高中数学压轴题系列——导数专题——函数零点或交点问题

高中数学压轴题系列——导数专题——函数零点或交点问题

头条号：延龙高中数学微信：gyl_math123

1．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x（a∈R）在x=0处取得极值．

（1）求实数a的值；

（2）证明：ln（x+1）≤x2+x；

（3）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：f′（x）=，∵在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，∴﹣1=0，解得a=1．

经过验证a=1时，符合题意．

（2）证明：当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x，其定义域为{x|x＞﹣1}．f′（x）==，令f′（x）=0，解得x=0．

当x＞0时，令f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜0时，令f′（x）＞0，f（x）单调递增．

∴f（0）为函数f（x）在（﹣1，+∞）上的极大值即最大值．

∴f（x）≤f（0）=0，∴ln（x+1）≤x2+x，当且仅当x=0时取等号．

（3）解：f（x）=﹣x+b即ln（x+1）﹣x2+x﹣b=0，

令g（x）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（﹣1，+∞）．

关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根⇔g（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．

g′（x）=﹣2x+=，

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上单调递增．

当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减．

∴，∴．

2．已知函数f（x）=（x∈R），当x=2时f（x）取得极值．

（1）求a的值；（2）求f（x）的单调区间；

（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+1=0在x∈[﹣2，1]时有解，求实数m的取值范围．

解：（1）．∵当x=2时f（x）取得极值，∴f′（2）=0，∴a=2；

（2），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜2；由f′（x）＜0得x＜﹣1或x＞2，

所以函数f（x）的增区间是（﹣1，2），减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞）

（3）由（2）知函数f（x）在[﹣2，﹣1）单减，在（﹣1，1]单增．

当x∈[﹣2，1]时，f min（x）=﹣1，，依题意，所以

3．（2018•南平一模）已知函数f（x）=lnx﹣（a+1）x，g（x）=﹣ax+a，其中a∈R．

（1）试讨论函数f（x）的单调性及最值；

（2）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）不存在零点，求实数a的取值范围．

解：（1）f（x）=lnx﹣（a+1）x，函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣（a+1）=，

a+1＜0即a＜﹣1时，1﹣（a+1）x＞0，故f′（x）＞0，f（x）递增，无最值，

a+1≥0即a≥﹣1时，令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，

故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；故f（x）min=f（）=﹣ln（a+1）﹣1；（2）F（x）=lnx﹣（a+1）x﹣+ax﹣a=lnx﹣x﹣﹣a，

F′（x）=﹣1+=，

令F′（x）＞0，解得：x＜2，令F′（x）＜0，解得：x＞2，

故F（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，

故F（x）max=F（2）=ln2﹣2﹣1﹣a=ln2﹣3﹣a，

若F（x）不存在零点，则ln2﹣3﹣a＜0，解得：a＞ln2﹣3．

4．（2018•榆林三模）设函数f（x）=ax3+bx2﹣x（x∈R，a，b 是常数，a≠0），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若曲线y=f（x）与g（x）=﹣3x﹣m（﹣2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣1，…（2分）依题意f'（1）=f'（2）=0，

即，解得a=﹣，b=…（4分）∴f（x）=﹣x3+x2﹣x…（5分）

（2）由（1）知，曲线y=f（x）与g（x）=﹣3x﹣m（﹣2≤x≤0）有两个不同的交点，

即x3﹣x2﹣2x﹣m=0在[﹣2，0]上有两个不同的实数解…（6分）

设φ（x）=x3﹣x2﹣2x﹣m，则φ′（x）=x2﹣x﹣2，…（8分）

由φ'（x）=0的x=4或x=﹣1

当x∈（﹣2，﹣1）时φ'（x）＞0，于是φ（x）在[﹣2，﹣1]上递增；

当x∈（﹣1，0）时φ'（x）＜0，于是φ（x）在[﹣1，0]上递减．…（10分）

依题意有⇔⇔0≤m＜，

∴实数m的取值范围是0≤m＜．…（13分）

5．（2018•广元模拟）已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=ax﹣m图象在上有两个不同的交点，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx﹣x2+2x，f′（x）=﹣2x+2，

切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f′（1）=2，则切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．

（Ⅱ）由题意可得：2lnx﹣x2+m=0，令h（x）=2lnx﹣x2+m，则h′（x）=﹣2x=，

∵x∈[，e]，故h′（x）=0时，x=1．当＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜e时，h′（x）＜0．

故h（x）在x=1处取得极大值h（1）=m﹣1．

又=m﹣2﹣，h（e）=m+2﹣e2，h（e）﹣=4﹣e2+＜0，则h（e）＜，

∴h（x）在[]上的最小值为h（e）．

h（x）在[]上有两个零点的条件是，解得：1＜m≤2+，

∴实数m的取值范围是[1，2+]．

6．（2018•广西二模）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x（a∈R），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线．

（1）求a的值；（2）设函数g（x）=xe x﹣2x﹣f（x﹣a）﹣a+2，证明：函数g（x）无零点．

解：（1）函数f（x）=ln（x+a）﹣x（a∈R）的导数为f′（x）=﹣1，

设切点为（m，n），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线，

可得﹣1=﹣，ln（m+a）﹣m=﹣m+ln3﹣，解得m=2，a=1；

（2）证明：函数g（x）=xe x﹣2x﹣f（x﹣a）﹣a+2=xe x﹣2x﹣f（x﹣1）﹣2+2=xe x﹣x﹣lnx，x＞0，