正弦定理与余弦定理地综合应用
正弦定理、余弦定理的综合应用
解：(方法二：利用角的关系进行判断) 2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， 所以 sin Acos B－cos Asin B＝0，所以 sin(A－B)＝0， 因为－π<A－B<π，所以 A－B＝0，即 A＝B， 所以△ABC 为等腰三角形．
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
解：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°，BC＝100 m， 所以 AC＝100 2 m． 在△AMC 中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°. 由正弦定理得，sinAC45°＝sinAM60°，所以 AM＝100 3 m. 在 Rt△MNA 中，AM＝100 3 m，∠MAN＝60°，由MAMN＝sin 60° 得 MN＝100 3× 23＝150 m. 答案：150
米，则 A、C 两点的距离为( )
200 A. 3
3米
200 B. 3
6米
C.1003 3米 D.1003 6米
解：如图，∠C＝60°，由正弦定理知si2n0600°＝sinAC45°，
所以 AC＝2030× 22＝2003
6 .
2
答案：B
3．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为 30°、60°，则塔高为( )
又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin60045°＝sinBC30°， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6 m.
考点二·解三角形的综合应用
【例 2】(2016·福州市毕业班质量检查)在△ABC 中,角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c,满足(2b－c)cos A＝acos C.
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
正弦定理、余弦定理总结和应用
§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R 是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝________.tan A＋tan B＋tan C＝__________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.【自查自纠】1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解(3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 12(a ＋b＋c )r(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C 2sin(B ＋C ) －cos(B ＋C )－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B .(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b ＝2.故填2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1. 又∵B ∈(0，π)，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝a sin B b ＝12.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝π6.故填π6.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )， 即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：对b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， 即sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴B －C ＝π2. (2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C ＝π2，∴B ＝5π8，C ＝π8.∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sin π8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sin π4＝12.类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22acb 2＋c 2－a22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C .类型五 解三角形应用举例某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23. 据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中， CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ，所以10＋103tan θ30＝103v cos θ. 由此可得，v ＝153sin （θ＋30°）.又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°. 由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．(2012·武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，在△ABC 中，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC ＝28.所以渔船甲的速度为v ＝282＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理得AB sin α＝BC sin ∠BAC ，即12sin α＝28sin120°，从而sin α＝12sin120°28＝3314.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sinA2＝cosB ＋C2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用鉴于题目为"余弦定理与正弦定理的应用"，本文将探讨以余弦定理和正弦定理为基础的数学应用，展示它们在解决几何问题中的重要性和实用性。
一、余弦定理的应用余弦定理是三角学中的基本定理之一，它描述了一个三角形的边与角之间的关系。
余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2ab·cosC其中，a、b为三角形的两边，C为这两边间的夹角，c为三角形的对边。
1. 三角形边长的计算利用余弦定理，我们可以根据已知的角度和两边长度，计算出第三边的长度。
这对于解决实际问题具有重要意义。
例如，在导航中，我们可以通过已知两个位置和与之相对应的夹角，计算两地之间的距离。
2. 计算三角形的角度除了计算边长，余弦定理还可以用于求解三角形内的角度。
当我们已知三角形的三边时，可以利用余弦定理求解其中一个角的度数。
这在地质勘探、天文学等领域中具有广泛应用。
二、正弦定理的应用正弦定理也是解决三角形问题中常用的定理之一。
正弦定理描述了一个三角形的边与角之间的关系。
正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为对应的角。
1. 钝角三角形的侧边和角度计算当三角形中存在一个钝角时，可以利用正弦定理计算该三角形的边长和角度。
这对于建筑设计、航海测量等领域具有实际应用。
例如，在房屋设计中，当一个空间的角度不为90度时，我们可以利用正弦定理计算出相应的边长和其他角度的大小。
