讲义1 正弦定理和余弦定理

讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用

洞口三中 方锦昌

一、知识与技能：

掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。

二、知识引入与讲解：

Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

b

A B =sin c

C ==2R

例1．（1）、已知∆ABC 中，∠A 060=

，a =求sin sin sin a b c A B C

++++ (=2) （2）、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）

Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：

例2．（1）、在∆ABC

中，已知=a

c 060=B ，求b 及A （

=b 060.=A ）

（2）、在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

例3．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形∆。

练习： （1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆

；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）

例4．在∆ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222

S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin a

b

A B =sin c

C ==sin sin sin a b c A B C

++++ 解：由1sin 2

S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a 从而

sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A

== 例题5、某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公路的走向是M 站的北偏东40︒。开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处。在∆ABC 中，

AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得 cosC=BC AC AB BC AC ⋅-+2222=31

23, 则sin 2C =1- cos 2C =231

432, sinC =31

312, 所以 sin ∠MAC = sin （120︒-C ）= sin120︒cosC - cos120︒sinC =

62335 在∆MAC 中，由正弦定理得 MC =AMC MAC AC ∠∠sin sin =2

3

31⨯62335=35 从而有MB= MC-BC=15 答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站。

练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，

（1）、acosA = bcosB （ 等腰三角形或直角三角形）

（2）、sinC =B A B

A cos cos sin sin ++ （直角三角形）

2、如图，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75︒，∠ACB=∠BDC=45︒，DC=3，求：

（1） AB 的长 （2）、求四边形ABCD 的面积

解（1）因为∠BCD=75︒，∠ACB=45︒，所以

∠ACD=30︒ ，

又因为∠BDC=45︒，所以 ∠DAC=180︒-（75︒+ 45︒+ 30︒）=30︒，所以 AD=DC=3 在∆BCD 中，∠CBD=180︒-

（75︒+ 45︒）=60︒，所以︒75sin BD = ︒60sin DC ，BD = ︒︒

60sin 75sin 3= 226+

在∆ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2⨯AD ⨯BD ⨯cos75︒= 5,所以得 AB=5

（2） S ABD ∆=2

1 ⨯AD ⨯BD ⨯sin75︒=4323+ 同理， S BCD ∆= 433+ 所以四边形ABCD 的面积S=4

336+