高考数学一轮复习训练第四章正、余弦定理及解三角形

第四讲正、余弦定理及解三角形

1.[2020广东七校联考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=√3+1,b=2,A=π

3

,则B=

()

A.3π

4B.π

6

C.π

4

D.π

4

或3π

4

2.[2020湖北部分重点中学高三测试]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosA

a +cosB

b

=

sinC c ,若b2+c2 - a2=8

5

bc,则tan B的值为()

A.-1

3B.1

3

C.-3

D.3

3.[2019湖北部分重点中学高三测试]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且

sin2A+sin2B-sin2C

c =sinAsinB

acosB+bcosA

,若a+b=4,则c的取值范围为()

A.(0,4)

B.[2,4)

C.[1,4)

D.(2,4]

4.[2020大同市高三调研]在△ABC中,B=π

4,BC边上的高等于1

3

BC,则sin∠BAC=.

5.[2019安徽示范高中高三测试]在△ABC中,∠ABC=90°,延长AC到D,使得CD=AB=1,若∠CBD=30°,则AC=.

6.[2020长春市第一次质量监测]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,a>b.

(1)求证:△ABC是直角三角形;

(2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围.

7.[2020惠州市一调]已知△ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinC

sinC =sinB

sinA+sinB-sinC

.

(1)求角A;

(2)若△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值.

8.[2019辽宁五校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+C)=2sin A cos(A+B),且sin2A+sin2B - sin2C+√2sin A sin B=0.

(1)求证:a,b,2a成等比数列;

(2)若△ABC的面积是2,求c.

9.[2020合肥市调研检测]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且sinA-sinB

sinC ≥c-b

a+b

,则()

A.A的最大值为π

6B.A的最小值为π

6

C.A的最大值为π

3D.A的最小值为π

3

10.[2020四川五校联考]在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为() A.3√2 B.2√2 C.3 D.4

11.[2019广东百校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若C=π

4

,a=4,S△ABC=2,则

2a+3c-b

2sinA+3sinC-sinB

= ()

A.√5

B.2√5

C.2√7

D.2√13

12.[2020长春市第一次质量监测][双空题]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(b - c,a - b),n=(sin C,sin A+

sin B),且m⊥n,则A=;若△ABC的面积为√3,则△ABC的周长的最小值为.

13.[2019河北六校联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2 - bc,且△ABC

的面积为3√3

4

,则a的最小值为.

14.[2019福建宁德质检]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4 - 4 - 1所示的海洋蓝

洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图4 - 4 - 1中海洋蓝洞的口径为m.

图4 - 4 - 1

15.[2020大同市高三调研]△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且

cos B=3

4

.

(1)求1

tanA +1

tanC

的值;

(2)设BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3

2

,求a+c的值.

16.[2020山东省统考]在△ABC中,A=90°,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC.

(1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC;

(2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB.

17.[多选题]在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB= - √5

5

,则()

A.sin∠BCD=3

10

B.△ABC的面积为8

C.△ABC的周长为8+4√5

D.△ABC为钝角三角形

18.[2020陕西省百校第一次联考][双空题]在△ABC中,D为AC的中点,若AB=4√6

3

,BC=2,BD=√5,则cos∠ABC=,