2. 解决无直角的三角形问题正弦定理的另一个重要应用是解决不含有直角的三角形问题。
在实际生活和工程中，我们常常遇到不能直接利用余弦定理求解的三角形问题。
在这种情况下，正弦定理提供了一种可行的解决方法。
总结：余弦定理和正弦定理是数学中重要的定理，它们的应用广泛，涵盖了多个领域。
通过利用余弦定理和正弦定理，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，满足测量和设计的需求。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用在数学中，余弦定理和正弦定理是解决三角形的边长和角度关系的重要工具。
它们的应用范围广泛，不仅限于几何学，还可以在物理学、工程学以及实际生活中的各种测量和计算问题中使用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的基本原理，并通过一些实际应用例子来展示它们的实用性。
一、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们所对的角之间存在着一个关系，即：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b、c为三角形的三条边，C为夹角。
该定理可以用于计算三角形的边长或夹角大小，特别适用于已知两边和夹角，求解第三边或第三个角的情况。
例如，我们有一个三角形，已知两条边分别为a=5cm，b=7cm，夹角C为60度。
我们可以利用余弦定理来计算第三条边c的长度：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2×5×7×cos60°c^2 = 25 + 49 - 70×0.5c^2 = 24c = √24c ≈ 4.9cm通过余弦定理，我们可以得到这个三角形的第三边c约为4.9cm。
除了计算边长，余弦定理还可以用于计算三角形的角度。
例如，我们有一个三角形，已知三边分别为a=6cm，b=8cm，c=10cm。
我们可以利用余弦定理来计算各个角的大小：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)通过上述公式，我们可以求得角A，角B和角C的余弦值，再利用反余弦函数求得它们的度数。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三条边和对应的角的正弦之间存在着一个关系，即：a / sinA =b / sinB =c / sinC正弦定理可以用于解决已知一个角和与之对应的两个边，求解其他角和边长的问题。
例如，我们有一个三角形，已知角A为30度，边a为5cm，边b 为7cm。
正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
中考数学考点解析正弦定理与余弦定理的运用
中考数学考点解析正弦定理与余弦定理的运用中考数学考点解析：正弦定理与余弦定理的运用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，广泛应用于解决与三角形相关的各类问题。
本文将针对中考数学中关于正弦定理和余弦定理的考点进行解析，并讨论其运用方法。
一、正弦定理的概念与应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c正弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。
根据正弦定理，我们可以通过已知角度和边长的比例关系，求解未知边长或角度的值。
例如，已知在三角形ABC中，角A的度数为30°，边AC的长度为10cm，边BC的长度为8cm，求边AB的长度。
解析：根据正弦定理，我们有sin30°/10 = sinB/8，通过计算可以得到sinB的值为1/2。
根据反三角函数的定义，我们可以求得角B的度数为30°。
然后再利用三角函数的性质，我们可以得到sinC的值为sqrt(3)/2，进而求解出边AB的长度为12cm。
二、余弦定理的概念与应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC余弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。
相比正弦定理，余弦定理在求解角度时更为常用，尤其适用于已知三边长度求解对应角度的情况。
例如，已知三角形ABC，边AB的长度为5cm，边AC的长度为8cm，角A的度数为45°，求对边BC的长度。
解析：根据余弦定理，我们有BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos45°。
通过计算可以得到BC^2的值为25，再开方可以得到BC的长度为5cm。
三、正弦定理与余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理在解决实际问题中常常需要综合运用。
正弦定理、余弦定理的综合应用
解题小结：
判断三角形形状时，一般考虑两种变形方向： 一个是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条 边之间的关系式。另一个方向是化边为角，再进 行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。 两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
练习一
A B C ，则 ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2R sin A 2R sin B 2R sin C 略解：由正弦定理得： A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 2
a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式
a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
2R sin(B C )
2R sin( A) a sin A a2 sin A
射影定理： a= bcosC＋ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA
a、b、c, 例3：ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c
a、b、c, 练习二 ABC中，A、B、C所对的边分别为 c 1 2 2 2 若b c bc a , 且 3, 求A和 tan B的大小。 b 2 2 b c2 a2 1 解：由余弦定理知：cos A ， （ 化 2bc 2 0 A 180, A 60, 边 c 1 为 3 且由正弦定理知 c sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 3 又C 180 ( A B) 120 B, ） sin B 2
1.1.3正、余弦定理的综合应用课件人教新课标
3，
因此 c＝ 6－ 2.
又∵sianA＝sincC，
∴sinA＝asicnC＝
2s6i－n15°2＝2×6－6－4 2
2 ＝21.
∵b>a，∴B>A．又∵0°<A<180°，
∴A 必为锐角，即 A＝30°.
(2)在△ABC 中，已知 a:b:c＝2: 3: 5，求△ABC 中各内角
的余弦值．
(2)令 a＝2k，b＝ 3k，c＝ 5k(k>0)，由余弦定理，得
[答案] B [解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S△ABC＝12acsinB＝12· 2·1·sinB＝12， ∴sinB＝ 22，∴B＝π4或34π. 当 B＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形， 不符合题意，舍去． ∴B＝34π，根据余弦定理， b2＝a2＋c2－2accosB，解得 b＝ 5，故选 B.
， 得 bc ＝ ssiinnCB ＝ ssiinn3BB ＝
sinB＋2B sinB
＝
sinBcos2Bs＋inBcosBsin2B＝cos2B＋2cos2B＝4cos2B－1.
∵A＋B＋C＝180°，C＝3B，∴0°<B<45°，即 22<cosB<1，
∴12<cos2B<1，故
c 1<b<3.
