*)2(0*2|cos 2=+-+=θ与yoz 平面的夹角余弦为329|0*10*)2(1*2|cos 3=+-+=θ§7—61．求过点(4,1,3)-且平行于直线3125x z y --==的直线方程． 解：设所求直线为l ，直线5123-==-z y x 的方向向量为)5,1,2(，则直线l 的方向向量为)5,,2(t t t ， 故所求直线方程为53124-=+=-z y x ． 2．求过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程．解：所有直线L 过点1M ，2M 两点，则L M M //21，故可取21M M s =，即}1,2,4{}12,20,31{21-=-+--==M M s所以所求直线方程为：121202313--=++=---z y x ，即112243-=+=--z y x ．3．求点(1,2,0)-在平面210x y z +-+=上的投影．解：过点)0,2,1(-且垂直于平面的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y tx 0221，代入平面方程中，01)()22(2)1(=+--+++-t t t ，得32-=t ，代入直线的参数方程，得35-=x ，32=y ，32=z ，即投影点为)32,32,35(-．第八章 多元函数微分法及其应用§8-11.求函数22(,,)arcsin x y f x y z z+=的定义域.解：要使函数有意义，须0z ≠，且221.x y z+≤ 即, 22,0x y z z +≤≠ 或 22,0.z x y z ≤-≠－ 2．求极限：2001cos()lim.()x y x y x y →→-++ 解：(方法一) 22200002sin 1cos()112lim lim .()422x x y y x yx y x y x y →→→→+-+==++⎛⎫ ⎪⎝⎭(方法二) 2121lim cos 1lim 22020==-=→→=+t t tt t t ty x 原式. §8-21．设2,y z u x +=求一阶偏导数. 解：22221();ln ;2ln .y z y z y z u u uy z x x x zx x x y z+-++∂∂∂=+==∂∂∂ 2．设2ln(sin )z x y =+，求偏导数,z z x y ∂∂∂∂及2.z x y∂∂∂解：2222222cos 22cos ;;.sin sin sin (sin )z x z y z x x yx x y y x y x y y x y x y ⎛⎫∂∂∂∂====- ⎪∂+∂+∂∂∂++⎝⎭ §8-3设xz u y =，求du . 解：1ln ;;ln .xz xz xz u u uzy y xzy xy y x y z-∂∂∂===∂∂∂1ln ln .xz xz xz u u udu dx dy dz zy ydx xzy dy xy ydz x y z-∂∂∂∴=++=++∂∂∂ §8-41． 设(,)x z f x y =，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解：令,.xu x v y==则''''12121;z du v f f f f x dx x y ∂∂=⋅+⋅=+∂∂''222;z v xf f y y y∂∂=⋅=-∂∂ ''2''''''''121221222222231111.f f z z x x f f f f f f x y y x y y y y y y y y y⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫==+=-+=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2. 设22x y z e +=，其中cos y x =，求dzdx. 解：令22,.u x v y ==则222222222-2s i n x y x y x y x y d z u v d y e e x e y ex d x xy d x++++∂∂=⋅+⋅⋅=∂∂22cos (2-sin2).x xex x +=§8-51．设ln x zz y=，求22,z z x x ∂∂∂∂.解：设(,,)ln .xz F x y z z y =-则211,,.x y z x zF F F z y z+===-由隐函数存在定理，得22223;()1.()()x z F z zx F x zz z x z z z z z z x x x x x x x z x z x z ∂=-=∂+∂∂⎛⎫+-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭2．设(,)F u v 可微，0F F ab u v∂∂+≠∂∂，证明由22(,)0F x az y bz --=所确定的函数(,)z z x y =满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. (方法一) 证明：设22,.u x az v y bz =-=-则2;2;.x u y v z u v F xF F yF F aF bF ===-- 由于0F F ab u v∂∂+≠∂∂，于是，由隐函数存在定理，得 22;.y x u v z u v z u vF F xF yF z zx F aF bF y F aF bF ∂∂=-==-=∂+∂+从而，222.u vu vxy aF xy bF z z aybx xy x y aF bF ⋅+⋅∂∂+==∂∂+ 证毕.（方法二） 证明：方程22(,)0F x az y bz --=两边分别对x ,y 求导：（注意),(y x z z =）对x 求导：0)()2(21=∂∂-+∂∂-x z b F x z a x F ⇒2112bF aF xF x z+=∂∂ 对y 求导：0)2()(21=∂∂-+∂∂-y zb y F y z a F ⇒2122bF aF yF y z +=∂∂ 从而满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. §8-61．求曲线2244x y z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线方程，并问该切线与x 轴的正向所成的角度是多少？解：(方法一) 设22(,,),(,,) 4.4x y F x y z z G x y z y -=-=- 于是，曲线在点(2,4,5)处的切向量为z y x z x y 000000y x x y F F F - -1 1 -,,,,(1,0,1).2222 G G G 1 00 00 1y x z y z x F F F t G G G ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩另外，x 轴上的单位向量为(1,0,0)i =.由两向量夹角余弦公式得：cos i t i t θ⋅===⋅ .∴切线与x轴的正向所成的角度是.4πθ== (方法二) 设切向量)5,4,2(},,1{x z x y t ∂∂∂∂=⇒}1,0,1{}2,0,1{)5,4,2(==xt 所以切线方程为 ：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩ 另外设该切线与x 轴正向所成角为α，则αtan =∂∂x z ⇒2tan x=α代入点)5,4,2(1tan =⇒α，所以4πα=.2．证明曲面3xyz a =的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.证明：设3(,,).F x y z xyz a =- 则;;.x y z F yz F xz F xy ===于是，曲面3xyz a =在它上面任意一点000(,,)x y z 处的切平面方程为：000000000()()()0.y z x x x z y y x y z z -+-+-= 即 000000003.xy z yx z zx y x y z ++= 易知，该切平面在,,x y z 轴上的截距分别为：0003,3,3.x y z则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为 30000001199333.3222V x y z x y z a =⋅⋅⋅⋅== 证毕.§8-71. 求22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数的最大值. 解：由已知，有2;22;2.x y z f x f y z f y =-=+=(1,2,1)(1,2,1)(2,22,2)(2,6,4).gradf x y z y ∴=-+=-而，22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数在沿(,,)f x y z 在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模.∴最大值为(1,2,1)gradf ==2.求222ln()u x y z =++在点(1,2,1)-处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解：向量(9,4,14)(5,1,2)(4,3,12)-=的方向即是l 的方向.于是，与l 同向的单位向量4312(,,).131313l e =222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)21;322 ;321 .31423112231331331339u xx x y z u yy x y z u zz x y z u l -------∂==∂++∂==∂++∂==-∂++∂∴=⋅+⋅-⋅=-⋅∂§8-81．将正数a 分成三个正数,,x y z 之和，使得2u xyz =最大. 解：即是求2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的最大值.构造拉格朗日函数：2(,,,)().L x y z xyz x y z a λλ=+++-求解方程组220020x y z L yz L xz L xyz x y z a λλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩得：,,.442a a a x y z ===这是2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的唯一可能极值点，而2u xyz =的最大值一定存在.故，,,442a a a x y z ===就是满足条件的a 的分解，此时，4.64a u =2．求函数ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值.解：构造拉格朗日函数2222(,,,)ln ln 3ln (5).L x y z x y z x y z r λλ=+++++-求解下列方程组22221201203205x yz L x x L y y L z z x y z rλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪++=⎩得：,,.x r y r z r ==这是唯一可能的极值点，而最大值一定存在.故，ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值在,,x r y r z ===时取得，最大值为5ln .第九章 重积分§9－11．估计积分的22()DI x y dxdy =+⎰⎰值，其中22: 1.D x y +≤解：在区域D 上，有220 1.x y ≤+≤区域D 的面积21.S ππ=⋅= 由估值定理得：001.I πππ=⋅≤≤⋅= 2．比较积分2()Dx y dxdy -⎰⎰与3()Dx y dxdy -⎰⎰的大小，其中D 由0,x =0,1y x y ==+所围.解：区域D 可以表示为：01,10.x x y ≤≤-≤≤则在区域D 上有： 1.x y -≤从而，32()()x y x y -≤-在D 上成立.32 ()().DDx y dxdy x y dxdy ∴-≤-⎰⎰⎰⎰3．2224,:,0,0,Ddxdy D x y R x y π=+≤≥≥⎰⎰则________.R =解：区域D 是半径为R ，圆心在原点的四分之一圆域.由已知，D 的面积为：4.Ddxdy π=⎰⎰4.∴=§9－2 1．110sin _________.yxdy dx x=⎰⎰ 解：积分区域{}(,)01,1.D x y y y x =≤≤≤≤把D 视作X-型区域，则{}(,)01,0.D x y x y x =≤≤≤≤于是，[]1111100000sin sin sin cos 1cos1.x yx x x dy dx dx dy xdx x x x x==⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2．{}22,(,)1,0,0,_____.DI xdxdy D x y x y x y I ==+≤≥≥=⎰⎰则1111(); (); (); ()A dx xdy B dx C dx D ⎰⎰⎰⎰解：将D 视为X-型区域：{(,)01,0.D x y x y =≤≤≤≤100. ().I dx C ∴=⎰故，选3．cos 20(cos ,sin )______.d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰110000111() (,); () (,);() (,); () (,)A dy f x y dxB dx f x y dyC dy f x y dxD dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰⎰解：由已知，在极坐标系中，积分区域D:0,0cos .2r πθθ≤≤≤≤则在直角坐标系中，积分区域D：01,0x y ≤≤≤≤1(,).().dx f x y dy B ⎰于是，原式＝故，选4．求D⎰⎰，D 由,1,1y x x y ==-=所围. 解：积分区域D 可视作X-型区域：11, 1.x x y -≤≤≤≤()13111222111311212311(1).32x Dx dx x y dxx dx ---⎡⎤∴==-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算{}22,(,)0,2.DI D x y y x x y x ==≤≤+≤解：在极坐标系中，积分区域D 可以表示为：0,02cos .4πθρθ≤≤≤≤那么，2cos 232444000088cos (1sin )sin 339I d d d d πππθθρρθθθθ===-=⎰⎰⎰⎰ §9－31．计算xyzdV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解：令sin cos ,sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ===则Ω可以表示为：0,0,0 1.22r ππθϕ≤≤≤≤≤≤于是，有122201352200sin cos sin sin cos sin 1111 =sin cos sin cos .24648xyzdV d d r r r r dr d d r dr ππππθϕϕθϕθϕϕθθθϕϕϕΩ=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．zdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由221()22z x y z =+=与所围.解：将Ω投影在z 轴上得投影区间[0,2].取[0,2]z ∀∈，过(0,0,)z 作平行 于xoy 面的平面，该平面与Ω的交面记为,z D 则{}22(,,)2.z D x y z x y z =+≤ 于是，220016()2.3z D zdxdydz zdxdy dz z zdz ππΩ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．xdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由z z ==所围的第一卦限部分.解：令cos ,sin .x r y r θθ==将Ω投影在xoy 面上得投影区域：(,)0,0.22xy D r r πθθ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭过(,)xy r D θ∀∈作平行于z 轴的直线，该直线从)z r =即z＝进入Ω内，由z z ==即从Ω穿出. 则Ω可以表示为：0,022r r z πθ≤≤≤≤≤≤ 于是，有22200sin 22400cos cos )111 =sin cos .16163216rr xdxdydz d rdz d r drd πππϕθθθθπϕϕϕΩ==⋅=⋅--=-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰令第十章 曲线积分与曲面积分§10－11．设L为下半圆周y =22()________.L x y ds +=⎰ 解：(方法一)L的参数方程为：cos ,2.sin x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩则.ds d θθ==于是，222().L x y ds d ππθπ+==⎰⎰ (方法二) ππ=⋅⋅==+⎰⎰≤=+12211)()0(1:2222ds dsy x Ly y x L L. 2．xyzds Γ⎰，其中Γ为2cos 2sin ,0.4x ty t t z t π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩解：由已知，得.ds ==于是，444044002cos 2sin sin 2cos 2 cos 2cos 22xyzds t t t t tdt td tt t tdt πππππΓ=⋅⋅=⋅=⎤=-=⎥⎦⎰⎰⎰§10－21．(2)L a y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-上对应于t 从0到2π的一段弧. 解：由已知，(sin ):,02.(1cos )x a t t L t y a t π=-⎧⎨=-⎩从变到那么，[]20222(2)(2cos )(1cos )(sin )sin sin 2.La y dx xdy a a a t a t a t t a t dt a t tdt a πππ-+=-+⋅-+-⋅==-⎰⎰⎰§10－31．设L 为1x y +=的反时针方向，则2(2)()_.y xLxy e dy y y e dx -+-+=⎰()0; ()2; ()4; ()1.A B C D解：记L 所围的区域为D ，易知D.由已知，2,2.x y P y y e Q xy e =-+=- 则，221 1.Q Py y x y∂∂-=-+=∂∂ 由格林公式，得2(2)()1 2.y xLDxy e dy y y e dx dxdy -+-+==⎰⎰⎰ 故，选(B).2．22L xdy ydxx y-+⎰，L 经上半椭圆221(0)4x y y +=≥从(2,0)(2,0)A B -→.(方法一) 解：选适当的0r >,构造上半圆周222(0)x y r y +=≥，设它与x轴的两个交点为(,0),(,0),C r D r -其方向为从D 到C.则 L BD DCCA +++构成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为Ω.由已知，22222222222222,. 0.()()y x Q P y x y x P Q x y x y x y x y x y -∂∂--==-=-=++∂∂++则，由格林公式，得 220.L DC xdy ydxQ P dxdy x y x y +++Ω⎛⎫-∂∂=--= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 则， 22222222.LBD DC CA xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y ⎛⎫---- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ＝－＋＋ 而， cos :,2:,0:,--2.0sin 0x x x r x x BD x r DC CA x r y y r y θθπθ===⎧⎧⎧→→→⎨⎨⎨===⎩⎩⎩从；从；从 于是， 2222222000; 0; .r BD CA DC xdy ydx xdy ydx xdy ydxdx d x y x y x yπθπ---=====+++⎰⎰⎰⎰⎰ 故，.π原式＝－(方法二) 解：x y Q P = ，∴该曲线积分与路径无关，选择路径上半圆4:22=+y x l .πθθθθππ-==+=+-=+-⎰⎰⎰⎰d d y x ydxxdy y x ydx xdy lL0022222214sin 4cos 4. 3．22321(1)L y x ydx dy x x ++-⎰，L 沿2241x y y +-=的反时针方向从(1,0)(2,1)A B →.解：构造辅助折线BCA ，其中点C(1,1). 则L BCA +为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为D.由已知，2232331(1)22,. 0.y x y Q P y yP Q x x x y x x ++∂∂==-=-=∂∂则－由格林公式得：22321(1)0.L BCA y x ydx dy x x +++-=⎰ 于是，22321(1)L y x y dx dy x x ++-⎰＝22321(1)BCA y x y dx dy x x++--⎰. 对于22132321(1)23:,2 1. .14BC x x y x y BC x dx dy dx y x x x =⎧++∴-==-⎨=⎩⎰⎰从变到 对于22032111(1):,10. (2) 1.x y x y CA y dx dy y dy y y x x =⎧++∴-=-=⎨=⎩⎰⎰从变到 31(1).44-+=-故，原式＝-4．设L 为222x y a +=的反时针方向，则22()()__.Lx y dx x y dyx y +--=+⎰解：取适当的0r >，构造222:l x y r +=，为顺时针方向.记L 与l 围成的区域为D. 由已知，2222(),. 0.x y x y Q PP Q x y x y x y+--∂∂==-=++∂∂则 由格林公式得：22()()0.L lx y dx x y dyx y++--=+⎰ 于是，222220()()()()(1)2.L l x y dx x y dy x y dx x y dyd x y x y πθπ+--+--=-=-=-++⎰⎰⎰方法二：π2)2()()()()(2222-=-=--+=+--+⎰⎰⎰⎰dxdy a a dy y x dx y x y x dy y x dx y x DL L . §10－4222222.0(0).dS z z H x y R H x y z ∑∑==+=>++⎰⎰其中是介于平面及之间的圆柱面 解：记右半柱面为1:y ∑==1∑在xoz 面上的投影区域为：{}(,),0.xz D x z R x R z H =-≤≤≤≤记左半柱面为2:y ∑==2∑在xoz 面上的投影区域为也是xz D .那么，1222222222222222212()122arctan .xz D RHdS dS dS x y z x y z x y z x R x z HR dz R z Rπ∑∑∑-=+=+++++++-+=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§10－51．2222,.zdxdy x y z a ∑∑++=⎰⎰为的外侧解：记上半球面为1:z ∑=取上侧.记下半球面为2:z ∑=取下侧.它们在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y a =+≤12320422.3xyD a zdxdy zdxdy zdxdy d d ππθρ∑∑∑+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝=2.(),0(0).x y dxdy z z z h h ∑-∑==>⎰⎰为圆锥面与之间的下侧解：∑在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y h =+≤22()()(cos sin )0.xyhD x y dxdy x y dxdy d d πθρθθρ∑--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝－§10－61．2(2)-2,z x dydz zdxdy ∑+⎰⎰其中∑为221()2z x y =+介于0z =与2z =之间部分的下侧.解：构造辅助平面2212(4)z x y ∑=+≤：，取上侧.