【人教a版】高中数学：第一讲1127.4直角三角形的射影定理
高中数学第一讲四直角三角形的射影定理学案含解析新人教A版选修4
四角三角形的射影定理1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.射影定理的有关计算如图，在Rt，求CD，AC，BC的长．在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD，AC，BC的长分别为2 3 cm,4 cm，4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3， 得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x . 因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， 所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ， 所以BC ＝12m .又因为CD ⊥AB ， 所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m .所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316 m 2，得CD ＝34m . 因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m .2．已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长． 解：(1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2. ∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).利用射影定理证明如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A 作AH ⊥BC 于H . 则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC .而DE ＝GF ＝EF ，∴EF 2＝BE ·FC .4.如图，已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形， 求证：DE ⊥DF . 证明：在Rt △ABC 中，AC 2＝CD ·CB ，AB 2＝BD ·BC ，AD 2＝CD ·BD . 所以AC AB＝CD BD＝ CD 2CD ·BD＝CD 2AD 2＝CD AD ＝AD BD. 因为AC ＝AE ，AB ＝BF ， 所以AE BF ＝ADBD.又∠FBD ＝60°＋∠ABD ，∠EAD ＝60°＋∠CAD ，∠ABD ＝∠CAD ， 所以∠FBD ＝∠EAD ， 所以△EAD ∽△FBD . 所以∠BDF ＝∠ADE .所以∠FDE ＝∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BDF ＝90°. 所以DE ⊥DF .课时跟踪检测(五)一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图，∵∠A ＝∠A ， ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，∴AD AB ＝DEBC， ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)． 2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45.3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)， 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的长是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：选B ∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠AEB ＋∠DEF ＝90°.因为∠DEF ＋∠DFE ＝90°，所以∠AEB ＝∠DFE . 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝________.解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD. 又∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD.∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝6262－3.623.62＝64. ∴BC ＝8. 答案：8 三、解答题8．如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．解：在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8， 满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ， ∴CD ＝92.9.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF . 证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图， 设CD ＝3x ，BD ＝5x ， 则BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F ， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理，BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.。
人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第一讲四直角三角形的射影定理
庖丁巧解牛知识·巧学一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-2，AB 在AC 上的射影是线段AC ；BC 在AC 上的射影是点C ；AC 、BC 在AB 上的射影分别是AD 、BD ，这样，Rt △ABC 中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC 、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD 、BD).图1-4-2二、直角三角形的射影定理由于角之间的关系，图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系，于是Rt △ABC 的六条线段之间存在着比例关系.△ACD ∽△CBD,有BDCD CD AD =，转化为等积式，即CD 2=AD·BD ； △ACD ∽△ABC,有ACAD AB AC =，转化为等积式，即AC 2=AB·AD ； △BCD ∽△BAC,有BC BD BA BC =，转化为等积式,即BC 2=BA·BD. 用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.联想发散 这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 上的高.已知AD ＝4，BD ＝9，就可以求CD 、AC.由射影定理，得CD 2=AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以CD ＝6,AC 2=AD·AB=4×(4＋9)＝52.所以AC ＝132.我们还可以求出BC 、AB,以及△ABC 的面积等.问题·探究问题1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，那么AC 2＋BC 2=AB 2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？图1-4-3思路:将射影定理产生的式子AC 2=AB·AD 和BC 2=BA·BD 左右两边分别相加.探究:如图1-4-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 上的高.应用射影定理，可以得到AC 2＋BC 2＝AD·AB ＋BD·AB=(AD ＋BD)·AB=AB 2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度. 问题2 几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形.这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门呢？你能举例说明吗？ 思路:从所给图形中分离出基本图形，利用基本图形写出结论.探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路.这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:(1)在图1-4-4(c)中，求证:CF·CA=CG·CB.(2)在图1-4-4(a)中，求证:FG·BC=CE·BG.(3)在图1-4-4(d)中，求证:①CD 3=AF·BG·AB ；②BC 2∶AC 2=CF ∶FA;③BC 3∶AC 3=BG ∶AE.就可以这样来思考:图1-4-4在第(1)题中，观察图形则发现分别使用CD 2=CF·CA 和CD 2=CG·CB 即可得到证明. 第(2)题可用综合分析法探求解题的思路:欲证FG·BC=CE·BG ，只需证BCCE BG FG ，而这四条线段分别属于△BFG 和△BEC ，能发现这两个三角形存在公共角∠EBC ，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.