二维图形的几何变换 空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值
二维图形变换
图形变换
图形变换是计算机图形学基础内容之一。 内容： 几何变换； 视图变换； 投影变换。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
图形变换的基本原理是： （1）图形的拓扑关系不变； （2）图形的几何关系可以改变。 所谓图形拓扑关系不变是指图形的连边规则不变， 即原来是相邻的点变换后依然相邻，原来不相交的 线变换后依然不相交。
0 0 1
x
△x
错切变换（1）
y
O
x
y
O
x
y
O
x
（d）沿+y方向错切 （e）沿-y方向错切
（f）沿+x和+y方向错 切
（2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切
将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成Ψ角的倾斜线， 而保持x坐标不变。
几何关系
y
x' x
y' y y
△y
令 b ctg y xctg bx
)
r
cos
sin
＋r
sin
cos
将式（5-11）代入式（5-12）得：
x' x cos y sin
y'
x
sinLeabharlann ycos矩阵形式
x
y x
y
cos sin
sin
cos
（5-12） （5-13） （5-14）
5.2.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术
(x1, x2 ,...,xn ,)
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
几何变换的认识与运算
几何变换的认识与运算几何变换是指在二维或三维的空间中，通过对图形进行平移、旋转、缩放和翻转等操作，改变图形的位置、方向、形状和大小。
它是几何学中的重要概念，被广泛应用于计算机图形学、建筑设计、工程制图等领域。
本文将介绍几种常见的几何变换，并探讨其运算规则。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于某个方向的矢量移动一段距离，使图形保持原有的形状和大小不变。
平移变换可以用一个向量来表示，该向量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
例如，对于一个平面上的图形，如一个矩形，我们可以将它沿着x轴正方向平移10个单位，沿着y轴正方向平移5个单位。
这个平移变换可以表示为(10, 5)，其中10表示x方向的平移距离，5表示y方向的平移距离。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕一个点或者一个轴进行旋转，使图形相对于旋转中心点产生旋转。
旋转变换可以用一个角度来表示，该角度决定了旋转的方向和幅度。
例如，对于一个平面上的图形，如一个正方形，我们可以将它围绕原点逆时针旋转45度。
这个旋转变换可以表示为45°，其中45°表示逆时针旋转的角度。
三、缩放变换缩放变换是指改变图形的大小，使图形的各个部分相对于原始大小进行伸缩。
缩放变换可以用一个比例因子来表示，该比例因子决定了缩放的程度。
例如，对于一个平面上的图形，如一个圆形，我们可以将它在x方向上缩小为原来的一半，在y方向上缩放为原来的两倍。
这个缩放变换可以表示为(0.5, 2)，其中0.5表示x方向上的缩放比例，2表示y方向上的缩放比例。
四、翻转变换翻转变换是指将图形沿着一条轴进行对称映射，使图形相对于轴发生左右或上下的镜像翻转。
翻转变换可以用一个方向来表示，该方向决定了翻转的轴线。
例如，对于一个平面上的图形，如一个三角形，我们可以将它沿着x轴进行上下翻转。
这个翻转变换可以表示为x轴，其中x轴表示沿着x轴进行翻转。
几何变换的运算规则可以通过矩阵相乘的方式来表示。
二维空间里的简单矩形变换（平移、按比例缩放、旋转、对称、错切）
point change(point p, int a[3][3]) {
int b[3] = { 0, 0, 0 }; for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) b[i] += p.a[j] * a[j][i];
return; }
void Rotation(point p1, point p2, point p3, point p4) {
