24.3 正多边形和圆教学设计
人教版九年级数学上册教案：24.3正多边形和圆课堂优秀教学案例
3.结合学生的课堂表现、作业完成情况和小组合作情况，进行全面评价，关注学生的知识掌握、能力发展和情Байду номын сангаас态度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用图片展示正多边形的实际应用场景，如足球、蜂窝等，引发学生对正多边形的兴趣，激发学生的学习动机。
2.创设问题情境，如“为什么足球是正二十面体？”、“蜂窝为什么是正六边形？”等，引导学生思考正多边形的特征和性质。
3.小组合作：本节课鼓励学生进行小组合作学习和讨论，培养了学生的团队合作意识和沟通能力。通过小组合作，学生能够共同解决问题，分享自己的学习和研究成果，提高了学生的表达能力和批判性思维。
4.反思与评价：本节课在课堂结束前，引导学生进行自我反思，总结自己在课堂上的学习情况和收获。同时，设置了不同难度的题目，让学生在课后进行巩固练习。通过这种方式，学生能够及时巩固所学知识，提高自我认知和自我评价能力。
3.在解决问题的过程中，引导学生总结正多边形的性质和规律，提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
2.设计小组合作任务，如：“观察并描述正多边形的性质”、“制作正多边形的模型”等，让学生在实践中掌握正多边形的知识。
3.利用多媒体课件展示正多边形的动态变化，让学生直观感受正多边形的魅力，引发学生的探究欲望。
（二）问题导向
1.设计一系列问题，引导学生逐步深入探究正多边形的定义、性质和与圆的关系。如：“正多边形有什么特点？”，“正多边形的边数与圆有什么关系？”，“如何判断一个多边形是正多边形？”等。
人教版数学九年级上册第24章圆24.3正多边形和圆教学设计
2.在解决实际问题时，可能无法灵活运用所学的正多边形知识，需要加强练习和指导。
3.部分学生对几何图形的观察能力和空间想象力有待提高，需要在教学过程中给予关注和培养。
4.学生在小组合作中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题，需要教师在教学过程中引导学生形成良好的合作氛围。
3.培养学生的空间观念，提高学生对几何图形的观察力和想象力，为后续几何学习打下基础。
4.通过解决实际问题，培养学生的责任感、使命感和创新精神，使学生在面对问题时敢于挑战、勇于探索。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已具备了一定的几何基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们能够运用已掌握的圆的相关知识，进一步探索正多边形与圆之间的关系。然而，学生在面对正多边形的性质和计算方法时，可能会出现以下情况：
-选择2-3道题目进行详细解答，要求步骤清晰，逻辑严谨。
-针对学生在课堂练习中出现的典型错误，设计类似题目进行针对性练习。
2.提高作业：结合生活实际，设计一道综合性的问题，让学生运用本节课所学的正多边形和圆的知识解决。
-鼓励学生运用数形结合、转化等数学思想方法，提高解决问题的能力。
-要求学生在解答过程中，注意逻辑推理和几何直观的运用。
3.通过小组合作，讨论解决正多边形和圆相关问题的方法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用数形结合、转化等数学思想方法，解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对正多边形和圆的美的认识，激发学生对数学美的追求，提高学生的审美情趣。
2.增强学生对数学学习的兴趣，使学生感受到数学与现实生活的密切联系，体会数学的实用价值。
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.3正多边形和圆》教学设计
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.3正多边形和圆》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.3正多边形和圆》的内容包括正多边形的定义、性质和圆的定义、性质。
本章节的目的是让学生理解正多边形和圆的关系，掌握正多边形的计算方法，以及了解圆的性质和应用。
本节课的教学内容是24.3正多边形和圆，主要包括正多边形的定义、性质和圆的定义、性质。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，对于图形的理解和计算能力有一定的基础。
但是，对于正多边形和圆的关系，以及圆的性质和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索正多边形和圆的性质，提高他们的空间想象能力和思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正多边形的定义、性质，理解圆的定义、性质，能够运用正多边形和圆的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质，圆的定义、性质。
2.难点：正多边形和圆的关系，圆的性质和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物、图片、几何画板等直观教具，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和交流能力。
4.归纳总结法：引导学生通过总结归纳，形成系统的知识结构。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，包括图片、几何画板等直观教具。
2.教学素材：准备相关的实物、图片等教学素材。
3.教学用具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等教学用具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物、图片等教学素材，引导学生观察正多边形和圆的实例，激发学生的学习兴趣。
正多边形和圆教案教学设计
如图，点A、B、C、D、E把⨀O五等分，
∵ = = = = ，
∴AB=BC=CD=DE=EA， = ，
∴∠A=∠B，
同理：∠B=∠C=∠D=∠E，
∴五边形ABCDE是正五边形.
归纳总结：
一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。
尝试画出圆内接正六边形？
作法：1）在⊙O中任意作一条直径AD．
2）分别以点A、D为圆心，⊙O的半径为半径作弧，与⊙O相交于点B、F和点C、E．
3）依次连接A、B、C、D、E、F各点．
正六边形ABCDEF就是所求作的圆内接正六边形．
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图.
