(完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
圆锥曲线192条结论(清晰版本)
结论 13：点 M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
x
a
m
2
2
y
n2
b2
1上，过点 M
作椭圆的切线方程
为
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 14：点 M
（
x0
，
y
0
）在双曲线
x
a
m2
2
y
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
2
结论 15：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0 ny n px x0 2m．
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）外，过点 M
作椭圆的两条切
线，切点分别为
A，B
，则切点弦
AB
的直线方程为
x0 x a2
y0 y b2
a ）作
双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( a 2 ,0) ． m
结论 31：过抛物线 y 2 2 px（ p 0 ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，
B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．
圆锥曲线常用结论(收藏版)
二、通径（垂直焦点所在轴的焦点弦）：
①椭圆：通径=2b2/a, 焦点弦以通径最短；
②双曲线：通径=2b2/a, 同侧焦点弦以通径最短；
③抛物线：通径=2p 焦点弦以通径最短；
1.已知椭圆 x 2 y 2 1 ，过焦点的直线与椭圆交于 A,B 两点，则弦|AB|的长度范围是
;
42
解：显然，焦点弦|AB|为通径时最小，为 2b2/a=2;
= 0, AF1
• AF2
= c2，
则椭圆离心率 e=
;
6.椭圆
左右焦点分别为 F1,F2， 过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，若|AF2|+|BF2|的最
大值为 8，则 b 的值是（ ）
2.√3; 3.2; 4.1+√2; 5.(√5-1)/2; 6.√6
三、斜率结论：垂径定理
C
O A
B ①AB 为弦，中点为 C,
A
C
则 KAB·KOC= - b2/a2
B O
P A
O
②AB 为中心弦，P 为椭 B
P
圆上任意点，则有
B
KAP·KBP= - b2/a2
A
O
①AB 为弦，中点为 C, 则 KAB·KOC= b2/a2 ②AB 为中心弦，P 为双 曲线上点，则有
KAP·KBP= b2/a2
1.4x2+9y2=144 内的一点 P(3,2)， 过点 P 的弦以 P 为中点，那么这弦所在的直线方程是
为长轴时最大，为 2a=4;
∴2 ≤|AB|≤4
2.设直线 L 过双曲线 C:的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A,B 两点，|AB|为 C 的
实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB=。
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
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椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
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椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
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椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB=。
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椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
高中数学圆锥曲线结论(完美版本)
高中数学圆锥曲线结论(完美版本)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
速记：高中数学圆锥曲线135个性质结论总结（超详）转给孩子
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对于很多同学来说，理科类的科目着实让人头疼不已，看起来简单的题干，却需要大量的知识才能构建出完成的解题步骤，缺失其中一环就容易导致进入逻辑的死胡同，所以学好理科，不仅需要清晰的逻辑思维，更需要扎实的知识积累。
(完整word版)有关圆锥曲线的经典结论
一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
(完整word版)高中数学有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论点P 处的切线 PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角.PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PR 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切.2y_ b 2ex 0, |MF 2 | a e«( F, c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MF L NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点，AP 和A 2Q1. 2. 3.4. 5. 6.7.8. 9.10.11.12. 13.交于点M, A 2P 和A 1Q 交于点 N 贝y MF L NF. 2 2AB 是椭圆务笃 a b b 2 a 2，b 2x ° -2。
a y 。
1的不平行于对称轴的弦，M (X °, y °)为AB 的中点，k oM k AB 即K AB 若P °(x °, y °)在椭 2 X~~2 a 2y_ b 21内，则被Po 所平分的中点弦的方程 x °x y °y 22 2x22y 。
若P og y o )在椭圆 x.2a b2 2xy12a b X o X y o y2.2 a b ，则过P o 的椭圆的切线方程是竽 a 外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为1. ycy 1 孑1.P 1、P 2,则切点2椭圆笃a1 (a > b > 0)的左右焦点分别为F 1 , F 2，点P 为椭圆上任意一点F 1PF 2则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 22b tan22椭圆笃a| MF 1 | a1 (a > b > 0)的焦半径公式:若P o (x ),y o )在椭圆 弦P 1P 2的直线方程是22解析几何专题•经典结论•常用技巧Marine2yb 2x °x y °y二、双曲线 点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 P 在左支) 若P o (x °, y °)在双曲线 1. 若P o (x °, y °)在双曲线 线切点为P 1、Pa , 双曲线 2 2x y ~ 7"2 a b 相切.(内切：P 在右支；外切: x 2~2 .2 a b2 2 x y 2 .2a b 1 (a > 0,b > 0) 则切点弦 -一占八、、F 1PF 2 2 y1 (a >0,b >0) 上，则过P 。
