高数A1习题册答案

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高等数学A1第1章课后习题答案

P21 练习1-1P30 练习1-2P38 练习1-3P42练习1-4解函数cos y x x =在(,)-∞+∞内无界.因为001,2[](,),|()|2[]M x M y x M M ππ∀>∃=∈-∞+∞=>。

当x →+∞时，cos y x x =不是无穷大。

因为取2,n x n π=当n →∞时，n x →+∞，lim ()n n y x →∞=+∞；取'22n x n ππ=+，当n →∞时，'n x →+∞，lim (')0n n y x →∞=。

解函数11sin y x x=在(0,1]内无界.因为0010,(0,1],|()|2[]22[]2M x y x M M M ππππ∀>∃=∈=+>+。

当x →+∞时，11sin y x x=不是无穷大。

因为取1,22n x n ππ=+当n →∞时，0n x +→，lim ()n n y x →∞=+∞；取1'2n x n π=，当n →∞时，'0n x +→，lim (')0n n y x →∞=。

8.求函数24()2f x x=-的图形的渐近线。

解因为24lim 02x x →∞=-，所以0y =为曲线的水平渐近线；因为224lim 2x x→±=∞-，所以2x =±为曲线的铅直渐近线；P49 练习1-56 若lim (),lim ()f x A g x B ==，证明：lim[()()]f x g x AB = 证明：因为lim (),lim ()f x A g x B ==，所以 (),lim 0,f x A αα=+=(),lim 0g x B ββ=+=，则()()()()()f x g x A B AB A B αββααβ=++=+++，且lim()0A B βααβ++=。

由函数极限与无穷小的关系，得f xg x AB。

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限：（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；（2）30sin tan lim xx x x -→；（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π；（4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→；（6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是（） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是（） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是（）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （）（A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解（1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证（1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续，且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ，所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导．（2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21．（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=．（6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-，令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ，在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

人教版高中数学A版必修1课后习题及答案(全)

高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数；（2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉π是个无理数，不是有理数；（42R 2是实数；（59Z 93=是个整数；（6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =，而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=，显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤，即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章基本初等函数（I ） 2．1指数函数练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数练习（P64）1.（1）2log 83=；（2）2log 325=；（3）21log 12=-；（4）2711log 33=-2.（1）239=；（2）35125=；（3）2124-=；（4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-；（3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =；（4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞；（4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =；（4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4；（2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章复习参考题A 组（P82）1.（1）11；（2）87；（3）10001；（4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章函数的应用 3．1函数与方程练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))，它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))，它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。

高数A1空间解析几何与向量代数(答案)

第八章空间解析几何与向量代数1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。

xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；x A P ⊥0轴，垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。

2．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。

解：设所求点为(),,,0z y P 则()()2222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ，()()22215||-+-=z y PC 。

由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，于是有：()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+22222222221522415213z y z y z y z y ，解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。

3．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知：{}{},2,1,120,23,2121--=---=M M 则()(),2211222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，于是，32πα=，3πβ=，43πγ=。

4．已知{}1,5,3-=a ，{}3,2,2=b ，{}3,1,4--=c ，求下列各向量的坐标： (1)a 2；(2)c b a -+；(3)c b a 432+-；(4).b n a m +解：(1) {}2,10,62-=a ；(2){}5,8,1=-+c b a ；(3){}23,0,16432-=+-c b a ； (4){}.3,25,23n m n m n m b n a m +-++=+5．设向量的方向余弦分别满足(1)0cos =α；(2)1cos =β；(3)0cos cos ==βα，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解：(1)0cos =α，向量与x 轴的夹角为2π，则向量与x 轴垂直或平行于yoz 平面；(2)1cos =β，向量与y 轴的夹角为0，则向量与y 轴同向；(3)0cos cos ==βα，则向量既垂直于x 轴，又垂直于y 轴，即向量垂直于xoy 面。

