2018年全国高中数学联赛试题
2018年高中数学联赛
2018年高三文科数学联赛试题本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则M N I 的元素个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A ．30B ．31C ．32D ．333．已知双曲线方程为2212015x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．32y x =±D ．233y x =±4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =，1y x=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．18C ．π4D ．π85．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．66．设α与β均为锐角，且1cos 7α=，53sin()αβ+=，则cos β的值为（）A ．7198B ．12C ．7198或12D ．7198或59987．如果函数()()()()2128122f x m x n x m =-+-+>在区间[]2,1--上单调递减，那么mn 的最大值为（） A ．16B ．18C ．25D ．308．某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为2等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（）A ．B ．1CD 9．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =))sin :sin :sin 11A B C =的ABC △，则其面积为（）A ．B C D 10．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，()()1N*nn n b a n =-∈．则数列{}n b 的前50项和为（） A ．49B ．50C ．99D ．10011．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B ，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（）A ．BCD 12．已知不等式12x m x -<-在[]0,2上恒成立，且函数()e x f x mx =-在()3,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．()(),25,-∞+∞U B ．()(3,15e ⎤-∞⎦U ， C ．()(2,25,e ⎤-∞⎦UD ．()(3,25,e ⎤-∞⎦U第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)
|T,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T，第一行是1,2,,n.例如：=⎢894⎥.题号一2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）二总分9101112得分评卷人复核人注意：1.本试卷共12小题，满分150分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3.书写不要超过装订线；4.不得使用计算器.一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）1.设三个复数1,i,z在复平面上对应的三点共线，且z|=5，则z=.2.设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=.3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log x的图象上，则|PQ|的最小值=2.5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=.6.在边长为1的正方体ABCD-A B C D内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC相切，则小球11111半径的最大值=.7.设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=.⎡123⎤8.把1,2,n3⎢⎥⎢⎣765⎥⎦设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)=.二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于线段AG的垂直平分线l对称.求证:∠HAB=3∠GAB.D HCE lG FA B213 2 π 210．(1) M ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程 x 0 x - y 0 y = 1 ．(3 分)b 2y 0 , x 0 + y ⎪ ， B ( x 2 , y 2 ) = x 0 -y 0 , b a -b ⎭0 010. 设 O 是坐标原点，双曲线C : x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A , B两点.（1）求证: △AOB 的面积 S 是定值；（2）求 △AOB 的外心 P 的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数 x , y , z 都有 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥3( xy + yz + zx ) .（2）是否存在实数k >试证明你的结论.3 ，使得对于任意实数 x , y , z 下式恒成立？x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ k ( x y + yz +zx )12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案和评分标准一、填空题（每题 8 分，共 64 分）1 2 3 45 6 7 84 - 3i 或 - 3 + 4i 1 + ln(ln 2) ln 21 154 - 65 -6 6(34,95)二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分） 9．由 E , F 分别是 AD , BC 的中点，得 EF // AB ⊥ AD ．