double d; printf("Please enter the angel of rotation:(格式:60度就输入60):"); scanf("%lf", &d); getchar(); d = d / 180 * 1.0 * PI; double a[3][3] = { cos(d), -sin(d), 0, sin(d), cos(d), 0, 0, 0, 1 }; DrawChange2(p1, p2, p3, p4, a);
(4)对称:
以X轴对称：
，有
*
=
；
以Y轴对称：
，有
*
=
；
以原点O对称：
，有
*
=
；
以Y=X对称：
，有
*
=
；
以Y=-X对称：
，有
*
=
；
(5)错切：
，有
*
=
；
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二维形的转换学习平移旋转和翻转操作
二维形的转换学习平移旋转和翻转操作二维形的转换是计算机图形学中的重要概念之一。
通过平移、旋转和翻转操作，可以对二维图像进行各种变换和调整。
本文将针对二维形的转换学习平移、旋转和翻转操作进行详细讨论。
一、平移操作平移操作是指将二维图形在平面上按照指定的向量进行移动的过程。
平移操作不改变图形的形状和大小，只是改变了它在平面上的位置。
在二维平面坐标系中，平移操作可以用向量来表示。
设平移向量为(t_x, t_y)，即将图形中的每个点的坐标分别加上t_x和t_y，得到平移后的新坐标。
二、旋转操作旋转操作是将二维图形绕指定的旋转中心点按照指定的角度进行旋转的过程。
旋转操作可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
在二维平面坐标系中，旋转操作可以用数学公式来表示。
设旋转中心点为(x_0, y_0)，旋转角度为θ，对于二维图形中的每个点(x, y)，经过旋转操作后的新坐标可以通过以下公式计算得出：x' = (x - x_0) * cosθ - (y - y_0) * sinθ + x_0y' = (x - x_0) * sinθ + (y - y_0) * cosθ + y_0三、翻转操作翻转操作是将二维图形围绕指定的轴进行翻转的过程。
翻转操作可以分为水平翻转和垂直翻转两种。
在二维平面坐标系中，水平翻转操作可以通过交换图形中的每个点的y坐标得到，垂直翻转操作可以通过交换图形中的每个点的x坐标得到。
四、实际应用二维形的转换在计算机图形学、计算机动画以及电子游戏开发等领域有着广泛的应用。
通过平移、旋转和翻转操作，可以实现图形的移动、变形和调整。
例如，平移操作可以用于实现游戏中的角色移动，旋转操作可以用于实现游戏中的物体旋转效果，翻转操作可以用于实现图像的镜像效果等。
此外，二维形的转换还可以应用于计算机辅助设计、虚拟现实技术等领域。
总结：通过本文的讨论，我们了解了二维形的转换学习平移、旋转和翻转操作的基本原理和实际应用。
基本几何变换知识点总结
基本几何变换知识点总结几何变换是几何学中常见的概念之一，广泛应用于图形处理、计算机视觉、计算机图形学等领域。
本文将对常见的几何变换知识点进行总结，包括平移、旋转、缩放和翻转等。
一、平移平移是指将一个图形在平面上沿着一个方向移动一定的距离，新的位置与原来的位置保持平行。
平移可以用一个向量表示，向量的坐标即为平移的距离。
在二维空间中，平移的公式为：x' = x + dxy' = y + dy其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为平移后点的坐标，(dx, dy)为平移的距离。
二、旋转旋转是指将一个图形绕着某一固定点按照一定的角度进行旋转，使得图形的形状和大小保持不变。
旋转可以用一个角度值表示，正值表示逆时针旋转，负值表示顺时针旋转。
在二维空间中，旋转的公式为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为旋转后点的坐标，θ为旋转的角度。
三、缩放缩放是指按照一定的比例对图形进行放大或缩小，图形的形状会发生改变。
缩放可以用一个比例因子表示，小于1的比例因子表示缩小，大于1的比例因子表示放大。
在二维空间中，缩放的公式为：x' = x * sxy' = y * sy其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为缩放后点的坐标，sx和sy分别为x轴和y轴的缩放因子。
四、翻转翻转是指将图形按照一条轴线进行对称操作，使得图形相对于轴线对称。