再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形.
(2)如图,已知☉O,求作☉O的内接正八边形.
教学反思
这一节主要学习了正多边形与圆，正多边形和圆关系密切，主要正多边形的有关概念，正多边形的有关计算，以及正多边形的有关画法等。课前先让学生预习学案，对于课本上正五边形的证明结合图形，明确了证明思路，然后让学生明确，这个结论对于任意的正多边形都成立。再一个通过了解正多边形的有关概念，让学生会求一些量，比如给你一个正多边形，已知它的边长、周长、半径、边心距、面积中
因此，亭子地基的周长l=6×4=24（m）.
作OP⊥BC，垂足为P. 在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC= =2（m），利用勾股定理，可得边心距r=
亭子地基的面积S=
学生活动4：
学生在教师的指导下将实际问题中的正六边形地基抽象正六边形ABCDEF，从而将实际问题转化为数学问题
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1.通过观察、操作、思考、交流等途径，自主探索正多边形和圆的性质；
2.学会用几何画板或其他工具绘制正多边形和圆，培养空间想象能力；
3.能够运用正多边形和圆的性质解决实际问题，提高数学运用能力。
在教学过程中，我注重培养学生的探究能力、合作能力和创新能力。首先，我会创设有趣的教学情境，引导学生主动探究，发现正多边形和圆的性质。然后，组织学生进行小组合作，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养学生的合作能力。此外，我还会设计一些开放性问题，激发学生的思维，培养学生的创新能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，让学生通过讨论、交流等方式，共同探究正多边形和圆的性质；
2.设计合作任务，如“制作不同规格的正多边形和圆，观察它们的性质”等，引导学生动手操作，培养学生的实践能力；
3.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的合作能力和团队精神。
在小组合作环节，我会组织学生进行小组合作，让学生通过讨论、交流等方式，共同探究正多边形和圆的性质。同时，我会设计一些合作任务，如制作不同规格的正多边形和圆，观察它们的性质等，引导学生动手操作，培养学生的实践能力。此外，我还会鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的合作能力和团队精神。
在案例背景中，我设计了以下几个环节：
1.生活情境导入：以实际生活中的圆形物品为例，如硬币、圆桌、地球等，引导学生发现生活中的圆形现象，激发学生对圆形的兴趣。
2.探究活动：组织学生进行小组合作，利用剪刀、彩纸等工具，动手制作不同规格的正多边形和圆，通过观察、测量、比较等方法，发现正多边形和圆的性质。
3.数学文化：介绍我国古代数学家对正多边形和圆的研究成果，如秦九韶、刘徽等，让学生了解数学文化，培养学生的民族自豪感。
4.知识拓展：引导学生思考正多边形和圆在现实生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等，提高学生的知识运用能力。
24.3 正多边形与圆 教学设计
24．3 正多边形和圆一、【教学目标】知识与能力：了解正多边形与圆的关系，以及正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．经历探索正多边形与圆的关系过程，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．过程与方法：学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现和解决问题，提升学生的观察、比较、分析、概括及归纳的思维能力和推理能力．情感态度与价值观：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又应用于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的.重点：了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念．难点：探索正多边形与圆的关系．二、【教学过程】一、巩固基础，复习回顾问题1：什么是多边形？问题2：多边形的内角和、外角和分别是多少？问题3：什么样的多边形是正多边形？问题4：正多边形都有哪些性质？（数量关系和对称性）教师演示课件，提出问题，引导学生观察、思考．学生独立思考，发表各自见解．二、情景引入，探索新知1、提出问题你知道正多边形与圆的关系吗？正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.例题：以圆内接正五边形为例证明：如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.问题：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？定义：把圆分成n（n≥3）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.教师演示课件，把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形．教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．教师关注引导细节：1、学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；2、学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；3、学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；4、学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．教师带领学生完成证明过程． 2、概念学习①我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心（即点O ） ②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA ）③正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角（即∠AOB ） ④中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（即OM ） 应用深化1. O 是正△ABC 的中心，它是△ABC 的 外接 圆的圆心。
人教版数学九年级上册第24章圆24.3正多边形和圆优秀教学案例
3.总结本节课的学习方法，如观察、操作、探究、合作等。
4.布置课后作业，巩固所学知识。
（五）作业小结