吉林大学作业及答案-高数A1作业

高等数学作业AⅠ吉林大学数学中心2017年8月第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题1．下列结论正确的是( )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ；（B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0；（C ）x arctan 是无界函数；（D ）4-22arccosπ=． 2．下列函数中不是奇函数的为( )．（A ）xx x x ee e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )．（A ）π；（B ）π32；（C ）π2；（D ）π6．4．. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ=（）（A ）0；（B ）1；（C ）0. 5；（D ）2．5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1=+∞→nn n a a 则( )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞→c a n n ；（C ）n n a ∞→lim 不存在；（D ）0lim =∞→n n a ．二、填空题1．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→n n n n n 22241241141lim Λ ． 2．设⎩⎨⎧<+≥+=,0,2,0,12)(2x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ．3．函数1)(+=x xe e xf 的反函数)(1x f -= ．4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 条件. 5.=++--+++∞→])2()11(1sin[lim 1n n nn n n n n n ．三、计算题 1．设633134)11(x x x f ++=+，求)(x f ．2．求nn n x 13)|1(lim |+∞→，3．设函数()f x 满足关系式22()(1)f x f x x +-=，求()f x 的表达式．四、证明题设Λ,2,1,11,111=++==+n x x x x n nn ，证明n x x ∞→lim 存在，并求其值．第二次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．已知1)1)(lim21-=-→x x f x （，则下列结论正确的是( )．（A ）0)1(=f ；（B ）0)(lim 1<→x f x ；（C ）存在0>δ，当δ<-1x 时，0)(<x f ；（D ）存在0>δ，当δ<-<10x 时，0)(<x f ．2．已知0)(lim ≠=→A x f ax 存在，则下列结论不正确的是 ( )．（A ）若)(lim x g ax →不存在，且∞≠→)(lim x g ax .则)()(lim x g x f ax →不存在，且∞≠→)()(lim x g x f ax ；（B ）若∞=→)(lim x g ax ，则∞=→)()(lim x g x f ax ；（C ）若)(lim x g ax →不存在，则)()(lim x g x f ax →可能存在也可能不存在；（D ）．B x g ax =→)(lim ,则)()(lim x g x f ax →=AB.3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件．（A ）充分；（B ）必要；（C ）充分且必要；（D ）非充分且非必要．4．当+∞→x 时，x e y xsin =是( )．（A ）无穷大；（B ）无界函数但不是无穷大；（C ）有界函数但不是无穷小；（D ）无穷小． 5．（A ）当0→x 时，x x +是8x 的2阶无穷小；（B ）当0→x 时，8x 是x x +的2阶无穷小；（C ）当0→x 时，x x +是8x 的4阶无穷小；（D ）当0→x 时，8x 是x x +的4阶无穷小．上面结论正确的是 ( )．6．0=x 是函数( )的可去间断点．（A ）x x x f 1arctan )(2+=; （B ）xx f 1sin )(=；（C ）xx x f 2cos 1)(-=；（D ）xx x f 1sin)(3=． 7．0=x 是( )函数的跳跃间断点．（A ）xx x f 1)1)(+=（; （B ）2sin )(xxx f =；（C ）xx f 1cos)(=；（D ）xxxxee e e xf 1111)(--+-=．二、填空题1．设)(lim 1x f x →存在，且)(lim 2)(1`2x f x xx f x →+=则)(x f = ．2．已知xt xx t xt x f sin sin )sin sin (lim )(-→=，则)(x f =3．+∞→x lim )2(22x x x x +-+= . ． 4．已知当0→x 时,)(x f 与32x 是等价无穷小量,则=--+→11sin )(1lim2x x e x x f ．5．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>+=0,0,)21ln(1)(2tan x x a x xe xf x- 在0=x 点连续，则a = ．6．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是．三、计算与解答题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-=0)21ln()arctan(0sin tan )(3x x ax x x xx x f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求常数a ．2．求]1[lim 0x x x →．其中]1[x 是不超过x1的最大整数。

高等数学A1_试_题(A)附答案

2006-2007学年第一学期高等数学（A1）试题(A 卷)一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+)(,31122x f xx x x f 则 ____________. 2.设)(0x f '存在,则()()=--+→hh x f h x f h 000lim ____________.3.设)(x f 的原函数为xx ln ,则()='⎰dx x f ____________.4.向量{}4,3,4-=a在向量{}1,2,2=b上的投影是____________. 5. )1(1)(+=x xx f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()210='x f ，当0→∆x 时，()x f 在0x 处的微分dy与x ∆比较是（）无穷小.(A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（）.3,0,1)(3,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上)( 0,1,3)(D c b a C =-==3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（）.[][]0)()()(0)()()(5555=--=-+⎰⎰--dx x f x f B dx x f x f A[][]0)()()(0)()()(550=--=-+⎰⎰dx x f x f D dx x f x f C4. 设直线L 为12241z y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ).上；在；平行于ππL L A )B ()(.(D);)(斜交与垂直于ππL L C5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. .,1ln2sec 22dxdy ee y xxx求+-=2．设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求d y .3．求32)21ln(limxdtt x x ⎰+→.4. 求由参数方程()⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶导数.22dx yd四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1.dx xx ⎰-21ln .2.⎰-dxxx42.3.().ln 11 12dx x x e ⎰-五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .2006-2007学年第一学期高等数学（A1）试题(A 卷)答案一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1．1)(2+=x x f ； 2. )(20x f '; 3.C xx +-2ln 1; 4. 2;5.[]之间与介于1,)1()1()1()1()1(111212-+-++++++++-=+++x x x x x xn n n nξξ二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1. B 2. A 3. B 4. C 5. D三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. 解：()'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'='1ln 2sec 22x xxe e y 2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=122212tan 2sec 2ln 222x xxxx e e6分112tan 2sec 2ln 22+-=xxx x e7分2. 解：[]1)ln()(2+--=-y x dy dx dx dy 5分 ()()dxy x y x dy -+-+=ln 3ln 2 7分3. 解：220323)21l n (l i m )21l n (l i mxx xdtt x x x +=+→→⎰4分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==→→xx x x x x x 6214l i m32l i m 2022032= 7分4. 解：ttt t dxdy21121122=++= 4分3222224112121tt tt tdxy d +-=+⋅-= 7分四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1. 解：⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎰⎰x d x dx x x 1112)ln (ln 2分⎰+--=dxxxx 211ln 4分C xx C xxx +-=+---=ln 11ln 7分2. 解：⎰⎰=∈=-tdtdxxx tx t 2220224tansec ),(π3分C t t dt t +-=-=⎰2tan 2)1(sec 22 6分Cxx+--=2242arccos7分3. 解：()()x d x dx x x e e ln ln 11lim ln 11 1212⎰⎰-→-=-+εε 4分()[]2ln arcsin lim 1πεε==-→+e x 7分五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.证明：由拉格朗日中值定理()01)()(2>--=-a b a f b f ξξ 3分记)1(1)(2>-=x xx x g 4分⎪⎩⎪⎨⎧><==<<>-='20,2 ,021 ,02)(3x x x x x x g 5分因此2=x 是)(x g 在),1(+∞内的最大值点，且41)2()(=≤g x g ，于是)(41)()(0a b a f b f -≤-< 7分六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.解：直线L 的方向向量为k i kj is22111111-=-= 3分将L 1代入平面方程得：1-=t ，π与1L 的交点坐标为（0，2，-1） 5分直线L 的方程为：11021-+=-=z y x 或⎩⎨⎧==++201y z x 7分七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .解：设切点坐标为：()00x x ln ,切线方程为：)(ln 0001x x x x y -=- 1分由于切线过原点，得切点坐标为：()1,e 2分切线方程为：ex y =3分（1）()12ln 2ln 21 1-=--=-=⎰e x x x e xdx e D ee 5分（2）()22 65 312122πππππ+-=--=⎰e e dy e e e V y7分。

