(完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

圆锥曲线二级推论

椭圆

Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，

连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点

P 处的外角.

2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角，则

焦 点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以 圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.

10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于 两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q

3. 4. 5. 6.

长轴为直径的圆，除去长轴的两

个端 点.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离.

以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以

长

轴为直径的圆 内切 . 2 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x

2 a 的椭圆的切线方程是 2 y

b 2

x 0x 2

a

2

y

b 2

1上，则过

P 0 y 0y

1. b 0

2 1.

1外 ，则过

2

若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x

2 a Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、

P 2， P 1P 2 的直线方程是 则切点弦

x 0x y 0y

22 ab 2 椭圆 x 2

a 分别为 F 1， 点 F 1PF 2 积为 S F 1PF 2

22

椭圆 x 2

y 式：

|MF 1 | a ex 0,|MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M (x 0,y 0)).

1. 7. 8.

交于点 N ，则 MF ⊥NF. 2

y

2 1的不平行于对称轴 b

2 y

b 2 1 (a >b > 0)的左右焦点 F

2，点 P 为椭圆上任意一 ，则椭圆的焦点角形的面 b 2 tan . 2

2 1(a > b >0)的焦半径公 ab

9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、

2 11.AB 是椭圆 x

2 a

的弦， M (x 0,y 0)为 AB 的中点，则

k OM k AB

即 K

AB

b 2

2

， a

b 2 x 0

2

。 a

y 0

双曲线

1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在

点 P 处的 内角.

2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的内

角， 则焦点在直线 PT 上的射影

H 点的 轨迹是以长轴为直径的

圆，除去长 轴的两个端点 .

3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应

准线相交.

4. 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以

实轴为直径的圆 相切.(内切： P 在 右支；外切： P 在左支)

22

5. 若 P 0(x 0,y 0 ) 在双曲线 x 2 y 2

1(a >

圆锥曲线二级推论

线方程是 x

02x y 02

y

1. a 2 b 2

22

6. 若P 0（x 0,y 0） 在双曲线 x 2 y

2

1（a > ab

0,b >0）外 ，则过 Po 作双曲线的 两条切线切点为 P 1、 P 2，则切点弦 1（a >0,b >o ）的左

F 1，F 2，点 P 为双曲 F 1PF 2 ，则双曲线 的焦点角形的面积为 S F 1

PF 2

b 2

cot .

F 1

PF

2

2

22

8. 双曲线 x 2 y 2

1(a >0,b > o )的焦 ab

半径公式： (F 1( c,0) , F 2(c,0)

当M (x 0, y 0)在右支上时，

|MF 1 | ex 0 a ,|MF 2 | ex 0 a .

当M (x 0, y 0)在左支上时，

|MF 1 | ex 0 a ,|MF 2 | ex 0 a

9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线

相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴 上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于

M 、N 两点，则 MF ⊥ NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲

线交于两点 P 、Q, A 1、A 2为双曲线 实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF.

22

11. AB 是双曲线 x 2 y 2

1（ a >0,b > 0） ab 的不平行于对称轴的弦， M （x 0,y 0）

2

12. 若 P 0(x 0,y 0 ) 在双曲线 2

a

0,b >0）内，则被 Po 所平分的中点

22 弦的方程

是 x

02

x y

02y x 02 y 02

. a 2 b 2 a 2 b 2

2

13. 若 P 0(x 0,y 0)在双曲线 x 2

a

椭圆与双曲线的对偶 性质 -- 椭 圆

22 1. 椭圆 x 2 y 2

1（ a >b >o ）的两个顶 ab

点为 A 1（ a,0） ,A 2（a,0） ，与 y 轴平行的 直线交椭圆于 P 1、P 2时 A 1P 1与 A 2P 2 22 交点的轨迹方程是 x 2 y 2

1.

ab

22

2. 过椭圆 x

2 y

2 1 （a >0, b > 0）上任 ab

一点 A （x 0,y 0） 任意作两条倾斜角互 补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直 线 BC 有定向且 k

BC b 2

x 0

（常数） . a 2 y 0

22

3. 若 P 为椭圆

x 2 y 2

1（a >b >0）上 ab

异于长轴端点的任一点 ,F 1, F 2 是焦 点 , PF 1F 2 , PF 2F 1 ，则 ac

tan cot .

a c 2 2

x 2 y 2

4. 设椭圆 x 2 y 2

1（a >b > 0）的两个 a 2 b 2

焦点为 F 1、F 2,P （异于长轴端点）

0,b >0）上，则过 P 0 的双曲线的切 为 AB 的中点，则 K OM K

AB P 1P 2 的直线方程是 x

02

x a 2

y 0y b

2 1. 22

7. 双曲线 a x

2 b y

2

右焦点分别为 线上任意一点 即 K AB b 2

x 0 a 2y 0

b 2

b 2 x 0 ，

2

， a 2y

1（a > 2 y

b 2

1（a >

0,b >0）内，则过 Po 的弦中点的轨

22

迹方程是 a x

2 b y

2

x 0x 2 a

y 0y

b 2