则1∑+∑构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为Ω. 由已知，22, 0, 2.P z x Q R z =+==-于是，0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂ 由高斯公式，得 ：12(2)-200.z x dydz zdxdy dv ∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰于是，1122(2)-2(2)-224416.zx dydz zdxdy z x dydz zdxdy zdxdy ππ∑∑∑+=-+==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为2222(0)x y z a a ++=>的外侧.解：记∑所围成的空间区域为Ω. 由已知，333, , .P x Q y R z ===于是，2223().P Q Rx y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂ 由高斯公式，得33322252403()12 3sin .5ax dydz y dzdx z dxdy xy z dxdydzad d d πππθϕϕρρ∑Ω++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§11-1 1．判定级数∑∞=15n nn的收敛性． 解：n n n s 552512+++=, 1325525151++++=n n n s 12551515151+-+++=-n n n n n s s 1155115151++---=n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++115)5151(4545n n n n s 165lim =∞→n n s ，故该级数收敛． 2．判定级数∑∞=-1717n n n 的收敛性．解：01717lim lim ≠=-=∞→∞→n n n n n u通项不以0为极限，从而该级数发散． §11-21．判定级数∑∞=151tan3n n n 的收敛性． 解：因为 15351tan3lim=∞→nn n n n ，而级数∑∞=153n n n收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．2．判断级数∑∞=++1311n n n 的收敛性．解：33111nn n <++，而级数∑∞=131n n收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．3．判断级数)0( ,111>+∑∞=a an n的收敛性． 解：当1=a 时，级数发散．当1>a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=11n na 收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．当1<a 时，111lim=+∞→nn a ，原级数发散． 所以当1>a 时收敛，1≤a 时发散．4．判断级数∑∞=16!n n n 的收敛性．解：因为0)1(lim !)!1()1(lim lim66661=⋅+=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n ，所以根据比值审敛法知此级数收敛．5．判断级数nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1sin π的收敛性．解：因为0)(lim )(sin lim lim ≠∞===∞→∞→∞→n n n n n n n n nn n n u ππ，所以通项不以0为极限，从而级数发散．6．判断级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1312n n n n n 的收敛性．解：因为133)1(lim 3)1(limlim 2<=+=+=∞→∞→∞→e n n n n u nn nn n n n n n ，所以根据根值审敛法知此级数收敛．7．判断级数是条件收敛还是绝对收敛 (1)∑∞=--221ln 1)1(n n n ； 解：因为∑∞=22ln 1n n 发散，而∑∞=--221ln 1)1(n n n 为交错级数，其收敛，所以此级数是条件收敛．(2) ()22cos4ln n n n n π∞=∑． 解：因为22)(ln 1|)(ln 4cos|n n n n n ≤π，而级数∑∞=22)(ln 1n n n 收敛，所以此级数是绝对收敛． 8．设级数∑∑∞=∞=11,n n n n b a 都收敛，且n n n b c a ≤≤，证明级数∑∞=1n n c 也收敛．证明：因为n n n b c a ≤≤，所以0≥-≥-n n n n a c a b ．又因为∑∑∞=∞=11,n n n n b a 收敛，所以∑∞=-1)(n n n a b 收敛，根据比较审敛法知级数∑∞=-1)(n n na c收敛，从而∑∞=1n n c 也收敛．§11-31．求幂级数()∑∞=--1131n n nn nx 的收敛半径与收敛域． 解：因为31|31)1()1(31)1(|lim ||lim 111=-+-==-+∞→+∞→nn a a nn n nn nn n ρ，所以收敛半径31==ρR ． 对于端点3=x ，级数为交错级数()∑∞=--1111n n n收敛； 对于端点3-=x ，级数∑∞=-1)1(n n 发散．因此，收敛域是]3,3(-． 2．求幂级数∑∞=-+112)1(n n x n n 的和函数． 解：先收敛域．由12)1(2)2)(1(lim ||lim 1=+++==∞→+∞→n n n n a a n nn n ρ，得收敛半径11==ρR ．在端点1=x 处，幂级数成为∑∞=+12)1(n n n 发散；在端点1-=x 处，幂级数成为∑∞=-+-112)1()1(n n n n 发散．因此收敛域为)1,1(-=I ． 设和函数为)(x s ，即∑∞=-+=112)1()(n n x n n x s ，)1,1(-∈x ． 0)0(=s逐项积分，得∑∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=∞=-+=+=+=11100110212)1(2)1()(n n n n x x n n xx n dx x n n dx x n n dx x s 再逐项积分，得)1(222121101x x x dx x n n n x n n -==+∑⎰∑∞=+∞=． 则32)1(1))1(2()(x x x x s -=''-=，)1,1(-∈x ． §11-41．将()21x e +展成x 的幂级数． 解：∑∞=++=++=+022!22121)1(n nn xxxx n e e e )(+∞<<-∞x2．将函数xx f +=51)(展成()1-x 的幂级数． 解：∑∞=--=-+⋅=-+=+06)1()1(61)61(1161)1(6151n nnn x x x x )66(<<-x §11-71．将函数()ππ≤≤-=x x x f 2)(展开为傅里叶级数，并求级数∑∞=--121)1(n n n 的和． 解：2)(x x f =在[]ππ,-上满足收敛定理的条件且为偶函数，故22032d 1ππππ==⎰-x x a⎰⎰==-πππππ022cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰-=ππππ002s i n 2|]s i n [2x d xx n x x 24)1(c o s 4nn nx n n -=⋅=ππ ()[]πππ, ,cos 4131222-∈-+=∑∞=x nx n x n n有()[]∑-∈-+-=--πππ , ,cos 11242122x nx n x n令0=x ，有 12)1(2121π=-∑∞=-n n n 2．将函数()πππ≤≤-=x - ,24)(xx f 展开为傅里叶级数． 解：24)(xx f -=π，在[]ππ ,-上满足收敛定理，所以2d 241-0πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x a()nx nx x b x nx x a nn n 1d sin 2410d cos 241--=⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-ππππππππ故 ()()ππππ, ,sin 14241-∈-+=-∑∞=x nx n x n n3．将函数()π≤≤=x e x f x 0 ,)(展为以π2为周期的余弦级数．解：对函数)(x f 作偶延拓，⎩⎨⎧≤≤<≤-=-ππx e x e x F xx 0 ,0,)( 则)(x F 是满足收敛定理的偶函数，故()()[]()1112d cos 212d 202000+--==-===⎰⎰n e x nx e a e x e a b nxn xn ππππππππ在[]π ,0∈x 内，)()(x f x F =，故有()[][]ππππ,0 ,cos 11121)(12∈+--+-=∑∞=x nx n ee xf n n x4．将函数()()ππ<<-=x x x x f 0 ,)(展为以π2为周期的正弦级数．解：对函数)(x f 作奇延拓()()⎩⎨⎧≤<-+<<-=0 ,0,)(x πx x x x x x F πππ 则)(x F 是满足收敛定理的奇函数，知, ,2 ,1 ,0 ;00 ===n a a n()()[]. ,2 ,1 ,114d sin 23=---===⎰n n x nx x x b nn ππππ故在()π ,0∈x 内，)()(x f x F =，即()()()ππ,0 ,12sin 1218)(13∈--=∑∞=x x n n x f n§11-8将函数()22 ,)(2<<--=x x x x f 展为以4为周期的傅里叶级数．解：()38d 2122-20=-=⎰x x x a ()().,2 ,1 ,116d 2x n cos 2122222 =-=-=⎰-n n x x x a nn ππ()()n n n x x n x x b 14d 2sin 21222-=-=⎰-ππ故()()2 ,2 ,2sin 42cos 161341n 222-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-∑∞=x x n n x n n x x n ππππ.§12—1 1．写出微分方程=y y e x '-的积分曲线的所有拐点满足的方程．解：因为x e y y -='，所以1-'=''y e y y ，即1)(--=''x e e y y y ． 由拐点的定义知，拐点满足0=''y ，即01)(=--x e e y y 所以所求方程为01)(=--x e e y y ． 即 2ln )4ln(2-++=x x y ．2．求出双曲线222x y ax -=所满足的微分方程．解：求导，得a y y x 222='- (1)由ax y x 222=-，得xy x a 222-=，代入(1)式，得22222y x y xy x -='-即所求微分方程为 222y x y xy +='．§12—2利用分离变量方法解下列方程： 1．22()()0xyx dy x y y dx ++-=，(1)1y =．解：分离变量后得 dx xx dy y y 2211-=+，两端积分⎰⎰-=+dx xx dy y y 2211， 得 C x x y y +-=+2||ln ||ln 222， 将1)1(=y 代入，得1=C ．方程的解为：1||ln )(2122=++xyy x ． 2．12y x y'=+．解：若把所给方程变形为y x dydx+=2即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解．也可用变量代换来解所给方程：令u y x =+2，则x u y 2-=，2-=dxdu dx dy ，代入原方程，得 u dx du 12=-，u u dx du 12+= 分离变量得dx u udu=+12， 两端积分得 1|12|ln 4121C x u u +=+-．以y x u +=2代入上式，得 1|124|ln 4121C x y x y x +=++-+即 y Ce y x 2124=++，其中142C y e C -±=． §12—3利用齐次方程方法解：22()x xy y xy y '+=+．解：原方程可写成111)(2+++-=yx xy y x dxdy因此是齐次方程．令u x y =，则 ux y =，dxdu x u dx dy +=， 于是原方程变为 1111)1(2+++-=+uu udxduxu ，即 uu dx du x +-=112， 分离变量，得 x dxudu u =-+21)1(， 两端积分，得 C x u u +=--||ln )1(arcsin 212．以xy代上式中的u ，便得所给方程的通解为 C x xy x y =---||ln 1arcsin 22．§12—4利用线性方程或伯努利方程解法解 1．3yy x y '=+．解：将方程化为21y x ydy dx =-． 这是一个非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．01=-x y dy dx ，ydyx dx =，Cy x =． 用常数变易法，把C 换成u ，即令 uy x =， (1)那么u y u dydx+'=， 代入所给非齐次方程，得 y u ='两端积分，得 C y u +=22． 再把上式代入(1)式，得 y C y x )2(2+=．2．242x y xy xe-'+=解：以y 除方程的两端，得2242121x xe xy dxdyy--=+， 即 22422121x xe xy dxdy-=+， 令21y z =，则上述方程成为22x xe xz dxdz-=+． 这是一个线性方程，它的通解为 22221x e Cez x x --+=． 以21y 代z ，得所求方程的通解为 222)21(2x C ey x +=-．§12—6利用降阶法解高阶微分方程 01=--''+'''x y y x ． 解：令p y =''，则dx dp p y ='='''，原方程化为 xp x p 111+=+'，此一阶线性方程的通解为 x C x p 1)2)1((2++= 故 32123||ln 212C x C x x C x x y ++++=． §12—71．下列函数组是线性相关还是无关？为什么? (1)x e ，1x e +；解：因为e ee x x 11==+为常数，故函数组是线性相关．(2) 1，sin x ，cos2x ．解：线性无关．2．验证:5112x y e =是非齐次方程532x y y y e '''-+=的解及x e y =1，x e y 22=，x e y 233=是对应的齐次方程的解．并写出非齐次方程532x y y y e '''-+=的通解． 解：x e y 5125='，xe y 51225=''，将y y y ''',,代入方程的左边，得 右边==+-x x x x e e e e 5555121212531225． x e y ='1，x e y =''1，代入方程，得 023=+-x x x e e e ． x e y 222='，xey 224=''，代入方程，得 0264222=+-x x x e e e ． x e y 236='，x ey 2312=''，代入方程，得 061812222=+-x x x e e e 非齐次方程的通解为 xx x e e C e C y 5221121++=． §12—81．(5)(4)(3)690y y y -+=，求它的通解．解：所给微分方程的特征方程为 096345=+-r r r ，其根31=r (重根)，02=r (三重根)因此所给微分方程的通解为 )(5432321x C C e x C x C C y x ++++=2．求微分方程430y y y '''-+=的积分曲线，设它在点0(0,2)M 与直线2240x y -+=相切． 解：所给微分纺车功能的特征方程为 0342=+-r r其根31=r ，12=r ，因此所给微分方程的通解为x x e C e C y 231+=． 此方程过点)2,0(0M ，即212C C +=，且1)0(='y ，即2131C C += 求得211-=C ，252=C ．所求积分曲线为x x e e y 25213+-=． §12—91．求x e x x y y y 32)(23+=+'-''的通解．解：与所给方程对应的齐次方程为023=+'-''y y y ，它的特性方程为 0232=+-r r ，得21=r ，12=r ．由于这里3=λ不是特征方程的根，所以应设特解为x e b x b x b y 32120*)(++=，把它代入所给方程，得x x b b b x b b x b +=+++++22011020223)26(2比较两端x 同次幂的系数，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=1121022312612210201100b b b b b b b b b 因此求得一个特解为x e x x y 32*)121(+-=，从而所求的通解为x x x e x x e C e C y 32221)121(+-++=2．求44(sin 2cos2)y y x x ''+=+，满足()()2y y πππ'==之特解． 解：与所给方程对应的齐次方程为04=+''y y ，它的特征方程为042=+r ．由于这里i i 2=+ωλ是特征方程的根，所以应设特解为 )2c o s 2s i n (*x b x a x y +=．把它代入所给方程，得 x x x b x a 2cos 42sin 42sin 42cos 4+=-， 比较两端同类项的系数，得1=a ，1-=b ．于是求得一个一个特解为 )2cos 2(sin *x x x y -=，从而所求的通解为)2cos 2(sin 2sin 2cos 21x x x x C x C y -++=．将πππ2)()(='=y y 代入y 及y '，得π31=C ，212=C ． 故所求特解为 )2cos 2(sin 2sin 212cos 3x x x x x y -++=π．自测题一一. 填空题1. 设矢量, a b的模分别是2a =,2b =, 则()22 a b a b ⨯+⋅= .2. 过点(1,2,-1)与矢量1{1,2,3} s =--及2{0,1,1}s =--平行的平面方程是 .3. 设1y z x +=, (其中0,1x x >≠), 则dz = .4. 函数(,)f x y 在点()00,x y 可微是(,)f x y 在点()00,x y 可偏导的 条件.5. 若13y =, 223y x =+, 233x y x e =++都是微分方程: ''()'()()y p x y q x y f x ++=的解(其中()0f x ≠,()p x ,()q x ,()f x 都是已知的连续函数), 则此微分方程的通解为 .6. 微分方程''4'290y y y ++=的通解是 .二. 选择题1. 设矢量,, a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯, 则( )(A) 必有0a = (B) 必有0b c -=(C) 当0 a ≠时, 必有 b c = (D) 必有()a b c λ=-, (λ为常数) 2. 方程22480y z z +-+=表示( )(A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面3. 函数2222224,0(,)00xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩若若在原点(0,0)间断的原因为(,)f x y ( )(A) 在原点无定义(B) 在原点极限存在, 但在原点无定义 (C) 在原点极限不存在(D) 在原点极限存在, 但极限值不等于原点的函数值4. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)处沿{}11,44L =的方向导数为( )(A) 最大 (B) 最小(C) 1 (D) 05. 微分方程''2'x y y y xe -++=的特解*y 应有的形式为( ) (其中,a b 为待定常数). (A) ()x ax b e -+(B) 2()x ax bx e -+(C) 32()x ax bx e -+(D) x ae -6. 函数sin y c x =-(其中c 是任意常数)是微分方程22sin d yx dx =的( ) (A) 通解(B) 特解(C) 解, 但既不是通解, 也不是特解 (D) 不是解三. 解答题1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅求'(1,1)x f .2.已知,, a b c 为单位向量, 且满足0 a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅.3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂.4.设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z y x x y∂∂-∂∂5.求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.6.求曲面228xy +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.7.设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.8.设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .9.=.10.在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离.自测题一参考答案四. 填空题 1. 2 2. (1)(2)(1)0x y z --+--+= 3. [](1)ln y x y dx x xdy ++ 4. 充分5.2123x y C x C e =++6. ()212cos5sin5x y e C x C x -=+五. 选择题 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C六. 解答下列各题.1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f . 解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x ∴=， '(1,1)2x f ∴=2. 已知,,a b c 为单位向量, 且满足0 a b c ++=, 计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0 a b c ++=，()0a a b c ∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅= ；同理， ()0b a b c ⋅++=， 10a b b c ∴+⋅+⋅= ；()0c a b c ⋅++=， 10a c b c ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a +⋅+⋅+⋅= ， 即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3. 设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂. 解：''''12121z x f x f y f f xyf f x y y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦， 2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322z x x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y yy y y x x xf f x yf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 解：'22z x x f z ∂=∂-，''22z y f f zy yf z -+∂=∂-，''2xz xf fz z y y x x y f z-∂∂∴-=∂∂-。
高等数学A2作业题答案5
a2 10．设 a 0 ，则级数 ( 1) (D )． n n 1
A．发散 二、填空题:
B．条件收敛
C．绝对收敛
D．收敛性和 a 有关
1．已知级数
(2 u
n 1
n
) 收敛，则 lim
sin(u n ) 0． n un
2．幂级数
n 1
3 1 ( x 1) n 的收敛域 [ , ) 2 2 n 1
x 2 n 1 1 2n2 ， s ( x) x 1 x2 n 1 2 n 1 n 1
s ( x)
x 1，
s x
2． lim
n
1 1 1 x dt ln 2 0 1 t 2 1 x
x
x 1.
