小学奥数专题-空心与实心方阵分析
三年级奥数方阵问题(B级)
一、方阵问题（1） 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2） 每边的个数＝总数÷41 ”；（3） 每向里一层每边棋子数减少；（4） 掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
【例 1】 小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【巩固】 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？2例题精讲知识框架方阵问题【例2】同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？【巩固】一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？【例3】四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列．还剩多少同学？【巩固】100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？【例4】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉15人，问这个方阵共有多少人？【巩固】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【例5】二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是19人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？【巩固】某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？【例6】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【巩固】校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？【例7】新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？【巩固】节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【例8】120个棋子摆成一个三层空心方阵，最内层每边有多少棋子？【巩固】将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？【例9】有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？【巩固】 一队战士排成三层空心方阵多出16人，如果空心部分再加一层又少28人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？模块三、植树中的智巧趣题【例 10】 今有12盆花要在平地上摆成6行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．【巩固】 今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．【随练1】 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉人，问这个方阵共有多少人？【随练2】 四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行人，每列人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列．还剩多少同学？1188课堂检测【随练3】 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？【作业1】 军训的学生进行队列表演，排成了一个行列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？【作业2】 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【作业3】 一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？【作业4】 校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？55162836家庭作业【作业5】 三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？【作业6】 希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。
三年级奥数---方 阵 问 题(答案)
训练点24——方阵问题方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4★1、棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？思路分析:棋子排成每边8粒的正方形,即每排八粒,共八排,可见棋子总数是8个8粒,即8×8=64粒,最外层的棋子数可按公式:一周总点数=每边粒数×4-4求得.解:8×8=64(粒)8×4-4=32-4=28(粒)答:棋子共有64粒,最外层有28粒.2、为了绿化小区，在一块正方形的地四周种树，四个角都种一棵，每边种13棵，这块地的四周共有多少棵树？解：（13-1）×4=48（棵）……四周共种的3、有学生若干人，排成5层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？思路分析:已知方阵最外层人数为12人,可见五层每边人数分别是12人﹑10人﹑8人﹑6人和4人,中间空心部分为每边2人的方阵.解:12×12-2×2=144-4=140(人)答:共有学生140人.4、学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？解：（23+1）÷2=12（人）12×12=144（人）或（23-1）÷2+1=12（人）12×12=144(人)……高年级人数★★5、仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？解：（66+8）÷2=36（人） 36+8=44(人) 增加人数或 64÷4÷2+2=10(人) (10+2)×4-4=44(人)6、某班抽出一些学生参加节日活动队表演，想排成一个正方形方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？解:(1)原来每边多少人?