同济版高数下习题册答案

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同济第六版高数下习题册答案
第八章
一、设 f ( x, y)
2
多元函数的微分法及其应用
§1 多元函数概念
2 y , ( x, y)
2 2 2 2
x
x
2
2 y , 求:
4
2 f [ ( x, y), y ] .
2 2 4
答案： f ( ( x , y ), y )
(x
y )
y
x
4
2x y
2y
二、求下列函数的定义域： 1、 f ( x, y )
4 xyf 22
2
f12 2 x)
2 f2
2 y ( f 21 ( 2 y )
f 22 2 x)
et t
( y)
1、 设
z
u ,u
dz dt
sin t , v
e
t
，求
解：
= cost .(sin t )
et 1
e
z x
3y
t
lnsin t (sin t )
z y
1
e
2、 设
z
z y
(x
( 2x
y)
2 x 3y
, ，求
yx
2
3x ( z x
y ) 2y
2 x
3y
ln x( y z y nz
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y
y
1） z 2） z 3） u 3、设 z
解：
ex
dz
2
ex (
解：
y x y z
2
dx
2
1 x
dy )
2
sin( xy )
y
dz cos( xy ) ( y dx
y
2 xydy)
y z
2 y
xz
解：
du
xz
1
dx
1 z
y
x z ln xdy
x z ln xdz
y cos( x dz
(x 0
2
y ) sin x ,
2
1
2
y
2
, ( x, y) ( x, y)
( 0, 0) ( 0,0)
在（ 0， 0）点处
的连续性 、偏导数、 解：
( x ,y )
可微性
1 x
2
lim
( 0, 0)
(x
2
y ) sin
2
0 y
2
f ( 0,0 ) 所以 f ( x, y) 在 （ 0， 0 ）点处 连续。
2 y ) ， 求 dz 2 y ) dx 4
2
( 0, ) 4
y sin( x dz | ( 0, 4
2
(cos( x 2 dy
2 y)
2 y sin( x
2 y) )dy
)=
dx
4、设 f ( x, y, z)
z x y
求： df (1, 2,1)
1 25
( 2dx
4dy 5dz)
5、讨论函数 f ( x, y)
2
xy sin
1 x 0,
2
y
2
, ( x, y ) ( x, y )
( 0,0 ) ( 0,0 )
在整个 xoy 面上连续。
(0 ,0 ) 时，
(0,0 ) 时， f ( x, y )为初等函数，连续 。当 ( x, y ) 1 y
2
0
f ( 0,0 ) ，所以函数在（ 0，0）也连续。所以函数
在整个 xoy 面上连续。 六、设 z x y 2 f ( x y) 且当 y=0 时 z 解： f(x)= x
2
1 y
2
x ln x 2 u
y
z ，证明 :
u
2
u
2
u
2
x
y
z
6、判断下面的函数在 (0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
f ( x, y)
x sin 0,
1 x
2
y
2
, x x
2
y y
2
0 0
f y ( 0, 0)
y
2
2
lim f ( x, y )
x y 0 0
0
f ( 0, 0)
连续；
3 1 , ,1 ）处切线与 y 轴正向夹角 ( ) 4 2 2
3、设 f ( x, y)
z
xy
( y 1) arcsin
u x
x y
,
求 f x (x,1)
( 1)
4、设 u 解： 5、设 u u x
x , 求
y
， u y
u y
， z y
2
u z
z z
z y
x
2
z
x
y
1
，
y
2 2
x ln x
2
y
u z
f x ( 0,0)
1 l i m s i n 2 不存在， x 0 x
lim
0 y
0 0
0
0
7、设函数 f(x,y) 在点（ a,b）处的偏导数存在，求 （ 2fx (a,b)）
lim
x
f (a
x, b) x
f (a
x, b)
0
§ 3
全微分
1、单选题 （ 1）二元函数 f(x,y) 在点 (x,y) 处连续是它在该点处偏导数存在的 __________ (A) 必要条件而非充分条件 （ B ）充分条件而非必要条件 （ C）充分必要条件 （ D ）既非充分又非必要条件 （ 2）对于二元函数 f(x,y) ，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 ___ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （ B ）偏导数连续，则全微分必存在 （ C）全微分存在，则偏导数必连续 （ D ）全微分存在，而偏导数不一定 存在 2、求下列函数的全微分：
2
x ，求 f(x) 及 z 的表达式 .
2
x ，z
x2
2 y2 偏导数
2 xy
y
§2
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y
1、设 z= xy 证明： z x y
xex
y
,验证 y x
y
x
z x
y
y
z y
xy
z
ex
ex ,
z y
x
ex ，
x
z x
y
z y
y
xy
xy
xe x
xy
z
z
2、求空间曲线
x y
2
y 1 2
2
2
:
在点（
)
(
x y
2
e )
四、证明极限
( x ,y )
lim( 0,0 )
x
4
y
2
不存在 .
2
证明：当沿着
x 轴趋于（ 0 ， 0）时，极限为零，当沿着
y
x 趋于（ 0， 0）时，极限为
1 2
,
二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数 f ( x, y ) 证明：当 ( x, y )
l i m xy s i n ( x , y ) ( 0,0 ) x
),
3、 设
z
x f(
n
) ， f 可微，证明 x
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2
4、 设
z
z x z y
f (x
2
y ,2 xy) ，其中 f
2 yf 2 2 xf 2 , 4( x
2 2
2
具有二阶连续偏导数，求
z
2
2
，
z
2
，
z
2
x
x y
y
解：
2 xf 1 2 yf 1
,
z x y
2
2
2 x( f11 ( 2 y)
2、 z
x (1 1 x
y x
2
2
y) y
2
{( x, y ) | y {( x, y ) | y x ,x
2
x
2
1};
arcsin
0};
三、求下列极限： 1 、 ( x , ylim ) ( 0 ,0 ) 2 、 ( x, ylim ) (
x sin y x
2 2
y
2
（ 0）
3x
6
(1 , 2)
y x
f x (0 ,0 )
( x,y)
l im
f ( x ,0 ) x
f (0 ,0 )
( 0 ,0 )
0
, f y ( 0 ,0)
( x, y )
li m
f ( 0, y ) y
f ( 0 ,0)
( 0 ,0 )
0
f ( x, y) ( x)
v 2
0
2
0 ，所以可微。 § 4 多元复合函数的求导法则
dz dt