an 1 0 ，R ，收敛域为 (, ) , an
高等数学 A2 作业与练习答案
第十二章 无穷级数
作业题答案
一、判别下列级数是否收敛: 1．
n
n 1 n 1
2
n ; 2n 4
2.
2n n ! ; n n 1 n
3．
5
n 1
n 1
n
sin
4
;
n
; 4．
1 a
n 1
1
n
, a0 ;
5．
(1) n1
2
=
( x)
n 0
n
1 x n 1 n ( ） (） (1 n 1 ) x n , 2 n 0 2 2 n 0
x 1．
4． ln(3 x) ln 3
07-08高数A2答案(A卷)
安徽工业大学高等数学A2期末试卷(A卷)参考答案与评分标准一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）9.7 10. π411. 4 12．π813.2e14. 1三、判断题（本题共5小题，每小题２分, 共10分）22222(1)(1))11(1)11n n nn nn nnnn nnn n∞∞==∞=∞∞===---=-=----∑∑∑∑∑四、解答题(本题共６小题，满分48分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.)20. (本题满分8分)解：设c o s,s i nx r y rθθ==, ------------------------------------ 2分222222)0,0(),(lnlim)ln()(limrryxyxryx+→→=++---------------------------------------------5分由洛必达法则原式22lim1ln2lim32=-==+→+→rrrrrr------------------------------------- 8分说明：本题解法较多，可参照上述标准给分，如令22r x y=+代换与洛必达法则结合使用。
21. (本题满分8分)解：解法一：由题意得121/212000x yxV dx dy dz---=⎰⎰⎰-----------------------------------２分1/21200(12)xdx x y dy-=--⎰⎰-----------------------------------４分dxyxyyx21212)212(-⎰--=----------------------------------６分⎰+-=212)2122(dxxx121)2132(2123=+-=xxx--------------- -------------------8分解：解法二：由题意得⎰⎰---=xdyyxdxV212/1)21（-----------------------------------3分dxyxyyx21212)212(-⎰--=----------------------------------６分⎰+-=212)2122(dxxx121)2132(2123=+-=xxx--------------- -------------------8分说明：其它形式的二重三重积分表达式也对。
高等数学二本(A)参考答案
一、填空题（每一小题2分，共10分）1．设()1(1)sin ,11,1x x f x x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，则a 1- ．2．设()0f x '存在，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 3()0f x ' ．3．函数x xe y =的n 阶导数()=n y x e n x )(+ ．4．x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ξ=__ 1-e ____ _． 5．反常积分2122dx x x +∞-∞++⎰=_____π_________．二、求下列极限(每一小题5分，共20分）6．x x x x 3)1212(lim -+∞→ 7．xx x 11lim 20-+→解：6．原式xx x 3)1221(lim -+=∞→ 2分 .)1221(lim 3126212e x x xx x =-+=-⋅-∞→ 5分 7．原式.011lim )11(lim 20220=++=++=→→x xx x x x x 5分8．222111lim ()12n n n n n n →∞++++++ 9．2050cos lim xx x t dtx →-⎰ 解：8．令)12111(222nn n n n x n ++++++= ，则有 n n n n n n x n +=+>12，又.11222n n n n n x n +=+< 2分 且.11lim 1lim22=+=+∞→∞→n n n nn n所以由夹逼准则得222111lim ()12n n n n n n→∞++++++.1= 5分 9．利用洛必达法则，有2050cos lim xx x t dtx →-⎰4205cos 1lim xx x -=→ 3分 .10140cos 4lim 20sin 2lim 20320===→→x x x x x x x x 5分三、求下列函数的导数或微分(每一小题5分，共20分）10．设(x y e x =，求.dy解：10．dx x x e dy x ])1([2'++= 2分.)111(22dx x x x x e x +++++= 5分11．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，求.0=x dx dy解：方程两边对x 求导得.cos 32322x dx dy x y x yx dx dyx ++=++3分所以有.1)cos 3)((23522-+++-=y x x x y x y x x dx dy 且.10==x y从而.110)0cos 0)(10(00=-++-==x dx dy 5分 12．已知2ln(1)tan x t y t arc t⎧=+⎨=-⎩，求dx dy ，22d y dx .解：.21211122t t t t dx dy =++-= 3分 22d y dx .411221)(22t t t t dt dx dx dy dt d +=+== 5分 13. 求函数(1)x y x =+的导数y '.解：(1)x y x =+.)1ln(+=x x e 2分].1)1[ln()1(]1)1[ln()1ln(++++=+++='+x xx x x x x e y x x x 5分四、求下列积分(每一小题5分，共20分）14. dx xx e x ⎰++)2cos 32(解：原式dx xdx x dx e x ⎰⎰⎰++=2cos 32 2分.2sin 2ln 32C xx e x +++= 5分15. ⎰-232)1(x dx解：法(1) 原式)1()1(21)1(1)1(1223221223222x d x xdx x dx x x x ----=-+-=⎰⎰⎰212212)1(1)1(1x d x dx x -+-=⎰⎰ 3分 .1)1(11)1(122122212C x x dx x x x dx x +-=---+-=⎰⎰ 5分 法(2) 令).2,2(,sin ππ-∈=t t x 则.cos tdt dx = 2分原式.1tan sec cos cos 223C xx C t tdt t tdt +-=+===⎰⎰5分 16. arctan x xdx ⎰解：原式⎰=2arctan 21xdx 3分 .arctan arctan 211arctan 212222C x x x x dx x x x x ++-=+-=⎰ 5分 17.21e ⎰解：令.ln 1t x =+ 则dt dx x=1，且当1=x 时，1=t ；2e x =时，.3=t 3分所以有原式).13(223131-===⎰t tdt5分五、综合题(每一小题6分，共24分）18．设0>x ，证明: ()x x x x <+<-1ln 22． 证明: 法(1) 由于函数()x x f +=1ln )(在),1(∞+-内3阶可导，于是由泰勒公式得()21221)1(2!2)(!1)0()01ln(1ln ξξ+-=''+'++=+x x x f x f x ，其中).,0(1x ∈ξ 2分 ()3232322)1(32!3)(!2)0(!1)0()01ln(1ln ξξ++-='''+''+'++=+x x x x f x f x f x ，其中 ).,0(2x ∈ξ由于当0>x 时，有0)1(2212>+ξx ，.0)1(3323>+ξx 所以 ()x x x x <+<-1ln 22． 5分法(2) 令()().1ln )(,21ln )(2t t t g t t t t f +-=+-+=则)(),(t g t f 在),0(∞+内可导，且.01111)(,01111)(2>+=+-='>+=+-+='ttt t g t t t t t f 3分即)(),(t g t f 在),0(∞+内严格递增，又)(),(t g t f 在0=t 处连续，所以)(),(t g t f 在),0[∞+内严格递增，从而当0>x 时有).0()(),0()(g x g f x f >> 即().1ln 22x x x x <+<- 5分19．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，证明：在()1,0内，有且仅有一个数0x ，使()00f x x =． 证明：令.)()(x x f x g -= 先证)(x g 在()1,0内，有一个零点。
东北林业大学20-21高数A2阶段3考试含答案
东北林业大学2020－2021 学年第二学期阶段考试试题考试科目： 高等数学A2 （3） 试卷总分：100分一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、设D 为矩形10,20≤≤≤≤y x ，xy d y x f y x f D4),(),(-=⎰⎰σ，则=),(y x f .2、积分dy e dx xy ⎰⎰-1102的值等于 .3、设平面区域{}22(,)2D x y x y x =+≤，则(,)Df x y d σ⎰⎰在极坐标系下的累次积分为 . 4、若V 是圆柱体221,01x y z +≤≤≤，则23(tan 3)z Ve x y dV +=⎰⎰⎰.5、旋转抛物面22y x z +=位于平面1=z 下方部分的面积为 . 二、单选题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、设D 为矩形10,53≤≤≤≤y x ，则关于积分11Dx yI dxdy x y +-=+⎰⎰， 2ln()DI x y dxdy =+⎰⎰和[]23ln()DI x y dxdy =+⎰⎰，下列结论正确的是（ ）． （A ）123I I I ≥≥；（B ）213I I I ≥≥；（C ）312I I I ≥≥；（D ）321I I I ≥≥． 2、设222()x y t F t f d σ+≤=⎰⎰，其中f 为连续函数，且有(0)0f =， (0)1f '=，则3()limt F t t →的值为（ ）．（A ）3π； （B ）2π； （C ）23π； （D ）π．3、设)(x f 为连续函数，且1()()ttyF t dy f y dx =⎰⎰，则(2)F '等于（ ）． （A ） (2)f ； （B ） 2(2)f ； （C ） (2)f -； （D ）0．4、若V 是21,0,1,1z x z y y =-===-围成的有界区域，则下列积分值最大的为（ ）． （A ）VxdV ⎰⎰⎰； （B ）VxdV -⎰⎰⎰； （C ）VzdV ⎰⎰⎰； （D ）VzdV -⎰⎰⎰．5、设V 是由22z x y =+与1z =围成的圆锥体，则VzdV ⎰⎰⎰可以写成（ ）． （A ）221r d dr zrdz πθ⎰⎰⎰； （B ）221100rd dr zdz πθ⎰⎰⎰；（C）210d dz πθ⎰⎰⎰； （D）211d dz πθ⎰⎰．三、计算题（本大题共5小题，每小题12分，总计60分）1、选用适当的坐标系计算二次积分1220)dx x y dy ++⎰⎰.东北林业大学2020－2021 学年第二学期阶段考试试题2、计算22Dx dxdy y ⎰⎰，其中D 是由y x =,1xy =,3x =所围成的区域. 3、计算cos()Vy x z dxdydz +⎰⎰⎰，其中V是由柱面y =和平面0,0,2y z x z π==+=所围成的有界闭区域．4、利用柱面坐标计算2211VI dV x y =++⎰⎰⎰，其中V 由锥面222z x y =+和平面1z =围成.5、利用球面坐标计算222()VI x y z dV =+⎰⎰⎰，其中V 为上半球体2221x y z ++≤，0z ≥.东北林业大学2020－2021 学年第二学期阶段考试试题东北林业大学2020---2021学年度第二学期一、填空题1、xy 44-2、1122e - 3、()2cos 202cos ,sin d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰4、3π5、)155(6-π二、选择题 1、A 2、C 3、B 4、D 5、C三、1、解： 原式1220ln(1)d r rdr πθ=+⎰⎰12220(1)ln(1)(1)4r r r π⎡⎤=⋅++-+⎣⎦ (2ln 21)4π=-2、解：原式321211xxx dy dx y =⎰⎰ 331()x x dy =-⎰342142x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 16=3、解：原式220cos()xdx y x z dz ππ-=+⎰⎰⎰20(1sin )dx y x dy π=-⎰⎰20(1sin )2xx dx π=-⎰21162π=+4、解：原式21V rd drdz r θ=+⎰⎰⎰ 2112001r r d dr dz r πθ=+⎰⎰⎰ 212021r r dr r π-=+⎰12012ln(1)arctan 2r r r π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦(ln 22)2ππ=-+5、解：原式632sin cos Vd d d ρϕϕθϕρ=⎰⎰⎰2132620sin cos d d d ππθϕϕϕρρ=⎰⎰⎰12735001112cos cos 735ππρϕϕ⎡⎤=⨯⨯-⎢⎥⎣⎦ 4105π=。
吉林大学高数A2作业答案
高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x x x ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分发散的是( A )． （A ）⎰-11d csc x x ；（B ）⎰--112d 11x x；（C ）⎰∞+23d 1x x；（D ）⎰∞+23d )(ln 1x x x ．3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d baf xg x x -⎰；（D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）02S y =⎰；（C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）02S x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小；（D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x π-+-⎰；（B ）(2()())(()())d bam f x g x f x g x x π---⎰；（C ）(()())(()())d bam f x g x f x g x x π-+-⎰；（D ）(()())(()())d bam f x g x f x g x x π---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．⎰=-41)4(d x x x 23π． ３．2d 25x x +∞-∞=+⎰5π． ４．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x +∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线2cos 2r θ=所围成的平面图形面积为 1 ． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛．2．判断反常积分的收敛性：1x +∞⎰解：3sin x x≤而1+∞⎰收敛． 1x +∞∴⎰收敛．3．用定义判断反常积分40⎰．的收敛性，如果收敛则计算积分值．解：44400darcsin 42x x π⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰．收敛 4．求由曲线2x y =与32+=x y 围成图形的面积． 解：333221132(23)d 333x A x x x x x --⎡⎤=+-==+-⎢⎥⎣⎦⎰．5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为00)Y y X x -=-令0,0X Y ==，得002,1x y ==．221221112(1)d 32.362x V x xx x πππππ=⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱(02)t π≤≤的长度以及摆线与x 轴所围图形的面积．24sin d 82S tta t a π===⎰⎰02022(1cos )(1cos )d (34cos 2cos 2)d 3.A a t a t t a t t t a πππ=-⋅-=-+=⎰⎰ 7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则 22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．平面1=+z y （ A ）． （A ）平行于yoz 平面； （B ）平行于x 轴； （C ）平行于xoz 面；（D ）平行于xoy 平面．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．过点(1,2,4)-且与平面234x y z -+=垂直的直线方程是（ A ）． （A ）124231x y z -+-==--； （B ）238x y z -+=； （C ）124124x y z -+-==-；（D ）124231x y z ---==-． 5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π．6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为2π．2．与直线⎩⎨⎧=+-=++0132z y x z y x 平行的单位向量为23)i +-j k ．3．点0(1,2,1)M 到平面2210x y z π++=:的距离为 1 ．4．若||3=a ，||b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b ||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=．6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．已知向量a ，b ，c 两两相互垂直，且||1=a ，||=b ，||1=c ，则有||++=a b c 2 ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离． 解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k∴ 0||||d ⨯==S MM S3．设空间三点)2,1,1(-A ，)4,5,4(B ，)2,2,2(C ，求三角形ABC 的面积． 解：(3,6,2),(1,3,0)==AB AC 362623130⨯==-++i j kAB AC i j k17||22S =⨯=AB AC4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=． 即(42)(2)360x y z λλ++++-=．2=得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面:0x y π+=求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点． 解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||1sin||||2θ⋅===S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．a6．模长为2的向量a 与x 轴的夹角是4π，与y 轴的夹角是3π，试求向量a 的坐标． 解：222cos cos cos 1αβγ++= ∴ 21cos 4γ=，1cos 2γ= 或1cos 2γ=-∴,1)a =- 或 ,1)a =-第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y →→=+（ D ）．（A ）32； （B ）0； （C ）65； （D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ C ）．（A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ C ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<． 2．00x y →→= 1/2 ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u =3232dx dy dzx y z-+-+．5．设yz x =，则2zx y∂=∂∂()11ln y x y x -+． 三、计算题1．已知2)z f ，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．