(7+4-1)÷2=10÷2=5(人)(2)共抽出多少学生?5×5+7=25+7=32(人)或6×6-4=36-4=32(人)综合算式:[(7+4-1)÷2]2+7=[10÷2]2+7=52+7=25+7=32(人)答:共抽出32个学生.7、用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒？24×24=576（粒）解:576÷4÷3+3=48+3=51(粒)答:最外层每边棋子数为51粒.8、有一队学生排成一个空心方阵，最外层60人，最内层28人，求总人数？解：60÷4+1=16（人）……最外每边人数16×16=256（人）……实心方阵总人数28÷4+1=8（人）……最里层每边人数（8-2）×（8-2）=36（人）……最里实心方阵256-36=220（人）……总人数9、一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？解：（1）44÷4+1=12（人）（2）12×12=144（人）（3）28÷4+1=8（人）（4）（8-2）×（8-2）=36（人）（5）144-36=108（人）……空心方阵人数★★★10、设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？思路分析:可利用公式:“中空方阵最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数”求得。
小学奥数关于方阵问题的计算公式
【导语】让学⽣体会到数学源于⽣活、⽤于⽣活的同时，更应该让学⽣体会到数学⾼于⽣活，体会到数学可以带动社会的发展，带动⽣活质量的提⾼，这样更能激发学⽣学好数学。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。
⽅阵问题公式
（1）实⼼⽅阵：（外层每边⼈数）2=总⼈数。
（2）空⼼⽅阵：
（最外层每边⼈数）2-（最外层每边⼈数-2×层数）2=中空⽅阵的⼈数。
或者是
（最外层每边⼈数-层数）×层数×4=中空⽅阵的⼈数。
总⼈数÷4÷层数+层数=外层每边⼈数。
例如，有⼀个3层的中空⽅阵，最外层有10⼈，问全阵有多少⼈？
解⼀先看作实⼼⽅阵，则总⼈数有
10×10=100（⼈）
再算空⼼部分的⽅阵⼈数。
从外往⾥，每进⼀层，每边⼈数少2，则进到第四层，每边⼈数是
10-2×3=4（⼈）
所以，空⼼部分⽅阵⼈数有
4×4=16（⼈）
故这个空⼼⽅阵的⼈数是
100-16=84（⼈）
解⼆直接运⽤公式。
根据空⼼⽅阵总⼈数公式得
（10-3）×3×4=84（⼈）。
小学生常用数学公式方阵问题
小学生常用数学公式方阵问题【】小学数学的学习至关重要，宽敞小学生朋友们一定要把握科学的学习方法，提高数学的学习效率。
以下是查字典数学网小学频道为大伙儿提供的数学公式方阵问题，供大伙儿复习时使用!方阵问题公式(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)层数4=中空方阵的人数。
总人数4层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?解一先看作实心方阵，则总人数有1010=100(人)再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-23=4(人)因此，空心部分方阵人数有44=16(人)故那个空心方阵的人数是100-16=84(人)解二直截了当运用公式。
依照空心方阵总人数公式得(10-3)34=84(人)单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
科学的学习方法和合理的复习资料能关心大伙儿更好的学好数学这门课程。
(完整)小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案,推荐文档
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题(含答案分析)
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
小升初数学方阵问题，记住六个知识点和两类方阵核心公式拿满分
小升初数学方阵问题，记住六个知识点和两类方阵核心公式拿
满分
方阵问题
一、方法思维
1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少 2 个物体，里一层物
体的个数一定比上一层物体总个数少 8 个。
3、实心方阵（核心公式）：
物体个数=最外层的一边个数的平方=每边数×每边数；
每层数=（每边数—1）×4；每边数=每层数÷4+1
方阵最外层每边数=（方阵最外层总数÷4）+1
4、空心方阵（核心公式）：
外边数=总数÷4÷层数+层数
物体的总数=（最外层一边个数—层数）×层数×4
=（最外层层数+最内层层数）×层数÷2
内层数=外层数-8
每层数=（每边数—1）×4；
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
6、实心方阵的总人数是一完全平方数，空心方阵的总人数是 4 的倍数。
二、典型例题
1、有一个正方形的稻田，四个角上都放 1 个稻草人，如果每边放5 个，四边共
放多少个稻草人？。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题附答案解析
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
三年级奥数方阵问题
方阵问题知识结构一、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
例题精讲【例 1】小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从1开始若干个连续自然数的和，我们只要在3050～的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数．由于队伍可以排成方阵，在30至50人的范围内人数可能是66=36⨯人或77=49⨯人，又因为=++++⋯+=++++⋯++，所以总人数是36人．，361234849123494【答案】36人【巩固】在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】根据时间多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，并记住一些简单的平方数.10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50100～之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人．【答案】大方阵有64人，小方阵有36人【例 2】同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】带领学生画图求解．