常见的翻转有水平翻转和垂直翻转。
水平翻转的公式为：x' = -xy' = y垂直翻转的公式为：x' = xy' = -y其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为翻转后点的坐标。
综上所述，几何变换是指对图形进行平移、旋转、缩放和翻转等操作的过程。
二维图形几何变换
⼆维图形⼏何变换⼀、基本变换1. 平移定义：将物体沿直线路径从⼀个坐标位置移到另⼀个坐标位置的重定位。
不产⽣变形⽽移动物体的刚体变换。
原始坐标位置：(x ,y )，平移距离t x 、t y ，新位置(x ′,y ′)，则x ′=x +t x ,y ′=y +t y 表⽰为矩阵形式，令：→P =x y→P ′=x ′y ′→T =t x t y⼆位平移⽅程：→P ′=→P +→T2. 旋转当参考点为(0,0)定义：以某个参考点为圆⼼，将对象上的各点(x ,y )围绕圆⼼转动⼀个逆时针⾓度θ，变成新的坐标(x ′,y ′)的变换。
x ′=rcos (φ+θ)=rcos φcos θ−rsin φsin θy ′=rsin (φ+θ)=rsin φcos θ+rcos φsin θ∵x =rcos φ,y =rsin φ∴x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ令：→R =cos θ−sin θ−sin θcos θ写成矩阵形式：→P ′=→R ⋅→P绕任意指定的旋转位置(x r ,y r )旋转的变换⽅程1. 将坐标系原点平移到(x r ,y r )2. 在新的坐标系下做旋转变换3. 将坐标原点平移回原坐标系x ′=x r +(x −x r )cos θ−(y −y r )sin θy ′=y r +(x −x r )sin θ+(y −y r )cos θ3. 变化（缩放）Scaling定义：使对象按⽐例因⼦Sx 和Sy 放⼤或缩⼩的变换。
x ′=x ⋅S xy ′=y ⋅S y令→S =S x 00S y矩阵形式：→P ′=→S ⋅→PS x 、S y 均⼩于1，缩⼩物体尺⼨，S x 、S y 均⼤于1，放⼤物体。
S x =S y ，则保持物体相对⽐例缩放⼀致。
特殊情况当Sy =−1、Sx =1，按x 轴反射当Sy =1、Sx =−1，按y 轴反射()()()()()当Sy =−1、Sx =−1，按原点(0,0)反射⼆、变换矩阵每个基本变换均可表⽰为普通矩阵形式：→P ′=→M 1→P +→M 2平移将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，将⼆维⼏何变换的乘法和平移项组合成单⼀矩阵表⽰平移。
二维形的平移和缩放
二维形的平移和缩放二维形的平移和缩放是在二维平面上对图形进行位置移动和尺度变化的操作。
在计算机图形学、几何学以及许多其他领域中，这两种操作是常用且重要的。
一、二维形的平移平移是指将图形沿着平行方向移动一段距离。
在二维平面上，我们可以通过修改图形的每个顶点的坐标来实现平移。
假设有一个二维图形，由一系列的顶点坐标组成。
对于每个顶点 (x, y)，要进行平移，只需要将其坐标分别加上平移的向量 (tx, ty) 即可。
比如，假设要将一个矩形图形向右平移 2 个单位，向上平移 3 个单位。
矩形的四个顶点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，(x4, y4)。
进行平移后，新的顶点坐标为：(x1+2, y1+3)，(x2+2, y2+3)，(x3+2,y3+3)，(x4+2, y4+3)。
通过以上的计算，可以实现对二维图形的平移。
平移操作仅仅是对图形进行移动，并不改变其形状和大小。
二、二维形的缩放缩放操作是指对图形进行尺度的变化，可以使图形变大或者变小。
在二维平面上，缩放操作可以通过修改图形的顶点坐标和比例因子来实现。
对于每个顶点 (x, y)，要进行缩放，需要将其坐标乘以缩放因子，得到新的坐标 (sx * x, sy * y)。
其中，sx 表示在 x 轴方向上的缩放比例，sy 表示在 y 轴方向上的缩放比例。
例如，假设要将一个矩形图形在 x 轴方向上缩小为原来的一半，在y 轴方向上放大 2 倍。
矩形的四个顶点坐标为 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,y3)，(x4, y4)。
进行缩放后，新的顶点坐标为：(0.5 * x1, 2 * y1)，(0.5 * x2, 2 * y2)，(0.5 * x3, 2 * y3)，(0.5 * x4, 2 * y4)。