高数A(一)第一章习题答案

《高等数学教程》第一章习题答案习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2±±=+≠k k x ππ (5)),2,1,0()352,32( ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++ 3.0,22,22,21 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T (3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)a cx b dx y -+-=(2)2arcsin 31xy = (3)21-=-x e y (4)xxy -=1log 2(5)2xx e e y --=8.(1)2,x a u u y -== (2)2,x u e y u == (3)cos ,lg ==u u y (4)x v tgv u u y 6,,2=== (5)21,,cos ,xw e v v u arctgu y w -==== (6)22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====9.(1)]1,1[- (2) zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a ，则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h r h V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=r V 15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h h r V π16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx xx f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123x x ++ 8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0 (3)2+n n,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n ,21 (6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x 1)(lim 0-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim 习题1-4 (B)3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量；当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103; (5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-. 2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)n m; (4)0; (5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a (5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ； (6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x . 2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0;(5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+. 习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34x x -比32x x +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α 4.m =α6.(1)23; (2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)b a ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e ; (3)21; (4)0; (5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x 为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点 (4)0=x 为第二类间断点.4.(1)1=x 为可去间断点，补充32)1(=f ;(2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点. (5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x 为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a 4. ),2,1,0(22 ±±=-=n n a ππ5. 0,=-=b a π6. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x .习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞21)(l i m 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1; (9) ab ; (10) 5e ; (11) -1; (12) 2. 4. 1=a 5. 1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点; (5)无间断点.2. 1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0;(5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f2. ]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7.21 8. b a = 9.56 10. 第二类，第一类三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα 3. 1lim =∞→n n x 4. 4 5. 4e 6. －50 7.a ln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续. 9. 82-部分习题选解习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim 时>=∞→a a nn证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a n nn n n n n nh h h n n nh h a >++-++=+=∴ 22)1(1)1( εεan na h n ><<<∴0∴取1][+=εaN ，当N n >时，有ε<<=-nah a n n 1，即1lim =∞→n n a(ⅱ)当1=a 时，显然成立. (ⅲ)当10<<a 时，令11>=ab ∴11lim lim ==∞→∞→nn nn ab∴1lim =∞→nn a 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a 时，有1lim =∞→nn a . 习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim 证明：2nn n n y x y x +≤),2,1,0(011 =≤≤∴++n y x n nnnn n n n nn n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0( =n 由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少，又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++ ∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛.设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21n n n y x y +=+，2lim lim n n n n n y x y +=∴∞→∞→ b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim . 习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F )(x f 在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续， )(x F ∴在]1,0[l -上连续.又 0)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f 0)1()0(≤-⋅∴l F F(ⅰ)若0)0(=F ，取00=x ，即)()0(l f f = (ⅱ)若0)1(=-l F ，取l x -=10，即)1()1(f l f =- (ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ，即)()(00l x f x f +=.综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法)假设)(x f 在],[b a 变号，即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f )(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。

高数A参考答案定稿

2、设在区间上可导，，证明在区间内至少存在一点，使得成立．
证：设，……………………………………………………（2分）
则在上连续、可导，
由罗尔定理，存在使得，即，………（4分）
得 …………………………………………………………（5分）
六、（本题12分）
设椭圆满足，记所围成的平面图形为，
问取何值时，的面积最大？（提示：的面积为）；
当使得面积最大时，求绕直线旋转一周所形成的旋转体的体积．
解：的面积为，， …（2分）
令，得 …………………………………………………………（3分）
当时，；当时，，
当时，的面积最大．…………………………………………（6分）
＝ ……………………（6分）
3、设方程确定函数，求．
解：在方程两边对求导数，得，∴ …………（3分）
＝ ………………………（6分）
4、设，求并讨论其在处的连续性．
解：当时， ……(2分)
当时， ………（4分）
，
∴ 在处连续．…………………………………………………………（6分）
5、求不定积分．
1、证明当时，．
证：设，则 ………………
∴ 在上单调递减，在上单调递增，…………………（4分）
∴ 在处取最小值，∴当时，
即，当时，．…………………………（5分）
或位于与之间
或设，则，令得，又，所以点为可导函数在内唯一的驻点，且为极小值，所以为在内的最小值点，∴当时，，即，当时，．
解：原式= ………………………………………（1分）

高等数学A1期末考试卷及解答.doc

题答要不名内姓线封密号学级班业专院学题答要不内线封密江苏科技大学08 － 09 学年（ 1）学期高等数学 A1 课程试题( A )卷题号一二三四五六七总分得分一．填空题 (每小题 4 分，共 20 分 )x ln 1 x1．limx2 _______________ ;x 0 e 112. 函数f x x x在区间 0, 上的最大值为 ____________3. 求顶点为A(1, 1,2), B(5, 6,2) 和 C(1,3, 1) 的三角形的面积为________4.反常积分1 dx ________x ln2e x5.设f ( x) 1 1 x21 1________2 f ( x)dx ,则 f ( x) dx1 x 0 0二、单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分 )x sin x2的水平渐近线为（）．1.曲线y2xＡ． y 0; B．y 1 ；C．y 2 ；D．x 0．2. 下列极限正确的是（）。

