1-1-2余弦定理
1[1].2余弦定理
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学校：临清二中 学科：数学 编写人：史继忠 一审：李其智 二审：马英济课题:1．1．2余弦定理授课类型：新授课【教学目标】 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【教学过程】[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a = ，CA b = ，AB c = ，那么c a b =- ，则 b c()()=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ 2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a bC a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
1_2余弦定理(1)
1.2余弦定理（1）（时间：）1.掌握余弦定理的内容；2.掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的证明及其应用.余弦定理的证明，余弦定理在解三角形时应用思路.读记教材交流问题1：余弦定理的内容是什么？问题2：怎么推导余弦定理？问题3：由余弦定理怎么判断角的大小？问题4：利用余弦定理能够解决斜三角形中的哪些类型问题？中，【例1】在ABC（1）已知3=b ，1=c ，︒=60A ，求a ；（2）已知654===c b a ，，，求A cos ，A tan ．【例2】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．： ：1．在ABC ∆中，（1）已知︒=60A ，4=b ，7=c ，求a ； （2）已知7=a ，5=b ，3=c ，求A ．2.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不是钝角三角形3.在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小．4.两游艇自某地同时出发，一艇以h km /10的速度向正北行驶，另一艇以8/km h 的速度向北偏东060方向行驶，问：经过30min ，两艇相距多远？一、填空题1．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ＝________.2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝______________.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．4．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B ＝____________.5．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状 为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．水平提升13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1.2余弦定理(一)答案作业设计1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°. 6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34. 7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .10．－23解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 13.3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
余弦定理公式大全
正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
人教版高中数学必修26.4.3 余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件(二)
【跟踪训练3】
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2，则角 C 为( )
π 3π π 2π A.4 B. 4 C.3 D. 3
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用锐角三角形
(× )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一( × )
2．已知在△ABC 中，a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于 ( )
答案 A
题型三 余弦定理在边角转化中的应用
例 3（1）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 已知 bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________.
（2）在△ABC 中，若 lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lgb＋1 c， 则 A＝________.
a2＋b2－c2 解析 （1）由余弦定理得 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋ c·a2＋2ca2c－b2＝22aa2＝a，所以 a＝2b，即ab＝2.
解析 由余弦定理得
cos
a2＋c2－b2 1＋3－7 B＝ 2ac ＝2×1× 3＝－
3 2.
又∵0°<B<180°，
∴B＝150°.
答案 150°
2．在△ABC 中，已知 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，则 A＝ ________. 解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
高中数学1-1-2 余弦定理(知识讲解)
1.1.2 余弦定理（知识讲解）一、基础知识1、余弦定理：A bc c b a cos 2222⋅-+=⇒bca cb A 2cos 222-+=；B ac c a b cos 2222⋅-+=⇒acb c a B 2cos 222-+=；C ab b a c cos 2222⋅-+=⇒abc b a C 2cos 222-+=；2、射影定理：B c C b a cos cos ⋅+⋅=，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，A b B a c cos cos ⋅+⋅=3、设a 、b 、c 是ABC ∆的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ；②若222c b a >+，则 90<C ； ③若222c b a <+，则 90>C 。
二、知识应用 1．余弦定理的概念例1-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解。
( ) (2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形。
( ) (3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题。
( ) (4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例。
( ) 2．利用余弦定理解三角形例2-1．在ABC ∆中，3=a ，1=b ，2=c ，则=A ( )。