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椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x ya b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
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椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
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圆锥曲线二级推论椭圆Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角，则焦 点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以 圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于 两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q3. 4. 5. 6.长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离.以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 2 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a 的椭圆的切线方程是 2 yb 2x 0x 2a2yb 21上，则过P 0 y 0y1. b 02 1.1外 ，则过2若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2， P 1P 2 的直线方程是 则切点弦x 0x y 0y22 ab 2 椭圆 x 2a 分别为 F 1， 点 F 1PF 2 积为 S F 1PF 222椭圆 x 2y 式：|MF 1 | a ex 0,|MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M (x 0,y 0)).1. 7. 8.交于点 N ，则 MF ⊥NF. 2y2 1的不平行于对称轴 b2 yb 2 1 (a >b > 0)的左右焦点 F2，点 P 为椭圆上任意一 ，则椭圆的焦点角形的面 b 2 tan . 22 1(a > b >0)的焦半径公 ab9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、2 11.AB 是椭圆 x2 a的弦， M (x 0,y 0)为 AB 的中点，则k OM k AB即 KABb 22， ab 2 x 02。
ay 0双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的 内角.2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的内角， 则焦点在直线 PT 上的射影H 点的 轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切： P 在 右支；外切： P 在左支)225. 若 P 0(x 0,y 0 ) 在双曲线 x 2 y 21(a >圆锥曲线二级推论线方程是 x02x y 02y1. a 2 b 2226. 若P 0（x 0,y 0） 在双曲线 x 2 y21（a > ab0,b >0）外 ，则过 Po 作双曲线的 两条切线切点为 P 1、 P 2，则切点弦 1（a >0,b >o ）的左F 1，F 2，点 P 为双曲 F 1PF 2 ，则双曲线 的焦点角形的面积为 S F 1PF 2b 2cot .F 1PF22228. 双曲线 x 2 y 21(a >0,b > o )的焦 ab半径公式： (F 1( c,0) , F 2(c,0)当M (x 0, y 0)在右支上时，|MF 1 | ex 0 a ,|MF 2 | ex 0 a .当M (x 0, y 0)在左支上时，|MF 1 | ex 0 a ,|MF 2 | ex 0 a9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴 上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于M 、N 两点，则 MF ⊥ NF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 1、A 2为双曲线 实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF.2211. AB 是双曲线 x 2 y 21（ a >0,b > 0） ab 的不平行于对称轴的弦， M （x 0,y 0）212. 若 P 0(x 0,y 0 ) 在双曲线 2a0,b >0）内，则被 Po 所平分的中点22 弦的方程是 x02x y02y x 02 y 02. a 2 b 2 a 2 b 2213. 若 P 0(x 0,y 0)在双曲线 x 2a椭圆与双曲线的对偶 性质 -- 椭 圆22 1. 椭圆 x 2 y 21（ a >b >o ）的两个顶 ab点为 A 1（ a,0） ,A 2（a,0） ，与 y 轴平行的 直线交椭圆于 P 1、P 2时 A 1P 1与 A 2P 2 22 交点的轨迹方程是 x 2 y 21.ab222. 过椭圆 x2 y2 1 （a >0, b > 0）上任 ab一点 A （x 0,y 0） 任意作两条倾斜角互 补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直 线 BC 有定向且 kBC b 2x 0（常数） . a 2 y 0223. 若 P 为椭圆x 2 y 21（a >b >0）上 ab异于长轴端点的任一点 ,F 1, F 2 是焦 点 , PF 1F 2 , PF 2F 1 ，则 actan cot .a c 2 2x 2 y 24. 设椭圆 x 2 y 21（a >b > 0）的两个 a 2 b 2焦点为 F 1、F 2,P （异于长轴端点）0,b >0）上，则过 P 0 的双曲线的切 为 AB 的中点，则 K OM KAB P 1P 2 的直线方程是 x02x a 2y 0y b2 1. 227. 双曲线 a x2 b y2右焦点分别为 线上任意一点 即 K AB b 2x 0 a 2y 0b 2b 2 x 0 ，2， a 2y1（a > 2 yb 21（a >0,b >0）内，则过 Po 的弦中点的轨22迹方程是 a x2 b y2x 0x 2 ay 0yb 2圆锥曲线二级推论9.为椭圆上任意一点，在△ PF 1F 2 中， 记 F 1PF 2 ,点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两 点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P ，则|PF ||MN | 210. 