2021届福建省厦门双十中学高三上学期期中考试数学理试题Word版含解析
2021届福建省厦门双十中学高三上学期期中考试
数学理试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合{|12},{|03}A x x B x x =-<<=<<,则A
B =( )
A .(1,3)-
B .(1,0)-
C . (0,2)
D .(2,3) 2.已知
11a
bi i
=-+,其中,a b 是实数,i 是虚数单位,则||a bi -= ( ) A .3 B . 2 C .5 D .5 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4518a a =-,则8S =( ) A .18 B .36 C .54 D .72 4.设,a b 是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是 ( )
A .存在唯一直线l ,使得l a ⊥,且l b ⊥
B .存在唯一直线l ,使得//l a ,且l b ⊥
C .存在唯一平面α,使得a α?,且//b α
D .存在唯一平面α,使得a α?,且b α⊥ 5. 已知命题:,23x x p x R ?∈<;命题32q :,1x R x x ?∈=-,则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ?∧ C .p q ∧? D .p q ?∧? 6. 已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图像与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等于π,则
()f x 的单调减区间是( )
A .2[,]()63k k k Z π
πππ+
+
∈ B .[,]()36k k k Z ππ
ππ-+∈
C .4[2,2]()33k k k Z ππππ++
∈ D .5[2,2]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈ 7. 如图,两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起,若AD AB k AC λ=+,则k λ+=( )
A .12+. 22.2 D .22
8. 已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数)为偶函数,记0.52(log 3),(log 5),c (2)a f b f f m ===,则,,a b c 的大小关系为( )
A .a b c <<
B .a c b <<
C . c a b <<
D .c b a << 9. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A .(4)33π+
B .(4)32π+
C .(4)36
π+ D .(4)3π+
10. 已知函数21
()(0)2
x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A .1(,
)e -∞ B .(,)e -∞ C .1(,)e e - D .1(,)e e
- 11. 已知函数()sin 2sin cos f x x x x =++,以下说法中不正确的是( ) A .()f x 周期为2π B .()f x 最小值为5
4
- C .()f x 为单调函数 D .()f x 关于点(,0)4
π
对称
12. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上取一点P ,以A 为球心,AP 为半径作一个球,设AP x =,记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ,则函数()f x 的图像最有可能的是( )
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知向量,a b 夹角为60,且||1,|2|7a a b =-=,则||b =_______.
14. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,()2,x f x =则4(log 9)f 的值为_______. 15. 已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n π,已知11212,2048m m m m a a a π-+-?==,则m =_______. 16. 如右图所示,在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A 处测得15DAC ∠=,沿山坡前进50m 到达B 处,又测得45DBC ∠=,根据以上数据计算可得cos θ=_______.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分10分)
在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A 的极坐标为(3,)2
π
,点B 的
极坐标为(6,)6
π
,曲线22:(1)1C x y -+=
(1)求曲线C 和直线AB 的极坐标方程;
(2)过点O 的射线l 交曲线C 于M 点,交直线AB 于N 点,若||||2OM ON =,求射线l 所在直线的直角坐标方程.
18. (本小题满分12分)
在数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且(1)
2n n n S +=,数列{b }n 的前n 项和为n T ,且2n n n
a b = (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)是否存在*,m n N ∈,使得n m T a =,若存在,求出所有满足题意的,m n ,若不存在,请说明理由. 19. (本小题满分12分)
在锐角ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知3
cos sin a b C B =+ (1)若2,7a b ==,求c ;
(2)设函数2330)2sin (15)y A C =---,求y 的取值范围. 20. (本小题满分12分)
如图,斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形,90ACB ∠=,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点,
且2BC CA ==
(1)求证:平面11ACC A ⊥平面11B C CB ;
(2)若二面角11B AB C --的余弦值为57
-,求斜三棱柱111ABC A B C -的高.
21. (本小题满分12分)
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ,上顶点为A ,短轴长为2,O 为原点,直线AF 与椭圆C
的另一个交点为B ,且AOF ?的面积是BOF ?的面积的3倍 (1)求椭圆C 的方程;
(2)直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,P Q 两点,若在椭圆C 上存在点R ,使OPRQ 为平行四边形,求m 取值范围.
22. (本小题满分12分) 已知函数1()(0)1ax
x f x e a x
-+=
>- (1)当2a =时,求曲线()y f x =在1
2
x =处的切线方程; (2)讨论方程()10f x -=根的个数.
2021届福建省厦门双十中学高三上学期期中考试
数学理试题参考答案
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A
D
D
C
B
A
A
C
C
B
C
B
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分). 13. 3 14. 1
3
- 15. 6 16. 31-
三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.