或者在图1-4-4(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“Rt △ADE 中DG ⊥BE”及“Rt △BDC 中DF ⊥BC”，在两个三角形中分别使用射影定理中的BD 2进行代换，得到BG·BE=BF·BC ，化成比例式后，可用“两边对应成比例，夹角相等”来证明含有公共角∠EBC 的△BFG 和△BEC 相似.你可以尝试着自己分析第(3)小题.典题·热题例1如图1-4-5(a)中，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F 、G 分别为垂足.求证:AF·AC=BG·BE.思路分析：从图1-4-5中分解出两个基本图形145(b)和(c)，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图1-4-5(b)和(c)中的射影定理:AF·AC=AD 2，BG·BE=DB 2，通过代换线段的平方(AD 2=DB 2)，就可以证明所要的结论.图1-4-5证明：∵CD 垂直平分AB ，∴△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且AD=BD.又∵DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，∴AF·AC=AD 2，BG·BE=DB 2，∵AD 2=DB 2,∴AF·AC=BG·BE.深化升华 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形的剖析.例2如图1-4-6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证:△CEF ∽△CBA.图1-4-6思路分析：要证明△CEF ∽△CBA ，题设中已具备了∠BCA=∠ECF ，再找出一对角相等就不太容易了，因此，考虑证明∠BCA 与∠ECF 的夹边成比例，即CACF CB CE =，即证CE·CA=CF·CB ，再从已知条件出发考虑问题，在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ，根据定理能推出CD 2=CE·CA ，同理可得CD 2=CF·CB,这样，CE·CA=CF·CB ，问题就能得证.证明：∵△ADC 是直角三角形，DE ⊥AC ，∴CD 2=CE·CA.同理，可得CD 2=CF·CB.∴CE·CA=CF·CB,即CACF CB CE =. 又∵∠BCA=∠ECF ，∴△CEF ∽△CBA.深化升华 当题目中缺少角相等时，应该考虑利用相等的角的两边对应成比例，即及时转换解题思路，而不能只想到找两对角相等，因为我们还有其他的判定定理.例3如图1-4-7，已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证:AE·BF·AB=CD 3.图1-4-7思路分析：分别在三个直角三角形Rt △ABC 、Rt △ADC 、Rt △BDC 中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明.证明：∵Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴CD 2=AD·BD.∴CD 4=AD 2·BD 2.又∵Rt △ADC 中，DE ⊥AC ，Rt △BDC 中，DF ⊥BC ，∴AD 2=AE·AC ，BD 2=BF·BC.∴CD 4=AE·BF·AC·BC.又∵AC·BC=AB·CD ，∴CD 4=AE·BF·AB·CD.∴AE·BF·AB=CD 3.例4如图1-4-8，在△ABC 中,D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC.图1-4-8思路分析：由数形结合易知△ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在△BDC 中，且BD ＝DC ＝1，即△BDC 是等腰三角形.因此，可以过D 作DE ⊥BC ，拓开思路.由于DE 、AF 都垂直于BC ，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.解：在△ABC 中，设AC 为x ，∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理,得AC 2=FC·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理,得AF 2=BF·FC=(BC-FC)·FC ，即AF 2=x 2-1.∴AF=12-x .在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ，∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴AC DC AF DE =.∴DE=xx AC AF DC 12-=•. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2=DC 2， 即(x x 12-)2＋(22x )2=12,∴41222x x x +-=1. 由ACDC AF DE =,DE=xx AC AF DC 12-=•,整理得x 6=4. ∴x=32.∴AC=32.深化升华 本题体现了对基本图形、基本性质的综合应用.还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.。
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
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图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
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1.4-直角三角形的射影定理-教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 在△ABC 中，设 AC 为 x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1， 根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC.
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题型一 射影的概念 【例1】 如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些 点或线段的端点，作BC边的垂线．
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解 由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上 的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E； AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射 影是DE，FG在BC上的射影是点E. 反思感悟 求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂 足间的线段就是所求射影．
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名师点睛 1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的
高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量， 还可研究相似问题、比例式等问题．
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2．直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项， 那么这个三角形是直角三角形． 符 号 表 示 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， CD⊥AB 于 D ， 若 CD2 ＝ AD·BD，则△ABC为直角三角形． 证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝ AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD ＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋ ∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．
高中数学 第一讲 四 直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修4-1
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， 则有CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB.
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形， 且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2， BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF·AC＝BG·BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求 解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中 分离出基本图形进行求解或证明．
所以BC＝12m.
又因为CD⊥AB，
所以BC2＝BD·AB，
即12m2＝BD·m.所以BD＝14m.
AD＝AB－BD＝m－14m＝34m.
由CD2＝AD·BD＝34m·14m＝136 m2，
得CD＝
3 4
m.
因此，BD的长是14m，CD的长是 43m.