(3 分) 设 P 是 E 关于 l 的对称点，则 EP // AG ⊥ l ，故四边形 AEPG 是等腰梯形． (8 分) 进而 ∠PAG = ∠EGA = ∠GAB ， ∠APG = ∠GEA ，从而 AP ⊥ HG ． (13 分) 再由 HP = DE = EA = PG ，得 ∠HAP = ∠PAG = ∠GAB ． (18 分) 因此， ∠HAB = 3∠GAB ．(21 分)a 2⎛ a b ⎫ ⎛ a - b ⎫ ⎪ ⎪与渐近线方程联立，得 A ( x 1, y 1 ) = x ⎝ a + b a b ⎭ ⎝ a x 0上述两式相乘，得P的轨迹方程为a2x2-b2y2=1(a2+b2)2．11故x2+2y2+3z2≥3(xy+yz+zx)．22，∑x(2017-x)=2M．当且仅当每个x=1008或1009时，N取得最小值C10092018-⨯1008=2C3．(16分)从而，S=1x y-x y=ab是定值．21221(2)由(1)可设A(λa,λb),B(a,-b),P(x,y)，λ为非零常数．λλ由P A=PO=PB，得(x-λa)2+(y-λb)2=x2+y2=(x-a)2+(y+b)2．(9分) (12分) (15分)λλ从而有ax+by=λ(a2+b2)，ax-by=1(a2+b2)．22λ(18分) (21分)411．(1)由均值不等式，1x2+3y2≥3xy，x2+3z2≥3xz，y2+3z2≥3y z．2222 (2)x2+2y2+3z2-k(xy+yz+zx)=(x-k y-k z)2+(2-k2)y2+(3-k2)z2+(k2-k)y z22442(8分) (14分)上式≥0恒成立当且仅当2-k2≥0且(k2-k)2≤4(2-42k24)(3-k2)．4(18分)化简得k≤22且k3-6k2+24≥0．显然，k=2>3满足要求．(22分) 12．设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，x是以第i个顶点为端点的红色线段数目，则有iM+N=C320182018i i(10分) ii=1321009N=2C3是可以取到的，例如把线段i→i±j mod2018(1≤i≤2018,1≤j≤504)染成红1009色，其它线段染成蓝色．(22分)。
2018年全国高中数学联赛试题
D和 J分 别为 Δ/BCr的 外接 阈 姒町 和 BC∶ 的中点 ,F为 乙犭 BC的 内 ,则 DF⊥ JC.(笞 饿时泔将 国画在笛 卷纸上 冫
J与 BCJ的 交点 ,Ⅳ 在线段 EF~⒈ ,满 足 ⅣB⊥ 彳 L的 切点 ,σ 为 彳 B。 切I囚 在 /B边 ˇ
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(本 趑满分 ⒛ 分)在 平面直角坐标系豸 勿 中,设 /B是 抛物线
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2018年 全国高中数学联合竞赛加试试题 《 A卷 冫
-、 (本 题满分 00分 )设 刀 是正貉数 ,〃 I,曰 2,¨ Ⅱ %。 DlⅡ 2,¨ 、 慨,彳 ,B均 为 1「
⒛18年 全 国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
-、 填空题 :本 大题共
1。
8小 题 ,每 小题 8分 ,满 分 “ 分 。
设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫 豸 u∈
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素个数为_⊥____・ 2.设点 平 面 α的距离为 雨 ,点 g在 平面 α上 ,使 得 直 线 Pg与 α所成角
(本 履满分 m分 冫 三、 设″ ,七 ,胛 是
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2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
2018年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。
2018全国高中数学联赛试题
2018全国高中数学联赛试题2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合A={1,2,3,……,99}，BC={2,4,6,……,198}，则B={2x|x∈A}，C={x^2|x∈A}，则BC的元素个数为48，共24个元素。
2.设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与α所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为8π。
解析：过点P作平面α的垂线，这垂足为O，则点Q的轨迹是以O为圆心，分别以ON=1和OM=3为半径的扇环，于是点Q所构成的区域的面积为S=S2-S1=9π-π=8π。
3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为648/720=9/10.解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有A6^6=720种不同的排法，要使abc+def为偶数，abc为与def 同为偶数或abc与且def同为奇数。
（1）若a,b,c中一个偶数两个奇数且d,e,f中一个奇数两个偶数，共324种情形；（2）若a,b,c中一个奇数两个偶数且d,e,f中一个偶数两个奇数，共324种情形；共有648种情形。
综上所述，abc+def是偶数的概率为648/720=9/10.（间接法）“abc+def是偶数”的对立事件为“abc+def是奇数”，abc+def是偶数分成两种情况：“abc是偶数且def是奇数”或“abc是奇数且def是偶数”，每种情况有A3^3*A3^3=36种不同情形，共有72种不同情形，abc+def是偶数的概率为1-729/720=9/10.4.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1,F2，椭圆C的弦ST与UV 分别平行于x轴和y轴，且相交于点P。
已知线段PU、PS、PV、PT的长分别为1,2,3,6，则ΔPF1F2的面积为4√(2/3)。
2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛试题及答案