通过以上的计算，可以实现对二维图形的缩放。
缩放操作可以改变图形的形状和大小，但不改变其位置。
应用：二维形的平移和缩放在许多领域中都有广泛的应用。
二维图形几何变换
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
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矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
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矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
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矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
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二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。
二维图形几何变换-PPT
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算(θ很小)
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
光栅变换
任意角度得Байду номын сангаас栅旋转变换:
旋转的 象素阵列
A
1A 3
光栅网格
2
n
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上得覆盖率](Gray(x)表示某点得灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上得覆盖率+ Gray(2) × A在2上得覆盖率+ Gray(3) × A在3上得覆盖率
光栅变换
光栅比例变换:
n
∑ [Gray(i) × Si] Gray(A)= i=1
n
∑ Si
i=1
缩小时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1/2,Xy=1/2
(b)原图
12
1
43
2
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1,Xy=3/2
G=(G1+G2+G3+G4)/4
G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
O
x0
x
图6-9 坐标系间的变换
坐标系之间得变换
分析: y
y'
p,也即p' x'
二维图形的几何变换
实验报告学院：计信学院专业：计算机科学与技术（软件工程方向）班级：07软件2班姓名学号实验组实验时间2010.5.24 指导教师成绩实验项目名称二维图形的几何变换实验目的掌握二维图形的基本几何变换：位置改变（平移、旋转）和变形（缩放、错切，反射、投影等）以及复合变换。
实验要求实现二维图形的集合变换实验原理1．平移变换平移变换将一点P沿直线路径从一个坐标集团移动到另一个坐标位置的一个重定位过程。
如果点p1（x1,y1.z1）是由点p(x,y,z)在x轴，y轴和z轴分别移动tx,ty,tz距离得到的，则这两点坐标间的关系为X1=x+tx, y1=y+ty,z1=z+tz该式的矢量形式为：p1=p+T其中，p1,p,T分别定义为发下向量：P1=[x1,y1,z1 ] p=[x,y,z] T=[tx,ty,tz]2．二维图形变换主要是基于齐次坐标方程,通过一些简单的矩阵运算来实现:二维齐次坐标变换的矩阵形式是:ihgfedcba矩阵的每个元素都有特殊含义.基中edba可以对图形进行缩放,旋转,对称,错切等变换;fc是对图形进行平移变换;hg的对图形作投影变换;i则是对图形整体进行缩放变换.例如:将一个图形在X 方向中平移tx 个单位,在Y 方向平移ty 个单位.其实现过程如下:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1),(11101001111y x ty tx T ty y tx x y x ty tx y x其中:x1,y1是变换后的坐标,x,y 是变换前的坐标,通过上述变换,(x,y)被平移了P(tx,ty).在二维平面上任何复杂的变换都可以通过上述基本变换的组合来实现.级合方式在计算机上主要体现在矩阵的乘法运算,即将各个简单变换的矩阵逆序相乘,就可以得到一个总的变换矩阵.利用这个总的变换矩阵就可以对图形进行复合变换.实验环境 硬件平台：PC运行环境：Windows 平台，Visual C++实验步骤1．编写程序完成实验内容的要求 2．实验总结。