1A limsin xB limsin x1; C lim x sin1 sin1; 1; D lim x 1x x x 0 2 x x x x 0 1x3 若 f ( x) 二阶可导，且f (x) f ( x) ，又当 x (0,) 时， f ( x) 0, f (x) 0 ，则曲线yf (x) 在 ( ,0) 内 ()(A)单调下降且凸 (B)单调下降且凹 (C) 单调上升且凸(D)单调上升且凹；4. 函数 y ex4 有界且至少有一实根的区间是 ( )(A)［0， 3］(B) ［1， 0］(C) ( ， 1) (D) ［ 2，4］5．下列函数中，在x 0 处连续的是（）1sin x, x 0（ A ） f xe x 2 , x0 （ B ） f xx0, x1, x 011（ C ） f xe x , x 0 （ D ）f x1 2 x x , x 00, xe 2 ,x 0三 .解下列各题 (3 6 分=18 分)x231. limsin 2 tdtxx 0t t sin t dt2．求曲线 sin( xy) ln( y x)x 上点 (0,1)处的切线方程x(t)te ucosudu，求d 2 2y, 其中3．设xt 2y(t)udx2e sin udu四 .解下列各题 (3 7 分=21 分)1.求不定积分x 2 ln( x 2 1)dx2.求定积分1x 3 1 x 2 dx3．求定积分2x 3 cosx sin 2xdx2 五． (本题 6 分)设 f ( x) 在［ 0， a ］上连续，在 (0， a)内可导，且 f (a) 0 ，证明存在(0, a) ，使f f ( ) 0六.(本题共 7 分)已知 : f (x)的一个原函数是ln( x 1 x2 ) ，求 xf ( x) dx, xf (x) dx七 .（本题共 8 分）（ 1）求由曲线 y ln x 与直线y 1所围成的封闭图形的面积（ 2）求上述图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积 .高等数学 A1 课程试题（ A）卷参考答案及评分标准2008.12.28一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.1.2. e e；3. ；4. 1 ；5.252 4二、 . 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1 (C) 2. (C) 3 (C) 4. (A) 5 (A)三 .解下列各题（每小题 6 分，共 18 分）31. 解原式 = lim 2 x sin2 x LLLLL3分2sin xx 0 x x= lim2 x3 LL4分 L L Lx 0x sin x=lim6x 2LL5分L L Lx 01 cos x= lim 6x212LLLLL6分x 01 x 222. 解: 等式两边对x求导y xyy 11.cos xyy x将点（ 0， 1）代入上式得 y(0,1)1切线方程为 yx 13 解 :. dx e t costL L LLL1分dtLLLLL1分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分dy e tsin tL L LL L 2 分dtdydy e t sin t tan t L L L L L 4 分dxdt =e tcostdxdtd 2 ytantLLLLL5 分2dtudxdt 0 e sin udu= 1LLLLL 6 分e t cos 3 t四 . 解下列各题 (3 7 分=21 分) 1. 解：原式 = ln x 21 d 1 x 331 x 3 ln x 22 x 4 2 dx3 1 1 x3= 1 3 ln x 2 1 2 x 4 1 13 x 3 1 x 2 dx= 1x 3 ln x 2 12x 2 1 dx2 1 2 dx 333 1 x= 1x 3 ln x 212 x3 2 x2arctan x C39 3 32. 解法一: 令 x sin t t, 22原式 =2sin 3 t cos 2 tdt=2 (sin 3t sin 5 t) dt=2sin 3 tdt2sin 5 tdtLLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分LLLLL2分LLLLL4分LLL LL5分2 4 2 6 分= - 5LLLLL3 3= 2LLLLL7分15解法二:令 1x 2 t, 则 x 2 1 t 2 , 2xdx 2tdt ;LLL LL2分1 t 2t t dt =1 2 dtLLLLL6分原式 =11 t2 t=1t 2 t 4 dt 01 1 2LLLLL7分3 5153解原式=2 x3 sin 2 xdx2cos xsin 2 xdxLLLLL4 分22=0+ 1 sin3x 2LLLLL6 分322LLLLL7分=3五本题6分证明 : 令 F x xf xLLLLL2分则由已知 F x 在 0,a 上连续、在 0,a 内可导、且 F 0 F a 0LLLLL4分据罗尔定理存在点 0, a , 使F 0，即 ff ( ) 0所以，原命题成立LLLLL6分六、本题 7 分解由已知：f x dx ln x1 x 2Cf xln x 1 x 21x 2x1 fxx231 xfx dx xdf x= xf x f x dx=x ln x 1x 2C1 x 2xfx dx xdf x= xf x f x dx=x 21 Cx 231 x 21LLLLL1分LLLLL2分LLLLL3分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分七、（本题 8 分）1e y dy（1）面积 A= e y=e y 1 e y 10 0LLLLL1分=e e1（ 2）体积V x e1 dx e= e1e=1 ee1=ee1体积 V y e2 y dy= 1 2 y 1( e2 0 = [ 1 e22 2e1 ln2 xdxexln 2e ex 1 2 1 ln xdxe e12 e ee xln x 1 1 dxe e ee5 4e e1e 2 y dy1e 2 y 1)2011e 2 1 ]2LLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL7分=e2 e 22LLLLL8分。