2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛试题及答案一、专题系列1. 第1期平面向量中的奔驰定理2. 第2期平面向量中的奔驰定理的证明3. 第3期三角形中布洛卡点及其性质（1）4. 第4期布洛卡点及其性质（2）5. 第5期函数的极值点偏移解决策略（一）对数平均不等式6. 第6期函数中的极值点偏移解决策略（二）构造对称函数7. 第7期函数中的极值点偏移解决策略（三）换元法.8. 第8期函数中的极值点偏移解决策略（四）隐零点放缩法9. 第9期阿基米德三角形及其性质10. 第10期伯努利—欧拉关于装错信封的问题(错排问题)第18期参数法在递推数列中的应用第21期平面向量基本定理与等和线第22期一元三次方程的解法第28期2007-2017年数学文化考察内容第29期道是无圆却有圆（阿波罗尼斯圆）概念篇第30期道是无圆却有圆阿波罗尼斯圆（基础篇）第31期道是无圆却有圆阿波罗尼斯圆（提高篇）第32期圆锥曲线的切线性质第33期圆锥曲线的光学性质与蒙日圆第34期费马点及其推广和应用第35期米勒问题及其推广和应用第36期托勒密定理及其推广和应用第37期张角定理及其应用初高中数学衔接韦达定理基础篇第38期韦达定理及其推广和应用第39期蝴蝶定理及其推广和应用第40期圆锥曲线中的四点共圆第41期圆锥曲线中的斜率之和（积）为定值（基础篇）第42期圆锥曲线中的斜率之和（积）为定值（提高篇）第43期极点与极线的几何意义及应用第44期向量模长中的三剑客及其应用第45期拉格朗日乘数法及其应用第46期权方和不等式及其推广和应用第47期圆锥曲线之焦点访谈（一）弦长和面积第48期集合中的计数问题解决策略第49期双重最值问题的解决策略第50期切比雪夫多项式及其应用第51期三次函数的神奇之旅第52期解决圆锥曲线定值的两个策略（曲线系、参数法）第53期函数零点问题解决策略第54期神奇的切线法第55期四边形的那些事第56期立体几何中轨迹问题的解决策略第57期基本不等式的几种常见技巧第58期放缩有道导数中的基本不等式及其应用第59期外接球和内切球半径求解策略第60期立体几何中三视图破解策略第61期点关于直线的对称点的一般公式及其应用第62期伯努利不等式的推广及应用第63期立体几何中的截面问题第64期高考进阶（一）洛必达法则 (潜龙勿用)第65期高考进阶（二）泰勒展开式（见龙在田）第66期高考进阶（三）拉格朗日中值定理（飞龙在天）第67期圆锥曲线中的张直角及其应用第68期点差法在中点弦等问题中的应用第69期超几何分布与二项分布的辨析及应用第70期笔算开平方（祝大家新年快乐）第71期圆锥曲线中减少运算量的方法一（齐次化）第72期圆锥曲线中的倾斜角互补问题第73期正四面体性质及其应用第74期隐零点问题的解决策略第75期三角函数ω取值范围的求解策略第76期曲线系及其应用第79期离心率的几种经典模型及其解决策略。
2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)
三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分 切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知 但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷） 参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取 一 点Q , ° 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积 解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成 一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概 答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 一 个档次 ，第10、 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次 ，不得增加其他中间档次． 11小题5分为 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案 精品
2018年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
9、如图，点P 1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，P i，P j，P k）（1＜i＜j＜k≤10）有个。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
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2018年全国高中数学联赛一试
一、填空题
1. 设集合{1,2,3,...,99},{2|},{|2},A B x x A C x x A ==∈=∈ 则B C 的元素个数为
__________.
2. 设点P 到平面α
点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为__________.
3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,,a b c d e f 则abc def +是偶数的概率为________.
4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、， 椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为_________.
5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]0,1上严格递增，且满足
()1,(2)2f f ππ== ，则不等式组121()2
x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为________. 6. 设复数z 满足1z =，使得关于x 的方程2
220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和 为__________.
7. 设O 为ABC 的外心，若2,AO AB AC =+ 则sin BAC ∠的值为__________.
8. 设正整数数列1210,,...a a a 满足1012853,+2,a a a a a ==且 1{1,2},1,2,...,9i i i a a a i +∈++=， 则这样的数列的个数为__________.
二、解答题
9.已知定义在R +
上的函数()f x
为3log 1,09()49x x f x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩ ，设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围
10.已知实数列123,,,...a a a ，满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和，证明：
（1）对任意正整数n ,有n a <2）对任意正整数n ,有11n n a a +<
11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不用于点,,O A B ）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.。