一共有几行？列式：4+6+1=11（行）一共有几列？列式：5317+-=（列）一共有多少人？列式：11777⨯=（人）【答案】77人【巩固】一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】一共有多少行？列式：5+5+1=11（行）一共有多少列？列式：4+4+1=9（列）一共有多少只猴子？11999⨯=（只）．【答案】99人【例 3】四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列．还剩多少同学？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到8行8列的实心方阵人数为：8864⨯＝（人），去掉一行一列后，还剩7行7列，也可通过同样的方法得出总人数为：77=49⨯（人）．【答案】8行8列的实心方阵人数为64人，去掉一行一列后，还剩49人。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题(含答案分析)
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
小学四年级奥数第18讲 方阵问题(含答案分析)
第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。
3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。
这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。
方阵 实心方阵 空心方阵
方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。
方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。
实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数空心方阵中物体的个数=（最外层一边的个数—层数）×层数×41、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有围棋子若干，恰好可以排成每边10个的正方形，棋子总数多少个？3、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？4、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？5、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？6、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？7、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？8、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？9、同学们在军训时，进行队列表演，由于场地有限，在原来的正方形队列中，横竖各减少一排，一共去掉了21名同学原来参加队列表演的有多少人？10、运动会上，在正方形操场的四周都插上彩旗，四个角上都插一个，每边插1 2个，那么一共插多少个？11、四年级同学排成了一个每边10人的中空方阵，共2层，求这个方阵总人数？12、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？13、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。
这个队列共有多少人？14、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？15、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2-最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
方阵实心方阵空心方阵
⽅阵实⼼⽅阵空⼼⽅阵⽅阵可以分为实⼼⽅阵和空⼼⽅阵。
计算组成实⼼⽅阵、空⼼⽅阵的物体的个数是主要的⽅阵问题。
⽅阵的基本特点是：⽅阵中，⾥⼀层总⽐外⼀层的⼀边少2个物体，⾥⼀层物体的个数⼀定⽐个⼀层物体总个数少8个。
实⼼⽅阵中，物体个数=最外层的⼀边个数×最外层⼀边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数空⼼⽅阵中物体的个数=（最外层⼀边的个数—层数）×层数×41、有⼀个正⽅形的稻⽥，四个⾓上都放1个稻草⼈，如果每边放5个，四边共放多少个稻草⼈？2、有围棋⼦若⼲，恰好可以排成每边10个的正⽅形，棋⼦总数多少个？3、有⼀个正⽅形池塘，四个⾓上都栽1棵树，⼀共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？4、同学们排成⼀个两层空⼼⽅阵，外层每边8⼈，这个⽅阵⼀共有多少⼈？5、把若⼲个棋⼦摆成⼀个三层的空⼼⽅阵，最外层每边12个棋⼦，求这个⽅阵共有多少个棋⼦？6、同学们在军训时排成了⼀个由204⼈组成的三层空⼼⽅阵，求最外⾯⼀层每边有多少⼈？7、某⼩学举⾏运动会，同学们排成正⽅形队列参加团体操表演。
如果在这个正⽅形队列中减少⼀⾏⼀列，则要减少15⼈，问参加团体操表演的有多少同学？8、⼩刚在⽤棋⼦摆好的实⼼阵上⼜填了17枚棋⼦，使它的横竖各增加⼀排，成了⼤⼀点的实⼼⽅阵，求原来实⼼⽅阵有多少枚棋⼦？9、同学们在军训时，进⾏队列表演，由于场地有限，在原来的正⽅形队列中，横竖各减少⼀排，⼀共去掉了21名同学原来参加队列表演的有多少⼈？10、运动会上，在正⽅形操场的四周都插上彩旗，四个⾓上都插⼀个，每边插1 2个，那么⼀共插多少个？11、四年级同学排成了⼀个每边10⼈的中空⽅阵，共2层，求这个⽅阵总⼈数？12、在⼉童公园的⼀次菊花展上，⽤120盆菊花摆成⼀个三层空⼼⽅阵，这个⽅阵最外层每边有多少盆花？13、⼀个中空⽅阵的队列，最外层每边18⼈，最内层每边10⼈。
小学奥数专题-空心与实心方阵分析
分析:根据已知条件柳树和杨 树的种法有如下两种,假设黑 点表示杨树,白点表示柳树观 察图(1)(2)不管是柳树种在方 阵最外层的角上还是杨树种在 方阵最外层的角上,方阵中除 最里边一层外其它层杨树和柳 树都是相同的。因而杨树和柳 树的棵数相等,即最外层杨,柳 树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
当柳树种在方阵最 外层的角上时,最内层 的一棵是柳树;当杨树 种在方阵最外层的角 上时,最内层的一棵是 杨树,即在方阵中,杨树 和柳树总数相差1棵。
解:(1)最外层杨柳树的棵数分别 为:(7-1)×4÷2=12(棵) (2)当杨树种在最外层角上时,杨树 比柳树多1棵: 杨树:(7×7+1)÷2=25(棵) 柳树:7×7-25=24(棵) (3)当柳树种在最外层角上时,柳树 比杨树多1棵 柳树(7×7+1)÷2=25(棵) 杨树7×7-25=24(棵)