边长为 a＋2.
a2＋a＋12－a＋22 a－3
根据余弦定理，cosα＝
2aa＋1
＝ 2a .
∵90°<α≤120°，∴－12≤cosα<0，
即－12≤a－ 2a3<0. ∵a 为正实数，解得32≤a<3.即所求 a 的取值范围是[32，3)．
在△ABC 中，C＝3B，求bc的取值范围．
正余弦定理的综合运用
求△ABC的面积
题型五、范围问题
例5、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 变式：锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。
练习：
三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
a，b，A) 余弦定理 正弦定理或余弦定理求 c. 可有
两解，一解或无解
题型一:判断三角形形状
例1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 △A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） （A）△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 （B）△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 （C）△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 （D）△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
2 2
2 2
22
cos A
cos B
c os C
2
2
2
sin A＝sin B ＝sin C 又 A，B ，C 是锐角， A＝ B＝C
2
2
2
222
222
题型二：三角形中的化简求值题
例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
解:（化角为边）由余弦定理得：
bcosC＋ccosB＝
a2
射影定理：
2R sin( A) a sin A a 2
sin A
a= bcosC＋ccosB, b=ccosA+acosC, c=acosB+bcosA
例3：且ABcCos中B，A、bB,、求CB所的对大的小边。分别为 a、b、c,
cosC 2a c
2022数学集训32正弦定理余弦定理的综合应用理含解析
课后限时集训（三十二）正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B［如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B．］2．在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为（)A．错误!m B．错误!mC．错误!m D．错误!mA［如图,由已知可得∠BAC＝30°,∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°,又AB＝200 m，∴AC＝错误!m。
在△ACD中,由正弦定理，得错误!＝错误!，即DC＝AC·sin 30°sin 120°＝错误!（m)．]3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C 处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(）A．62海里B．6错误!海里C．8错误!海里D．8错误!海里A[由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°,∴∠ACB＝110°－65°＝45°,∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°。
又AB＝24×0。
5＝12，在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!,即错误!＝错误!，∴BC＝6错误!，故选A．］4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!C[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当a＝b时等号成立,故选C．]5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知(a＋b－c)（a＋b＋c）＝3ab，且c＝4,则△ABC面积的最大值为（)A．8错误!B．4错误!C．2错误!D．错误!B［由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!。
正、余弦定理在实际中的应用应用题
正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。
例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。
现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。
求塔的高度。
h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。
为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。
问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。
由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。
本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。
这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。
余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。
通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。
正余弦定理的综合应用
06
正余弦定理在其他数学分支中的 应用
在微积分中的应用
01
解决极值问题
利用正余弦定理，可以推导出极 值条件，进而解决一些微积分中 的极值问题。
02
求解面积和体积
03
求解微分方程
正余弦定理可以用于计算一些与 三角函数相关的图形的面积和体 积。
通过正余弦定理，可以建立一些 微分方程的解与三角函数之间的 关系，从而求解微分方程。
详细描述
在三角函数中，正余弦定理可以表示为：对于任意三角 形ABC，有c^2=a^2+b^2-2abcosC， a^2=b^2+c^2-2bccosA，b^2=a^2+c^2-2accosB。 利用这三个公式，我们可以求出三角形的边长和角度， 进一步解决与三角形的边和角相关的问题。
正余弦定理与三角恒等式的关系
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中， 边长a、b、c与对应的角A、B、C的正 弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是另一个重要的三角形定理，它通过三角形的边长来计算角的余弦值。
详细描述
在线性代数中的应用
矩阵运算
正余弦定理可以用于计算一些特殊矩阵的行列式和特 征值。
向量分析
在向量分析中，正余弦定理可以用于计算向量的模长、 向量的点积和向量的叉积。
线性变换
利用正余弦定理，可以研究线性变换的性质和特征。
在概率论和统计学中的应用
概率分布
正余弦定理可以用于推导一些与 三角函数相关的概率分布的性质 和特征。
余弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c与角A、B、C的余弦值之间有 关系式：$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。
正弦定理、余弦定理的综合应用
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用[最新考纲]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．图①图②2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________m.502 [由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．]2.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝________米．22a [由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， ∴asin 30°＝PBsin 15°，∴PB ＝6－22a ， ∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB·sin γ＋a sin β＝6－22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a.]3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．32a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝32a.]考点1解三角形中的实际问题利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米．(1)103(2)40013[(1)如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30 ＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得， M N ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．