考研数学一、二、三大纲详解(教材分析)

考研数学一、二、三大纲详解(教材分析)

高等数学

考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限(7天)（考小题）

学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

第一节

第二节：函数的求导法则

（考小题）复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复

合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微

分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导

法），分段函数求导法（基本求导法则与求导

公式要非常熟）（定理1，3的证明不用看，

例1，17不用做，定理2的证明理解，例6,7,8

重点做）

习题2－2：除2,3,4,12不用做，其余全做，

13,14重点做 2．掌握导数的四则

运算法则和复合函数

的求导法则，掌握基

本初等函数的导数公

式．了解微分的四则

运算法则和一阶微分

形式的不变性，会求

函数的微分．

3．了解高阶导数的概

念，会求简单函数的

高阶导数．

4．会求分段函数的导

数，会求隐函数和由

参数方程所确定的函

数以及反函数的导数.

第三节：高阶导数（重要，考的可能性很大）高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶导）例1－例7 习题2－3：5,6,7，11不用做，其余全做，4,12重点做

第四节：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（考小题）由参数方程确定的函数的求导法（数三不用看），变限积分的求导法，隐函数的求导法（相关变化率不用看）例1－例10

习题2－4：9,10,11,12均不用做，数三

5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做

第五节：函数的微分（考小题）函数微分的定义，微分运算法则，微分几何意义（微分在近似计算中的应用不用看，考纲不作要求）

例1－例6 习题2－5：5,6,7,8，9,10，11,12均不用做，其余全做

自我小结总复习题二：4,10,15,16,17,18均不用做，

其余全做，2,3,6,7,14重点做，数三不用做

12,13

第二章测试题

第三章微分中值定理与导数的应用（8天）考大题难题经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

第一节：

微分中值定理（最重要，与中值定理应用有关的证明题）微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意

义，罗尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及

其几何意义、柯西定理及其几何意义）（四个

定理要会证明，及其重要）

例1，习题3－1：除了13,15不用做，其余全

部重点做

1．理解并会用罗尔

(Rolle)定理、拉格

朗日(Lagrange)中

值定理和泰勒

(Taylor)定理，了

解并会用柯西

第二节：洛必达法则（重要，基本必考）洛比达法则及其应用（洛比达法则要会证明，

重要）

例1－例10，习题3－2：全做，1,3,4重点做

(Cauchy)中值定

理．

2．掌握用洛必达法

则求未定式极限的

方法．

3．理解函数的极值

概念，掌握用导数

判断函数的单调性

和求函数极值的方

法，掌握函数最大

值和最小值的求法

及其简单应用．

4．会用导数判断函

数图形的凹凸性，

会求函数图形的拐

点以及水平、铅直

和斜渐近线，会描

绘函数的图形．

5．了解曲率和曲率

半径的概念，会计

算曲率和曲率半

径．

第三节：泰勒公式（掌握其应用）泰勒中值定理，麦克劳林展开式

（可不看公式的证明）

例1－例3 习题3－3：8,9不用做，其余全做10（1）（2）（3）重点做

第四节：函数的单调性与曲线的凹凸区间（考小题）求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐近线（选择题及大题会用到）例1－例12 习题3－4：3（1）（2）（5）,5（1）（2），8（1）（2），9（1）（3）（5），10（2）不用做，其余全做，3,4,5,6,13,15重点做

第五节：函数极值与最大值最小值（考小题为主）函数的极值(一个必要条件,两个充分条件),

最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问题有关的综合题

例5,6,7不用看习题3-5:1（2）（3）（6）（9）8,9,10,11,12,13,14，15,16均不用做，其余全做

第六节：

函数图形的描绘（重要）简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。例1－例3 习题3－6：2－5

第七节：曲率（数三不作要求，仅数一、数二要求）曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题（弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸线不用看）

例1－例3,习题3－7：1－6

第八节：方

程近似解

（不用看）

自我小结总复习题三：数一、数二全做，数三15不用

做；其中2（2）,3,7,8,9,10,（3）（4），11

（3），12,17,18,20重点做

第三章测试题总结

第四章不定积分（7天）（重要，本章数二考大题可能性更大）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

第一节：不定积分的概念与性质（重要）原函数与不定积分的概念与基本性质（它们

各自的定义，之间的关系，求不定积分与求

微分或导数的关系），基本的积分公式，原

函数的存在性，原函数的几何意义和力学意

义（数三不作要求）

例1－例16 习题4－1：1，2,3,4,6

1．理解原函数概

念，理解不定积分

的概念．

2．掌握不定积分

的基本公式，掌握

不定积分换元积

分法与分部积分

法．

3．会求有理函数、

三角函数有理式

及简单无理函数

的积分．

第二节：换元积分法（重要，第二类换元积分法更为重要）不定积分的换元积分法，第二类换元法

例1－例27

习题4－2：1,2（1）（2）（3）（8）（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做

第三节：分部积分法

（考研必考）不定积分的分部积分法

例1－例10 习题4－3：1－24

第四节：有理函数积分（重要）有理函数积分法，可化为有理函数的积分，例1－例8 习题4－4：1－24

不定积分计算

总复习题四：1－40

第五节:积分

表的使用

（不用看）

自我小结总结本章

第五章定积分(6天）（重要，考研必考）

学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

第一节：定积分的概念与性质（理解）定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积

分的7个性质理解及熟练应用，性质7积分

中值定理要会证明)

（定积分近似计算不用看）

习题5－1：1,2,3,6,8,9,10均不用做，其

余全做，5,11,12重点做

1．理解原函数概念，

理解定积分的概念．

2．掌握定积分的基

本公式，掌握定积分

的性质及定积分中

值定理，掌握换元积

分法与分部积分法．

3．会求有理函数、

三角函数有理式及

简单无理函数的积

分．

4．理解积分上限的

第二节：微积分基本公式（重要）微积分的基本公式积分上限函数及其导数（极其重要，要会证明）牛顿－莱布尼兹公式（重要，要会证明）

例5不用做，例6极其重要，记住结论习题5－2：6（1）（2）（4）（5）（6）（7）,7,8均不用做，其余全做，2数三不做，9（2），