二维平面矩阵变换和使用
二维平面矩阵变换和使用
二维平面矩阵变换是一个非常强大的工具，可以用来处理和分析平面上的图形和数据。
下面是一些常见的二维平面矩阵变换及其应用：
1. 平移变换：平移变换可以将图形在平面上移动，而不会改变其形状和大小。
这种变换通常用于图像处理、计算机图形学和机器人视觉等领域。
2. 缩放变换：缩放变换可以改变图形的大小，而不会改变其形状。
这种变换通常用于图像缩放、调整图形大小和数据可视化等领域。
3. 旋转变换：旋转变换可以旋转图形，而不会改变其形状和大小。
这种变换通常用于旋转图像、旋转物体和进行三维旋转等操作。
4. 错切变换：错切变换可以沿一个方向倾斜图形，而不会改变其形状和大小。
这种变换通常用于图像处理、计算机图形学和数据可视化等领域。
5. 仿射变换：仿射变换可以保持直线的平行性和等长的特性，同时可以旋转、平移、缩放和错切图形。
这种变换通常用于图像处理、计算机图形学、机器人视觉和模式识别等领域。
总之，二维平面矩阵变换是一个非常有用的工具，可以用于各种不同的应用领域。
通过使用这些变换，我们可以更好地理解和分析平面上的图形和数据，并进行相应的处理和操作。
10、图像的几何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换
10、图像的⼏何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换1.⼏何变换的基本概念 图像⼏何变换⼜称为图像空间变换，它将⼀副图像中的坐标位置映射到另⼀幅图像中的新坐标位置。
我们学习⼏何变换就是确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。
图像的⼏何变换改变了像素的空间位置，建⽴⼀种原图像像素与变换后图像像素之间的映射关系，通过这种映射关系能够实现下⾯两种计算：原图像任意像素计算该像素在变换后图像的坐标位置变换后图像的任意像素在原图像的坐标位置对于第⼀种计算，只要给出原图像上的任意像素坐标，都能通过对应的映射关系获得到该像素在变换后图像的坐标位置。
将这种输⼊图像坐标映射到输出的过程称为“向前映射”。
反过来，知道任意变换后图像上的像素坐标，计算其在原图像的像素坐标，将输出图像映射到输⼊的过程称为“向后映射”。
但是，在使⽤向前映射处理⼏何变换时却有⼀些不⾜，通常会产⽣两个问题：映射不完全，映射重叠映射不完全输⼊图像的像素总数⼩于输出图像，这样输出图像中的⼀些像素找不到在原图像中的映射。
上图只有(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)四个坐标根据映射关系在原图像中找到了相对应的像素，其余的12个坐标没有有效值。
映射重叠根据映射关系，输⼊图像的多个像素映射到输出图像的同⼀个像素上。
上图左上⾓的四个像素(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)都会映射到输出图像的(0,0)上，那么(0,0)究竟取那个像素值呢？要解决上述两个问题可以使⽤“向后映射”，使⽤输出图像的坐标反过来推算改坐标对应于原图像中的坐标位置。
这样，输出图像的每个像素都可以通过映射关系在原图像找到唯⼀对应的像素，⽽不会出现映射不完全和映射重叠。
所以，⼀般使⽤向后映射来处理图像的⼏何变换。
从上⾯也可以看出，向前映射之所以会出现问题，主要是由于图像像素的总数发⽣了变化，也就是图像的⼤⼩改变了。
在⼀些图像⼤⼩不会发⽣变化的变换中，向前映射还是很有效的。
实验二 二维图形的基本几何变换
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载实验二二维图形的基本几何变换地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容实验二二维图形的基本几何变换一、实验目的1．掌握二维图形基本的几何变换原理及变换矩阵；2．掌握矩阵运算的程序设计。