已知椭圆 x2 ae22 y 21( a >b > 0) bsin c a e .sin sin225. 若椭圆x 2y 21（a > b > 0）的ab 2右焦点分别为 F 1、F 2，左准线为 L ， PF 1F 2 , F 1F 2P ，则有 ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 a 2 b 2 a22P(x 0,0) , 则 a bx 0a2211.设 P 点是椭圆x 2 y 21( aba >b >0）则当 0< e ≤ 2 1时，可在椭圆上求 一点 P ，使得 PF 1 是 P 到对应准线 距离 d 与 PF 2 的比例中项 .上异于长轴端点的任一点其焦点记 F 1PF 2 ，则2b 21) |PF 1||PF 2 | 1 2c bos,F 1、F 2为 226. P 为椭圆 x2 y2 1（a >b >0）上任 ab一点,F 1,F 2为二焦点， A 为椭圆内一 定点，则2a | AF 2 | |PA| |PF 1 | 2a |AF 1 |,当且仅当A,F 2,P 三点共线时，等号成立7. 椭圆 （x 2x 0）2 （y 2y 0）2 1与直线 a 2 b 2 Ax By C 0 有公共点的充要条件是 A 2a 2B 2b 2（Ax 0By 0C ）2.228. 已知椭圆 x2 y2 1（ a >b >0），O ab为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点， 且 OP OQ .2) S PF 1F 2b tan . 1 22212.设 A 、B 是椭圆 x2a>0)的长轴两端点， P 是椭圆上的 一点， PAB ,PBA , BPA ，c 、e 分别是椭 圆的半焦距离心率，则有2(1)|PA| a 22ab2c |2c co o s s 2 |.(2)a c costan tan 1 e 2 .(3)222a 2b 22cot .a 2 x2a2b y 2 1( a >b1) 2) 3)1 1 1 1;|OP|2 |OQ|2 a 2 b 2 ; |OP|2+|OQ|2的最大值为22S OPQ 的最小值是 a 2b ab2y 21(a >b > 0)的右焦 b224a 2b 2 ; 22 ; ab过椭圆 x2aS PAB 2b13. 已知椭圆2y 21（ a >b > 0）的 b右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆 右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A 、B 两点,点C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段EF 的中 点.圆锥曲线二级推论14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注: 在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-- 双曲线221. 双曲线x2y21 （a>0,b>0）ab的两个顶点为A1（ a,0）,A2（a,0），与y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹22方程是x22 y221.ab222. 过双曲线x2y21（a>0,b> o）ab上任一点A（x0, y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且k BC b2x0（常数）.a2y023. 若P 为双曲线x2ab21(a>0,b >0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2 , PF2F1 ，则cacatan 2 cot 2(或cacatan cot )22224. 设双曲线x2y21（a>0,b>0）ab的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△ PF1F2 中，记F1PF2 ,sin ce.（sin sin ） a225. 若双曲线x2y21（a>0,b>0）ab的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L ，则当1<e≤ 2 1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2 的比例中项.x2y26. P 为双曲线x2y21 （a>0,b>ab圆锥曲线二级推论0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为双曲线内一定点，则 |AF 2 |2a |PA| | PF 1 | ,当且仅当 A,F 2,P 三点共线且 P 和 A,F 2 在 y 等号成立 .2y 21 （a >0,b >0） bBy C 0 有公共点的充要条件是 A 2a 2228. 已知双曲线 x 2 y 2a 2b 2 0），O 为坐标原点， 曲线上两动点，且 OP OQ . （1） 1 1 1 1; （1） |OP|2 |OQ|2 a 2 b 2 ;22（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为42a b 2;ba22（ 3） SOPQ的最小值是a 2b b 2a22的右焦点 的右支于 垂直平分线交 x 轴于 P ，则 |PF | e .|MN | 210.已知双曲线交于点 P(x 0,0) , 则 x 0a 2b 2 .x 0.a22设 P 点是双曲11.线 x2 ya 2 b0,b >0)上异于实轴端点的任一 点,F 1、F 2 为其焦点记F 1PF 2 ， 则(1) | PF 1 ||PF 2 |2b.(2)1 cos轴同侧时，27. 双曲线x 2a 与直线 Ax B 2b 2 C 2 . 1 （b >a >P 、Q 为双x 2 y 21（ a >0,b > 0） abF 作直线交该双曲线M,N 两点，弦 MN 的9. 过双曲线2 x 2 a2y21（a > 0,b >0）,A 、B 是双曲线上的两点， 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 22 a 2 b 2 或a 21( a >PF 1F 22b y 2 1(a1) 2) 3)2y 21( a >0,b >13. 已知双曲线x 2a2S PF1F2b cot.1 222 12. 设A、B 是双曲线x2a>0,b>0)的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB ,PBA , BPA ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有22ab2 |cos ||PA| 2 2 2 .|a c cos |tan tan 1 e2.222a2b2.S PAB 2 2cot.ba20）的右准线l 与x轴相交于点E，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注: 在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17. 双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线二级推论圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。