将1,y z x ==代入，)12x f =+有)21fx =-解一：)))222423f=-+ ∴()243f t t t =-+解二：令2t =，则()22x t =-∴()()221f t t =--∴)22211z x =--=-2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时，222200limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x →→=→+==+ ∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111y y xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e e xzyzt u dt dt =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z u z y∂=⋅∂ 2222x y e e z z u x y z∂=-⋅+⋅∂四、证明题1．设r =0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：r xx r ∂==∂ 222223xr x rr x r xr r-⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ ∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 2．证明函数(,)f x y (0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．（1）0ε∀>0=0ε<ε<<取δ=，则当0δ<<0ε<，∴ ()()000lim ,lim 00,0x x y y f x y f →→→→===（或：()00lim00,0x y f →→==），(),f x y =（2）()(),00,0,0x f x f =；()()0,0,0,00y f y f == （3）()(),0,00,0x y z x y z f x f y x y =⋅-⋅-=⋅考察：()()()(22200limlimx x y y x yx yx x y →→→→⋅⋅=++当(),p x y 沿直线y kx =趋于0（0，0）有00limlim1x x y k x →→=⋅→=+k 有关∴上式不存在，不可微第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ B ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----．2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ D ）．（A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ C ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ A ）．（A ）0C ∇=；（B ）()Cu C u ∇=∇； （C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( B )． （A ）1()()f r f r r '''+；（B ）2()()f r f r r'''+； （C ）211()()f r f r r r '''+； （D ）212()()f r f r r r'''+．6．函数(,)u f x y =在点00(,)x y 处沿任一方向的方向导数都存在是它在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在的( D )条件．（A ）充分必要； （B ）必要非充分； （C ）充分非必要；（D ）既非充分又非必要．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 192 ．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 d dy x +．3．r =在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为 1 ． 4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂． ''''[1212e 2e 2xy xy zf y f x y f xf x∂=⋅⋅+⋅=+∂ ()()2''"''''''1111122122e e e e 22e 2xy xy xy xy xy z f y xf y f x f y x f x f y x y∂⎡⎤⎡⎤=+⋅⋅+⋅+⋅-+⋅⋅+⋅-⎣⎦⎣⎦∂∂ ()()'2"22""11112221e e 2e 4xy xy xy xy f xy f x y f xyf =+++--2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ． 解一：()()()()()()()d ln d 32ln 32,1d d 3x-2y ln 3232d ln 32z x y x y z x y x y x y z=-⋅-=⋅-+-⋅-()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦解二：,32,32v z u u x y v x y ==-=- ()()3213332ln 321x yv x u x v x z z u z v v ux y x y --=⋅+⋅=⋅⋅=-⋅-+⎡⎤⎣⎦()()()321y 2232ln 321x yv u y v y z z u z v v u x y x y --=⋅+⋅=⋅⋅-=--⋅-+⎡⎤⎣⎦∴()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦3．设f ，ϕ是C (2)类函数，x y z yf x y x ϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）2220z z x y x x y ∂∂+=∂∂∂； （2）2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂． 证21z y y yf x f x y x x ϕϕϕϕ∂⎛⎫''''=⋅++⋅⋅-=+- ⎪∂⎝⎭222222311z y y y y y f f x y x x x x yx ϕϕϕϕ∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=⋅+⋅-+-⋅-=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭2222111z x y x yf f x y y x x x x y x ϕϕϕϕ⎛⎫∂''''''''''=⋅-+⋅--=-- ⎪∂∂⎝⎭21z x xf y f x f f y y x y ϕϕ⎛⎫∂''''=+⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭222222311z x x x x x f f f f y y y y y x y x ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂'''''''''=⋅-+-⋅⋅-+⋅=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭4．设arctan yx ，求22d d y x．()''2222221122ln arctan ,221y x yyx y y x x y xx y y x -+⋅+=⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭''2222x yy y x yx y x y+-=++∴ ()(),x yy x y x y y x y+''-=-+=- ()()()()()()()()()()'''22"222321122x y x y y x y x y y x y y x y x y y x y x y x y x y ⎛⎫+⋅- ⎪+--+-⋅-+-⎝⎭====----一阶：()()22222222112,ln arctan ,221x y y x x y x F x y x y F x x y x y y x -+=+-=⋅-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222211221y y y x x F y x y x y x-=⋅-=+++∴d d y Fx x y x y x Fy y x x y ++=-=-=-- 二阶：()()()()222'2'""''"11/1,y x y x y yy y y x y y y x y x y+++-++⋅=+-==--()()()()()2222332x y x y x y x y x y +-++==--5．设e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u v x y ∂∂∂∂． ()1d cos e sin cos e sin cos 1,sin d cos d d sin e cos sin u uux u v v u v D u v v D u v x u v y y u vv u v+⎡⎤==-+==-⎣⎦-∴()()1sin cos d d d sin cos 1sin cos 1u D v vu x y D e v v eu v v ==--+-+ ∴()sin e sin cos 1uu vx v v ∂=∂-+ ()2e sin d e sin d e cos d e -cos d u u u u v x D v y v x vy+==+--∴()()()2u cos e d e sin d d e sin -cos 1u uv x v y D v D u v v -++==⎡⎤+⎣⎦∴()e sin e sin cos 1u u v vy u v v ∂+=∂-+ 6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d ux． ()()22''''223,,,e ,2,e ,y z F x y z x xz Fx x Fy F ϕϕϕϕ==⋅==∴''12''332e ,y x z Fx z Fyx Fz y Fz ϕϕϕϕ∂∂=-=--=-=--∂∂ '''''12123''332e d cos cos d y x u f f x f x x ϕϕϕϕ⎛⎫=+⋅+--⋅ ⎪⎝⎭()''''sin '12312cos 2e cos x f f x f x x ϕϕ=+⋅++解二：全微分'''123'''123d d d d 2d e d d 0d cos d y u f x f y f z x x y z y x x ϕϕϕ⎧=⋅++⎪⋅+⋅⋅+=⎨⎪=⎩ 即'''231'''231d d d d e d d 2d d cos d yu f y f z f x y z x x y x x ϕϕϕ⎧--=⎪+=-⎨⎪=⎩代入消元解得：'sin ''''12123'32cos d cos d x x e x u f f x f x ϕϕϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭∴…… 7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．()()111,,1,21,23zx zy zx zy x y x y ====++()''1,221tan 1y y y α=====121233,,,4444ππααπββπ====11cos cos cos4παβ===223cos cos cos4παβ=== ∴()()()111,21111,2cos 1,2cos 33x y zz z αβ∂=⋅+=+=∂()()()221,22111,2cos 1,2cos 32323x y z z z αβ⎛⎛∂=⋅+=⋅-+-=- ∂⎝⎭⎝⎭第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( B )． （A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条； （D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( C )． （A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}； （C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( D )． （A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面； （C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( B )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 5．函数sin sin sin u x y z =满足条件(0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值为( D )．（A ）1； （B ）0；（C ）16； （D ）18．二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是 （-1，2，-3） ．2．曲面224x y z +=与平面4y =的交线在2x =处的切线与x 轴正向所成的角为4π．3．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 12x -10y -3z -6=0 ．4．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是12． 5．函数u (1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是13．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程． 解一：22222yy zz x yy z x ''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩①②①+②：0z '=代入(),1,1,21xy y y''=-=- ∴()1,1,0s =- 切成：112110x y z ---==，即112x y z -=-⎧⎨=⎩解二：()()2221,,6,2,2,2,2,2,4F x y z x y z Fx x Fy y Fz z n =++-====取()1121,1,2,n s n n ==⨯()()222,,.2.2 1.2,2,1G x y z x y z Gx x Gy y n =+-===-=- 1S 切平面：()()()1111220260x y z x y z ⋅-+⋅-+-=+-=即+ 2S 切平面：()()()21212020x y z x y z -+---=--=即:2+2 ∴2602220x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩2．过直线102227,0x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．解：设切点为0000(,,)M x y z ，切平面方程为：0003270x x y y z z +--=……① 过已知直线的平面束方程为()1022270x y z x y z λ+--+++= 即：()(10)2270x z λλ+++-=……②当①②为同一平面时有：000103,2,(2)x y z λλλ+=+=-+=-且222000327x y z +-=解得00000033117117x x y y z z ==-⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或对应的切平面方程为：927091717270x y z x y z +--=+-+=3．证明曲面2/32/32/32/3(0)x y z a a ++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于2a ．.设000M x 0（,y ,z ）为曲面上任一点 切平面方程为：()()111333000000222()0333x x x y y y z z z ----+-+-=即：11123333000x x y y z z a --++=令0y z ==得x 轴截距1233x n a = 同理121233332,Y z a Z z a ==∴222422223333000()X Y Z x y z a a ++=++=4．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．.①令222(2)02ln 10xy f x y f x y y '⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩ ②得驻点10,e M ⎛⎫ ⎪⎝⎭③2212(2),4,2xx xy f y f xy fyy x y=+==+④M 处： AC-B 2>0，A>0，∴极小值110,f e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．求函数22(,)1216f x y x y x y =+-+在区域22{(,)|25}D x y x y =+≤上的最大值和最小值．2120621608fx x x fy y y =-==⎧⎧⎨⎨=+==-⎩⎩不在D 内，∴D 内无极值点在边界2225x y +=上，(),251216f x y x y =-+()()22,25121625L x y x y x y λ=-+++-221220162025Lx x Ly y x y λλ⎧=-+=⎪=+=⎨⎪+=⎩解得3344x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ()3,475f -=- 最小 ()3,4125f -= 最大61=的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大． 设切点为()()0000,,,,,1M x y z F x y z =z Fx Fy F ===切平面为：)))0000x x y y z z ---=1=令0y z ==，得x轴截距X = 0x z ==，得y轴截距Y = 0x y ==，得z轴截距Z =XYZ =()),,1f x y z xyz λ=+令000113fx yz yzx x fy xz xzy y fz xy xyz z ⎧===⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎨⎪=+==⎪==== 19x y z ===即切点为111,,999⎛⎫⎪⎝⎭切平面为：13x y z ++=阶段测试题学院 班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1．曲面2222x y z a ++=与0x y z ++=（0a >）的交线是（ D ）． （A ）抛物线 （B ）双曲线（C ）椭圆（D ）圆2．极限00limx y xyx y →→+（ D ）．（A ）为0 （B ）为1 （C ）为∞ （D ）不存在3．双纽线22222()x y x y +=-所围成区域面积可用定积分表示为（ A ）．（A ）42cos2d πθθ⎰（B ）404cos2d πθθ⎰（C）2θ⎰（D ）2401(cos 2)d 2πθθ⎰4．曲线22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线必平行于（ C ）．（A ）xoy 平面 （B ）yoz 平面 （C ）zox 平面（D ）平面0x y z +-=5．(,)arctan xf x y y=的(0,1)处的梯度等于（ A ）． （A ）i（B ）j （C ）-j （D ）-i6．已知(,)x f x y 、(,)y f x y 在（0，0）连续，则(,)z f x y =在（0，0）处，()(,0)x f x φ=在0x =处（ A ）．（A ）均连续 （B ）均不一定连续（C ）均不连续（D ）()x φ一定连续，(,)f x y 不一定连续二、填空题（每小题3分，满分21分） 1．2d 25x x +∞-∞=+⎰5π． 2．若向量(3,5,8)=-a 与(1,1,)z =-b 的和与差的模相等，则z = 1 ．3．已知3(,)e ln 2x f x y y =，则1(0,)2x f '= 0 ，(0,1)yyf ''= -1 ． 4．23u xy z xyz =+-在点(1,1,1)M 处沿b = （0 ,1 ,2） 方向的方向导数最5．设11[()()]()d 22x at x at u x at x at f t t a φφ+-=++-+⎰，其中(2),f C φ∈，则22222u u a t x ∂∂-=∂∂ 0 ．6．曲面224x y z +=与平面4y =的交线在2x =处的切线与x 轴正向所成的角为4π．7．设20(,e )d x y tz f t t =⎰，其中f 具有一阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ 231222(e )x y xf x y f f ''++．三、解答题（每小题8分，满分40分） 1．判断反常积分e1⎰ 解：e1⎰e 1⎰=[]1arcsin(ln )2ex π=， 则收敛2．设直线0:30x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，且平面π又与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值．解：曲面∑在点M 0的法向量0(2,2,1)(2,4,1)M x y =-=--n ，切平面π的方程为：2(1)4(2)(5)0x y z --+--=即 2450x y z ---=将L 的方程改写成参数方程(1)3y x bz a x ab =--⎧⎨=---⎩代入π的方程，解得5,2a b =-=-．3．求曲线y =的一条切线l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的图形面积最小．解：由y '=(t 处切线方程为：)y x t -，即y =+围成图形面积20()d S t x ⎡⎛=⎢⎭⎣=⎰令312211()022S t t t --'=-+=，得1t =又(1)0S ''>因此，当1t =时，S 取最小值，此时，l 方程为122x y =+ 4．(2,sin )(e ln )x z f x y y x xg y =-+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数。