(2)在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BDsin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ，所以400sin 30°＝ADsin 120°，得AD ＝4003(米)．在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．](1)实际测量中的常见问题(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)．1.一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°的方向上，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________km .302 [如图，由题意知，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60，由正弦定理得BC sin 30°＝ACsin 45°， ∴BC ＝302(km )．]2.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．2114 [在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，得BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.]考点2平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝3π4，AB⊥AD，AB＝1.(1)若AC＝5，求△ABC的面积；(2)若∠ADC＝π6，CD＝4，求sin∠CA D.[解](1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12. (2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC＝CD sin ∠CAD，即ACsin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－(π2－θ)＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC＝AB sin ∠BCA，即AC sin 3π4＝1sin （θ－π4），② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin （θ－π4）sin θ，即4(22sin θ－22cos θ)＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．(2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，0＜∠DAB ＜π2，AD ＝2，AB ＝3，△ABD 的面积为332，AB ⊥B C.(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求BC 的长．[解] (1)因为△ABD 的面积S ＝12AD ×AB sin ∠DAB ＝12×2×3sin ∠DAB ＝332，所以sin ∠DAB ＝32.又0＜∠DAB ＜π2，所以∠DAB ＝π3，所以cos ∠DAB ＝cos π3＝12. 由余弦定理得 BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠DAB ＝7，由正弦定理得sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝217. (2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝π2， sin ∠DBC ＝sin(π2－∠ABD )＝cos ∠ABD ＝1－sin 2∠ABD ＝277. 在△BCD 中，由正弦定理CD sin ∠DBC＝BD sin ∠DCB可得CD ＝BD sin ∠DBC sin ∠DCB＝433.由余弦定理DC 2＋BC 2－2DC ·BC cos ∠DCB ＝BD 2，可得3BC 2＋43BC －5＝0，解得BC ＝33或BC ＝－533(舍去)． 故BC 的长为33.考点3 与三角形有关的最值(范围)问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． [解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝ sin B sin A.因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如A ＋B ＋C ＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．1.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若a cos A＝b sin A，则sin A＋sin C的最大值为()A.2B.98 C ．1 D.78B [∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2(sin A －14)2＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.]2．在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，(1)求△ABC 周长l 的范围；(2)求△ABC 面积最大值．[解] (1)l ＝3＋a ＋c ，b 2＝3＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，∴(a ＋c )2－3ac ＝3，∵(a ＋c )2－3＝3ac ≤3×(a ＋c 2)2， ∴a ＋c ≤23，当仅仅当a ＝c 时，取“＝”，又∵a ＋c ＞3，∴23＜l ≤3 3.(2)∵b 2＝3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，∴ac ≤3，当且仅当a ＝c 时，取“＝”，S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin 60°＝334，33∴△ABC面积最大值为4.。
正弦定理、余弦定理综合运用
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
2、三角函数式的化简； 例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB. 小结二：具体问题具体分析，一般来说也
有两个方向，边转化为角或角转化为边，再进 行化简。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二） 3、证明三角恒等式；
例3：在△ABC中,
课题：正弦定理、余弦定理 综合运用（二）
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
知识目标：1、三角形形状的判断依据；
2、利用正弦、余弦定理进行边
角互换。
能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；
2、边角互化；
3、判断三角形的形状；
4、证明三角形中的三角恒等式。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
教学重点：利用正弦、余弦定理进行边
角互换。
教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行
边角互换时的转化方向；
2、三角恒等式证明中结论与
条件之间的内在联系。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
教学过程：
一、复习：1、正弦定理；
2、余弦定理。
二、新课：
1、判断三角形的形状；
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
1、判断三角形的形状；
例1：在△ABC中，已知bcosA=acosB，
试判断三角形的形状。
小结一：判断三角形形状时， 一般考虑两个方向进行变形：一个 方向是边，走代数变形之路，通常 是正、余弦定理结合使用；另一个 方向是角，走三角变形之路，通常 是运用正弦定理，这也要求同学们 所学三角公式要熟悉，已知三角函 数值求角时，要先确定角的范围。
正弦定理、余弦定理综合运用
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
知识目标：1、三角形形状的判断依据； 2、利用正弦、余弦定理进行边 角互换。 能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理； 2、边角互化； 3、判断三角形的形状；
4、证明三角形中的三角恒等式。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二） 1、判断三角形的形状； 例1：在△ABC中，已知bcosA=acosB， 试判断三角形的形状。
小结一：判断三角形形状时， 一般考虑两个方向进行变形：一个 方向是边，走代数变形之路，通常 是正、余弦定理结合使用；另一个 方向是角，走三角变形之路，通常 是运用正弦定理，这也要求同学们 所学三角公式要熟悉，已知三角函 数值求角时，要先确定角的范围。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
2、三角函数式的化简； 例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB.