二、实验内容实现二维图形的基本变换，包括平移、旋转、比例、对称变换。
三、算法描述二维图形齐次坐标变换矩阵一般表达式 T =这3×3 矩阵中各元素功能一共可分成四块，即a、b、c、d 四项用于图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换；k、m用于图形的平移变换；p、q 用于图形的透视变换；s用于图形的全比例变换。
平移变换旋转变化放缩变换四、实验过程4.1打开Visualc++6.0程序4.2新建一个C++项目单击确定4.3弹出如下窗口4.4单击完成，双击源文件里的二维图形几何变换View.cpp,出现下图4.5找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移。
void C二维图形几何变换View::OnDraw(CDC* pDC){C二维图形几何变换Doc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);if (!pDoc)return;// TODO: 在此处为本机数据添加绘制代码int a[3][3];int i,j;for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<3;j++)a[i][j]=0;for(i=0;i<3;i++)a[i][i]=1;int x0=80,x1=350,y0=120,y1=120;pDC->MoveTo(x1,y1); E:\c++6.0安装\MSDev98\MyProjects\ pDC->LineTo(x0,y0);a[2][0]=80;//使直线在行方向上平移了80个单位a[2][1]=50;//使直线在列方向上平移了50个单位x0=x0*a[0][0]+y0*a[1][0]+a[2][0];y0=x0*a[0][1]+y0*a[1][1]+a[2][1];x1=x1*a[0][0]+y1*a[1][0]+a[2][0];y1=x1*a[0][1]+y1*a[1][1]+a[2][1];pDC->MoveTo(x1,y1);pDC->LineTo(x0,y0);}4.6单击运行程序并有如下结果4.7找到其中的OnDraw函数，并将其改成如下，使其实现了一条直线的平移和缩放。
计算机二维图形变换
下图是矩阵旋转30度的情况，其坐标变换如下：
2 1 1.232 2 1 0.866 0.5 2.232 0.5 0.886 1.232 2 1 2 1 2.232
1.886 0.134 1.866 0.134
各种不同变换。
15
2．二维基本变换的矩阵表示 （1）比例变换 a 0 T 若令变换矩阵 则写成矩阵形式为：
0 d
x
y
a 0 0 d ax dy x' y'
①若取a=3 d=1 对点（2，3）做变换,则
x' y' 2 3
3 0 0 1 6 3
8
（4）对称变换 如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于 X坐标 轴是对称的，则称此变换为关于X轴的对称变换。经过这 一变换后的坐标点（x'，y'）与变换前的对应坐标点（x ，y）的关系为： x' = x， y' = -y 与此类似，若变换前后的图形关于 Y轴对称，则称为 关于Y轴的对称变换。这一变换前后点的坐标间的关系： x' = -x，y' = y 当图形对 X 轴和 Y 轴都进行对称变换时，即得相对于原点 的中心对称变换。这一变换前后点的坐标之间的关系为 ： x' = -x，y' = -y 对称变换只改变图形方位，不改变其形状和大小。
2 4 2 1.5 0 6 3 2' 0 6 6 3' 3 4 4 1.5 4 2 4 3 6 4'
各点在X，Y两个方向产生相等的比例变换，即变换后 图形和变换前图形相似，相似中心为坐标原点。 若a≠d时，使图形在X和Y两个方向产生不相等比例 变换。下图(b)是a=2,d=1.5时对 (a)中矩阵1234变换 结果。 图 (c)是取a=2,d=0.5对矩阵1234变换结果，变 换后图形在X方向放大，在Y方向缩小。
二维几何形的变换学会进行平移翻转与旋转等操作
二维几何形的变换学会进行平移翻转与旋转等操作二维几何形的变换学会进行平移、翻转与旋转等操作在数学中，二维几何形的变换是一种常见的操作。
通过平移、翻转和旋转等变换操作，我们可以改变形状的位置、方向和对称性。
本文将介绍如何进行这些二维几何形的变换操作，帮助读者更好地理解和应用。
1. 平移操作平移是指沿给定方向将一个图形移动到另一个位置，移动的距离与方向都相同。