吉林大学作业及答案-高数A2作业答案
高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x xx ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰； （D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰； （C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值． 解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）． （A ）平行，但不重合； （B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6； （B ）π4； （C ）π3； （D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离． 解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线． 解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=． 即(42)(2)360x y z λλ++++-=． 由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦． 解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭， 因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=， 所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=． 故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1； （B ）0； （C ）12； （D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂． 证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++， 当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在， 故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。
高数a第二章习题答案
高数A （一）习题答案习题2-1 (A)1.63. 4. (1) ;)(0x f ' (2) ;)(0x f '- (3) ;)0(f ' (4) .)(20x f '5. (1);54x (2);3231-x (3) ;3.231.x (4) 32--x ; (5) 2527x ; (6) 1013x 103--.6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 .7. 切线方程 ,0632=--+πy x法线方程 .03232=-+-πy x 8.（2，4）.9. (1)在0=x 连续且可导； (2)在0=x 连续且可导. 10. ;0)0(='+f ;-1)0(='-f )(x f 在点0=x 处不可导.习题2-1 (B)4.e1. 7. 0)0(='f .习题2-2 (A)1.(1) 33464xx x --; (2) 21232121----x x ; (3) x x sin 5cos 3+;(4) x x x x x x tan sec cos sin 22++; (5) 1ln +x ; (6)x x x x x22csc sec tan 21-+; (7) 2ln log 22xx x +; (8) b a x --2; (9)2)cos 1(1sin cos x x x +++;(10)2sin cos x xx x -; (11)2ln 1xx- (12)3)2(xe x x-; (13) x x x x x x x x sin ln cos cos ln 22⋅⋅-+⋅⋅;(14) x x cos 2;2. (1) 218332ππ-; (2) )42(22π-; (3) 181-;(4) 1517)2(,253)0(='='f f . 3. 3t 2t ==或.4. 切线方程 x y 2=，法线方程 x y 21-=.5. (1) 410; (2) 0 ; (3) 410- .13.(1)4)32(10+x ; (2) )31(cos 3x --; (3)212x x+; (4) a a e xxln +; (5)22)110(ln10102e 2+⋅+-x x x x x ; (6) 4x12-x ; (7) 222sin x a x x ---; (8) )(sec 3322x x ;(9) x2x ee +1; (10) a x x x 2ln )1(12+++. 14.(1) 322)41(38-+x x ; (2) )2(cos 2ln 2x x ⋅(3) x e x e xx 3sec 33tan 21222--+-; (4) 122-x x x ;(5)x xarctan 122+; (6)xxx-33sin 3ln 3cos 3;(7)221xx -; (8)22xa +1;(9) sec x ; (10) csc x .15.(1) )(cos 22cos 22x x x-; (2) csc x ; (3)2ln 22)1(22arctanx xx x x e ++; (4))(ln ln ln 1x x x ;(5)22)arccos (12x x x-; (6) -2sec2x .16.(1) cosh(cosh x )sinh x (2))(ln cosh 12x x ; (3) (3sinh x +2)sinh x cosh x (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a 1x e x cosh 2sinh 22cosh ; (5) )1(cosh 222x x --; (6) 22224++x x x;(7)1242-x x e e ; (8) x 3tanh .17. (1))32(2x x +; (2) )3sin 93cos 7(x x e x --;(3) 2ln 2cos 2sin 2ln 2sin xxxx +; (4)222)arcsin (1arcsin 1x x x -x x --;(5)1ln 1+-n x x n ; (6) 3xx arctan 962+;(7) x cosh 12; (8) 222arctan2x)()4x 1()4x 1(2arctan2x )4x 1(4++-+.习题2-2 (B)1. (1)22)1(2x x-; (2) 23323)2()321()(-)2()211(x x-x-x x x x-x++;(3) )cos (cos )cos sin ()cos (sin )sin (sin αx x αx x x x x α++++-;(4) 23)cos 1(sin 2sin )cos 1(x xx x +++; (5) 22)tan (sec 2-tan 2x x x x x +;(6) )sec 2()ln 2(cos )tan (cos 1)tan ()ln 2(sinx 222x x x x x x x xx x x +-++-+--;(7) )49283(224+-x x x ; (8))ln (1x x 2-+.2.2)()(d xx g x g x dx y -'=. 3. 切线方程：022=--y x 和 022=+-y x .6. (1) 400英尺；(2) v(2) = 96英尺/秒 ； v(8) = - 96英尺/秒 ； (3) 10秒 7. (1) )()(e ()()(x x x f x f x e f x f e )e f e '+'; (2) )()]([x f x f f '';(3) x x f x x f )sin2(cos )sin2(sin 22'-'; (4) )(n n 1n b ax f x a -+'. 8. (1))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'-'=. (2))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'+'=. 9. x21)(='x f ; 21)21(='f .10. x xx f 121)(3---='. 12. (1) 211x +; (2)xx x xxx +++++2)21(1211; (3) 242x -;(4) xx x 2455ln 212⋅++; (5) a b a b x b b a a x a b xa b ln 11⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-;(6) ()2111ln ln a aa x axa xa a x a a x a a +-+-++; (7) 222-1)(1)-(12xx x +;(8) x e x x 1sin 222sin-; (9) 3/22)(1arcsin x x x -; (10) xx x x 21254e11ln55151++--. 13. )1(sin )1(sin 1cos 22x f x f x x'-. 14.)(22x xcos dx y d =; )()(22x cos x d y d =; )(32)(23x cos x x d y d =. 15. )2arcsin()]([x x f ='ϕ; 411)]([xx f -='ϕ; 412])]([[xx x f -='ϕ.16.1sin cos 222+πππe e e .17.)()1(2x 2x xe sin x xe dx yd +=. 18. 2e .习题2-3 (A)1. (1) 214x-; (2) x e 214-; (3) x x x sin cos 2-; (4) x exsin 22-; (5) 2/3222)(x a a --; (6) 232)1(/x x +-; (7) )23(222x xe x +; (8) 3)22(xx x e 2x +--; (9) x x tan sec 22; (10) 212tan 2xxx arc ++.习题2-3 (B)1. (1) n! (2) 1)1(!2)1(+--n nx n (3) )2(!)2()1(1≥---n xn n n ;(4) ]2)1(2[21π-+n x sin -n ; (5) )(n x e x +;(6) ])1(1)2(1[!)1(11++----n n n x x n ; (7) ])(1)()1([!)1(1nn n nbx a bx a b n -++---; (8) n m x n mm m m -++---1)1()11()21()11(1 ;(9) ]22[2π⋅+-n x cos n(10) 11)21(!2+--n n x n 2. (1) x cos e y x 4)4(-=; (2) x cosh xsinhx y 100)100(+=; (3) )2sin 212252cos 502sin (2250)0(x x x x x y 5++-=; 3. (1) )()(222x f 4x x f 2''+'; (2) 22x f x f x f x f )]([)]([)()('-''. 5. 21+=x y , 3x y )2(2+=''. 7. 0=+y dt yd 22.8. 0=+y dt yd 22.习题2-4 (A)1.(1) x y y -; (2) ax y x ay 22--; (3) yy xe e +-1; (4) y x y x e x y e ++-- (5) )(1)(11xy cos x yxy cos y x +-+ (6) )(1)(2222y x f 2y y x f 2x +'-+'. 3. 切线方程：022=-+a y x ； 法线方程：0=-y x .4. (1) ]1)1([)1(222x2xsinxx cos ln cosx x sinx +++⋅+; (2) ]2222[)(2x cot x sec cosx x tan ln sinx tanx cosx ⋅⋅+⋅-;(3) ]163112[)1(3)1(232x xx x x x x 2++--++-+; (4)])(251121[2)1(3122x x x x x x x 35-+++-+; (5) ])1(21[121xx xe e cotx x e sinx x --+-; (6) )1()1()(1lnx x lnxlnlnx lnx 2x x-++-;(7) )1(1+++-lnx x ln x x x ππππ;(8) ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x a b b a ln a x x b b a ba x .5. (1)t 2a 3b dx y d =; (2) t cos 2cos2tdx y d =; (3)ϕtan dxy d -=; (4) θθθθθθcos -sin -sin -cos dx y d 1=. 6. (1) 切线方程：042=-+y x ; 法线方程：032=-+y x . (2) 切线方程：01234=-+a y x ; 法线方程：0643=+-a y x .习题2-4 (B)1. (1) )()()()()()()(x ln x x ln x x ln x x 2ϕϕψϕϕψψ'-';(2) )()()()()()()()()(x x x ln x x x x x 2x ψϕψψϕϕψψϕ'-'. 2. ye e x y d dx yx y x --=++.3. (1) θθa sec dx y d 222=; (2) )(1t f dxy d 22''=;(3) )1(2222t t 6dyx d +=; (4) )1(832533t t dx y d +-=;(5) 343381tt dx y d -=; 4.4π. 5. 2e .6. 0 .8. (1) a (1)= - 6 (m/s 2) ; a (3)= 6 (m/s 2 ). (2) |v(2)| = 3 (m/s) ;9. 144π (m 2/s)10. 20402516.π≈(m/min). 11.640225144.π=(cm/min).12. 70 英里/小时. 习题2-5 (A)2. (a ) 0dy y 0dy 0y >->>∆∆,,;(b ) 0dy y 0dy 0y <->>∆∆,,; (c ) 0dy y 0dy 0y <-<<∆∆,,; (d ) 0dy y 0dy 0y >-<<∆∆,,.3. (1) dx x x)12(3+-; (2) dx x x x )2cos 22(sin +; (3) dx e x x 2x )1(2+; (4)dx xx412+-; (5) dx x x e x )]cos(3)[sin(3----; (6) dx x x x )21(sec )21(tan 8223++;(7)dx x xx 222)]1([ln 16---; (8)dx x x x xxx +++++2)211(211.4. (1)dx xy x +--182; (2) dx y x csc )(2+-; 5. (1) C x +2; (2) C x +223; (3) C t sin +; (4) C t cos 1+-ωω;(5) C x ++)(1ln ; (6) C e x +--221; (7) C x +2; (8) C x +3tan 31.习题2-5 (B)1. h R 0π2.2. 7683,4,0010,.V l .r l r V 2='===∆π, 0037680.dV V =≈∆; 用铜约为033550.(克).3. 0021021603.π-≈-. 4. 050.T =∆(秒)，设摆长约需加长 d l , d l 2292140050..≈⨯=π(厘米) .5. R 约增加了43.63 cm 2, 扇形面积约增加了 104.72 cm 2 .6. (1) 0. 87476 ; (2) - 0. 96509 .7. (1) 7430''o ; (2) 260'o .8. (3) 01309054tan .≈'; 0020)0021(ln ..≈.9. (1) 9.9867; (2) 2.0052 .总复习题二一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 二、1. 充分； 必要； 充要.2. t 2e t t f =)(, t 2e 2t t f )1()(+='.3.1)1='-0(x f . 4. 1+=x y . 5. b. 6. [10, 20] .三、1. 212xx y +='.2. (1))]}([)]([)]([)({)]([)(2222222222x f sin x f x f cos x f x 4x f cos x f dx yd 2'-''+'=;(2) )(4)(2)()(2)]([2222222x f x x f x f x f x f dxyd ''+'+''+'=.3.xx ydx y d ln 2-=. 4. 32222)1ln ()1ln ()1ln (++-+=y xy x x y y dx y d . 5. 322)1(f f dx y d '-''=. 6. ⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤<='1,110,20,3)(2x x x x x x f7. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x;(2) )(x f ' 在 ),(∞+-∞上是连续函数。
08-09高数A2期末考试卷(B)及答案
学专业班级学姓名密封线内不要答题密封线内不要答题江 苏 科 技 大 学 08 － 09 学年（2）学期 高等数学A2课程试题( B )卷 一． 填空题(每小题4分，共20分) 1．函数z =(1,1)处的全微分为______________ 2．旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程为___________________3.微分方程(2)()0x y dx y x dy -+-=的通解为__________________4.幂级数1(1)n n n x n ∞=-∑的收敛区间为___________________________5.__________y L xe ds =⎰其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t =⎧>⎨=⎩相应于233t ππ≤≤的一段弧 二、单项选择题(每小题4分，共20分) 1.设(,)z f u v =具有一阶连续偏导数，其中22,xy u x y v e =-= 则z x ∂=∂（ ） 12()2A xf yf ''+ 12()2xy B xf ye f ''+ 12()2xy C xf ye f ''+ 212()xy D xf y e f ''+2. 函数(,,)2f x y z z =-在条件222421x y z ++=下的极大值是（ ）()1,()0()1()A B C D --3. 2220(,)y ydy f x y dx =⎰⎰（ ）44110022()(,)()(,)xx x A dx f x y dy B dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰ 14221002()(,)()(,)x xx x C dx f x y dy D dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰4.下列级数绝对收敛的是( ))(A 1n ∞= )(B 11(1)a r c t a n n n n ∞=-∑ )(C 13!n n n n n ∞=∑ )(D 312cos n n n π∞=∑ 5.方程2cos y y x ''+=的一个特解应具有的形式(a 和b 为常数)（ ) 2()cos sin ()(cos sin )()(cos sin )()cos A a x b xB x a x b xC x a x b xD a x +++三.解下列各题(3⨯6分=18分)1. 设3(z e xyz a a -=为常数） 求z z x y∂∂+∂∂2.计算22()Dx y dxdy +⎰⎰ 其中D 是由直线2,0y x y ==及1x =所围成的闭区域3. 已知级数1n n u ∞=∑的部分和1n n S n+=，（1）写出该级数；（2）求和S四 .解下列各题(3⨯7分=21分)1.求3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy -+-+⎰ 其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到(,1)2π的一段弧2．计算222()x y z dS ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =介于0z =及1z =之间的部分3．求一曲线方程，使其过原点且在任一点(,)M x y 处的切线的斜率等于2x xy +五（本题共8分）计算xydydz yzdzdx zxdxdy ∑++⎰⎰,其中∑为1000x y z x y z ++====所围立体的表面的外侧六.(本题共7分)设函数()f x 连续，且满足00()()()x xx f x e tf t dt x f t dt =+-⎰⎰ 求()f x七．(本题6分)设)(x f 连续且恒大于零22222()()222(()()()()()()()t D t t t D t f x y z dvf x y d F t G t f x y d f x dx σσΩ-+++==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中 {}{}2222222()(,,)()(,)t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤+≤ 证明：当0t >时，2()()F t G t π>高等数学A2课程试题（B ）卷参考答案及评分标(08-09)一．填空题（每小题4分，共20分）1．1122dz dx dy =+ 2．4260x y z +--=3．2212x y xy c +-= 4．(]1,1-5．0二．单项选择题（每小题4分，共20分）1（C ） 2（C ） 3（B ） 4（D ） 5（B ）三.解下列各题（每小题6分，共18分）1. 解：令3(,,)z F x y z e xyz a =-- 1分则z F F F yz xz e xy x y z∂∂∂=-=-=-∂∂∂ 3分 z z F F z yz z xz y x F F xe xy y e xy zz ∂∂∂∂∂∂=-==-=∂∂∂-∂-∂∂ 5分z z z y z x z x y e x y∂∂++=∂∂- 6分 2．解：原式=212200()x dx x y dy +⎰⎰ 3分=261056分3．解： （1）112u s == 1分1111121(1)n n n n n u s sn n n n n -+-+=-=-=-≥-- 3分 1212(1)n n n u n n ∞∞==∴=--∑∑ 4分（2）lim 1n n s s →∞== 6分三．解下列各题（每小题7分，共21分）1.解：32222cos 12sin 3P xy y x Q y x x y =-=-+262cos P Q xy y x y x∂∂==-∂∂ 2分3222(2cos )(12sin 3)L AB BO xy y x dx y x x y dy ++--+-+⎰()0D Q P dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰ 4分原式AB BO=--⎰⎰=2120(123)4y y dy π-+⨯⎰ 6分24π= 7分（其中(,1)(,0)22A B ππ）2.解：z z x y ∂∂==∂∂ 2分原式222(xy D x y =+⎰⎰ 5分21300d r dr πθ=⎰7分 （其中22:1xy D x y +≤）3.解：由题得2y x xy '=+ 即2y xy x '-= 2分2x d x x d x y e x e d x c -⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎰ 222x ce =- 5分当0x =时，0y =得2c = 6分 222(1)x y e ∴=- 7分五.(本题8分)解:,,P xy Q yz R zx ===,,P Q R y z x x y Z ∂∂∂===∂∂∂ 2分 x y d y dz y z d z d x z x ∑++⎰⎰ =()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰ 4分(其中Ω为1000x y z x y z ++====围成的封闭区域)。