A 、 30B 、 45C 、 60D 、 75例2-2．ABC ∆中，7=AC ，2=BC ， 60=B ，则BC 边上的高等于( )。
A 、23 B 、263+ C 、233D 、2623+ 例2-3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac b =2，且a c 2=，则=B cos ( )。
A 、41B 、43 C 、42 D 、32 例2-4．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，则=C tan ( )。
高中数学《1.1.2 余弦定理》预习导学案 新人教A版必修5
必修五 第一章§5-2正 余弦定理【课前预习】阅读教材完成下面填空解三角形的四种类型1．已知A,B 及a(“角边角”型)利用正弦定理2．已知三边a,b,c(“边边边”型)用余弦定理 。
3.已知两边a,b 及夹角C(边角边型)余弦定理求c,再用余弦定理求两角。
4. 已知两边a,b 及一边对角(“边边角“型)(1) 当 时，有 解(2) 当 时，有 解(3) 当 时，有 解(4) 当 时，有 解【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．在△ABC 中，若02,30b B ==，0135C =，a =则 。
4、在△ABC 中，若C cB bA acos cos cos ==，则△ABC 是【课中35分钟】边听边练边落实5、在△ABC 中，已知a=10，B=060 ,C=045，解三角形。
6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。
7．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．8、在△ABC 中，已知a=5，b=7，A= 030,解三角形。
9．在△ABC 中，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，其中R 是△ABC 外接圆的半径。
求证：C R A b B a sin 2cos cos =+。
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( )A ．9B ．18C ．93D ．1832．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－143．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ 。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
解三角形余弦定理
解三角形 余弦定理1、余弦定理：在中，有，，C ∆AB 2222cos a b c bc =+-A 2222cos b a c ac =+-B ．2222cos c a b ab C =+-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2、余弦定理的推论：，，．222cos 2b c a bc +-A =222cos 2a c b ac +-B =222cos 2a b c C ab+-=3、设、、是的角、、的对边，则：①若，则a b c C ∆AB A B C 222a b c +=；90C = ②若，则；③若，则．222a b c +>90C < 222a b c +<90C > 余弦定理的应用范围：②知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A AB Ca b c A A B C ab c A∆是锐角三角形A B C 例题：1、在ABC 中，已知，，求b 及A .∆=a c 060=B 2、在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .3、在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝60°，解这个三角形.4、在ABC 中，若，求角A .∆222a b c bc =++1、在△ABC 中，，，，那么等于（）3a =b =2c =B ∠A 、30°B 、45°C 、60°D 、120°2、已知△ABC 的三边长，则△ABC 的面积为（ ）6,5,3===c b a A 、B 、C 、D 、14142151523、在△ABC 中，，则△ABC 是（ ）31,4a b c =-== A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形4．在△ABC 中， ，则A 等于（ ）222a b c bc =++ A ．60° B ．45° C ．120° D ．30°5．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ） A ． B ．－ C ． D ．－232314147．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝，则最大角的余弦值是1413________．8．在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝5，且cos C ＝，则BC ＝________．51099、在△ABC 中，，求及。
1.1.2 余弦定理
1、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2ab cosC
2、余弦定理推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
3、利用余弦定理，可以解决三类有关三角形 的问题：
执教：邱贵泉
1、正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A，b 2Rsin B,c 2Rsin C
sin A a ，sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
A B a b sin A sin B
2、正弦定理可以解决哪两类有关三角形的问 题?
(1)已知两角和任一边; (2)已知两边和一边的对角.
在ABC中，已知 a 4 3，b 3，角C 300，求c.
A
c=?
b=3
B
a=4 3
30° C
思考：如何用已知的两边及其所夹得角来表示 第三条边呢？
1、探究余弦定理
在任意的ABC中，已知a、b及角C，求边c. B
设
CB
a，CA
b，AB
和sin C.
练习2：已知在ABC中，a : b : c 2 : 6 : ( 3 1),求
ABC 各角的大小.
类型三、判断三角形的形状
例题3： 在ABC中，若(a c cosB) sin B (b c
cos A) sin A, 判断ABC的形状.
练习3： 在ABC中，已知 a cos A b cos B, 判断ABC
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(第2课时)正弦定理和余弦定理bb高二数学
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2
PART TWO
题型探究(tànjiū)
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题型一 利用(lìyòng)正弦、余弦定理解三角形
例 1 在△ABC 中，若 ccos B＝bcos C，cos A＝23，求 sin B 的值.
A.锐角三角形
√ B.直角三角形 C.钝角(dùnjiǎo)三角形 D.不能确定
解析 由正弦定理知，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.
a2＋b2－c2 ∴cos C＝ 2ab <0.
∴角C为钝角(dùnjiǎo)，△ABC为钝角三角形.