要进行平移操作，可以按照以下步骤进行：（1）选择一个参考点，这个点将保持不变，称为固定点。
（2）确定平移的方向和距离。
（3）从起始点出发，沿指定方向移动指定距离，得到终点。
（4）以固定点为圆心，终点为半径画一个圆，即可得到平移后的图形。
2. 翻转操作翻转是将一个图形按照某条线进行对称，使得图形在对称线两侧呈镜像关系。
翻转操作可以分为水平翻转和垂直翻转两种情况：（1）水平翻转：将图形沿水平方向翻转，即上下颠倒。
（2）垂直翻转：将图形沿垂直方向翻转，即左右镜像。
进行翻转操作时，可以按照以下步骤进行：（1）选择一个参考线，图形将以该线为对称轴进行翻转。
（2）对于水平翻转，将图形上下颠倒；对于垂直翻转，将图形左右镜像。
3. 旋转操作旋转是指将一个图形围绕一个点旋转一定角度，得到一个新的图形。
旋转操作可以按照以下步骤进行：（1）选择一个参考点，该点为旋转中心。
（2）确定旋转方向和旋转角度。
（3）将旋转中心和所有的图形顶点依次连线。
（4）按照旋转角度和方向，将原图形中的每个点沿着连接线旋转到新位置，得到旋转后的图形。
需要注意的是，旋转角度可以为正数或负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
综上所述，通过学会进行二维几何形的平移、翻转和旋转等操作，我们能够更好地理解和应用几何学中的变换。
这些操作不仅可以帮助我们对图形进行位置调整，还可以通过变换增加对称性或改变方向，从而得到更多有趣的结果。
通过实践和练习，我们可以掌握这些变换操作，并将它们应用到解决实际问题的过程中。
二维图形的变换
平移、旋转、放大或缩小、对称
Δy
Δx
y
(Cx,Cy)
x
如何实现图形变换？
变换的数学基础
• 1.矢量（向量）运算和性质 vx u x • 矢量
U u y u z
V v y vz
• 矢量和
u x vx U V u v y y u z vz kux k U ku y kuz
• -平移变换 • void move_change(int *coor1,int tx,int ty) • { • int i; • for(i=0;i<4;i++) • { • coor1[2*i]=coor1[2*i]+tx; • coor1[2*i+1]=coor1[2*i+1]+ty ; • } • }
• 对称变换的特点：只 改变图形方位，不改 变其形状和大小。
(x,y) (-x,-y)
• -错切变换 • DEF:如果变换前坐标点(x,y)于变换后
对应的新坐标点(x´,y ´)的关系为 x´=x+cy y ´ =y • 则称这一变换为沿x轴的错切变换，式 中c为错切系数。
•x´=x+cy •y´=y
#define XC 300 //原点横坐标 #define YC 300 //原点纵坐标 void draw_coordi()//画坐标 { setcolor(WHITE); line(0,YC,639,YC); line(XC,0,XC,479); } void my_line(int x1,int y1,int x2,int y2)//画
• 问题（举例）
•矩阵的乘法适 •合交换律吗？
相对任意方向的二维几何变换
相对任意方向的二维几何变换平面上的二维几何变换是指将平面上的一个点或一组点通过某种规则进行变换，得到新的点或点集的过程。
这些变换可以是平移、旋转、缩放、对称等。
在本文中，将分别介绍这些二维几何变换的定义、特点和应用。
一、平移变换平移变换是指将平面上的点沿着指定的方向进行移动，距离为指定的平移向量。
平移变换的特点是保持形状和大小不变，只改变位置。
平移变换可以用向量表示，即用平移向量将原始点的坐标进行平移，得到新点的坐标。
平移变换的应用非常广泛，比如在计算机图形学中，平移变换常用于图像的移动、平面的平移等。
此外，在几何学中，平移变换也可以用于解决平面图形的位置关系、求解线段的平移等问题。
二、旋转变换旋转变换是指将平面上的点绕着指定的旋转中心按照指定的角度进行旋转。
旋转变换的特点是保持形状和大小不变，只改变方向和位置。
旋转变换可以用旋转角度和旋转中心表示，即通过旋转矩阵将原始点的坐标进行旋转，得到新点的坐标。
旋转变换的应用也非常广泛，比如在航空航天中，旋转变换常用于描述飞机的姿态变化；在计算机图形学中，旋转变换常用于图像的旋转、三维模型的旋转等。
此外，在几何学中，旋转变换也可以用于解决线段的旋转、图形的对称等问题。
三、缩放变换缩放变换是指将平面上的点按照指定的比例进行放大或缩小。
缩放变换的特点是保持形状不变，只改变大小。