1.教师发放课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
2.提醒学生在完成作业过程中注意审题、仔细计算、规范书写。
3.鼓励学生遇到问题时互相讨论、请教教师，提高解题能力。 Nhomakorabea五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课通过展示生活中的正多边形实例，让学生感受到了数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣。这种情境的创设，不仅让学生在课堂上保持高度的热情，而且有助于提高学生的应用能力，使他们在解决实际问题时能够自然而然地想到运用所学知识。
1.教师展示一系列生活中常见的正多边形图片，如正方形、正三角形、正六边形等，引导学生关注正多边形的美感及其在生活中的应用。
2.提问：“同学们，你们能找出这些图片中的共同特征吗？这些图形有什么特别之处？”让学生思考并回答。
3.总结：正多边形具有对称性、边长相等、内角相等等特征。这些特征使得正多边形在生活中的应用非常广泛。
4.最后提问：“如何用圆规和直尺绘制正多边形？请同学们尝试绘制一个正六边形。”激发学生的动手操作欲望。
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组选定一个正多边形进行研究。
2.给出研究任务：“请同学们探究你们所选的正多边形的性质，并尝试用数学语言表达。”
3.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作精神和团队意识。
本节课的教学策略旨在激发学生的学习兴趣，培养学生的探究能力和合作精神。通过情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价等环节，引导学生主动参与课堂，提高学生的数学素养。同时，关注学生的情感态度与价值观的培养，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。
人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆(第2课时)教学设计
4.强调数学知识在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的正多边形和圆的知识，以及提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第XX页的练习题1-5，重点复习正多边形的性质、内角和、外角和的计算方法，以及正多边形与圆的相互关系。
4.思考题：请同学们思考以下问题，下节课进行分享和讨论：
（1）为什么正多边形的外角和为360°？
（2）如何判断一个多边形是否为正多边形？
（3）正多边形与圆的性质在解决实际问题时有什么优势？
5.预习作业：预习下一节课的内容，了解圆的内接多边形和外切多边形的性质，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.请同学们按时完成作业，保持字迹工整，确保作业质量。
4.借助几何画板等教学工具，直观展示正多边形和圆的性质，加深学生对知识的理解。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，我将组织学生进行以下活动：
1.将学生分成若干小组，每组讨论一个问题，如正多边形内角和的计算方法、正多边形与圆的关系等。
2.每个小组派代表汇报讨论成果，其他小组进行补充和评价。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-正多边形的性质及其与圆的关系。
-运用圆的性质解决正多边形相关问题。
-正多边形周长和面积的计算方法。
2.教学难点：
-正多边形内角和、外角和的计算。
-正多边形与圆结合的综合问题解决。
-空间想象能力的培养。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用启发式教学法，引导学生通过观察、探索、讨论等方式发现正多边形的性质，培养学生自主学习能力。
人教版九年级上册24.3正多边形和圆课程设计
人教版九年级上册24.3正多边形和圆课程设计一、前言正多边形和圆是初中数学的基础，是进行高中几何学习的必要基础之一。
本次课程设计旨在通过教师的讲解和学生的练习，帮助学生掌握正多边形和圆的相关概念和性质，提高学生的几何运算能力和创新思维能力。
二、教学目标1.知识目标•理解正多边形和圆的定义•掌握正多边形内角和、外角和、对角线个数的计算方法•掌握圆的周长、面积、弧长、扇形面积的计算公式2.能力目标•能够进行正多边形和圆的计算和实际应用•能够运用相关知识解决相关的问题和实际应用问题3.情感目标•培养学生对几何学习的兴趣•培养学生的团队协作精神和创新思维能力三、教学内容和方法1.教学内容本次课程设计主要涉及以下教学内容：•正多边形的定义和相关性质•正多边形内角和、外角和、对角线的计算方法•圆的定义和相关性质•圆的周长、面积、弧长、扇形面积的计算公式2.教学方法本次课程设计采用以下教学方法：•讲述法：通过教师对相关知识点的讲述，帮助学生理解概念和性质•练习法：通过练习题和实际问题的解决，帮助学生掌握相关计算方法和应用能力•探究法：通过学生团队合作，探究未知定理和性质，培养学生的创新思维能力四、教学步骤和时间安排1.教学步骤本次课程设计的教学步骤如下：第一步：引入通过展示相关图形，引导学生认识正多边形和圆的定义和性质。
第二步：讲解正多边形的相关知识教师将讲解正多边形内角和、外角和、对角线的计算方法，并通过练习题让学生掌握相关知识。
第三步：讲解圆的相关知识教师将讲解圆的周长、面积、弧长、扇形面积的计算公式，并通过练习题让学生掌握相关知识。
第四步：探究法讲解教师将通过学生团队合作的方式，探究未知定理和性质，培养学生的创新思维能力。
第五步：小结教师将对本节课所讲解的知识点进行小结，并指导学生相关练习。
2.时间安排本次课程设计总计2课时，按以下时间安排进行：•第一课时：引入和讲解正多边形的相关知识，共1课时•第二课时：讲解圆的相关知识和探究法讲解，共1课时五、教学资源和评价标准1.教学资源本次课程设计所需的教学资源如下：•教师课件•学生练习题册•工具：尺规、圆规等2.评价标准本次课程设计的评价标准如下：•学生掌握正多边形和圆的知识点和计算方法•学生能够运用所学知识解决相关问题和实际应用问题•学生能够在探究法中自主学习和合作学习，培养创新思维能力和团队合作精神六、教学反思本次课程设计主要通过讲解法和探究法相结合的方式进行教学，旨在帮助学生掌握正多边形和圆的相关概念和性质，提高学生的几何运算能力和创新思维能力。
24.3 正多边形和圆教学设计