小结二：具体问题具体分析，一般来说也 有两个方向，边转化为角或角转化为边，再进 行化简。
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二） 3、证明三角恒等式； 例3：在△ABC中, 求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
课题：正弦定理、余弦定理综合运用（二）
②
四、练习 I. 课内练习： 在△ABC中，证明下列各式： ①(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0 cos 2 A cos 2 B 1 1 2 2 2 2 a b a b II. 课外练习： 1、在△ABC中，BD为∠B的平分线， 求证：AB:BC=AD:DC 2、在△ABC中已知(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB， 求证：A+B=120° sin A sin( A B) 3、在△ABC中，已知 sin C sin( B C) ， 求证a2、b2、c2成等差数列
正弦定理和余弦定理综合
正弦定理和余弦定理综合 一、本课时目标要求:正弦定理和余弦定理综合运用二、预习作业1．正弦定理在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等．形式一：________＝________＝________＝2R (解三角形的重要工具)，R 为三角形外接圆的半径； 形式二：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，R 为三角形外接圆的半径(边角转化的重要工具)．2．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．形式一：a 2＝__________________，b 2＝__________________，c 2＝__________________(解三角形的重要工具)；形式二：cos A ＝________，cos B ＝________，cos C ＝_________.3.三角形形状判定方法角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则a 2＋b 2＞c 2 ⇔ 三角形ABC 是锐角三角形；a 2＋b 2＜c 2 ⇔ 三角形ABC 是钝角三角形；a 2＋b 2＝c 2 ⇔三角形ABC 是直角三角形．题型一 判断三角形的形状例1.在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形(2012年上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定。
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正弦定理与余弦定理的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=.【答案】-1 2【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C=22278-13278+⨯⨯=-12.2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=.【答案】π6【解析】由sin C3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，所以cos A=222-2b c abc+=3，所以角A=π6.3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.(第3题)【答案】1764.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=.【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2，因此B=45°.5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为.【答案】π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac ，所以cos B =222-2a c b ac +=22-2a c ac ac +≥12，因为0<B <π，所以0<B ≤π3.1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.2.求解三角形实际问题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.【要点导学】要点导学各个击破利用正、余弦定理解常见的三角问题例1(2016·北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.3已知b=4，c=6，且a sin B(1)求角A的大小；(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.【解答】(1)由正弦定理，得a sin B=b sin A.因为b=4，a sin B=23，所以sin A=3 .又0<A<π2，所以A=π3.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=16+36-2×24×12=28，所以a=27.又因为a sin B=23，所以sin B=21 7，所以cos B=27 7.因为D为BC的中点，所以BD=DC=7. 在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B，即AD2=36+7-2×6×7×27=19，所以AD=19.变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，且sin2B=2sin A sin C.(1)若a=b，求cos B的值；(2)若B=90°，且a=2，求△ABC的面积. 【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又因为a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos B=222-2a c bac=14.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a=2.所以△ABC的面积为1.【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.实际问题中解三角形例22011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.(例2(1))(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(7≈2.646，结果保留两位小数)；(2)求tan θ的值.【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.(例2(2))【解答】(1)如图(2)，在△ABC中，AB=80，AC=40，∠BAC=120°，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°，即BC=2218040-28040-2⎛⎫+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=407，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为407÷60=27≈1.76 (h).(2)在△ABC中，由正弦定理可得sin AB ACB∠=sin BC BAC∠，则sin ∠ACB=ABBC·sin ∠BAC=217.