高中数学试题三角函数单元测试题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）

＝sin2x ＝cos x

2 ＝sin2x ＋cos2x

＝1－tan 2x 1＋tan 2x

2．设函数y ＝cos(sin x )，则 （ ）

A.它的定义域是［－1，1］

B.它是偶函数

C.它的值域是［－cos1，cos1］

D.它不是周期函数 3．把函数y ＝cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移π

4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ） ＝2sin2x

＝－2sin2x ＝2cos(2x ＋π

4 )

＝2cos(x 2 ＋π

4 )

4．函数y ＝2sin(3x －π

4 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）

A. π

3

B. 2π

3 C.π

D. 4π

3

5．若sin α＋cos α＝m ，且－ 2 ≤m ＜－1，则α角所在象限是 （ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 6．函数y ＝|cot x |·sin x （0＜x ≤3π2 且x ≠π）的图象是 （ ）

7．设y ＝cos 2x 1＋sin x

，则下列结论中正确的是 （ ）

有最大值也有最小值 有最大值但无最小值

有最小值但无最大值 既无最大值又无最小值

8．函数y ＝sin （π

4 －2x )的单调增区间是 （ ）

A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z )

B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π

8 ］(k ∈Z )

C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z )

D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π

8 ］(k ∈Z ) 9．已知0≤x ≤π，且－1

2 ＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ）

＋1

－1 C.－2a －1

10．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π

4 ］上是增函数的θ的一个

值

为

（ ） A. 5π

3

B. 4π3

C. 2π

3

D. π

3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．函数y ＝cos x

1＋2cos x 的值域是_____________.

12．函数y ＝cos x

lg （1＋tan x ）

的定义域是_____________.

13．如果x ，y ∈［0，π］，且满足|sin x |＝2cos y －2，则x ＝___________，y ＝___________. 14．已知函数y ＝2cos x ，x ∈［0，2π］和y ＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________

15．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的值域是_____________. 16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π

3 )(x ∈R )有下列命题：

①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改为y ＝4cos(2x －π

6 )； ③y ＝f (x )的图象关于点（－π

6 ，0)对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π

6 对称.

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x .(x ∈R )

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合.

(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到

19．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2

1log (sin x －cos x )

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.

20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m ，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低

21． (本小题满分15分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4 ，0)对称，且在区间［0，π

2 ］上是单调函数，求φ和ω的值.

三角函数单元测试题答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．（－∞，13 ］∪［1，+∞) 12．{x |－π4 ＋2kπ＜x ＜2kπ或2kπ＜x ＜π

2 ＋2kπ(k ∈Z )} 13．x ＝0或π，y ＝0 14．4π 15．{y ｜－5

4 ≤y ≤1＋ 2 } 16．②③

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

【解】 由图可得：A ＝ 3 ，T ＝2｜MN ｜＝π.

从而ω＝2π

T ＝2，故y ＝ 3 sin(2x ＋φ) 将M （π3 ，0）代入得sin(2π

3 ＋φ)＝0 取φ＝－2π3 得y ＝ 3 sin(2x －2π

3 )

【评注】 本题若将N （5π

6 ，0）代入y ＝ 3 sin(2x +φ)

则可得：sin(5π3 ＋φ)＝0.若取φ＝－5π3 ，则y ＝ 3 sin(2x －5π3 )＝－ 3 sin(2x －2π

3 )，它与y ＝ 3 sin(2x －π

3 )的图象关于x 轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y ＝ 3 sin(2x ＋φ)后，如何确定φ，要看该点在曲线上的位置.如：M 在上升的曲线上，就相当

于“五点法”作图中的第一个点，故2π

3 ＋φ＝0；而N 点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图中的第三个点，故5π3 ＋φ＝π，由上可得φ的值均为－2π

3 .

18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x .(x ∈R )

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合.

(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到

【解】 y ＝1＋sin2x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝ 2 sin(2x ＋π

4 )＋2. (1)要使y 取得最大值，则sin(2x ＋π

4 )＝1.