(2),三角形各条边上种鸡冠花棵数的 总和,等于里边小三角形一周上种花 的棵数,加上大三角形一周种花的棵 数,再减去重复计算的3棵花(因为里 边小三角形的三个顶点上的三棵花, 也分别是外边大三角形每条边上的 一棵花)。
解: (1)大三角形一周上种 花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵) (2)小三角形一周种鸡冠花的棵 数是:(5-1)×3=12(棵)
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三 层空心方阵，最外一层每边有围棋 子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子 多少个？
【巩固3】一个正方形的队列横 竖各减少一排共27人，求这个正 方形队列原来有多 少人？
【巩固4】小红用棋子 摆成一个正方形实心 方阵用棋子100枚， 最外边的一层共多 少枚棋子？
【巩固5】 参加军训的学生进 行队列表演，他们排成了一个 七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请 问：要去掉多少名学生？还剩 下多少名学生？
三年级奥数：方阵的基本特点：
三年级奥数：方阵的基本特点：方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?【解析】根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?【解析】(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
例3. 玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?【解析】(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的所以如果小三角形每边种花5棵那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解:(1)最里层一周棋子的个数 是:(15-2-2-1)×4=40(个) (2)这个空心方阵共用的棋子 数是:(15-3)×3×4=144(个) 答:这个方阵最里层一周有 40个棋子;摆这个空心方阵共用 144个棋子。
例3: 玲玲家的花园中,有一个如下图 那样,由四个大小相同的小等边三角 形组成的一个大三角形花坛,玲玲在 这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知 每个小三角形每边上种鸡冠花5棵, 问大三角形的一周有鸡冠花多少棵? 玲玲一共种鸡冠花多少棵?
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三 层空心方阵，最外一层每边有围棋 子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子 多少个？
【巩固3】一个正方形的队列横 竖各减少一排共27人，求这个正 方形队列原来有多 少人？
【巩固4】小红用棋子 摆成一个正方形实心 方阵用棋子100枚， 最外边的一层共多 少枚棋子？
【巩固5】 参加军训的学生进 行队列表演，他们排成了一个 七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请 问：要去掉多少名学生？还剩 下多少名学生？
当柳树种在方阵最 外层的角上时,最内层 的一棵是柳树;当杨树 种在方阵最外层的角 上时,最内层的一棵是 杨树,即在方阵中,杨树 和柳树总数相差1棵。
解:(1)最外层杨柳树的棵数分别 为:(7-1)×4÷2=12(棵) (2)当杨树种在最外层角上时,杨树 比柳树多1棵: 杨树:(7×7+1)÷2=25(棵) 柳树:7×7-25=24(棵) (3)当柳树种在最外层角上时,柳树 比杨树多1棵 柳树(7×7+1)÷2=25(棵) 杨树7×7-25=24(棵)
答:在图(1)(2)两种方法中,方 阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方 阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵 中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有 杨树24棵,柳树25棵。
【巩固1】某校五年级学生排成一个 方阵，最外一层的人数为60人.问方 阵外层每边有多少人？这个方阵共 有五年级学生多少人？
分析:根据已知条件柳树和杨 树的种法有如下两种,假设黑 点表示杨树,白点表示柳树观 察图(1)(2)不管是柳树种在方 阵最外层的角上还是杨树种在 方阵最外层的角上,方阵中除 最里边一层外其它层杨树和柳 树都是相同的。因而杨树和柳 树的棵数相等,即最外层杨,柳 树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
方阵的基本特点:
(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量 都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。 (2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系; 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1 (3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物) 数×每边人(或物)数 (4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每 边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵 的层数×4
解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最 外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人) (2)丙方阵最外层每边的人数 是:68÷4+1=18(人) (3)空心丙方阵的总人数:18×188×8=324-64=260(人) 答:五年级参加广播操比赛的一共有260 人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法, 种成7行7列的方阵,问这个方阵最外 一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中 共有杨树,柳树各多少棵?
