1.1正弦定理和余弦定理

1.1 正弦定理和余弦定理

例题1.（1）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=1200，则a 等于（）

A 、6

B 、2

C 、3

D 、2

（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()

C a A c b cos cos 3=-，则cosA=____ 例题2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b+c ），求证：A=2B 。

例题3.下列有关正弦定理的叙述正确的是（ ）

（1）正弦定理只适用于锐角三角形；（2）正弦定理不适用于直角三角形；（3）在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；（4）在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

例题4.（1）在△ABC 中，已知A=450，B=300，c=10，求b 。

（2）在△ABC 中，已知A=450，a=2，b=2，求B

例题5. △ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=2b ，A ﹣C=

3

π，求sinB 的值。

例题6.在△ABC 中，a ：b ：c=2：6：（13+），求△ABC 的各内角的度数。

例题7.在△ABC 中，已知a=7，b=10，c=6，判断△ABC 的形状。

例题8.（1）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2﹣b 2）tanB=3ac ，则角B 的值为（ ）

A 、6π

B 、3π

C 、6π或65π

D 、3

π或32π （2）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A 、185

B 、43

C 、23

D 、8

7 例题9.在△ABC 中，若B=300，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积是_________。

例题10.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 为800，a 2=b （b+c ），求角C 的度数。

例题11.不解三角形，判断下列三角形解的个数。

（1）a=5，b=4，A=1200；（2）a=7，b=14，A=1500；（3）a=9，b=10，A=600；（4）c=50，b=72，C=1350

例题12.在△ABC 中，已知a=62，b=326+，c=34，求角A 、B 、C

例题13.在△ABC 中，c=22，a ＞b ，C=

4

π，且有tanA ·tanB=6，试求a 、b 及此时三角形的面积。

例题14.在△ABC 中，若b 2sin 2C+c 2sin 2B=2bc ·cosB ·cosC ，试判断三角形的形状。

例题15.在△ABC 中，（a+b+c ）（a+b ﹣c ）=3ab ，2cosAsinB=sinC ，试判断△ABC 的形状。

例题16.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的角分别为a 、b 、c ，证明：C

B A c b a sin )sin(22

2-=-

例题17.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且acosB ﹣bcosA=c 53

（1）求tanAcotB 的值

（2）求tan （A ﹣B ）的最大值。

例题18.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A=600，c=3b ，求：

（1）c a

的值；

（2）cotB+cotC 的值；

基础练习题

1.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A=3

π，a=3，b=1，则c 等于（ ） A 、1 B 、2 C 、13- D 、3

2.已知△ABC 中，a=1，b=3，A=300，则B 等于（ ）

A 、600

B 、600或1200

C 、300或1500

D 、1200

3.若△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2﹣3ab ，则此三角形的最大内角的度数为（ ）

A 、1500

B 、1350

C 、1200

D 、600

4.在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=3：2：4，则cosC 的值为（ ）

A 、32

B 、﹣32

C 、41

D 、﹣41

5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且b 2+c 2+3bc=a 2，则A 等于________。

提升练习题

1.在△ABC 中，A=600，a=34，b=24，则B 等于（ ）

A 、450或1350

B 、1350

C 、450

D 、以上答案都不对

2.在△ABC 中，面积S=a 2﹣（b ﹣c ）2，则cosA=（ ）

A 、178

B 、1715

C 、1513

D 、1713

3.在三角形ABC 中，已知B=600，最大边与最小边的比为21

3+，则三角形的最大角为（

）

A 、600

B 、750

C 、900

D 、1150

4.锐角△ABC 中，若A=2B ，则b a

的取值范围是（ ）

A 、（1，2）

B 、（1，3）

C 、（2，2）

D 、（2，3）

5.在△ABC 中，A=600，b=1，其面积为3，则C B A c

b a sin sin sin ++++等于（ ）

A 、33

B 、339

2 C 、33

26 D 、239

6.在△ABC 中，角A=600，AC=16面积为2203，那么BC 的长度为（ ）

A 、25

B 、51

C 、349

D 、49

7.在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A 、等腰直角三角形

B 、直角三角形

C 、等腰三角形

D 、等边三角形