高等数学A1试卷及答案

由于为特征方程的二重根,且
故可设原方程的一个特解为: （5分）
将其代入原方程得: ,解得:
所以 ,从而求得原方程的通解为
（7分）
四、（8分）证明:令 ,
,（2分）
令:
当时, ,（4分）
所以单调增加, 当时,
因此 ,（6分）
单调增加,故当时, 即
证毕（8分）
五、（8分）解:所给方程两边对x求导得:
又
所以
因为 ,所以 ,从而有
证毕（7分）
七、（9分）解: (1) 所求旋转体的体积为
（2分）
= （5分）
（2），
令得（7分）
当时，单调减少，
当时，单调增加，
所以当时，最小，最小体积为
.（9分）
(1)（2分）
特征方程为: 解之得: ,
方程(1)的通解为: (2)（4分）
又代入(2)式得: 所以
(3)（6分）
由题目所给条件知:
代入(3)得:
于是求得: （8分）
六、（7分）证明: 设（3分）
由题目所给条件知:F(x)在[0,]上连续,在(0,)内可导,且
,所以由罗尔定理,至少存在一点 ,使得: （5分）
2.解:函数的定义域为:
（1分）
（3分）
列表讨论如下:
x
(0, )
( , +)
0
+
y
凸
凹
（5分）区间(0, ]为曲线的凸区间,区间[ , +)为曲线的凹区间,
曲线有拐点: ( , )（7分）
3.解:因为上连续的ห้องสมุดไป่ตู้函数,
所以（2分）
=
= = （5分）

大学高等数学A1期末综合测试1试题与答案

1《高等数学A1》测试题1一、填空、选择题（24%）1. 21lim __________;1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭2.若0(),0x f x a x ⎧≠==⎩在0x =处连续，则______;a =3. 设函数()f x 可导，且(1)2f '=，则0(1)(1)lim()2x f x f x∆→-∆-=∆(A) 1； (B) 1-； (C) 2； (D) 2-。

4. 223_______________;310x dx x x +=++⎰5.22(cos )__________;2x xe ex dx ππ---+=⎰6. 设21()txF x te dt =⎰，则()_______________;dF x = 7. 若12lim (),lim (),x ax af x k f x k +-→→==其中12,k k 是确定的常数，则x a =不可能是()f x 的( )(A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 无穷间断点。

8.设曲线()y f x =上任一点切线斜率为这点横坐标的3次方，并且曲线经过点(1,1)，则该曲线方程为( ) (A) 41344y x =+(B) 41344y x =-(C) 443y x =+ (D) 443y x =-二、解答下列各题（30%） 1. 3tan sin lim;1xx x x e→--2. 0limxx →3. 21sinxy e=，求y ';4. 3();(1).tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导，且(0)0f '≠，求0t dydx =;5. y e xy e +=，求(0)y ''.三、解答下列题（30%） 1. 22322x dxx x +++⎰; 2. 1arctan x xdx ⎰;3. 设(0)(3)(3)3f f f '===，()f x 二阶导数连续，求3()xf x dx ''⎰;4.求微分方程2321xy y x x '+=++的通解;5.求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解. 四、解答下列各题（16%）1.已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，(1).求a 与b 的值； (2). 求()f x 的极大值点与极大值。

高等数学a大一教材答案

高等数学a大一教材答案一、导数与应用1. 函数与导数1.1 函数的概念与性质1.2 导数的定义与存在条件1.3 导数的性质与计算方法2. 常见函数的导数2.1 幂函数的导数2.2 指数函数的导数2.3 对数函数的导数2.4 三角函数的导数2.5 反三角函数的导数3. 高阶导数与隐函数求导3.1 高阶导数的定义与计算方法3.2 隐函数的定义与求导方法3.3 高阶导数的应用4. 函数的极值与最值4.1 极值的概念与判定条件4.2 最值的概念与求解方法4.3 最值问题的应用二、积分与应用1. 不定积分1.1 基本积分表与积分公式1.2 特殊函数的积分1.3 常用积分计算方法2. 定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 牛顿-莱布尼茨公式2.3 定积分的计算与应用3. 定积分的应用3.1 曲线长度与曲面面积3.2 物理问题中的定积分3.3 统计学中的定积分4. 微分方程4.1 常微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法三、级数与幂级数1. 数列与级数1.1 数列的概念与性质1.2 级数的概念与性质1.3 收敛与发散的判定方法2. 常见级数2.1 等比级数2.2 幂级数2.3 收敛级数的性质与计算方法3. 幂级数的收敛半径与收敛区间3.1 幂级数的收敛半径的定义与计算方法3.2 幂级数的收敛区间的判定方法3.3 幂级数的性质与运算法则4. 函数展开成幂级数4.1 函数在收敛区间内的展开4.2 常见函数的幂级数展开4.3 幂级数的应用总结：本答案提供了高等数学A大一教材中导数与应用、积分与应用、级数与幂级数等部分的相关答案。

通过学习这些内容，可以深入理解数学中的重要概念与方法，并能够运用于实际问题的解决中。

希望本答案对您的学习有所帮助。

高一数学必修3A1答案(1)

高一数学试卷参考答案
１．Ａ赋值语句中，“＝”号的左边必须是变量的单项式，右边可以是数，也可以是变量，也可以是多项式，但不可为等式．
２．Ｄ因为数据２，３，５，７，狓，１０的平均数为６，所以２＋３＋５＋６７＋狓＋１０＝６，解得狓＝９．
３．Ｂ
任
何
一
次
因为该厂技改前１００吨甲产品的生产能耗为４５吨标准煤，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技改
前降低４５－３５．３５＝９．６５（吨）．１２分
【高一数学试卷·参考答案第３页（共３页）】
·２０－０３－２８０Ａ１·
（２）由表中数据，易得（１）班的６份成绩的平均数狓１＝８０，（２）班的６份成绩的平均数狓２＝８０，所以（１）班的６
份成绩的方差为狊２１＝
１６
（１３２
＋４２
＋２２
＋２２
＋５２
＋１２２）＝１８３１；