缩放变换可以用缩放因子表示，即通过缩放矩阵将原始点的坐标进行缩放，得到新点的坐标。
缩放变换的应用也非常广泛，比如在计算机图形学中，缩放变换常用于图像的放大、缩小、三维模型的缩放等。
此外，在几何学中，缩放变换也可以用于解决图形的相似性判断、线段的伸缩等问题。
四、对称变换对称变换是指将平面上的点按照指定的对称中心或对称轴进行镜像。
对称变换的特点是保持形状不变，只改变方向。
对称变换可以用对称中心或对称轴表示，即通过对称变换的公式将原始点的坐标进行镜像，得到新点的坐标。
对称变换的应用也非常广泛，比如在几何学中，对称变换常用于解决图形的对称性判断、线段的对称等问题。
二维形的变换与应用
二维形的变换与应用二维形的变换是数学中一个重要的概念，它描述了两维平面上的图形在空间中的变化过程。
在实际应用中，二维形的变换被广泛使用于计算机图形学、图像处理、几何学等领域。
本文将介绍常见的二维形变换方式以及它们在实际应用中的具体案例。
平移变换（Translation Transformation）平移变换是指将二维平面上的图形沿着某一方向平行移动一定的距离。
例如，通过平移变换可以将一个矩形从一个位置移动到另一个位置，或者将一个三角形沿着某一直线移动。
旋转变换（Rotation Transformation）旋转变换是指将二维平面上的图形绕着某一点或轴线进行旋转操作。
通过控制旋转角度可以实现图形的任意旋转，例如将一个正方形按照指定角度进行旋转，从而得到旋转后的图形。
缩放变换（Scaling Transformation）缩放变换是指将二维平面上的图形按照比例进行放大或缩小。
通过控制放大或缩小的比例因子，可以实现图形的任意大小调整。
例如，可以将一个圆的半径进行缩放，从而得到不同大小的圆。
对称变换（Reflection Transformation）对称变换是指将二维平面上的图形按照某一直线进行镜像对称。
通过对图形进行镜像对称，可以得到和原图关于对称直线对称的图形。
例如，可以将一个正方形关于对角线进行对称，得到关于对角线对称的图形。
扭曲变换（Shear Transformation）扭曲变换是指将二维平面上的图形进行拉伸或压缩，使得图形在某一方向上产生倾斜变形。
通过控制扭曲因子可以实现不同程度的扭曲效果。
例如，可以将一个长方形在水平方向上进行扭曲，得到呈现出倾斜效果的长方形。
在计算机图形学中，二维形的变换被广泛应用于图形的绘制、变形、动画等场景。
通过对图形进行平移、旋转、缩放、对称和扭曲等变换操作，可以实现图形的各种形状和动态效果。
在图像处理中，二维形的变换用于图像的几何校正、图像的旋转矫正、图像的放大缩小等处理操作。
二维图形几何变换三维图形几何变换参数图形几何变换
x = x + Ｔx y = y + Ｔy
( x, y)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 一、基本变换 ⒉ 旋转(Rotation) 点(x, y)围绕原点逆时针转 动一个角度，
y (x’, y’)
( x, y)
x = x cos y sin y = y cos + x sin
newx = xxr newy = yyr
newx = newx cos newy sin newy = newy cos + newx sin x = newx + y = newy +
f
x
x = xr+(xxr)cos (yyr)sin y = yr+(yyr)cos +(xxr)sin
0 0 1
3.1.3 参数图形几何变换 (续) ⒉ 参数曲线、曲面的几何变换
若指定一个平移矢量t，对曲线平移t，即对曲线上的每一点P都 平移t。对平移后的点P*有 P* = P+t 对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵B和代数系数矩阵A，可以直 接实现平移变换，即有 B* = B+T，T = ［t t 0 0］T B*是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。
Sx 0 0 0 S 0 x y 1 x y 1 y 0 0 1
简记为p=pS(Sx, Sy)，其中(Sx, Sy)表示变化矩阵。
(3.3)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 三、级联变换(Composite Transformation)
⒉ 旋转的矩阵运算表示为
cos sin 0 sin cos 0 x y 1 x y 1 0 1 0