人教版A版高中数学必修2课后习题解答
第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构练习（第7 页）1．（1）圆锥；（2）长方体；（3）圆柱与圆锥组合而成的组合体；（4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体而得到的组合体。
2．（1）五棱柱；（2）圆锥3．略习题1．1A组1．（1） C；（2）C；（3）D；（4） C2．（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点，不是由平等于“底面”的平面截棱锥得到的。
（2）、（3）也不是台体，因为不是由平行与棱锥和圆锥底面的平面截得的几何体。
3．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体；（2）由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体。
4．两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球得到的简单组合体）。
5．制作过程略。
制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形。
B组1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。
2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。
1．2 空间几何体的三视图和直观图练习（第15 页）1．略2．（1）四棱柱（图略）；（2）圆锥与半球组成的简单组合体（图略）；（3）四棱柱与球组成的简单组合体（图略）；（4）两台圆台组合而成的简单组合体（图略）。
3．（1）五棱柱（三视图略）；（2）四个圆柱组成的简单组合体（三视图略）；4．三棱柱练习（第19 页）1．略。
2．（1）√（2）×（3）×（4）√3．A4．略5．略习题1．2A组1．略2．（1）三棱柱（2）圆台（3）四棱柱（4）四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体3~5．略B组1~2．略3．此题答案不唯一，一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体，如图。
1．3 空间几何体的表面积与体积。
深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案
AC1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 MC AM = MD BM ==+=+=∴AD 与BC 平行且相等，结论得证．3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M 的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M 的单位向量． 解： k j 2i 21+--=M M2)21()02()34(222=-+-+-=方向余弦：21cos -=α，22cos -=β，21cos =γ． 方向角：32πα=，43πβ=，3πγ=． 平行于向量21M M 的单位向量是k 21j 22i 21±． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量． 解：因为p n 3m 4a -+=k15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++=所以在x 轴上的投影为13a =x ． 在y 轴上的分向量为j 7．1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M 垂直的单位向量．解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ，设所求向量为),,(c b a b =，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a因为32M M b ⊥，所以 022=+-c b ， 因为1||=b ，所以1222=++c b a求得173±=a ，172=b ，172=c故所求单位向量为)172,172,173(±=be方法二：所求向量)4,4,6(2201422221--±=--±=⨯±=kj iM M M M b故)172,172,173(161636)4,4,6(||±=++--±==b b e b2．设{}=3,5,-2a ，{}=2,1,4b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直．解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλk )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++=因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=⇒=+-．3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ；(2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？解：(方法一) 设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b = ，由题意已知1222=++z y x a a a ，4222=++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a}2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++=(1) 已知n m⊥，所以0))(2())(2())(2(=++++++++z z z z y y y y x x x x b ka b a b ka b a b ka b a求得 2-=k ．(2) 根据题意，||6n m⨯=，得1-=k ，或5=k ．(方法二) (1) n m ⊥ ，0 =⋅∴n m ⇒0)()2(=+⋅+b a k b a ⇒0||||222=+b a k⇒042=+k ⇒2-=k .(2) 6 =S ，6|| =⨯∴n m ⇒6|)()2(|=+⨯+b a k b a⇒6|)()(2|=⨯-⨯b a k b a ⇒6|||2|=⨯⋅-b a k⇒6|||||2|=⋅⋅-b a k ⇒3|2|=-k ⇒51=-=k k 或.§7—31．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为),,(z y x ，根据题意，有222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x等式两边平方，然后化简得 0631044=-++z y x ． 2．求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为),,(z y x ，根据已知条件，得222222)20()30()10()2()3()1(++-+-=++-+-z y x整理得 0462222=+--++z y x z y x ． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) 22244x y z ++=； 解：椭球抛物面 (2) 22240x y z +-=； 解：圆锥面(3) 22349z x y =+．解：旋转抛物面§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：(1) 12x y =⎧⎨=⎩；解：(2) 0z x y ⎧⎪=⎨-=⎪⎩解：(3) 222222x y a x z a⎧+=⎨+=⎩．解：2．方程组221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？ 解：在平面解析几何中，表示椭圆22149x y +=与直线3y =(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面22149x y +=与其切平面3y =的交线(直线).3．求由上半球面z =220x y ax +-=及平面0z =所围成的立体，在xOy 面和xOz 面上的投影．解：想象该立体的形状，知向xoy 面上的投影柱面的方程为ax y x =+22，即为圆柱面222)2()2(ay a x =+-，故该立体在xoy 面上的投影为圆面： ⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-0)2()2(222z a y a x ．消去y ：222y x a z --=，在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==+0222y az x柱面022=-+ax y x 在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==-002y ax x故在xoz 面上的投影是⎩⎨⎧=≥≥≤+0,0 ,222y x z a z x .§7—51．求通过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程． 解：设所求平面方程为0573=++-D z y x ，因为过点)1,0,3(-，所以0)1(*50*73*3=+-+-D ，得4-=D ，故所求平面方程为04573=-+-z y x2．求过点0(2,9,6)M -且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程． 解：由条件 }6,9,2{0-=OM 与平面垂直，所以}6,9,2{-=n，所求平面方程为0)6(6)9(9)2(2=+--+-z y x ， 即0121692=--+z y x ．3．求平面2250x y z -++=与各坐标面的夹角余弦． 解：与xoy 平面的夹角余弦为319|1*10*)2(0*2|cos 1=+-+=θ 与xoz 平面的夹角余弦为329|0*11*)2(0*2|cos 2=+-+=θ与yoz 平面的夹角余弦为329|0*10*)2(1*2|cos 3=+-+=θ§7—61．求过点(4,1,3)-且平行于直线3125x z y --==的直线方程． 解：设所求直线为l ，直线5123-==-z y x 的方向向量为)5,1,2(，则直线l 的方向向量为)5,,2(t t t ， 故所求直线方程为53124-=+=-z y x ． 2．求过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程．解：所有直线L 过点1M ，2M 两点，则L M M //21，故可取21M M s =，即}1,2,4{}12,20,31{21-=-+--==M M s所以所求直线方程为：121202313--=++=---z y x ，即112243-=+=--z y x ．3．求点(1,2,0)-在平面210x y z +-+=上的投影．解：过点)0,2,1(-且垂直于平面的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y tx 0221，代入平面方程中，01)()22(2)1(=+--+++-t t t ，得32-=t ，代入直线的参数方程，得35-=x ，32=y ，32=z ，即投影点为)32,32,35(-．第八章 多元函数微分法及其应用§8-11.求函数22(,,)arcsin x y f x y z z+=的定义域.解：要使函数有意义，须0z ≠，且221.x y z+≤ 即, 22,0x y z z +≤≠ 或 22,0.z x y z ≤-≠－ 2．求极限：2001cos()lim.()x y x y x y →→-++ 解：(方法一) 22200002sin 1cos()112lim lim .()422x x y y x yx y x y x y →→→→+-+==++⎛⎫ ⎪⎝⎭(方法二) 2121lim cos 1lim 22020==-=→→=+t t tt t t ty x 原式. §8-21．设2,y z u x +=求一阶偏导数. 解：22221();ln ;2ln .y z y z y z u u uy z x x x zx x x y z+-++∂∂∂=+==∂∂∂ 2．设2ln(sin )z x y =+，求偏导数,z z x y ∂∂∂∂及2.z x y∂∂∂解：2222222cos 22cos ;;.sin sin sin (sin )z x z y z x x yx x y y x y x y y x y x y ⎛⎫∂∂∂∂====- ⎪∂+∂+∂∂∂++⎝⎭ §8-3设xz u y =，求du . 解：1ln ;;ln .xz xz xz u u uzy y xzy xy y x y z-∂∂∂===∂∂∂1ln ln .xz xz xz u u udu dx dy dz zy ydx xzy dy xy ydz x y z-∂∂∂∴=++=++∂∂∂ §8-41． 设(,)x z f x y =，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解：令,.xu x v y==则''''12121;z du v f f f f x dx x y ∂∂=⋅+⋅=+∂∂''222;z v xf f y y y∂∂=⋅=-∂∂ ''2''''''''121221222222231111.f f z z x x f f f f f f x y y x y y y y y y y y y⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫==+=-+=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2. 设22x y z e +=，其中cos y x =，求dzdx. 解：令22,.u x v y ==则222222222-2s i n x y x y x y x y d z u v d y e e x e y ex d x xy d x++++∂∂=⋅+⋅⋅=∂∂22cos (2-sin2).x xex x +=§8-51．设ln x zz y=，求22,z z x x ∂∂∂∂.解：设(,,)ln .xz F x y z z y =-则211,,.x y z x zF F F z y z+===-由隐函数存在定理，得22223;()1.()()x z F z zx F x zz z x z z z z z z x x x x x x x z x z x z ∂=-=∂+∂∂⎛⎫+-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭2．设(,)F u v 可微，0F F ab u v∂∂+≠∂∂，证明由22(,)0F x az y bz --=所确定的函数(,)z z x y =满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. (方法一) 证明：设22,.u x az v y bz =-=-则2;2;.x u y v z u v F xF F yF F aF bF ===-- 由于0F F ab u v∂∂+≠∂∂，于是，由隐函数存在定理，得 22;.y x u v z u v z u vF F xF yF z zx F aF bF y F aF bF ∂∂=-==-=∂+∂+从而，222.u vu vxy aF xy bF z z aybx xy x y aF bF ⋅+⋅∂∂+==∂∂+ 证毕.（方法二） 证明：方程22(,)0F x az y bz --=两边分别对x ,y 求导：（注意),(y x z z =）对x 求导：0)()2(21=∂∂-+∂∂-x z b F x z a x F ⇒2112bF aF xF x z+=∂∂ 对y 求导：0)2()(21=∂∂-+∂∂-y zb y F y z a F ⇒2122bF aF yF y z +=∂∂ 从而满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. §8-61．求曲线2244x y z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线方程，并问该切线与x 轴的正向所成的角度是多少？解：(方法一) 设22(,,),(,,) 4.4x y F x y z z G x y z y -=-=- 于是，曲线在点(2,4,5)处的切向量为z y x z x y 000000y x x y F F F - -1 1 -,,,,(1,0,1).2222 G G G 1 00 00 1y x z y z x F F F t G G G ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩另外，x 轴上的单位向量为(1,0,0)i =.由两向量夹角余弦公式得：cos 2i t i t θ⋅===⋅.∴切线与x 轴的正向所成的角度是.4πθ== (方法二) 设切向量)5,4,2(},,1{x z x y t ∂∂∂∂=⇒}1,0,1{}2,0,1{)5,4,2(==xt 所以切线方程为 ：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩ 另外设该切线与x 轴正向所成角为α，则αtan =∂∂x z ⇒2tan x=α代入点)5,4,2(1tan =⇒α，所以4πα=.2．证明曲面3xyz a =的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.证明：设3(,,).F x y z xyz a =- 则;;.x y z F yz F xz F xy ===于是，曲面3xyz a =在它上面任意一点000(,,)x y z 处的切平面方程为：000000000()()()0.y z x x x z y y x y z z -+-+-= 即 000000003.xy z yx z zx y x y z ++= 易知，该切平面在,,x y z 轴上的截距分别为：0003,3,3.x y z则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为 30000001199333.3222V x y z x y z a =⋅⋅⋅⋅== 证毕.§8-71. 求22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数的最大值. 解：由已知，有2;22;2.x y z f x f y z f y =-=+=(1,2,1)(1,2,1)(2,22,2)(2,6,4).gradf x y z y ∴=-+=-而，22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数在沿(,,)f x y z 在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模.∴最大值为(1,2,1)gradf ==2.求222ln()u x y z =++在点(1,2,1)-处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解：向量(9,4,14)(5,1,2)(4,3,12)-=的方向即是l 的方向.于是，与l 同向的单位向量4312(,,).131313l e = 222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)21;322 ;321 .31423112231331331339u xx x y z u yy x y z u zz x y z u l -------∂==∂++∂==∂++∂==-∂++∂∴=⋅+⋅-⋅=-⋅∂§8-81．