24.3 正多边形和圆正多边形和圆是在学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识后的内容，是前一阶段知识的运用和提高．正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的特性．研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础．本课时注意培养学生观察、猜想、推理和迁移的能力以及具体到抽象，亲身体验知识的发生与发展的过程．利用正多边形和圆的位置关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．【情景导入】(1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧？【说明与建议】 说明：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能让学生对古代数学的伟大成就有所了解，增强爱国热情．建议：研究正多边形和圆的时候，可以让学生回顾在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等这两个结论．【复习导入】(1)观察下图中的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形，你能说出这些图形的各自特征吗？(2)回顾：等边三角形和正方形的边、角各有什么性质？ (3)正多边形的定义是什么？正多边形和圆有什么关系？【说明与建议】 说明：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：为了明确正多边形的概念，可以请同学们举自己在日常生活中见过的正多边形的例子(正三角形、正方形、正六边形……)．命题角度1 与正多边形有关的计算1．(河池中考)如图，在正六边形ABCDEF 中，AC ＝23，则它的边长是(D)A ．1B. 2C. 3D ．22．(广元中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是AE ︵的一点，则∠CPD 的度数是(B)A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°3．(德阳中考)已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(B) A ．2B ．1C. 3D.324．(广州中考)已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A ．3 3B ．9 3C ．18 3D ．36 3命题角度2 画正多边形5．(兰州中考)如图，已知⊙O ，用尺规作⊙O 的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：如图所示，四边形ABCD 即为所求作．关于圆周率π我们知道，圆的周长C ＝2πR.但是，你知道公式中的π值是怎样算出来的吗？实际上π＝C2R ，式中圆的周长C 是可以用圆内接正多边形的周长p n 来近似代替的．如图，当圆内接正n 边形的边数不断地成倍增大时，它的周长p n 就不断地增大，并会越来越接近于圆的周长C ，于是p n 2R 的值越来越接近C2R的值．如果半径为R 的圆内接正n 边形的边长为a n ，可以求得它的内接正2n 边形的边长这个公式叫倍边公式，利用它就可以算出半径为R 的圆内接正2n 、4n 、8n 、…边形的边长，进而可计算p 2n 2R 、p 4n 2R 、p 8n 2R 、…，这些值就越来越接近于圆的周长与直径的比值C2R ，这个数就是圆周率π.π的精确值是一个无限不循环小数，就是说，π是一个无理数．π＝3.141 592 653 589 793…，应用时根据实际需要，取π的近似值．我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750＝3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，是当时世界上最先进的成就．现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．下表是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．由于C2R＝π，所以C ＝2πR.另外，根据正n 边形的面积S n ＝12r n p n ，当边数n 无限增大时，r n 趋近于R ，p n 趋近于C ，所以圆的面积S ＝12RC ＝12R ·2πR ＝πR 2.我国许多数学家对圆周率的研究做出过很大贡献．在公元前一世纪的《周髀算经》里，已谈到“周三径一”，称之为古率．西汉末年，刘歆定圆周率为3.1547，后人称做歆率．三国时魏刘徽(公元263年)，始创“割圆求周”的方法，他从圆内接正六边形算起，算到正192边形，他取3.14或15750作为圆周率，我们称3.14为徽率．到南朝祖冲之(公元429～500年)求得圆周率在3.141 592 6～3.141 592 7之间，把π＝355113叫做密率，π＝227叫做约率，后人称之为祖率，他所得的结果，精确到了七位小数，在当时世界上是最好的结果．【探究新知】问题1：针对【课堂引入】的问题进行探究．师生活动：教师演示作图，并引导学生从正多边形的定义入手来证明，让学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程． 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程： 如图，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，BAD ︵＝CAE ︵＝3AB ︵. ∴∠C ＝∠D.同理可证：∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ， ∴五边形ABCDE 是正五边形． ∵点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形．问题2：如果将圆n 等分，依次连接各等分点得到一个n 边形，这个n 边形一定是正n 边形吗？师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解.活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念(如图)．教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？ (3)正多边形的面积如何计算？师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论： 正n 边形的中心角等于360°n ，边长a ，半径R 和边心距r 的关系为(a 2)2＋r 2＝R 2. 活动二：提出问题：如何把一个圆n 等分呢？师生活动：学生小组内讨论，如果把360°的圆心角n 等分，那么弧也被n 等分，即可得到正多边形． 教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明相邻两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明相邻半径和边构成的三角形是等边三角形.面积．例2 利用手中的工具求作一个边长为3 cm 的正六边形．