依题意得
3
2cos 2tan 3sin ααα
?=?=.…………8分 所以射线l 所在直线的直角坐标方程为3y x =…………10分 18.
(1)当1n =时111a S == 当2n ≥时1(1)(1)
22
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-= 经验证,11a =满足上式,故数列{}n a 的通项公式n a n =;…………6分
(2)由题意,易得231232222n n n T =++++,则234+1112322222
n n n
T =++++, 两式相减得234+1+1111231122222222n n n n n n T =++++-=--,所以2
22
n n n T +=-…………10分
由于2n T <,又2
212
n n m m +-=∴=,解得2n =.…………12分
19.
(1) cos sin sin sin cos a b C B A B C B =+
∴=+;
cos sin tan 3
B C B B B π
∴=
∴==…………4分 22222cos 2303b a c ac B c c c =+-∴--=∴=…………6分
(2)
23sin(230)2sin (15)3sin(230)12cos(230)y A C A C =---=--+-
30)cos(2102)13sin(230)cos(230)13sin(260)1A A A A A =-+--=----=--……10分
又ABC ?为锐角三角形,(,)(1,1]62
A y ππ
∴∈∴∈-.…………12分
20.
(1)取BC 中点M ,连接1B M ,则1B M ⊥平面ACB ∴1B M AC ⊥…………1分 又AC BC ⊥,且1B M
BC M AC =∴⊥平面11B C CB
因为AC ?平面11ACC A ,所以平面11ACC A ⊥平面11B C CB ;…………4分
(2)以CA 为ox 轴,CB 为oy 轴,过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴,建立空间直角坐标系…………5分
2CA BC ==,设1B M t =,则11(200),(020),(010),(01,),C (0,1,t)A B M B t -,,,,,,,…………6分
即111(21,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB B C =-=-=-, 设面1AB B 法向量111
(,,)(1,1,)n x y z n t
=∴=…………8分 面11AB C 法向量21(,,)(,0,1)2
t n x y z n =∴=…………10分
125
cos ,7
n n t <>=-∴.…………12分
21.
(1) 短轴长为2,可得1b =,即(0,1)A ,设(,0),(,)F c B x y
AOF ?的面积是BOF ?的面积的3倍,即为11
13||22
c c y ?=??
可得1
3
y =-,由直线:1x AF y c =-
+经过B 可得43x c =,即41
(,)33
B c -,代入椭圆方程可得 22
161199c a +=即为222a c =,即有22
22a b ==,则椭圆C 的方程为2212
x y +=;…………4分 (2)设1122(,),(,)P x y Q x y ,由OPRQ 为平行四边形可得1212,R R x x x y y y +=+=
R 在椭圆C 上可得
22
1212()()12x x y y +++=,即为221212()((x )2m)12
x x k x ++++= 化为2221212(12)()8()82k x x km x x m +++++=…………6分
由2
212
x y +=,y kx m =+可得222(12)422k x kmx m +++=,由0?>即为2212k m +> 122
412km
x x k +=-+…………8分
代入可得22222
44(12)()8()821212km km
k km m k k
+-+-+=++,化为221240k m m +=?≠…………10分 又221241k m +=≥,解得12m ≥或12m ≤-,则m 取值范围是11
(,][,)22
-∞-+∞.…………12分
22.
(1)当2a =时,21()1x x f x e x -+=-又222
2()(1)
x x f x e x -'=- 1111()2,()322f e f e --'∴==故所求切线方程为;11122
32(),2y e e x y x e e
---=-=+
(2) 方程()10f x -=即()1f x =,()f x 的定义域为(,1)
(1,)-∞+∞
当11x x <->或时,易知()0f x <,故方程()10f x -=无解,故只需考虑11x -≤<的情况
设22
2()()1,()(1)ax ax a g x f x g x e x -+-'=-=-,令()0
g x '>得2
20ax a +->,又220a a x a ->∴> 当02a <≤时,()0g x '≥所以()g x 在区间[-1,1)
上是增函数,又(0)0,()0g g x =∴=,只有一个根0
当2a >时,由()0f x '>得x x <>
又11x -≤<,所以()g x 在[1,-和递增,在(递减
(1)10g -=-<,()g x 在(递减(g(0)0g ∴>=
又()g x 在[1,-递增,()0g x ∴=在[1,-有一个根
()g x 在(递减(g(0)0g(0)0g g ∴>=<=,
()0g x ∴=在(有一个根0
g(0)0,1,()g x g x <=→→+∞,又()g x 在递增
()0g x ∴=在有一个根 综上所述,当02a <≤时方程()10f x -=有一个根,当2a >时方程()10f x -=有三个根.