６分
（２）班的６份成绩的方差为狊２２＝
４π
的
两
个
半
球
，其
体
积
为
２×
１２
×４３π×１３
＝４３π．又
该
圆
柱
的
体
积
为
８π，则
所
求
概
率
为
犘＝８３π＝
１６
．
１７．解：（１）从茎叶图中可以看到，这１２份成绩按从小到大排列，第６个是７８，第７个是８２，
所以中位数为７８＋２８２＝８０．４分

高数A1练习题参考答案(原题在主页中)

2019—2020(1)高数A1(B 卷)(正考)参考答案与评分细则 2019.12.28 出题组考试时间：2020年01月07日上午9:00~11:00一、填空题（每题3分，共15分）：1、31．2、dx x x x )()(222ϕϕ'． 3、12． 4、C x F +−)23(31． 5、2π．二、单项选择题（每题3分，共15分）：1、)(D2、)(D3、)(C4、)(A5、)(B三、计算题（每小题6分，共12分）：解1：原式3020sin lim 22sin limx xx x x x x x x −=⋅−=→→ …2′203cos 1lim2x xx −=→ …4′22032lim2x x x →= …5′ 31= …6′解2：原式⋅−−→⎪⎭⎫⎝⎛−+=xx x x x x 13310131lim …3′xxx x x x x −−→→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛−+=13lim3100131lim …5′ 3e = …6′四、计算题（每小题6分，共18分）：解1：)11(2022'+++='⎰dt t x y x …1′)()(112)(22222'+++'=x x x x …3′42121x x xx +++=…4′dx y dy '= …5′dx x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=42121 …6′ 解2：y y y e x y x '⋅='−+−2)1(4 …3′yx y x e y e x y −−++='∴24， 02≠+−yx e y …4′ 5)1(='=∴y k 切 …5′切线：)1(351−=−x y …6′解3：)1()(22'+'=t t e te dx dy …1′ttt ete e 22222+= …3′ 21+=t …4′ )1()21(222'+'+=∴te t dx y d …5′ t e 221= …6′五、计算题（每小题6分，共18分）：解1： ()⎰⎰=4ln ln 43xd x dx x x …2′⎰−=)(ln 44ln 44x d x x x …4′⎰−=dx x x x 34414ln …5′C x x x +−=164ln 44 …6′解2：原积分dx x ⎰−=2|sin |2ππ …2′dx x dx x ⎰⎰+−=−204sin 2sin 2ππ …3′[][]2004cos 2cos 2ππx x −=− …5′122−= …6′解3：令12+=x t ，则2)1(2−=t x …1′且40:→x 时，有31:→t …2′故原积分⎪⎪⎭⎫⎝⎛−+=⎰2111231t d t …3′ dt t dt t t ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+−=+=31311111 …4′ 31)]1ln([+−=t t …5′ 2ln 2−= …6′六、（本题8分）：解：函数y 的定义域为R x ∈ …1′ 令0)23()(2=+−='xe x x xf …2′ 解得驻点11=x ，22=x …4′ 列表讨论如下：综述：函数)(x f 在区间]1(，−∞，)2[∞+，上单调增加，在区间]21[，上单调减少，极大值为 e f 3)1(=，极小值为2)3(e f = …8′七、（本题8分）：解：面积: ⎰−=40)21(dx x x A …2′ 42234132⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=x x …3′34=. …4′ 体积 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=4022)21()(dx x x V π…6′ 403212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=x x π …7′38π=…8′八、（本题6分）：证：设3131)(x xx f +−+=，0≥x …1′当0>x 时，0)1(1131)(32>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−='x x f …3′ 说明当0>x 时，)(x f 单调递增 …4′ 即当0>x 时，0)0()(=>f x f …5′也就是0131)(3>+−+=x x x f 故当0>x 时，3131x x+>+ …6′。

高等数学A1第一章练习答案

高等数学A1 第一章练习参考答案一、填空1. 2.121x x ---+ 3.[0,ln 2] 4. 435. 1e -.6.a =0 b =27.e .8.m =12n =2 9.0 , 1 10.a =2 11.(,0)(0,3]-∞⋃ 12. [-1，1]；[1，10]；[-2，-1] 13.x x +-2；x 14. 22-x 15.⎩⎨⎧=≠0,00,1x x16. 3-；1 17. b ；1；a ；1；18. 1,1,,0+∞ 二、选择1.C2.AC3.BD4.D 三、计算1.求极限：602080(23)(32)lim (25)x x x x →∞+-- =2032⎛⎫⎪⎝⎭ 2、求极限：lim )+x x →∞ =0 3. 求lim 2sin2n n n x →∞=x. 4.求30tan sin lim x x x x →-=12. 5.求0x →=12. 6. 求1sin lim sin x ax a x a -→⎛⎫⎪⎝⎭=cos sin a ae11sin sin sin lim lim 1sin sin x ax ax ax a x x a a a --→→-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.1x →1248.求极限()1lim 123+nn n n →∞+ 3=9.2130(1)1lim cos 1x x x →+--=23- 10.11lim sin cos xx x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e 2211lim sin cos xx x x ⋅→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、证明与计算1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 证明方程0x x e +=在(1,1)-至少有一个实根.3.证明数列1x2x，n x = 的极限存在，并求出其极限。

4.已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，求常数,a b 的值.1,1a b ==-5.求下列函数的间断点，并判断其类型. 若为可去间断点，补充或修改定义后使其为连续点.22,1,0(1)()0,1x xx x x f x x ⎧+≠±⎪-=⎨⎪=±⎩0x =为()f x 的第一类间断点（跳跃间断点），1x =为第二类间断点，1x =-为()f x 的第一类间断点（可去间断点），若令1(1),2f -=则()f x 在1x =-处连续。

高数A1,B1答案(理,上册)