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论，教师鼓励学生勇于探索实践，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．图1 图2解：方法一：如图1，以3 cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形． 方法二：如图2，以 3 cm 为半径作一个⊙O ，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3 cm 的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可． 【变式训练】在半径为2 cm 的圆上，用量角器作出它的圆内接正七边形． 解：(1)作⊙O ，使r ＝2 cm ； (2)计算360°7≈51.4°；(3)用量角器在圆上画一个∠AOB ＝51.4°； (4)在圆上依次截取BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FG ︵＝GA ︵＝AB ︵；(5)依次连接AB ，BC ，…，GA ，则七边形ABCDEFG 为所作正七边形.4．如图，正方形的边长为1 dm ，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．解：设正八边形的边长为x ，则被剪掉小直角三角形的直角边为22x ， 由题意，得x ＋2·22x ＝1， 解得x ＝2－1.所以小直角三角形的直角边为22(2－1)＝1－22. 所以正八边形的面积为12－4×12×(1－22)2＝1－2×(32－2)＝22－2.答：这个正八边形的边长为(2－1)dm ，面积为(22－2)dm 2.。
24.3正多边形和圆(教案)-2023-2024学年人教版数学九年级上册
1.理论介绍：首先，我们要了解正多边形和圆的基本概念。正多边形是各边相等、各角相等的多边形，圆是平面上所有与某一点距离相等的点的集合。它们在几何学中具有重要地位，广泛应用于日常生活和各类工程设计。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以正六边形为例，分析其与内切圆、外接圆的关系，以及如何计算其边长、面积等。
举例解释：
-正多边形的性质：通过具体的正三角形、正四边形等图形，让学生理解正多边形各部分之间的关系，如正四边形的对角线互相垂直且平分，四条边相等。
-正多边形与圆的关系：以正边长、中心角之间的关系，以及内切圆半径与边心距的关系。
-实际应用：给出一个正六边形，让学生计算其周长、面积以及内切圆和外接圆的半径，培养学生运用知识解决实际问题的能力。
举例解释：
-对称性：以正三角形为例，解释正多边形如何通过旋转和轴对称来保持不变，使学生理解对称性的概念。
-计算半径：对于正五边形，教师可以引导学生利用中心角和边长计算外接圆半径，通过勾股定理和三角函数计算内切圆半径。
-实际应用：在解决正六边形的问题时，教师可以指导学生先确定正多边形与圆的关系，然后选择合适的公式进行计算，培养学生解题的思路和方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正多边形和圆》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过正多边形和圆的组合形状？”（如硬币、花朵等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正多边形和圆的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正多边形的性质、正多边形与圆的关系这两个重点。对于难点部分，如计算内切圆、外接圆的半径，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
九年级数学人教版上册24.3正多边形和圆优秀教学案例
在实际教学过程中，我将以知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观为目标，设计丰富多样的教学活动和实例，引导学生积极参与，主动探究，使学生在掌握知识的同时，也能提高自身的综合素质和能力。同时，注重因材施教，关注每个学生的个体差异，充分调动学生的积极性和主动性，使每个学生都能在数学学科的学习中得到充分的发展和提高。
2.培养学生的动手操作能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.引导学生运用归纳、推理等方法，总结正多边形的性质和规律，培养学生的创新思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生独立思考、合作交流的习惯，提高学生的人际沟通能力和团队合作精神。
2.组织学生进行自我评价和同伴评价，让学生了解自己的学习成果和不足之处，提高学生的自我认知和评价能力。
3.教师对学生的学习情况进行总结和评价，关注学生的个体差异，给予有针对性的指导和鼓励，激发学生的学习动力和信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示各种正多边形的实物图片，如正方形、正三角形等，引导学生关注正多边形在现实生活中的应用。
2.问题导向与小组合作相辅相成：在教学过程中，教师引导学生提出问题并自主探究，通过小组合作的形式进行研究讨论。这样的教学方式既培养了学生的提问意识和自主学习能力，又提高了学生的团队合作和交流沟通能力。
3.反思与评价注重个体差异：教师在教学过程中注重引导学生进行反思和评价，关注学生的个体差异，给予有针对性的指导和鼓励。这种教学方式既激发了学生的学习动力，又培养了学生的自我认知和评价能力。
2.设计一个正多边形的拼图游戏，让学生在游戏中体会正多边形的性质和特点，激发学生的学习兴趣。
人教版九年级上册24.3正多边形和圆教学设计docx
九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对平面图形的性质和计算方法有了一定的了解。在此基础上，学生对正多边形和圆的学习将面临以下挑战：
1.学生在理解正多边形的性质和特征时，可能会对对称轴、对称中心等概念产生混淆，需要教师在教学过程中进行引导和梳理。
2.学生在运用圆的对称性质推导正多边形的性质时，可能会遇到一定的困难，需要教师在教学中注重数形结合，培养学生的空间想象能力。
2.圆的对称性质：讲解圆的对称性质，强调圆的半径、直径与圆周角的关系，为学生理解正多边形的对称性质打下基础。
3.正多边形与圆的关系：通过绘制正多边形和圆的图形，引导学生发现正多边形的外接圆、内切圆等关系，并总结正多边形与圆的性质。
4.计算方法：讲解正多边形和圆的周长、面积的计算公式，通过具体实例进行演示，让学生掌握计算方法。
2.引导学生运用数形结合的方法，将正多边形与圆的对称性质相结合，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.通过实际操作和练习，让学生掌握正多边形和圆的计算方法，培养学生的计算能力和解决问题的能力。
