正弦定理与余弦定理

第28讲 正弦定理与余弦定理

1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于(C)

A ．60°

B ．45°

C ．120°

D ．30°

因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 又因为0°

A.31010

B.1010

C.510

D.515

EB ＝EA ＋AB ＝2，EC ＝EB 2＋BC 2＝

4＋1＝5，

∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4

. 由正弦定理，得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC CE

＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝

55sin ∠EDC ＝55sin 3π4＝1010

. 3．(2016·新课标卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13

BC ，则sin A ＝(D) A.310 B.1010

C.55

D.31010 如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．

设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23

a . 在Rt △ABD 中，由勾股定理得，

AB ＝(13a )2＋(13a )2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝

(13a )2＋(23a )2＝53

a . 因为S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12

BC ·AD ， 所以12×23a ×53a ·sin ∠BAC ＝12a ·13

a ， 所以sin ∠BAC ＝310＝31010. 4．(2017·新课标卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，

b ，

c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝(B)

A.π12

B.π6

C.π4

D.π3

因为a ＝2，c ＝2，

所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ， 故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，

故sin B ＋sin A (sin C －cos C )

＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C

＝(sin A ＋cos A )sin C

＝0.

又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0，

则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1.

又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4

. 从而sin C ＝12

sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6

. 5．(2016·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c

＝ 1 . 在△ABC 中，∠A ＝2π3

， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3

，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 因为a ＝3c ，所以3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以b 2＋bc －2c 2＝0，

所以(b ＋2c )(b －c )＝0，所以b －c ＝0，所以b ＝c ，

所以b c

＝1. 6．(2015·重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝ 6 .

如图，在△ABD 中，由正弦定理，得

AD sin B ＝AB sin ∠ADB

， 所以sin ∠ADB ＝22

. 所以∠ADB ＝45°，

所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.

所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝2， 所以AC ＝ 6.

7．(2015·安徽卷)在△ABC 中，∠A ＝3π4

，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．

设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，

由余弦定理得

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A

＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4

＝18＋36－(－36)＝90. 所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝3310＝1010， 由题设知0＜B ＜π4

， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，

所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得

AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B

＝10. 8. △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的范围是(A)

A ．0

C.π4

D.π6

设AC ＝x ，则1

cos C ＝4＋x 2－14x ＝3＋x 24x ＝34x ＋x 4

≥234x ·x 4＝32

，当且仅当x ＝3时，取“＝”．故0

，b ＝3，则c ＝ 145

. 因为cos A ＝35，cos B ＝513

， 所以sin A ＝45，sin B ＝1213

， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B

＝45×513＋35×1213＝5665

. 因为b sin B ＝c sin C ，又b ＝3，所以c ＝b sin C sin B ＝145

. 10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．

(1)求cos A 的值；

(2)求sin(2B －A )的值．

(1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝b sin B

，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55

. (2)由(1)，可得sin A ＝255

，代入a sin A ＝4b sin B ，得 sin B ＝a sin A 4b ＝55

.