显然∠ACB为锐角，故cos ∠ACB=27，tan ∠ACB=3，而θ=∠ACB+30°.所以tan θ=tan(∠ACB+30°)=tan tan301-tan30tanACBACB∠∠+=53.变式如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km的E港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.(变式) 【解答】设∠ABE=θ，船的速度为v km/h，则BC=43v，BE=13v，在△ABE中，5sinθ=013sin30v，即sin θ=152v.在△ABC中，sin(180-)ACθ=043sin120v，即AC=4sin33vθ⋅=415323vv⋅3.在△ACE中，25 3v⎛⎫⎪⎝⎭=25+23-2×5×3×cos 150°，化简得259v2=25+4003+100=7753，即v2=93，所以v93故船速为93km/h.例3(2015·锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为103m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧CD的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.(例3)(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB=h m，在Rt△ABE中，∠AEB=60°，可求得EB=33h.(1)在Rt△ABO中，∠AOB=30°，OB3，由OE3AB.(2)在Rt△ABC中，∠ACB=45°，BC=AB，在△CBO中，求出cos ∠COB，在△CEO中，求CE的长.【解答】(1)设AB的高度为h m.在△CAB中，因为∠ACB=45°，所以CB=h.在△OAB和△EAB中，因为∠AOB=30°，∠AEB=60°，所以OB=3h，EB=33h.由题意得3h-3h=103，解得h=15.答：烟囱的高度为15 m.(2)在△OBC中，OC=103m，OB=153m，BC=15 m，所以cos ∠COB=222-2?OC OB BCOC OB+=2103153⨯⨯=56，所以在△OCE中，OC=103m，OE=103m，所以CE2=OC2+OE2-2OC·OE cos ∠COE=300+300-600×56=100.答：CE的长为10 m.变式(2015·锡常镇三模)如图(1)，甲船从A处以每小时30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A南偏西75°方向且与A相距2n mile 处.当甲船航行20 min到达C处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D处，此时两船相距10 n mile.(变式(1)) (1)求乙船每小时航行多少海里?(2)在C处的北偏西30°方向且与C相距83n mile处有一个暗礁E，暗礁E周围2nmile围为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?如无危险，请说明理由.(变式(2))【解答】(1)如图(2)，连接AD，由题知CD=10，AC=2060×30=10，∠ACD=60°，所以△ACD为等边三角形，所以AD=10，又因为∠DAB=45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AB×AD cos 45°=100，BD=10，v=10×3=30(n mile/h).答：乙船的速度为每小时30 n mile.(2)在海平面，以点B为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心，半径为r的圆，因为∠DAB=∠DBA=45°，易知直线BD的方程为y，E的横坐标为AB cos 15°-CE sin 30°，纵坐标为AB sin 15°+CE cos 30°+AC，求得A，5，C，+5)，E59⎛+⎝，点E到直线BD的距离为d1=，故乙船有危险；点E到直线AC的距离为d2=，故甲船没有危险.以EBD所得的弦长为l，所以乙船遭遇危险持续时间t=230=115(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续115h后脱险.解三角形中的不等关系微课9● 典型示例例4如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=22，点M在线段PQ上.(例4)(1)若OM=5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【思维导图】5OP2.【规解答】(1)在△OMP中，∠P=45°，OM由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°，得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得sin OM OPM∠=sin OP OMP∠，所以OM=sin45sin(45)OPα+，同理ON=sin45sin(75)OPα+，故S△OMN=12×OM×ON×sin ∠MON=14×22000sin45sin(45)sin(75)OPαα++=0001sin(45)sin(4530)αα+++=00031sin(45)sin(45)cos(45)ααα⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦=200031sin(45)sin(45)cos(45) 22ααα++++=0031[1-cos(902)]sin(902)αα+++=331sin2cos2αα++=31sin(230)α++.因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°.所以当α=30°时，sin(2α+30°)取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为.● 总结归纳(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=A sin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.● 题组强化1.若△ABC的角满足sin AB=2sin C，则cos C的最小值是.【答案】【解析】由sin AB=2sin C及正弦定理可得a=2c，所以cosC=222-2a b cab+=222-2a bab+⎝⎭=22328a bab+≥=，当且仅当3a2=2b2，即abcos C的最小值为4.2.在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则ab的取值围是.【答案】(23，)【解析】因为A+B+C=180°，A=2B，△ABC为锐角三角形，所以30°<B<45°，所以ab=sin2sinBB=2cos B∈(23，).3.已知线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始h后，两车的距离最小.(第3题)【答案】70 43【解析】如图，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就转化为求DE最小时t的值.由余弦定理，得DE2=BD2+BE2-2BD·BE cos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2-42000t+40 000.当t=7043时，DE最小.4.(2015·调查)如图，有两条相交成60°角的直路X'X，Y'Y，交点为O，甲、乙两人分别在OX，OY上，甲的起始位置与点O相距3 km，乙的起始位置与点O相距1km.后来甲沿XX'的方向、乙沿YY'的方向同时以4 km/h的速度步行.