4.鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，培养学生的创新意识和实践生对几何图形的兴趣，培养学生的审美观念，提高学生对几何图形的欣赏能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.正多边形的性质和特征：如何引导学生理解和掌握正多边形的对称性质、对角线性质以及边角关系是教学的重点和难点。
2.圆的对称性质的应用：如何运用圆的对称性质来推导正多边形的性质，并能够灵活运用这一性质解决相关问题，是教学的难点。
3.正多边形和圆的计算：正多边形周长和面积的计算方法，以及圆的周长和面积的计算公式的运用，是学生需要重点掌握的技能。
6.拓展延伸，提升能力：设计具有一定挑战性的拓展练习，如正多边形密铺问题、圆形设计等，鼓励学生运用所学知识解决问题，提升学生的思维能力和创造力。
人教版数学九年级上册24.3 正多边形和圆教案
教学过程
1.导入新课
“同学们，我们今天要学习的内容是关于正多边形和圆的相关知识。在正式开始学习之前，我想请大家观察一下我们周围的物体，看看是否有圆和正多边形的影子。”
（4）让学生利用教具模型进行观察和操作，加深对正多边形和圆的理解。
（5）鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高学生的数学素养。
（6）建议学生在课后进行小组讨论，共同探讨正多边形和圆在现实生活中的应用，提高合作能力。
教学反思
今天讲授的是人教版数学九年级上册第24章《正多边形和圆》，这节课是九年级数学的重要内容，也是学生对几何图形认识的一次质的飞跃。在课后，我对本节课的教学进行了深刻的反思，有以下几点体会：
然而，我也发现了一些不足之处。在教学过程中，我发现部分学生在理解圆的定义和性质时存在一定的困难。对于这部分学生，我需要采取更加直观的教学方法，如利用实物模型、几何画板等教学媒体，帮助他们更好地理解圆的相关概念。此外，在课堂互动环节，我也要注意调动每一个学生的积极性，让每一个学生都能参与到课堂讨论中来，提高他们的合作能力。
5.课堂小结
“通过本节课的学习，我们了解了正多边形和圆的定义、性质和关系。希望大家能够将这些知识运用到实际生活中，不断提高自己的数学素养。”
（教师引导学生总结本节课6.课后作业
“请大家完成课后练习第2、3题，并预习下一节课的内容。”
（教师布置课后作业，为下一节课的学习做好铺垫。）
教学方法与策略
1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：本节课的教学方法主要包括讲授法、直观演示法、小组合作探究法和实践活动法。通过讲授法向学生传授圆和正多边形的基本性质，直观演示法帮助学生形成清晰的表象，小组合作探究法鼓励学生共同探讨问题，实践活动法让学生动手操作，加深对知识的理解。
人教版数学九年级上册24.3《正多边形和圆》教学设计
人教版数学九年级上册24.3《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版数学九年级上册第24.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了圆的概念和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解正多边形的定义、性质及其与圆的关系。
通过本节内容的学习，学生能够理解正多边形的对称性，掌握正多边形的计算方法，并为后续学习圆的周长、面积等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，逐步理解正多边形的性质，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握正多边形的定义、性质及其与圆的关系，能够运用正多边形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质及其与圆的关系。
2.难点：正多边形的计算方法及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现正多边形的性质及其与圆的关系。
2.案例分析法：通过分析实际问题，让学生学会运用正多边形的性质解决实际问题。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。
2.教学素材：准备一些关于正多边形的实际问题，用于巩固和拓展。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中常见的正多边形，如正方形、正三角形等，引导学生关注正多边形，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，引导学生通过观察、思考，发现正多边形的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析一些实际问题，运用正多边形的性质解决问题。
人教版数学九年级上册教学设计24.3《正多边形和圆》
人教版数学九年级上册教学设计24.3《正多边形和圆》一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版数学九年级上册第24章第三节的内容。
本节课主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，并能运用这些性质解决一些实际问题。
教材中提供了丰富的实例和图示，有助于学生直观地理解和掌握知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，逐步理解和掌握知识。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。
2.掌握正多边形与圆的关系。
3.能够运用正多边形的性质解决一些实际问题。
4.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.正多边形与圆的关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究，自主地学习和掌握知识。
2.利用多媒体辅助教学，展示正多边形的实例和图示，增强学生的直观感受。
3.采用小组合作学习的方式，鼓励学生互相交流、讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正多边形的实例和图示。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些正多边形的实例，如正方形、正三角形等，引导学生观察并思考：这些图形有什么特点？它们之间有什么联系？2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，以及正多边形与圆的关系。
通过图示和实例，让学生直观地理解和掌握知识。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个正多边形，分析其性质，并尝试用语言和图形表达出来。
