二次函数与圆结合的压轴题

二次函数和圆

【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k

y x

=

(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．

(1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．

【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32

y x =-+

与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；

（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；

（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，

0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ．

（1）求直线CB 的解析式；

（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x

轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？

（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC 相似？直接写出两组这样的点．

【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于

C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于

D ，抛物线的顶点为

E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例题5】（南充市）25.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已

知抛物线2

16

y x bx c =

++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

（2）点Q （8，m ）在抛物线21

6

y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的

最小值．

（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【例题6】(山西省临汾市)26. 如图所示，在平面直角坐标系中，

M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分

别相交于(60)(08)A B --，，，两点．

（1）请求出直线AB 的函数表达式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；

（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D E ，两点，在抛物线上是否存在点P ，使得1

15PDE ABC S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例题7】在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC

交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求

x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

【例题8】如图，点P 在y 轴上，半径为3的⊙P 分别交x 轴于A 、B 两点，AB=4，交y 轴负半轴于点C ，连

接AP 并延长交⊙P 于点D ，过D 作⊙P 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ； （1）求直线FG 的解析式；

（2）连接CD 交AB 于点E ，求PCD ∠tan 的值；

（3）设M 是劣弧BC 上的一个动点，连接DM 交x 轴于点N ，问：是否存在这样的一个常数k ，始终满足

AN ·AB+DN ·DM=K ，如果存在，请求出K 的值，如果不存在，请说明理由；

A M

B

x

y

O

D

E

A B C D

E

x

y

M O A B C M N D

图 2 O A B

C

M N P

图 1 O A B C M

N 图 3

O