2020年浙江高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理

1．正弦定理和余弦定理

2．三角形中常用的面积公式

(1)S＝1

2ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝1

2bc sin A＝

1

2ac sin B＝

1

2ab sin C；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

[小题体验]

1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π

6，B＝

π

4，a＝1，则

b＝()

A．2B．1

C. 3 D． 2

解析：选D由正弦定理，得b＝a sin B

sin A＝

2

2

1

2

＝ 2.

2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2a sin B＝3b，则角A等于()

A.π3

B.π4

C.π6

D.π12

答案：A

3．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3，则△ABC 的面积为________．

答案：4

3

1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．

2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． [小题纠偏]

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝23

3

，则B 等于( )

A ．60°

B ．150°

C ．30°或150°

D ．30° 解析：选D ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝

23

3

， ∴由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝1

2.∵A ＝120°，∴B ＝30°.

2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝3

2

且b ＜c ，则b ＝( )

A ．3

B ．2 2

C ．2

D ． 3

解析：选C 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4. 又

b ＜

c ，∴b ＝2.

考点一 利用正、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．(2018·兰州实战考试) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )

A ．

2

4

B ．－

24

C ．34

D ．－3

4

解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，

即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－2

4，

故选B.

2．(2018·“超级全能生”联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2b .若sin C ＝3

4

，则sin B ＝________；若b 2＋bc ＝2a 2，则cos B ＝________.

解析：因为c ＝2b ，所以sin C ＝2sin B ＝34，所以sin B ＝3

8.因为c ＝2b ，所以b 2＋bc ＝

3b 2＝2a 2，所以a ＝

6

2

b . 所以cos B ＝a 2

＋c 2

－b 2

2ac ＝32b 2

＋4b 2－b 2

26b 2＝36

8.

答案：38 36

8

[由题悟法]

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

[即时应用]

设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；

(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解：(1)∵b sin A ＝3a cos B ，

由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝3，

∴B ＝π3

.

(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π

3，

解得a ＝3， ∴c ＝2a ＝2 3.

考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．(2018·贵阳监测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a

2c ，

则△ABC 的形状一定是________．

解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b

2

2ac

，整

理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．

答案：直角三角形

2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .

(1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－1

2，

又A ∈(0，π)，所以A ＝

2π3

. (2)由(1)得，sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝32cos B ＋12sin B ＝sin ⎝⎛⎭

⎫B ＋π

3＝1， 因为0＜B ＜π3

，

所以B ＋π3＝π2，即B ＝π6，C ＝π

6，

所以△ABC 是等腰钝角三角形．

[类题通法]

判定三角形形状的2种常用途径