然后，各组汇报自己的成果，其他组进行评价和补充。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、填空题和解答题，内容涉及正多边形的性质和与圆的关系。
5.拓展（10分钟）让学生思考：如何判断一个多边形是否为正多边形？引导学生运用已学的知识，探索和解决问题。
九年级数学人教版上册24.3正多边形和圆教学设计
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保解答过程正确、书写规范。
3.教师批改作业后，学生要认真对待反馈，及时改正错误，巩固知识点。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己的学习心得和作业成果。
4.通过正多边形在实际生活中的应用，让学生认识到数学与生活的紧密联系，增强学生学以致用的意识。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识和逻辑思维能力，他们已经熟悉了三角形、四边形等基本多边形的性质和计算方法。在此基础上，学习正多边形和圆的相关知识，对学生来说是几何学习的深入和拓展。学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，对新鲜事物充满探索欲望。因此，本章节的教学应注重激发学生的兴趣，引导他们通过观察、思考、实践，发现正多边形的规律和性质，提高学生的几何素养和解决问题的能力。同时，考虑到学生的个体差异，教学中应关注不同层次学生的需求，设置适宜的难度，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.小组合作：
-以小组为单位，讨论以下问题：正多边形与圆有哪些互为内外切的关系？这些关系在实际问题中如何应用？
-小组共同完成一份关于正多边形与圆的性质、应用的研究报告。
5.创新思维：
-鼓励学生运用正多边形的知识，设计一个独特的几何图案，并说明其寓意。
-学生可以尝试利用正多边形制作一个简易的装饰品或模型，培养动手能力和创新能力。
2.讨论主题：正多边形的性质、正多边形与圆的关系、正多边形周长与面积的计算方法等。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生发现规律，解答学生的疑问。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-基础题：计算给定正多边形的周长、面积。
人教版七年级数学上册24.3正多边形和圆教学设计
3.针对学生个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提高。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生独立思考和解决问题的能力，增强学生的自信心。
在教学过程中，教师应关注学生的学习需求，充分调动学生的积极性，使学生在轻松愉快的氛围中学习正多边形和圆的知识。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应引导学生：
1.通过观察、分析、归纳正多边形的性质，培养学生发现问题和解决问题的能力。
2.利用实际操作，如画图、测量等，让学生在实践中掌握正多边形的计算方法。
3.运用数形结合的思想，将正多边形与圆的知识相结合，培养学生的空间想象力和创新意识。
4.组织学生进行小组合作，讨论正多边形在实际生活中的应用，提高学生的团队协作能力。
2.学生在小组内积极讨论，互相交流想法，共同解决问题。
3.教师巡回指导，给予提示和帮助，引导学生深入探讨问题。
（四）课堂练习
1.教师布置一些与正多边形相关的练习题，包括计算题和应用题，让学生独立完成。
"请同学们运用我们刚才学到的知识，计算下面这个正六边形的周长和面积。"
2.学生认真作答，教师对学生的解答进行点评，针对共性问题进行讲解。
（2）已知正多边形的半径，求其周长和面积。
2.提高题：
（1）用圆规和直尺作一个正六边形。
（2）探讨平面图形镶嵌的条件，特别是正多边形在镶嵌中的应用。
3.实践应用题：
（1）在生活中找一个正多边形的实例，测量其边长、内角等数据，并计算出其周长和面积。
（2）设计一个由正多边形组成的镶嵌图案，要求美观、富有创意。
人教版九年级数学上册教案：24.3正多边形和圆课堂教学设计
3.教学评价设想：
-采用多元化评价方式，包括课堂提问、课后作业、小组讨论表现、小测验等，全面评估学生的学习效果。
-注重过程性评价，关注学生在探究活动中的表现，鼓励学生展示思考过程，而非仅仅关注答案的正确性。
-定期进行教学反思，根据学生的反馈调整教学策略，确保教学效果的最优化。
3.正多边形的构造和证明问题，需要学生具备较高的逻辑思维和几何直观。
-重难点突破设想：采用启发式教学，引导学生通过画图、猜想、验证的步骤，自己发现和总结构造方法，同时结合数学证明，强化逻辑推理训练。
（二）教学设想
1.教学方法设想：
-采用探究式学习，鼓励学生通过观察、实验、推理等手段自主探索正多边形和圆的性质。
-重难点突破设想：通过动态几何软件或实物模型演示，让学生直观感受正多边形与圆之间的关系，逐步引导学生发现并理解性质，通过例题讲解和练习巩固，加深对这一关系的认识。
2.正多边形和圆相关的计算问题是难点，尤其是涉及面积和周长的计算。
-重难点突破设想：设计不同难度的计算题，从基础计算入手，逐步提升至综合应用题，让学生在解决问题的过程中掌握计算方法，并通过错题分析，帮助学生理清思路，避免常见错误。
1.学生在空间想象能力上的差异，针对不同学生的认知特点，设计合适的教学活动，帮助学生在直观感知的基础上，逐步提升抽象思维能力。
2.学生在几何证明方面的能力参差不齐，需要针对这一点进行有针对性的指导，引导学生运用已掌握的几何知识，通过严密的逻辑推理，完成正多边形和圆的性质证明。
3.学生在解决实际问题时，可能难以将理论知识与生活实际相结合。教学中应注重培养学生的应用意识，引导学生将所学知识应用于解决生活中的问题。
3 正多边形和圆一等奖创新教案
3 正多边形和圆一等奖创新教案课题：24.3正多边形和圆学科：备课教师：授课年级：九年级教材分析本节课是新人教版九年级（上）第二十四章第三节的内容。
学生已经学习了圆和正多边形的相关知识，这些知识都将为本节的学习起着铺垫作用。
本课时内容也是将圆及正多边形知识的总结和深化,让学生再次体会了图形之间的密切联系，为以后学习空间与图形知识奠定基础,具有承上启下的作用.《新课标》对数学学习内容的要求是：现实的、有意义的、富有挑战性的.因此教材以生活中的正多边形引出正多边是实际生活的需要，进而由特殊到一般的介绍等分圆周是作正多边形的有效方法，通过练习操作掌握作图方法，符合学生的认知特点.学情分析数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
九年级的学生正处于思维能力培养的重要时期，他们已经具备一定的归纳、猜想能力，但个别学生在理解、应用上还须借助老师、同学的帮助，通过教师的指导和同伴的帮助，也会有所收获。