习题一一、1. ×2. \/3. ×4. ×5. ×6. \/7. ×二、1. A2. D3.4. A三、1. 直线y x =2. [-1，3]3. 1[,0]2- 4. 奇 5.2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x ===四、 1(2)3f x x +=+，221()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x+==+++，11()()2f f x x =+习题二一、1. ∨2. ×3. ×4. ∨5. ∨6. ×二、1. B2. B3. A4. C三、（1）22110n n ε-=< 取N=即可（3）sin 10n n nε-≤< 取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。

习题三一、1. ×2. ×3. ×二、1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-<取δε=即可（3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++ 只要31x ε>+即可五、1) 0lim 1x xx -→=-，0lim 1x xx +→=0lim x xx →不存在2) 1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→=1lim ()2x f x →=20lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、1. ∨2. ×3. ∨4. ∨5. ×6. ×7. ×8. ∨9. ×10. ×11. ∨12. ×二、1. D2. C3. B4. D5. D三、(1) 2131lim 11x x x →-+=-+ (2) 2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 202lim 2h hx h I x h→+== (4) 23I =(5) 0I = (6) 422lim13x x I x →-==- (7) 11133lim 1213n n I +→∞-==- (8) 111lim (1)2212n n →∞-=+ (9) 23211132lim lim 111x x x x x I x x x→→++-+==-=--++ (10) 15I =(11) I =+∞(12) 0I = (13) 由于lim1lim 1x x ==-，故原极限不存在。

井冈山大学高数A1参考答案

1井冈山大学2013—2014第一学期期末考试试卷（A 卷）高等数学A1（13级理工）.（参考答案）一、选择题（每小题3分，本题满分18 分）1、D ；2、B ；3、C ；4、D ；5、B ；6、C二、填空题（每小题3分，本题满分18 分）1、2C +；2、23x x -；3、1y =；4、43；5、60；6、()211t t t ++ 三、计算题（64分）1. 求下列极限 (每小题4分，三小题共12分) ．1. 解（1）：原式3222(2)3(2)233lim 2264x →--+⋅-+-=--- 解（2）：原式1lim(1)11x x x →∞=-⋅=- 解（3）：原式22220320000121lim lim lim lim 3633x t x x x x x x x e dt x e e x e x x x →→→→--⋅=====⎰ 2. 解：由题意知：因为1x +是1x →-时的无穷小，且极限3214lim 1x x ax x x →---++存在，故()324x ax x --+也是1x →-时的无穷小…………….………….….（2分） ∴ ()323210lim 4(1)(1)144x x ax x a a →-=--+=---++=- ⇒ 4a = ……………………………………….….……..（4分）∴ ()3221144lim lim 381101x x x x x l x x x →-→---+==--=+……………….…（8分）23．解（1）： ()6sin36cos3sin3f x x x x '=--……………………….….（2分）∴(0)0f '=…………………………………………………………（4分）解（2）：1313(3c o s s i n )x x dy e x e x dx --=--………………………………（3分）13(3cos sin )x e x x dx -=-+………………………………………（4分）解（3）：)()12f x '=+=……………….…（2分）∴()f x ''=.….. （4分）4．解：原式1222cos sin x xdx ππ-=⎰……………………...……….…………..….（2分）12202cos sin x xdx π=⎰32222cos 3x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……………………..….….……………….…. （4分）43=……………………………………..…………………………. （6分） 5．解：原式()()12221112x d x -=---⎰…………..…………………………. （3分）C =………………………………………………….. （6分）6．解：令01()x xt t f x e dt e dt -=+⎰⎰，显然()f x 在[]0,1上连续.........................(1分)3 000011(0)00t t t f e d t e d t e d t --=+=+<⎰⎰⎰……………………..…..……(2分) 111010(1))00t tt f e dt e dt e dt -=+=+>⎰⎰⎰………………………....….... (3分) ∴由零点定理可知，()f x 在()0,1内至少有一个实根存在…………….…..……. (4分)又()0x x f x e e -'=+>…………………………………………………..…. (5分) ∴()f x 在[]0,1上是单调增加的，因此，函数()f x ()0,1内只有一个实根存在(6分)7．求22y x x =-与0y =所围图形面积，并求它绕x 轴旋转所成立体的体积(8分) 解：1.所围成图形面积：()222230014233S x x dx x x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰………………………………..………. (4分) 2. 取x 为积分变量，它的变化区间为[]0,2，旋转体中相应于[]0,2上任一小区间[],x x dx +的薄片的体积，近似于底半经为22x x -、高为dx 扁圆柱体的体积，即体积元素为为： ()2222dV y dx x xdx ππ==-……………………………..…………(6分)于是所求旋转体的体积为： ()222234500411623515V x x dx x x x πππ⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰……………..……. (8分) 8．证：作函数()ln f x x =，显然()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理条件…(2分) 故有1ln ln ln ()()()b b a f b a b a a ξξ'=-=-=-，(),a b ξ∈…………………(4分)a b ξ<<111a b b aξξ<<∴<<，故有：ln b a b b a b a a --<< 证毕……… (6分)。