(第4题)(1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；(2)设t h后甲、乙两人的距离为d(t)，写出d(t)的表达式，当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短?并求出两人之间的最短距离.【解答】(1)22013-213cos60+⨯⨯⨯7(km).(2)设t h后两人的距离为d(t)，则当0≤t≤14时，d(t220(1-4)(3-4)-2(1-4)(3-4)cos60t t t t+216-167t t+当t>34时，d(t220(4-1)(4-3)-2(4-1)(4-3)cos60t t t t+216-167t t+当14<t≤34时，d(t220(4-1)(3-4)-2(4-1)(3-4)cos120t t t t+216-167t t+所以d(t216-167t t+2116-32t⎛⎫+⎪⎝⎭t≥0)，当t=123km.答：当t =12时，两人的距离最短为3 km.1.(2015·卷)在△ABC 中，已知a =3，b 6A =2π3，则角B = .【答案】π4【解析】由正弦定理，得sin a A =sin b B ，即32=6sin B ，所以sin B =22，因为b <a ，所以角B =π4.2.(2016·期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A =2tan B ，a 2-b 2=13c ，则c = .【答案】1【解析】由已知及正、余弦定理知，tan A =2tan B ⇒2221-b c a +=2222-a c b +⇒3a 2-3b 2=c 2，又a 2-b 2=13c ，所以c 2-c =0，解得c =1或c =0(舍去)，故c =1.3.为了测量塔AB的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C，D，E，测得仰角分别为θ，2θ，4θ，CD=30 m，DE=103m，则θ=，塔高AB=m.【答案】15°15(第3题)【解析】如图，设塔脚为B，由题意得∠ADE=2∠ACD=2θ，可知△ACD为等腰三角形，所以AD=30，同理△ADE也是等腰三角形，AE=103，在△ADE中，cos 2θ=103=32，所以2θ=30°，所以θ=15°，AB=AE sin 4θ=AE sin 60°=103×3=15(m).4.(2015·、、二模)如图，在△ABC中，D是BC上的一点.已知∠B=60°，AD=2，AC=10，DC=2，则AB=.(第4题)【答案】26【解析】在△ACD 中，因为AD =2，AC =10，DC =2，所以cos ∠ADC =222⨯⨯=-22，从而∠ADC =135°，所以∠ADB =45°.在△ADB 中，0sin45AB =02sin60，所以AB =22232⨯=26.5.(2015·期末)如图，某生态园将三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200 m ，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(第5题)(1)若围墙AP ，AQ 的总长度为200 m ，问：如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大?(2)已知AP 段围墙高1 m ，AQ 段围墙高1.5 m ，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省?【解答】(1)设AP =x m ，AQ =y m ，则x +y =200，x >0，y >0.△APQ的面积S=12xy sin 120°=3xy.因为xy≤2x y2+⎛⎫⎪⎝⎭=10 000，当且仅当x=y=100时取等号.所以当AP=AQ=100 m时，可使三角形地块APQ的面积最大.(2)由题意得100×(1×x+1.5×y)=20 000，即x+1.5y=200.在△APQ中，PQ2=x2+y2-2xy cos 120°=x2+y2+xy，即PQ2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000，其中0<y<4003. 则当y=8007，x=2007时，PQ2取得最小值，从而PQ也取得最小值.所以当AP=2007m，AQ=8007m时，可使竹篱笆用料最省.【融会贯通】融会贯通能力提升已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan C=222-ab a b c .(1)求角C 的大小；(2)当c =1时，求a 2+b 2的取值围.【思维引导】【规解答】(1) 由已知及余弦定理，得sin cos C C =2cos ab ab C ，所以sin C =12.…………………2分因为C 为锐角，所以C =30°. ………………………………………………4分(2)由正弦定理，得sin a A =sin b B =sin cC =112=2， …………………………5分所以a =2sin A ，b =2sin B =2sin(A +30°).a 2+b 2=4[sin 2A +sin 2(A +30°)]=401-cos21-cos(260)22A A ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=411131-cos2-cos2222A A A ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =4-3cos 2A 3sin 2A3A -60°).……………………………………………………………………8分由000000900150-90A A ⎧<<⎨<<⎩，，得60°<A <90°，…………………………………………10分所以60°<2A -60°<120°，32<sin(2A -60°)≤1 .………………………………12分所以7<a 2+b 23所以a 2+b 2的取值围是(7，3分【精要点评】三角形有六个基本元素，即三条边和三个角，解三角形最主要的就是将六个基本元素化为已知的过程，一般要用正、余弦定理等工具，但选用怎样的公式，如何转化分析，要总结经验和规律.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第63~64页.【检测与评估】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用一、填空题1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离为.2.小明同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是.3.如图，要测量河对岸A，B两点之间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离为m.(第3题)4.已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为.5.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正向、相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10 n mile的C处的乙船.设乙船朝北偏东θ度的方向沿直线前往B处救援，则sin θ=.(第5题)6.如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，那么BD的长为.(第6题)7.(2015·卷)设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-1 4，3sin A=2sin B，则c=.8.