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核心(héxīn)素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
求三角形一角的值
典例 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B
பைடு நூலகம்
＝ 3ac，则角 B 的值为
π A.6
√B.3π或23π
π C.3
1.正弦定理及常见变形
a (1)sin
b
c
A＝__s_i_n_B__＝__s_in__C__＝2R(其中
R
是△ABC_外__接__圆_的__半__径___)；
(bànjìng)
(2)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；
三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式
三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式三角公式是解决三角形问题的基本工具，包括正弦定理、余弦定理、诱导公式、二倍角公式、半角公式、积化和差公式和和差化积公式等。
下面我们详细介绍这些公式。
1. 正弦定理（Sine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C满足如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式可以用于求解已知三角形任意两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与其对应的角A、B、C满足如下关系：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个公式可以用于求解已知三角形两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。
3. 诱导公式（Tangent Addition Formula）：对于角A和角B，有如下关系：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这个公式可以用于求解角的和与差的正切值。
4. 二倍角公式（Double Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(2A) = 2*sinA*cosAcos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2*tanA / (1 - tan^2(A))这个公式可以用于求解角的两倍角的正弦、余弦和正切值。
5. 半角公式（Half Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这个公式可以用于求解角的半角的正弦、余弦和正切值。
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.1.2 余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍 在△ABC 中，
符号 语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中， 推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝ ＝cos 120° ＝－ ，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中， 根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分 在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝ ， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法余弦定理是解决三角形中两边和夹角之间关系的重要定理之一、下面将介绍八种证明余弦定理的方法。
1.向量法证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的角为a、b、c，相应的边分别为a、b、c，连接AB、AC，并设向量AB为向量a，向量AC为向量b。
则根据向量的加法，可以得到向量OB加向量OC等于向量AC，即向量OC等于向量AB-向量AC。
利用向量的点积，可以得到OC的模平方等于AB的模平方加上AC的模平方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC的模的积的乘积，即OC的模的平方等于AB的模的平方加上AC的模的平方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC的模的乘积。
将a、b、c、A、B、C表示为边和角的符号形式，即可得到余弦定理。
2.直角三角形法证明：假设三角形中角C为直角，即C=90°，则根据勾股定理，可以得到AB的平方等于AC的平方加上BC的平方。
将AB、AC、BC分别表示为a、b、c，则可得到a的平方等于b的平方加上c的平方。
3.直线法证明：利用三角形内部的三角形两边之和大于第三边的性质，可以得到AB加上AC大于BC、AB加上BC大于AC、AC加上BC大于AB。
设角B等于a、角A等于b、角C等于c，则上述不等式可以表示为cosc大于cosa、cosc大于cosb、cosa加cosb大于cosc。
将这些不等式利用三角函数的性质进行推导，可以得到余弦定理。
4.面积法证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的边分别为a、b、c，面积为S。
将S表示为a、b、c的函数，利用海伦公式，可以得到S的平方等于s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s为周长的一半。
将这个等式利用三角函数的性质化简，即可得到余弦定理。
5.解析几何法证明：设A、B、C的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则根据距离公式，可以得到AB的平方等于(x2-x1)的平方加上(y2-y1)的平方。
余弦定理教案
余弦定理教案余弦定理教案一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。
本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。
其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。
二、教学目标知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。
2、掌握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。
3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。
三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。
四、教学用具普通教学工具、多媒体工具（以上均为命题教学的准备）余弦定理教案2016-09-09 14:26 | #2楼教案设计：余弦定理【教材】湘教版必修4第9页至12页.【教学对象】高二（上）学生【学情分析】学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。
对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题.【教学目标】知识与技能（1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式.（2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理. 过程与方法（1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维.（2）培养学生数形结合的能力.（3）培养学生的问题解决能力.情感态度价值观经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系.【教学重点】余弦定理推导【教学难点】余弦定理推导及应用【教法学法】教法：一、情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习.二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。
余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么什么是三角形余弦定理三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a2=b2+c2-bc·cosAb2=a2+c2-ac·cosBc2=a2+b2-ab·cosC也可表示为：cosC=(a2+b2-c2)/abcosB=(a2+c2-b2)/accosA=(c2+b2-a2)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cos θ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC即cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2b2=(sinB__c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2b2=c2+a2-2accosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)提高数学成绩高效方法课后一分钟回忆及时复习数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。
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根据两点间距离公式：
bcosC－a2＋bsinC－02 AB＝__________________________
∴c2＝b2cos2C－2abcosC＋a2＋b2sin2C， 即：c2＝a2＋b2－2abcosC.
第一章
1.1
第2课时
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同理可证 a2 ＝b2 ＋c2 －2bccosA，b2 ＝a2 ＋c2 －2accosB. (2)用三角方法证明余弦定理．
第一章
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[点评]
已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三
角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形 方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式 两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边 的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形等 等．
第一章
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命题方向
已知两边和夹角解三角形
[例 2]
(2010～2011· 福建福州高二期中)在△ABC 中， 边
a、b、c 所对的角分别为 A、B、C，b＝3，c＝5，A＝120° ， 则 a＝( A．7 ) B. 19 C．49 D．19
[答案] A
[解析]
解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，
∴利用正弦定理可得 sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB· sinC· cosB· cosC， ∵sinBsinC≠0，∴sinB· sinC＝cosBcosC， ∴cos(B＋C)＝0，∴cosA＝0， π ∵0<A<π，∴A＝2，∴△ABC 为直角三角形．
2
a2＋b2－2abcosC c2＝____________________.
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 2bc 2ac 变式：cosA＝______________，cosB＝_____________， b2＋a2－c2 2ba cosC＝____________.