将正数a 分成三个正数,,x y z 之和，使得2u xyz =最大. 解：即是求2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的最大值.构造拉格朗日函数：2(,,,)().L x y z xyz x y z a λλ=+++-求解方程组220020x y z L yz L xz L xyz x y z a λλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩得：,,.442a a a x y z ===这是2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的唯一可能极值点，而2u xyz =的最大值一定存在.故，,,442a a a x y z ===就是满足条件的a 的分解，此时，4.64a u =2．求函数ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值.解：构造拉格朗日函数2222(,,,)ln ln 3ln (5).L x y z x y z x y z r λλ=+++++-求解下列方程组22221201203205x yz L x x L y y L z z x y z rλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪++=⎩得：,,.x r y r z r ==这是唯一可能的极值点，而最大值一定存在.故，ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值在,,x r y r z ===时取得，最大值为5ln .第九章 重积分§9－11．估计积分的22()DI x y dxdy =+⎰⎰值，其中22: 1.D x y +≤解：在区域D 上，有220 1.x y ≤+≤区域D 的面积21.S ππ=⋅= 由估值定理得：001.I πππ=⋅≤≤⋅= 2．比较积分2()Dx y dxdy -⎰⎰与3()Dx y dxdy -⎰⎰的大小，其中D 由0,x =0,1y x y ==+所围.解：区域D 可以表示为：01,10.x x y ≤≤-≤≤则在区域D 上有： 1.x y -≤从而，32()()x y x y -≤-在D 上成立.32 ()().DDx y dxdy x y dxdy ∴-≤-⎰⎰⎰⎰3．2224,:,0,0,Ddxdy D x y R x y π=+≤≥≥⎰⎰则________.R =解：区域D 是半径为R ，圆心在原点的四分之一圆域.由已知，D 的面积为：4.Ddxdy π=⎰⎰4.∴=§9－2 1．110sin _________.yxdy dx x=⎰⎰ 解：积分区域{}(,)01,1.D x y y y x =≤≤≤≤把D 视作X-型区域，则{}(,)01,0.D x y x y x =≤≤≤≤于是，[]1111100000sin sin sin cos 1cos1.x yx x x dy dx dx dy xdx x x x x==⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2．{}22,(,)1,0,0,_____.DI xdxdy D x y x y x y I ==+≤≥≥=⎰⎰则1111(); (); (); ()A dx xdy B dx C dx D ⎰⎰⎰⎰解：将D 视为X-型区域：{(,)01,0.D x y x y =≤≤≤≤100. ().I dx C ∴=⎰故，选3．cos 20(cos ,sin )______.d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰110000111() (,); () (,);() (,); () (,)A dy f x y dxB dx f x y dyC dy f x y dxD dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰⎰解：由已知，在极坐标系中，积分区域D:0,0cos .2r πθθ≤≤≤≤则在直角坐标系中，积分区域D：01,0x y ≤≤≤≤1(,).().dx f x y dy B ⎰于是，原式＝故，选4．求D⎰⎰，D 由,1,1y x x y ==-=所围. 解：积分区域D 可视作X-型区域：11, 1.x x y -≤≤≤≤()13111222111311212311(1).32x Dx dx x y dxx dx ---⎡⎤∴==-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算{}22,(,)0,2.DI D x y y x x y x ==≤≤+≤解：在极坐标系中，积分区域D 可以表示为：0,02cos .4πθρθ≤≤≤≤那么，2cos 232444000088cos (1sin )sin 339I d d d d πππθθρρθθθθ===-=⎰⎰⎰⎰ §9－31．计算xyzdV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解：令sin cos ,sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ===则Ω可以表示为：0,0,0 1.22r ππθϕ≤≤≤≤≤≤于是，有122201352200sin cos sin sin cos sin 1111 =sin cos sin cos .24648xyzdV d d r r r r dr d d r dr ππππθϕϕθϕθϕϕθθθϕϕϕΩ=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．zdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由221()22z x y z =+=与所围.解：将Ω投影在z 轴上得投影区间[0,2].取[0,2]z ∀∈，过(0,0,)z 作平行 于xoy 面的平面，该平面与Ω的交面记为,z D 则{}22(,,)2.z D x y z x y z =+≤ 于是，220016()2.3z D zdxdydz zdxdy dz z zdz ππΩ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．xdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由z z ==所围的第一卦限部分.解：令cos ,sin .x r y r θθ==将Ω投影在xoy 面上得投影区域：(,)0,0.22xy D r r πθθ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭过(,)xy r D θ∀∈作平行于z 轴的直线，该直线从)z r =即z＝进入Ω内，由z z ==即从Ω穿出. 则Ω可以表示为：0,022r r z πθ≤≤≤≤≤≤ 于是，有22200sin 22400cos cos )111 =sin cos .16163216rr xdxdydz d rdz d r drd πππϕθθθθπϕϕϕΩ==⋅=⋅--=-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰令第十章 曲线积分与曲面积分§10－11．设L为下半圆周y =22()________.L x y ds +=⎰ 解：(方法一)L的参数方程为：cos ,2.sin x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩则.ds d θθ==于是，222().L x y ds d ππθπ+==⎰⎰ (方法二) ππ=⋅⋅==+⎰⎰≤=+12211)()0(1:2222ds dsy x Ly y x L L. 2．xyzds Γ⎰，其中Γ为2cos 2sin ,0.4x ty t t z t π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩解：由已知，得.ds ==于是，444044002cos 2sin sin 2cos 2 cos 2cos 22xyzds t t t t tdt td tt t tdt πππππΓ=⋅⋅=⋅=⎤=-=⎥⎦⎰⎰⎰§10－21．(2)L a y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-上对应于t 从0到2π的一段弧. 解：由已知，(sin ):,02.(1cos )x a t t L t y a t π=-⎧⎨=-⎩从变到那么，[]20222(2)(2cos )(1cos )(sin )sin sin 2.La y dx xdy a a a t a t a t t a t dt a t tdt a πππ-+=-+⋅-+-⋅==-⎰⎰⎰§10－31．设L 为1x y +=的反时针方向，则2(2)()_.y x Lxy e dy y y e dx -+-+=⎰()0; ()2; ()4; ()1.A B C D解：记L 所围的区域为D ，易知D.由已知，2,2.x y P y y e Q xy e =-+=- 则，221 1.Q P y y x y∂∂-=-+=∂∂ 由格林公式，得2(2)()1 2.y x LDxy e dy y y e dx dxdy -+-+==⎰⎰⎰故，选(B).2．22L xdy ydxx y-+⎰，L 经上半椭圆221(0)4x y y +=≥从(2,0)(2,0)A B -→.(方法一) 解：选适当的0r >,构造上半圆周222(0)x y r y +=≥，设它与x 轴的两个交点为(,0),(,0),C r D r -其方向为从D 到C.则L BD DC CA +++构成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为Ω.由已知，22222222222222,. 0.()()y x Q P y x y x P Q x y x y x y x y x y -∂∂--==-=-=++∂∂++则，由格林公式，得220.L BD DC CA xdy ydxQ P dxdy x y x y +++Ω⎛⎫-∂∂=--= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 则，22222222.LBD DC CA xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y ⎛⎫---- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ＝－＋＋ 而，cos :,2:,0:,--2.0sin 0x x x r x x BD x r DC CA x r y y r y θθπθ===⎧⎧⎧→→→⎨⎨⎨===⎩⎩⎩从；从；从 于是，2222222000; 0; .r BD CA DC xdy ydx xdy ydx xdy ydxdx d x y x y x yπθπ---=====+++⎰⎰⎰⎰⎰ 故，.π原式＝－(方法二) 解：x y Q P = ，∴该曲线积分与路径无关，选择路径上半圆4:22=+y x l .πθθθθππ-==+=+-=+-⎰⎰⎰⎰d d y x ydxxdy y x ydx xdy lL0022222214sin 4cos 4. 3．22321(1)L y x ydx dy x x ++-⎰，L 沿2241x y y +-=的反时针方向从(1,0)(2,1)A B →.解：构造辅助折线BCA ，其中点C(1,1). 则L BCA +为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为D.由已知，2232331(1)22,. 0.y x y Q P y yP Q x x x y x x ++∂∂==-=-=∂∂则－由格林公式得：22321(1)0.L BCA y x ydx dy x x +++-=⎰ 于是，22321(1)L y x y dx dy x x ++-⎰＝22321(1)BCA y x y dx dy x x++--⎰. 对于22132321(1)23:,2 1. .14BC x x y x y BC x dx dy dx y x x x =⎧++∴-==-⎨=⎩⎰⎰从变到 对于22032111(1):,10. (2) 1.x y x y CA y dx dy y dy y y x x =⎧++∴-=-=⎨=⎩⎰⎰从变到 31(1).44-+=-故，原式＝-4．设L 为222x y a +=的反时针方向，则22()()__.Lx y dx x y dyx y +--=+⎰解：取适当的0r >，构造222:l x y r +=，为顺时针方向.记L 与l 围成的区域为D. 由已知，2222(),. 0.x y x y Q PP Q x y x y x y+--∂∂==-=++∂∂则 由格林公式得：22()()0.L lx y dx x y dyx y++--=+⎰ 于是，222220()()()()(1)2.Ll x y dx x y dy x y dx x y dyd x y x y πθπ+--+--=-=-=-++⎰⎰⎰方法二：π2)2()()()()(2222-=-=--+=+--+⎰⎰⎰⎰dxdy a a dy y x dx y x y x dy y x dx y x DL L . §10－4222222.0(0).dS z z H x y R H x y z ∑∑==+=>++⎰⎰其中是介于平面及之间的圆柱面 解：记右半柱面为1:y ∑==1∑在xoz 面上的投影区域为：{}(,),0.xz D x z R x R z H =-≤≤≤≤记左半柱面为2:y ∑==2∑在xoz 面上的投影区域为也是xz D .那么，1222222222222222212()122arctan .xz D RHdS dS dS x y z x y z x y z x R x z HR dz R z Rπ∑∑∑-=+=+++++++-+=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§10－51．2222,.zdxdy x y z a ∑∑++=⎰⎰为的外侧解：记上半球面为1:z ∑=取上侧.记下半球面为2:z ∑=取下侧.它们在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y a =+≤12320422.3xyD a zdxdy zdxdy zdxdy d d ππθρ∑∑∑+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝=2.(),0(0).x y dxdy z z z h h ∑-∑==>⎰⎰为圆锥面与之间的下侧解：∑在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y h =+≤22()()(cos sin )0.xyhD x y dxdy x y dxdy d d πθρθθρ∑--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝－§10－61．2(2)-2,z x dydz zdxdy ∑+⎰⎰其中∑为221()2z x y =+介于0z =与2z =之间部分的下侧.解：构造辅助平面2212(4)z x y ∑=+≤：，取上侧.则1∑+∑构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为Ω. 由已知，22, 0, 2.P z x Q R z =+==-于是，0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂ 由高斯公式，得 ：12(2)-200.z x dydz zdxdy dv ∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰于是，1122(2)-2(2)-224416.zx dydz zdxdy z x dydz zdxdy zdxdy ππ∑∑∑+=-+==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为2222(0)x y z a a ++=>的外侧.解：记∑所围成的空间区域为Ω. 由已知，333, , .P x Q y R z ===于是，2223().P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂ 由高斯公式，得33322252403()12 3sin .5ax dydz y dzdx z dxdy xy z dxdydzad d d πππθϕϕρρ∑Ω++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§11-1 1．判定级数∑∞=15n nn的收敛性． 解：n n n s 552512+++=, 1325525151++++=n n n s 12551515151+-+++=-n n n n n s s 1155115151++---=n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++115)5151(4545n n n n s 165lim =∞→n n s ，故该级数收敛． 2．判定级数∑∞=-1717n n n 的收敛性．解：01717lim lim ≠=-=∞→∞→n n n n n u通项不以0为极限，从而该级数发散． §11-21．判定级数∑∞=151tan3n n n 的收敛性． 解：因为 15351tan3lim=∞→nn n n n ，而级数∑∞=153n n n收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．2．判断级数∑∞=++1311n n n 的收敛性．解：33111nn n <++，而级数∑∞=131n n收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．3．判断级数)0( ,111>+∑∞=a an n的收敛性． 解：当1=a 时，级数发散．当1>a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=11n na 收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．当1<a 时，111lim=+∞→nn a ，原级数发散． 所以当1>a 时收敛，1≤a 时发散．4．判断级数∑∞=16!n n n 的收敛性．解：因为0)1(lim !)!1()1(lim lim66661=⋅+=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n ，所以根据比值审敛法知此级数收敛．5．判断级数nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1sin π的收敛性．解：因为0)(lim )(sin lim lim ≠∞===∞→∞→∞→n n n n n n n n nn n n u ππ，所以通项不以0为极限，从而级数发散．6．判断级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1312n n n n n 的收敛性．解：因为133)1(lim 3)1(limlim 2<=+=+=∞→∞→∞→e n n n n u nn nn n n n n n ，所以根据根值审敛法知此级数收敛．7．判断级数是条件收敛还是绝对收敛 (1)∑∞=--221ln 1)1(n n n ； 解：因为∑∞=22ln 1n n 发散，而∑∞=--221ln 1)1(n n n 为交错级数，其收敛，所以此级数是条件收敛．(2) ()22cos4ln n n n n π∞=∑． 解：因为22)(ln 1|)(ln 4cos|n n n n n ≤π，而级数∑∞=22)(ln 1n n n 收敛，所以此级数是绝对收敛． 8．设级数∑∑∞=∞=11,n n n n b a 都收敛，且n n n b c a ≤≤，证明级数∑∞=1n n c 也收敛．证明：因为n n n b c a ≤≤，所以0≥-≥-n n n n a c a b ．又因为∑∑∞=∞=11,n n n n b a 收敛，所以∑∞=-1)(n n n a b 收敛，根据比较审敛法知级数∑∞=-1)(n n na c收敛，从而∑∞=1n n c 也收敛．§11-31．求幂级数()∑∞=--1131n n nn nx 的收敛半径与收敛域． 解：因为31|31)1()1(31)1(|lim ||lim 111=-+-==-+∞→+∞→nn a a nn n nn nn n ρ，所以收敛半径31==ρR ． 对于端点3=x ，级数为交错级数()∑∞=--1111n n n收敛； 对于端点3-=x ，级数∑∞=-1)1(n n 发散．因此，收敛域是]3,3(-． 2．求幂级数∑∞=-+112)1(n n x n n 的和函数． 解：先收敛域．由12)1(2)2)(1(lim ||lim 1=+++==∞→+∞→n n n n a a n nn n ρ，得收敛半径11==ρR ．在端点1=x 处，幂级数成为∑∞=+12)1(n n n 发散；在端点1-=x 处，幂级数成为∑∞=-+-112)1()1(n n n n 发散．因此收敛域为)1,1(-=I ． 设和函数为)(x s ，即∑∞=-+=112)1()(n n x n n x s ，)1,1(-∈x ． 0)0(=s逐项积分，得∑∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=∞=-+=+=+=11100110212)1(2)1()(n n n n x x n n xx n dx x n n dx x n n dx x s 再逐项积分，得)1(222121101x x x dx x n n n x n n -==+∑⎰∑∞=+∞=． 则32)1(1))1(2()(x x x x s -=''-=，)1,1(-∈x ． §11-41．将()21x e +展成x 的幂级数． 解：∑∞=++=++=+022!22121)1(n nn xxxx n e e e )(+∞<<-∞x2．将函数xx f +=51)(展成()1-x 的幂级数． 