(2015·卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶D在北偏西15°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.(第8题)二、解答题9.如图，在△ABC中，sin2ABC=33，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=33.(1)求BC的长.(2)求△DBC的面积.(第9题)10.(2015·三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a cos C+c cos A=2b cos A.(1)求角A的大小；(2)求sin B+sin C的取值围.11.如图，在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P，上午9时，测得一轮船在海岛北偏东30°、俯角为30°的B处，到9时10分又测得该船(船直线航行)在海岛北偏西60°、俯角为45°的C处.(1)求船的航行速度；(2)在C处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10min后到达什么位置(以点A为参照点)?(第11题) 三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在△ABC中，已知·cos·cosb Cc B=1cos21cos2CB++，则△ABC的形状为.13.在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C，则角A的取值围是.【检测与评估答案】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用1.70 n mile【解析】设轮船A，B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE=25×2=50(n mile)，CF=15×2=30(n mile)，且∠ECF=120°，所以EF=220-2cos120CE CF CE CF+⋅=2205030-25030cos120+⨯⨯=70.2.32km【解析】如图，由条件知AB=24×1560=6，在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°，所以∠ASB=45°.由正弦定理知0sin30BS=0sin45AB，所以BS=0sin45AB·sin 30°=32(km).(第2题)3. 206【解析】如图，由题设知△BDC为等腰直角三角形，故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A，B，C，D四点共圆，所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA中，运用正弦定理可得AB=206.(第3题)4.-24【解析】设最小边为a，则其他两边分别为2a，2a.由余弦定理得最大角的余弦值为cos α=222(2)-(2)2(2)a a aa a+⨯=-2.5.57【解析】如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则∠DAC=60°，AC=10，所以AD=5，CD=53，则BD=25，BC=107，所以sin θ=sin ∠DCB=BDBC=57.(第5题)6.3【解析】因为AD⊥AC，所以∠DAC=90°，所以在△ABD中，cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC=22，所以2222(32)3-23233+⨯⨯⨯37. 4【解析】由3sin A=2sin B及正弦定理得3a=2b，又因为a=2，所以b=3，由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C=4+9-2×2×3×1-4⎛⎫⎪⎝⎭=16，所以c=4.8.100 【解析】在△ABC 中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根据正弦定理知sin BC BAC ∠=sin AB ACB ∠，即BC=sin AB ACB ∠×sin ∠BAC=×12=300，所以CD=BC×tan ∠DBC=×=.9. (1) 因为sin 2ABC∠=3，所以cos ∠ABC=1-2×13=13.在△ABC 中，设BC=a ，AC=3b ，则由余弦定理可得9b 2=a 2+4-43a ， ①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得cos ∠ADB=2164-4b +， cos ∠BDC=2216-b a +. 因为cos ∠ADB=-cos ∠BDC ，所以2164-4b +=-2216-b a +， 所以3b 2-a 2=-6. ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3.(2) 由(1)得△ABC 的面积为12×2×3×3=△DBC的面积为3.10. (1) 因为a cos C+c cos A=2b cos A ，所以sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos A ，即sin(A+C )=2sin B cos A.因为A+B+C=π，所以sin(A+C )=sin B.从而sin B=2sin B cos A ，因为sin B ≠0，所以cos A=12.因为0<A<π，所以A=π3.(2) sin B+sin C=sin B+sin 2π-3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin B+sin 2π3cos B-cos 2π3sin B=32sin B+3cos B=3sinπ6B⎛⎫+⎪⎝⎭.因为0<B<2π3，所以π6<B+π6<5π6.所以sin B+sin C的取值围为33⎛⎤⎥⎝，.11. (1) 如图，在Rt△APB中，∠APB=60°，P A=1，所以AB=3. 在Rt△P AC中，∠APC=45°，所以AC=P A=1.在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，所以BC=22AC AB+=2.所以船的航行速度是2÷16=12(km/h).(第11题)(2) 设10 min后该船到达点D.因为该船向正南方向航行，所以∠ACD=60°，CD=12×16=2.在△ACD中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2-2CD×AC×cos ∠ACD=4+1-2×2×1×12=3，所以所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90°.而∠EAC=30°，所以∠EAD=90°-30°=60°，所以10 min后该船距离在点A南偏西30°、距离Akm处.12.等腰或直角三角形【解析】由题设得1cos21cos2CB++=222cos2cosCB=22coscosCB=·cos·cosb Cc B，所以coscosCB=bc.由正弦定理知bc=sinsinBC，所以sinsinBC=coscosCB，所以sin C cos C=sin B cos B，即sin 2C=sin 2B.因为B，C均为△ABC的角，所以2C=2B或2C+2B=180°，所以B=C或B+C=90°，故三角形为等腰或直角三角形.13.ππ32⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由题意得sin2A<sin2B+sin2C，再由正弦定理得a2<b2+c2，即b2+c2-a2>0，则cos A=222-2b c abc+>0，因为0<A<π，所以0<A<π2.又a为最大边，所以A>π3.因此角A的取值围是ππ32⎛⎫ ⎪⎝⎭，.。