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[解析] 49，∴a＝7. [点评]
a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5cos120° ＝
已知两边及其夹角解三角形时，先用余弦定理求
出第三边，再用正弦定理求其它角，或用余弦定理求其它角.
第一章பைடு நூலகம்
1.1
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成才之路· 数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
解三角形
第一章 解三角形
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第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
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第一章
第 2 课时 余弦定理
第一章 解三角形
第一章 1.1 第2课时
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△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 c＝ 2， b＝ 6，B＝120° ，则 a 等于( A. 6 B．2 C. 3 D. 2
[答案] D
)
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[解析]
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课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 名师辩误做答
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课程目标解读
第一章
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通过对任意三角形边长与角度关系的探究，掌握余弦定 理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
若
1＋a>3 a<3，则 2 2 2 1 ＋a >3
，∴3>a> 8，
∴ 8<a< 10.
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[点评]
(1)三角形的边长必须满足任意两边的和大于第三
边，因此较小两边的和大于最大边．(2)锐角三角形的最大边所 对内角为锐角，若三边长为 a，b，c，最长边为 a，则 b2＋c2>a2.
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解法二：已知等式可化为 b2－b2cos2C＋c2－c2· 2B＝2bccosBcosC， cos 由余弦定理可得
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 2 2 b2＋c2－b2· －c2( 2ac ) 2ab
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 ＝2bc· · 2ab 2ac ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形．
a2＋c2－b2 由余弦定理得，cosB＝ ， 2ac
a2＋2－6 ∴cos120° ＝ ，整理得 a2＋ 2a－4＝0， 2 2a ∵a>0，∴a＝ 2. [点评] 已知两边和其中一边对角， 用正弦定理必须讨论，
用余弦定理有时可避免讨论.
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已知锐角三角形的边长分别为 1,3，a，则 a 的取值范围 是( ) A．(8,10) B．( 8， 10)
C．( 8，10) D．( 10，8)
[答案] B
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[解析]
若
1＋3>a a≥3，则 2 2 2 1 ＋3 >a
，∴3≤a< 10.
a2＋b2－c2 3 ∴cosC＝ 2ab ＝－ 2 ，∴C＝150° . [点评] 表达式中如有三边的平方，应考虑通过变形产生
其中一角的余弦．
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探索延拓创新
第一章
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命题方向
方程的思想
[例 4]
命题方向
综合应用
[例 5]
(2010· 天津理)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A ＝( ) A．30° B．60° C．120° D．150°
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4．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，也 可以使用余弦定理．如：已知 a、b、A，可先由余弦定理求出 c，即 a2＝b2＋c2－2bccosA.此时，边 c 的解的个数对应三角形 解的个数． 5．应用余弦定理判断三角形形状时往往化角为边进行化 简．化简过程中不可随便约分，以免漏解．
1．余弦定理是勾股定理的推广．特别地，当有一个角为 直角(如角 A)时，有 a2＝b2＋c2. 在应用中，如果出现 a2＋b2＝c2，则为 Rt△；若 a2＋b2<c2 则为钝角三角形；但若出现 a2＋b2>c2，不能因此断定为锐角三 角形，只能说明角 C 为锐角．即： C 为锐角⇔a2＋b2>c2；C 为直角⇔a2＋b2＝c2；C 为钝角 ⇔a2＋b2<c2.
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AD＝bsinC，BD＝CD－BC＝bcosC－a. 在 Rt△ABD 中，依据勾股定理 AB2＝AD2＋BD2，代入整 理可得：c2＝a2＋b2－2abcosC，另外两个等式类似可证．
第一章
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课前自主预习
第一章
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1．余弦定理：设 a、b、c 为三角形三边，它们所对的角
b2＋c2－2bccosA b2＝______________； a2＋c2－2accosB 分别为 A、 C， a ＝______________； B、 则：
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△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最大 内角为( )
A．150° B．135° C．120° D．60°
[答案] A
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[解析]
∵a2＋b2＝c2－ 3ab，
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解法三：已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB· cosC， ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB· cosC， ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形．
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2．可以用方程的思想来看余弦定理，例如 b2＝a2＋c2－ 2accosB，我们可以将其看作以 a 为未知数的一元二次方程 a2 －2accosB＋c2 －b2 ＝0.这样一元二次方程的有关知识均可使 用，使余弦定理的应用更广泛，更灵活． 3．余弦定理是三角形边角关系的重要定理，应用余弦定 理可以解决以下两类解三角形的问题： 1° 已知三边，求三个角． 2° 已知两边和夹角，求其余的边角．