教师要给予个别关照以及适当的精神激励，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。
九年级学生的思维以形象型为主，具备了抽象思维能力；仍然在一定程度困扰有好奇、好动的习性依存，因此，教学中尽量采用问题诱导和直观演示帮助学生逐步实现“直观感知——操作确认——简单说理——实践应用”的攀升，使学生进一步加深对知识的理解.设计思路学生在前面的学习中已经掌握了圆和正多边形的相关性质，知道了圆和正多边形的关系非常密切.圆和正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形，并且以正五边形为例由特殊到一般的证明了将圆分成一些相等弧就可以得到它相应的内接正多边形.而且学生已经学习过用尺规作图的方法作角的平分线和线段的垂直平分线.但此班级的学生的基础薄弱，两极分化比较严重，所以有一些学生在寻求作图的方法、说明作图原理、进而准确作图时还会有一定的困难.教学准备教师：制作PPT学生：复习正多边形的概念，准备圆规、直尺、量角器。
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24.3 正多边形和圆教学内容1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．3．正多边形的画法．教学目标1．知识与技能了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重难点、关键1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．教学过程一、复习引入请同学们口答下面两个问题．1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF ，连结AD 、CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么肯定B 、C 、•D 、E 、F 都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF又∴∠A=12BCF=12（BC+CD+DE+EF ）=2BC ∠B=12CDA=12（CD+DE+EF+FA ）=2CD∴∠A=∠B同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 例1．已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM•中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距 221()2a a -=123aDEBAOM∴所求正六边形的面积=6×12×AB ×OM=6×12×a ×32a=323a 2现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB=3605︒=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=12AB ÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ）画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 三、巩固练习教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习． 四、应用拓展例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC 的边AB 上的高h ． （2）设DN=x ，且h DN NFh AB-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．hFDEC BANG分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．解：（1）由AB ·CG=AC ·BC 得h=8610AC BC AB ⨯==4.8 （2）∵h=h DN NFh AB-=且DN=x ∴NF=10(4.8)4.8x -则S 四边形DEFN =x ·104.8（4.8-x ）=-2512x 2+10x=-2512（x 2-12025x ）=-2512 [（x-6025）2-3600625] =-25x （x-2.4）2+12 ∵-25x （x-2.4）2≤0 ∴-25x（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，S DEFN 最大．（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3． ∴= ∵BM=1.85，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5∴AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:.cFD EC B AG此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系． 3．画正多边形的方法．4．运用以上的知识解决实际问题．六、布置作业1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．2．选用课时作业设计．课时作业设计一、选择题1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°(1) (2) (3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（） A．18° B．36° C．72° D．144°二、填空题1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．三、综合提高题1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．3．如图所示，正五边形ABCDE 的对角线AC 、BE 相交于M ． （1）求证：四边形CDEM 是菱形；（2）设MF 2=BE ·BM ，若AB=4，求BE 的长．答案:一、1．C 2．C 3．D 二、1．34πa 2 2．π 3．r 3r 60° 三、1．设BC 与⊙O 切于M ，连结OM 、OB ，则OM ⊥BC 于M ，3， 连OE ，作OE ⊥EF 于N ，则OE=OM=36a ，∠EOM=45°，OE=36a ， ∵EN=612a ，EF=2EN=66，∴S 正方形=16a 2． 2．设正六边形边长为a ，则圆O 半径为a ，由题意得：2πa=6π，∴a=3．如右图，设AB 为正六边形的一边，O 为它的中心， 过O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，.cD B A O则OD=r 6，•则∠DOA=1806︒=30°，AD=12AB=32， 在Rt △ABC 中，OD=r 6=332cm ，∴S=6·12ar 6=12×3×2×6=2722．3．略.。