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数 是:24+12-3=33(棵) 答:大三角形一周种鸡冠花24 棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们 排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果 两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,正好 填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多 少人?
(2),三角形各条边上种鸡冠花棵数的 总和,等于里边小三角形一周上种花 的棵数,加上大三角形一周种花的棵 数,再减去重复计算的3棵花(因为里 边小三角形的三个顶点上的三棵花, 也分别是外边大三角形每条边上的 一棵花)。
解: (1)大三角形一周上种 花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵) (2)小三角形一周种鸡冠花的棵 数是:(5-1)×3=12(棵)
小学奥数专题 空心与实心方阵
编辑 张艳芬
同学们要参加运动会入场式,要进行 队列操练,解放军排着整齐的方队接 受检阅等,无论是训练或接受检阅,都 要按一定的规则排成一定的队形,于 是就产生了这一类的数学问题,今天 我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行 数与列数都相等,正好排成一个正方形,这 就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫 乘方问题)。
例2.明明用围棋子摆成一个三层 空心方阵,如果最外层每边有围棋子 15个,明明摆这个方阵最里层一周共 有多少棋子?摆这个三层空心方阵共 用了多少个棋子?
分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个 数就减少2个,知道最外面一层,每边放 15个,可以求出最里层每边的个数,就可 以求出最里层一周放棋子的总数。 (2)根据最外层每边放棋子的个数 减去这个空心方阵的层数,再乘以层数, 再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子 多少个。
A a H h O o B b I i P p C c J j Q q D d K k R r E e L l S s F f M m T t G g N n U u
V
W
X
Y
Z
y
z
【巩固6】同学们做早操， 排成一个正方形的方阵， 从前、后、左、右数， 小明都是第5个，这个方 阵共有多少人？
几十年前，波兰有个叫玛妮雅的小姑娘，学习非常专心。不管周围怎么吵闹， 都分散不了她的注意力。 一次，玛妮雅在做功课，她姐姐和同学在她面前唱歌、跳舞、做游戏。玛妮 雅就像没看见一样，在一旁专心地看书。 姐姐和同学想试探她一下。 她们悄悄地在玛妮雅身后搭起几张凳子，只要玛妮雅一动，凳子就会倒下来。 时间一分一秒地过去了，玛妮雅读完了一本书，凳子仍然竖在那儿。 从此姐姐和同学再也不逗她了，而且像玛妮雅一样专心读书，认真学习。 玛妮雅长大以后，成为一个伟大的的科学家。 她就是居里夫人
例1.三年级一班参加运 动会入场式,排成一个 方阵,最外层一周的人 数为20人,问方阵最外 层每边的人数 是多少?这个方阵共有 多少人?
分析:根据四周人数与每边人数的关系可 知: 每边人数=四周人数÷4+1,可以求出 这个方阵最外层每边的人数,那么这个方 阵队列的总人数就可以求了。 解:(1)方阵最外层每边的人 数:20÷4+1=5+1=6(人) (2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人) 答:方阵最外层每边的人数是6人,这个 方阵共有36人。
分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人 数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列 一个实心的丙方阵,不足的人数 是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵, 则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又 根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵 比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵 的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要 增加128人,则方阵最外层的人数是 (128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数 18×18-8×8=260(人)
分析: (1),由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的 边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条 小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花 5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9 棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三 角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵 数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点 上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一 周种花的棵数。