高三数学理科二轮复习 1-5-12等差数列、等比数列、数列的综合应用

高考专题训练十二

等差数列、等比数列、数列的综合应用

班级______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分______

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·上海)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)．则{A n }为等比数列的充要条件是( )

A ．{a n }是等比数列

B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列

C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列

D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同

解析：依题意有A i ＝a i a i ＋1 ∴A n ＝a n a n ＋1，∴A n ＋1＝a n ＋1a n ＋2

{A n }为等比数列?A n ＋1A n ＝q (q >0)，q 为常数

∵A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n

＝q . ∴a 1，a 3，a 5…a 2n ＋1…和a 2，a 4…a 2n …都成等比数列且公比相同． 答案：D

2．如果等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )

A ．14

B ．21

C ．28

D ．35

解析：本小题主要考查等差数列的性质，前n 项和的求法以及转化的数学思想．

由等差数列的性质知，a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12?a 4＝4，故a 1＋a 2

＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.

答案：C

3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 9＝45，则数列{a n }的公差为( )

A ．－1

B ．1

C ．2

D.1

2

解析：记等差数列{a n }的公差为d ，依题意得，S 9＝9a 1＋9×8

2d

＝9＋36d ＝45，解得d ＝1，选B.

答案：B

4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则

S n ＋64

a n

的最小值为( )

A ．7 B.152 C ．8

D.172

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝4,10a 1＋10×9

2d ＝

110，∴a 1＝d ＝2，于是a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n ，

∴S n ＋64a n ＝12? ????n ＋64n ＋12≥8＋12＝172(当且仅当n ＝8时取

“＝”)，选D.

答案：D

5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.令b n ＝1

n

(a 1＋a 2＋…＋

a n )，则数列{

b n }的前10项和T 10＝( )

A ．70

B ．75

C ．80

D ．85

解析：因为a n ＝2n ＋1，所以数列{a n }是个等差数列，其首项a 1

＝3，其前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (a 1＋a n )2＝n (3＋2n ＋1)

2＝n 2

＋2n ，所以b n ＝1n ×S n ＝1

n ×(n 2＋2n )＝n ＋2，故数列{b n }也是一个等

差数列，其首项为b 1＝3，公差为d ＝1，所以其前10项和T 10＝10b 1＋10×9

2

＝10×3＋45＝75，故选B.

答案：B

6．(2011·湖北省部分重点中学高三联考)a 1、a 2、a 3、a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1

d

的值为( )

A ．－4或1

B ．1

C ．4

D ．4或－1

解析：若删去a 1，则a 2a 4＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋3d )＝(a 1

＋2d )2

，化简得d ＝0，不合题意；若删去a 2，则a 1a 4＝a 23，即

a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2

，化简可得a 1

d

＝－4；若删去a 3，则a 1a 4＝

a 22，

即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2

，化简可得a 1

d

＝1；若删去a 4，则a 1a 3＝a 22，即a 1(a 1＋2d )＝(a 1＋d )2，化简可得d ＝0，不符合题意．故选A.

答案：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

7．(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．

解析：设放在第x 个坑旁边，由题意得

S ＝20[(x －1)＋(x －2)＋…＋1＋1＋0＋1＋2＋…＋(20－x )]

＝20????

??

(1＋x －1)(x －1)2＋

(1＋20－x )(20－x )2 ＝20(x 2－21x ＋210)

由S ′＝20(2x －21)＝0，得x ＝10.5， 知x ＝10或 11时，S 最小值为2000. 答案：2000

8．(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1

＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.

解析：由S 9＝S 4及a 1＝1，得9＋36d ＝4＋6d ， d ＝－16

.

由a k ＋a 4＝0得2a 1＋(k ＋2)d ＝0. ∴2－k ＋26＝0，k ＝10.

答案：10

9．(2011·湖南)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.

解析：∵a 1＝1，a 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5＋10×2＝25.

答案：25

10．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

解析：令最上面一节为a 1

则????? a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，?????

4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4

，???

??

a 1＝1322

d ＝766

.

∴a 5＝a 1＋4d ＝67

66.

答案：6766

三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．(12分)(2011·课标)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2

＝1，a 23＝9a 2a 6.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列????

??

1b n 的前n 项和．

解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24

，所以q 2

＝19

. 由条件可知q >0，故q ＝1

3

.

由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝1

3.

故数列{a n }的通项公式为a n ＝1

3n .

(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n

＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2

.

故1b n ＝－2

n (n ＋1)＝－2?

????1n －

1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2???

? ????1－12＋? ????

12－13

???＋…＋?

????1n －

1n ＋1＝－2n

n ＋1

. 所以数列??????

1b n 的前n 项和为－2n n ＋1

. 12．(13分)(2011·安徽)在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .

解：(1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则

T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2， ① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…t 2·t 1， ② ①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得 T 2n ＝(t 1t n ＋2)·

(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)． ∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1.

(2)由题意及(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1.

另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k

1＋tan (k ＋1)·tan k

，

得tan(k＋1)·tan k＝tan(k＋1)－tan k

tan1

－1.

所以S n＝

n

k＝1b k＝

n＋2

k＝3

tan(k＋1)·tan k

＝

n＋2

k＝3?

?

?

?

?tan(k＋1)－tan k

tan1

－1

＝tan(n＋3)－tan3

tan1

－n.