高三数学一轮复习26正余弦定理学案

高三数学一轮复习 26.正余弦定理学案

【学习目标】

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

预习案

1．正弦定理

a

sin A

＝＝＝2R 其中2R为△ABC外接圆直径．变式：a＝，b＝，c＝ .

a∶b∶c＝∶∶ .

2．余弦定理

a2＝；b2＝；

c2＝.

变式：cos A＝；cos B＝；

cos C＝ .

sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A.

3．解三角形

(1)已知三边a、b、c.运用余弦定理可求三角A、B、C.

(2)已知两边a、b及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c

(3)已知两边a、b及一边对角A. 先用正弦定理，求sin B：sin B＝b sin A a

.

①A为锐角时，若ab，．

4．已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．

4．三角形常用面积公式 (1)S＝1

2

a·h a(h a表示a边上的高)．

(2)S＝1

2

ab sin C＝

1

2

ac sin B＝

1

2

bc sin A＝

abc

4R

. (3)S＝

1

2

r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

【预习自测】

1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角 A 等于( )

A.π

12

B.

π

6

C.

π

4

D.

π

3

2．在△ABC中，∠ABC＝π

4

，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝ ( )

A.

10

10

B.

10

5

C.

310

10

D.

5

5

3．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π

3

，则∠C的大小为________．

4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C ＝

________.

5．△ABC 中，已知c ＝102，A ＝45°，在a 分别为20,102，203

3

，10和5的情况下，求相应

的角C .

探 究 案

题型一：利用正余弦定理解斜三角形

例1.(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，A ＝45°，求B ，C 及边c .

(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．

拓展1：(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1

2

b ，

且a >b ，则∠B ＝________.

(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.

①求A ； ②若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .

题型二：面积问题

例2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π

4

，

b sin(π4＋C )－

c sin(π

4

＋B )＝a .

(1)求证：B －C ＝π

2

； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．

拓展2.△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.

(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

题型三：判断三角形形状

例3;(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为 ( )

A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

(2)在△ABC中，已知a cos A＝b cos B，则△ABC为 ( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

拓展3. (1)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

(2)在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知b2＋

c2＝a2＋bc. ①求角A的大小；

②若sin B sin C＝3

4

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

题型四：解三角形的应用

例4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C.

(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

拓展4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B ＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．

我的学习总结：

（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结