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二、填空题
1、。
2、 2。
3、设，则。
4、函数在区间上的平均值为
。
5、设函数在( )上连续，
则。
*6、 = 。
三、计算下列各题
1、
2、
3、
4、
四、设，求
解：
五、设，求．
解：令，则
压力为
四、解：
习题三十反常积分
一、1. 2. 3.
二、1.B 2.D 3.A 4.C 5.D
三、1. 2.
四、1.解：
2.解：因为和在内都为正且单增，所以积分发散。
3.解：
4.解：
5.解：
6.解：
7.解：令，则
第三章复习题（二）
一、单项选择题
1、设，其中是连续函数，则（B）
A、 B、 C、 D、不存在
习题一
一、
1.×
2.\/
3.×
4.×
5.×
6.\/
7.×
二、
1.A
2.D
3.B
4.A
三、
1.直线
2.[-1，3）
3.
4.奇
5.
6.
四、
，，
，
习题二
一、
1.
2.×
3.×
4.
5.
6.×
7×
8×
二、
1.B
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.C
三、
1) ，
不存在
2) ，
习题三
一、
1.×
2.×
3.
4.×
5.
二、
1.C
2.B
3.D
4.D
三、
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
四、
五、
习题四
一、1、 2、×3、×4、×
二、1、D 2、A3、B4、A
三、
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
四、
又
因此
习题五
一、1、 2、×3、 4、 5、×6、×
7、×8、 9、 10、×11、×12、×
六．解：令 , 在区间[ ],( )上为连续函数，帮必存在一点，使得：，因为，故有：
七．解：把区间[a,b]分成n等份，（），并取子无区间[ ]中的右端点为，则有
由，且不垣等于零。
所以，
习题二十四微积分基本公式
一1. 2. 3. , 4.
二1. D 2. D
三1. 2. 3.14. 5.
一、填空题
1．0 2．
3．204．[-1，1]
5．
6．。
二、选择题
1．C 2．D 3．D4 C
三、求下列函数极限
1．
2．
3．
4．
四、证明下列不等式
1证明：令，得为驻点，于是当时递减，故
，即有
2证明：令，由时，，得递增，于是
，则当时，递增，于是
，得证。
五、 = 。
六、解：由，得
七、证明：令，由罗尔定理可得证。
×，√，√，×
二、
B、C
三、
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、 1
习题十六
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
×，×，×，×，×
二、
A、D、B、D、A
四、
1、在上单调减少；在上单调增加
2、在上单调增加；在上单调减少；在上单调增加
五、
1、在上是凸的；在上是凹的；拐点是
2、在上是凸的；在上是凹的；拐点是
六、
习题十七
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
×，×，√，×，√
二、
A、B、B、A
三、
1、极大值
2、单调减少，无极值
四、பைடு நூலகம்
五、
习题十八
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
×，√，×，√，√
二、
C、C、D、B
三、
第二章复习题（二）
设
六、设
在上，连续，，
若，取
若，由零点介质定理有，，即证。
习题八
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
×，√，×，×， √， ×
二、单项选择题
A、A、B、C、
三、
（1）（2）
四、
五、
六、
习题九
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
√，×，×，×，√，√， ×
2.解:
3.解:
4.解:
5.解:
6.解:
7.解:
三证明：
四、
习题二十七定积分的几何应用举例
一、1、解：积分区域，所求面积为
2、解：积分区域，所求面积为
3、解：
4、解：所求面积为
5、解：，所求面积为
6、解：
习题二十八定积分的几何应用举例（续）
一、1.B 2.B
二、解：交点为，所以所求面积为
三、解：（1）绕轴
四、1.解:
2.解:
3.解:
4.解:
5.解:
五.解：
六.证明:
习题二十五定积分的换元法
一、1. , 2 , 3.
二1.C2.B 3.B 4.D
三1. 2.
四、1.解:
2.解:
3.解:
4.解:
5.解:
6.解:
五证明:
所以,
六.证明:
令则
习题二十六定积分的分部积分法
一、1. , 2. 3.0
二、1.解:
7、 8、
9、
10、
11、 12、
13、 14、
习题二十一
1、 2、
3、 4、
5、 6、
7、 8、
9、
10、 11、
习题二十二
一、
C、C、B
二、
1、 2、
3、
三
1、 2、
3、 4、
5、 6、
7、 8、
第三章复习题（一）
一、判断题
√√√××
二、单项选择题
C D B D
三、填空题
1、
2、
3
4
5
四、求下列积分
二、1、D 2、D 3、B4、C
三、
1、
2、
3、
4、 =
=
四、
因此
五、令
则
于是
习题六
一、
1.
2.×
3.
4.
5.×
6、
7、×
8、
二、
1.A
2.C
3.A
4.A
5.A
6.A
7.C
8.A
三、
（1），可去，补充
（2），跳跃
四、
连续，仅需连续在处连续，
于是，
这样，
即
五、
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
(3) (4)
四、
五、
习题十二
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
√，√，×，×
二、
D、A、B、C、D
三、
1、 2、 3、
4、 5、 6、
四、
1、 2、 3、
五、
（1）（2）
第二章复习题（一）
一、
1.
2.
3.n
4. 、
5.
6.
7. 、、
二、
1.D
2.D
3.A
4.D
5.B
三、
1．
二、单项选择题
C、B、D、D、D
三、
（1）（2）
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
四、(1) (2)
习题十
一、单项选择题
B、A 、D
二、
1、 2、
3、 4、
三、
1、
2、
3、
4、
四、
1、
2、
习题十一
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
×，×
二、单项选择题
B、A、B、D
三、
（1）（2）
1、原式=
2、原式=
3、原式=
4、原式=
5、原式=
6、原式
=
7、原式=
8、原式=
五、
六、证明：由即可证
习题二十三
一．1－5.√×√√√
二．1-5. D A C B D
三．1. 2. < >
四．解：在区间[0,1]内将其n等分，并取子区间[ ]的右端点作为界点作积分和，即有
五．解：令，在区间[0,2]上，有 ,所以有
2．
3．
4．
5．
四、
五、设交点为，
由，
由
因此得证。
习题十三
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
√，√，√，√
二、
C、C、C、C、D
三、令，利用拉格朗日中值定理
四、令，利用柯西中值定理。
五、令，利用罗尔中值定理
习题十四
一、单项选择题
B、C、C
二、
三、
四、
习题十五
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）