解：∑∞=--=-+⋅=-+=+06)1()1(61)61(1161)1(6151n nnn x x x x )66(<<-x §11-71．将函数()ππ≤≤-=x x x f 2)(展开为傅里叶级数，并求级数∑∞=--121)1(n n n 的和． 解：2)(x x f =在[]ππ,-上满足收敛定理的条件且为偶函数，故22032d 1ππππ==⎰-x x a⎰⎰==-πππππ022cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰-=ππππ002s i n 2|]s i n [2x d xx n x x 24)1(c o s 4nn nx n n -=⋅=ππ ()[]πππ, ,cos 4131222-∈-+=∑∞=x nx n x n n有()[]∑-∈-+-=--πππ , ,cos 11242122x nx n x n令0=x ，有 12)1(2121π=-∑∞=-n n n 2．将函数()πππ≤≤-=x - ,24)(xx f 展开为傅里叶级数． 解：24)(xx f -=π，在[]ππ ,-上满足收敛定理，所以2d 241-0πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x a()nx nx x b x nx x a nn n 1d sin 2410d cos 241--=⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-ππππππππ故 ()()ππππ, ,sin 14241-∈-+=-∑∞=x nx n x n n3．将函数()π≤≤=x e x f x 0 ,)(展为以π2为周期的余弦级数．解：对函数)(x f 作偶延拓，⎩⎨⎧≤≤<≤-=-ππx e x e x F xx 0 ,0,)( 则)(x F 是满足收敛定理的偶函数，故()()[]()1112d cos 212d 202000+--==-===⎰⎰n e x nx e a e x e a b nxn xn ππππππππ在[]π ,0∈x 内，)()(x f x F =，故有()[][]ππππ,0 ,cos 11121)(12∈+--+-=∑∞=x nx n ee xf n n x4．将函数()()ππ<<-=x x x x f 0 ,)(展为以π2为周期的正弦级数．解：对函数)(x f 作奇延拓()()⎩⎨⎧≤<-+<<-=0 ,0,)(x πx x x x x x F πππ 则)(x F 是满足收敛定理的奇函数，知, ,2 ,1 ,0 ;00 ===n a a n()()[]. ,2 ,1 ,114d sin 23=---===⎰n n x nx x x b nn ππππ故在()π ,0∈x 内，)()(x f x F =，即()()()ππ,0 ,12sin 1218)(13∈--=∑∞=x x n n x f n§11-8将函数()22 ,)(2<<--=x x x x f 展为以4为周期的傅里叶级数．解：()38d 2122-20=-=⎰x x x a ()().,2 ,1 ,116d 2x n cos 2122222 =-=-=⎰-n n x x x a nn ππ()()n n n x x n x x b 14d 2sin 21222-=-=⎰-ππ故()()2 ,2 ,2sin 42cos 161341n 222-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-∑∞=x x n n x n n x x n ππππ.§12—1 1．写出微分方程=y y e x '-的积分曲线的所有拐点满足的方程．解：因为x e y y -='，所以1-'=''y e y y ，即1)(--=''x e e y y y ． 由拐点的定义知，拐点满足0=''y ，即01)(=--x e e y y 所以所求方程为01)(=--x e e y y ． 即 2ln )4ln(2-++=x x y ．2．求出双曲线222x y ax -=所满足的微分方程．解：求导，得a y y x 222='- (1)由ax y x 222=-，得xy x a 222-=，代入(1)式，得22222y x y xy x -='-即所求微分方程为 222y x y xy +='．§12—2利用分离变量方法解下列方程： 1．22()()0xyx dy x y y dx ++-=，(1)1y =．解：分离变量后得 dx xx dy y y 2211-=+，两端积分⎰⎰-=+dx xx dy y y 2211， 得 C x x y y +-=+2||ln ||ln 222， 将1)1(=y 代入，得1=C ．方程的解为：1||ln )(2122=++xyy x ． 2．12y x y'=+．解：若把所给方程变形为y x dydx+=2即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解．也可用变量代换来解所给方程：令u y x =+2，则x u y 2-=，2-=dxdu dx dy ，代入原方程，得 u dx du 12=-，u u dx du 12+= 分离变量得dx u udu=+12， 两端积分得 1|12|ln 4121C x u u +=+-．以y x u +=2代入上式，得 1|124|ln 4121C x y x y x +=++-+即 y Ce y x 2124=++，其中142C y e C -±=． §12—3利用齐次方程方法解：22()x xy y xy y '+=+．解：原方程可写成111)(2+++-=yx xy y x dxdy因此是齐次方程．令u x y =，则 ux y =，dxdu x u dx dy +=， 于是原方程变为 1111)1(2+++-=+uu udxduxu ，即 uu dx du x +-=112， 分离变量，得 x dxudu u =-+21)1(， 两端积分，得 C x u u +=--||ln )1(arcsin 212．以xy代上式中的u ，便得所给方程的通解为 C x xy x y =---||ln 1arcsin 22．§12—4利用线性方程或伯努利方程解法解 1．3yy x y '=+．解：将方程化为21y x ydy dx =-． 这是一个非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．01=-x y dy dx ，ydyx dx =，Cy x =． 用常数变易法，把C 换成u ，即令 uy x =， (1)那么u y u dydx+'=， 代入所给非齐次方程，得 y u ='两端积分，得 C y u +=22． 再把上式代入(1)式，得 y C y x )2(2+=．2．242x y xy xe-'+=解：以y 除方程的两端，得2242121x xe xy dxdyy--=+， 即 22422121x xe xy dxdy-=+， 令21y z =，则上述方程成为22x xe xz dxdz-=+． 这是一个线性方程，它的通解为 22221x e Cez x x --+=． 以21y 代z ，得所求方程的通解为 222)21(2x C ey x +=-．§12—6利用降阶法解高阶微分方程 01=--''+'''x y y x ． 解：令p y =''，则dx dp p y ='='''，原方程化为 xp x p 111+=+'，此一阶线性方程的通解为 x C x p 1)2)1((2++= 故 32123||ln 212C x C x x C x x y ++++=． §12—71．下列函数组是线性相关还是无关？为什么? (1)x e ，1x e +；解：因为e ee x x 11==+为常数，故函数组是线性相关．(2) 1，sin x ，cos2x ．解：线性无关．2．验证:5112x y e =是非齐次方程532x y y y e '''-+=的解及x e y =1，x e y 22=，x e y 233=是对应的齐次方程的解．并写出非齐次方程532x y y y e '''-+=的通解． 解：x e y 5125='，xe y 51225=''，将y y y ''',,代入方程的左边，得 右边==+-x x x x e e e e 5555121212531225． x e y ='1，x e y =''1，代入方程，得 023=+-x x x e e e ． x e y 222='，xey 224=''，代入方程，得 0264222=+-x x x e e e ． x e y 236='，x ey 2312=''，代入方程，得 061812222=+-x x x e e e 非齐次方程的通解为 xx x e e C e C y 5221121++=． §12—81．(5)(4)(3)690y y y -+=，求它的通解．解：所给微分方程的特征方程为 096345=+-r r r ，其根31=r (重根)，02=r (三重根)因此所给微分方程的通解为 )(5432321x C C e x C x C C y x ++++=2．求微分方程430y y y '''-+=的积分曲线，设它在点0(0,2)M 与直线2240x y -+=相切． 解：所给微分纺车功能的特征方程为 0342=+-r r其根31=r ，12=r ，因此所给微分方程的通解为x x e C e C y 231+=． 此方程过点)2,0(0M ，即212C C +=，且1)0(='y ，即2131C C += 求得211-=C ，252=C ．所求积分曲线为x x e e y 25213+-=． §12—91．求x e x x y y y 32)(23+=+'-''的通解．解：与所给方程对应的齐次方程为023=+'-''y y y ，它的特性方程为 0232=+-r r ，得21=r ，12=r ．由于这里3=λ不是特征方程的根，所以应设特解为x e b x b x b y 32120*)(++=，把它代入所给方程，得x x b b b x b b x b +=+++++22011020223)26(2比较两端x 同次幂的系数，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=1121022312612210201100b b b b b b b b b 因此求得一个特解为x e x x y 32*)121(+-=，从而所求的通解为x x x e x x e C e C y 32221)121(+-++=2．求44(sin 2cos2)y y x x ''+=+，满足()()2y y πππ'==之特解． 解：与所给方程对应的齐次方程为04=+''y y ，它的特征方程为042=+r ．由于这里i i 2=+ωλ是特征方程的根，所以应设特解为 )2c o s 2s i n (*x b x a x y +=．把它代入所给方程，得 x x x b x a 2cos 42sin 42sin 42cos 4+=-， 比较两端同类项的系数，得1=a ，1-=b ．于是求得一个一个特解为 )2cos 2(sin *x x x y -=，从而所求的通解为)2cos 2(sin 2sin 2cos 21x x x x C x C y -++=．将πππ2)()(='=y y 代入y 及y '，得π31=C ，212=C ． 故所求特解为 )2cos 2(sin 2sin 212cos 3x x x x x y -++=π．自测题一一. 填空题1. 设矢量,a b 的模分别是22a =,2b =, 则()22a b a b ⨯+⋅= . 2. 过点(1,2,-1)与矢量1{1,2,3}s =--及2{0,1,1}s =--平行的平面方程是 . 3. 设1y z x +=, (其中0,1x x >≠), 则dz = .4. 函数(,)f x y 在点()00,x y 可微是(,)f x y 在点()00,x y 可偏导的 条件.5. 若13y =, 223y x =+, 233x y x e =++都是微分方程: ''()'()()y p x y q x y f x ++=的解(其中()0f x ≠,()p x ,()q x ,()f x 都是已知的连续函数), 则此微分方程的通解为 .6. 微分方程''4'290y y y ++=的通解是 .二. 选择题1. 设矢量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯, 则( )(A) 必有0a = (B) 必有0b c -=(C) 当0a ≠时, 必有b c = (D) 必有()a b c λ=-, (λ为常数) 2. 方程22480y z z +-+=表示( )(A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面3. 函数2222224,0(,)00xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩若若在原点(0,0)间断的原因为(,)f x y ( )(A) 在原点无定义(B) 在原点极限存在, 但在原点无定义 (C) 在原点极限不存在(D) 在原点极限存在, 但极限值不等于原点的函数值 4. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)处沿{}11,44L =的方向导数为( ) (A) 最大(B) 最小(C) 1 (D) 05. 微分方程''2'x y y y xe -++=的特解*y 应有的形式为( ) (其中,a b 为待定常数). (A) ()x ax b e -+(B) 2()x ax bx e -+(C) 32()x ax bx e -+(D) x ae -6. 函数sin y c x =-(其中c 是任意常数)是微分方程22sin d yx dx =的( ) (A) 通解(B) 特解(C) 解, 但既不是通解, 也不是特解 (D) 不是解三. 解答题1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅求'(1,1)x f .2.已知,,a b c 为单位向量, 且满足0a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅.3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂.4.设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z y x x y∂∂-∂∂5.求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.6.求曲面228xy +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.7.设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.8.设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .9.=.10.在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离.自测题一参考答案四. 填空题 1. 2 2. (1)(2)(1)0x y z --+--+= 3. [](1)ln y x y dx x xdy ++ 4. 充分5.2123x y C x C e =++6. ()212cos5sin5x y e C x C x -=+五. 选择题 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C六. 解答下列各题.1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f . 解：2(,1)f x x =，'(,1)2x f x x ∴=， '(1,1)2x f ∴=2. 已知,,a b c 为单位向量, 且满足0a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅. 解：0a b c ++=，()0a a b c ∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=；同理， ()0b a b c ⋅++=， 10a b b c ∴+⋅+⋅=；()0c a b c ⋅++=， 10a c b c ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a +⋅+⋅+⋅=， 即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3. 设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂. 解：''''12121z x f x f y f f xyf f x y y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦， 2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322z x x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y yy y y x x xf f x yf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 解：'22z x x f z ∂=∂-，''22z y f f zy yf z -+∂=∂-，''2xz xf fz z y y x x y f z-∂∂∴-=∂∂-。
高一数学新课程导学A2参考答案
3.证明：设 A∈a，过 A 点作面 M,使面 M∩a=a, 面 M I b = a ' ,面 M I g = a ''， ∵ a ∥ b ∴ a∥a ' ∵ b∥g ∴ a∥a '' ∵ a Ë g ， a '' Ì y ∴ a∥g 过 A 作面 N，使面 N∩a=b，面 N I b = b ' ，面 N I g = b" ，同理可证 b∥γ. ∵aÌa,bÌa,a∩b=A ∴a∥g 4.证明：AD1∥BC1，AD1 Ë 面C1BD，BC1 Ì 面C1BD
1.1.2 简单组合体的结构特征 夯实基础 1.A 2.A 3.C 4.C 5.长方体 6.等腰梯形 7.略 8.不是棱柱，也不是棱锥.连 EB、EC 它是四 棱锥 E-ABCD.三棱锥 E-BCF 的组合体. 9.略 10.平面图形可以折叠成立体图形 立体图形可以 展开平面图形 11.两个同心的球面围成的几何体 12.略 13.9cm 14.略 提升能力 1.略 2.截去是三棱柱，剩下是四棱柱 3. ⑴能 ⑵.⑶不能 4.至少 5 条棱
行或异面
10.［
p
p ,
］
11.略
12.45°
62
13.⑴6 ⑵4 ⑶6 ⑷6 14.⑴90°⑵45°⑶60° 提升能力
1.C 2.D 3.C 4. ⑴AA'、AD、A'B'、B'C'、BB' ⑵AB、BC、CD、DA、A'B'、B'C'、C'D'、D'A' ⑶45°、60°
2.1.3 空间中直线与平之间的位置关系
4.3: 2: 1 5. 1 QR 3
高等数学a2期中测试题及答案
高等数学a2期中测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2在x=-1处的导数是多少？A. -4B. -2C. 4D. 2答案：A3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫e^x dx = e^x + CC. ∫sin(x) dx = cos(x) + CD. ∫cos(x) dx = sin(x) + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。
答案：6x-26. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/37. 求函数y=ln(x)的反函数。
答案：e^y8. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π/8三、解答题（每题10分，共60分）9. 求极限lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1)。
解：lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1) = lim(x→∞) (x^3/x^2) =lim(x→∞) x = ∞10. 求函数f(x)=x^3-6x+8的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2。
检查二阶导数f''(x)=6x，当x=√2时，f''(x)>0，因此x=√2是极小值点；当x=-√2时，f''(x)<0，因此x=-√2是极大值点。
11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
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一、判断题(1)√；(2) ×
二、单项选择题C ; A
三、填空题
1导数,常; 2阶; 3初始; 4、
四、计算题：
1、
2、
3、
习题二
一C; C; B
二
1
2
3
4、
习题三
一、判断题(1)√；(2)√
二、C
三、
1、
2、
3、
4、
习题四
1、
2、
3、
4、
习题五
一
D; D;
二
1 ;
2
三
1
2
3
四、
习题六
一、1 ;
四．
五． （5，－8，2）
习题九
一．DCC
二．1. 2.（1，－1,3）
3. 4.－4, 3
三．
四．
五．面方程：
习题十
一．D BAC
二．1．
2. ，参数方程：
3．－1
三．直线方程：
四．
习题十一
一． √
二．CDDCC
三．1． 2. 3. 4.
四．1．由xoz面上的曲线 绕z轴旋转得到的
2．由xoy面上的曲线 绕x轴旋转得到的
2 ;
3
二
1
2
3、
4
复习题
一、判断题(1)×；(2) √
二
C; A; C
三
1 ; 2 ;
3
四
1
2
3
4
习题七
一． √√√√
二．ADC
三．xoy面(-2,3,0) -2 yoz坐标面
四． （ ）
五．（1）（－1，3，3） （2） （3）
习题八
一． √
二．CD
三．1．（－4，2，－4）2.－10, 2
3. 74. 5.
习题十二
一． √
二．BD
三．1．点（ ），过点（ ）平行于z轴的直线
2．
3．
四．
五．在xoy平面的投影曲线
在yoz平面的投影曲线
在xoz平面的投影曲线
第五章复习题
一． √√
二．BBB
三．1．02. 3.
4.25.
6．
四．
五．
六．