2．已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC， BC的长度比为AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的长． 解：(1)∵AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝ABCC22. ∴ABDD＝ABCC2＝342＝196. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，
高中数学 直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修4
又 CD 2 AD DB , AD : CD CD : DB
CDA ∽ BDC CAD BCD 在ACD中， CAD ACD 90 0 BCD ACD 90 0 BCD ACD ACB 90 0 ABC 是直角三角形
二、新课教学
1.想一想：
直角三角形的射影定理
2.射影的定义：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上 C .A 的影子应是什么？ 点A B （2）线段留在MN上的影子是什么？ M N D 点或线段 B A B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，A
B 之间的线段 AB 叫做线段AB在 l 垂足 A，
AC CD AD CD 2 BD AD ACD∽ CBD CB BD CD
ACBC CDAB
B D BC是BD,AB的比例中项； AC是AD,AB的比例中项； CD是BD,AD的比例中项。
用文字如何叙述？
AC 2 AD AB 2 CD AD DBA
2 2
2
利用勾股定理证明射影定理:
AB2 =(AD＋DB) 2 =AD 2＋2AD · DB ＋DB2 =(AC2-CD2)+ 2AD · DB +(BC2-CD2)=
C
AC2+BC2+2(AD · DB - CD2)
AB2 = AC2 ＋BC2 AD · DB - CD2 =0
A
D
B
CD2 = AD · DB
如图， ABC 中，C
C
90, CDAB.
由直角三角形相似的判定方法，得
ADC ∽ ACB
A
同理，得： D
△CDB
B
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思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
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研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
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考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
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2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
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教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
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∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
高二数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
1.射影 从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.
一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在 这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
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作用 确定成比例的线段
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名师点拨(1)勾股定
理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.
(2)面积关系:AC·B
C=AB·CD=2S△ABC,
=
22052=16,∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= ������������·������������ = 16 × 9=12.
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2
3
S 随堂练习 UITANG LIANXI
4
5
1.线段 MN 在直线 l 上的射影不可能是(
S 随堂练习 UITANG LIANXI
【典型例题 1】如图,在△ABC 中,D,F 分别在 AC,BC 上,且 AB⊥AC,AF ⊥BC,BD=DC=FC=1,求 AC.
探究一
探究二
探究三
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人教A版高中数学选修4-1课件第一讲四直角三角形的射影定理(共18张PPT)
考点二 利用射影定理解决证明问题 例2 如图所示， CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上， DF⊥ AC， DG⊥ BE， F、 G 分别为垂足． 求证： AF· AC＝ BG · BE.
【证明】 因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均 为直角三角形，并且 AD＝ BD. 又因为 DF⊥ AC， DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG · BE＝DB2. 因为 AD2＝ DB2，所以 AF· AC＝BG · BE. 【名师点评】 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
四
直角三角形的射影定理
新知初探思维启动
1．射影的有关概念 (1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线 正射影 ． 上的_________ (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这 正射影 ． 条线段在直线上的_________
射影 ． (3)点和线段的正射影简称为______
类问题时，一定要注意对图形进行剖析．
跟踪训练 2.如图所示，Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥ AB 于 D，DE ⊥AC 于 E， DF⊥BC 于 F，求证： AE· BF· AB＝ CD3.
证明：因为在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90° ， CD⊥ AB， 所以 CD2＝ AD· BD，所以 CD4＝ AD2· BD2. 又因为在 Rt△ ADC 中， DE⊥ AC， 在 Rt△ BDC 中， DF⊥ BC， 所以 AD2＝ AE· AC， BD2＝ BF· BC. 所以 CD4＝ AE· BF· AC· BC. 又因为 AC· BC＝ AB· CD， 所以 CD4＝ AE· BF· AB· CD . 所以 AE· BF· AB＝ CD3.
第1讲4直角三角形射影定理
四直角三角形的射影定理1. 认识射影定理的推导过程．课标解读2. 会用射影定理进行有关计算与证明.1．射影(1) 点在直线上的正射影：从一点向向来线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比率中项．(2)图形语言如图 1－ 4－ 1，在 Rt△ ABC中， CD为斜边 AB 上的高，2则有 CD＝AD·BD.AC2＝AD·AB.BC2＝BD·AB.1．怎样使用射影定理【提示】运用射影定理时，要注意其建立的条件，要联合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接运用，有时也可经过作垂线使之知足定理的条件，在办理一些综合问题时，经常与三角形的相像相联系．2．怎样用射影定理证明勾股定理【提示】以下图，在 Rt △ ABC中， AC⊥ CB， CD⊥ AB 于 D，则由射影定理可得22AC＝AD·AB， BC＝BD·BA，222则 AC＋ BC＝AD·AB＋BD·BA＝ (AD＋BD)·AB＝ AB ，222即 AC＋ BC＝AB.因而可知，利用射影定理能够证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，此刻我们又用射影定理证明勾股定理，并且这类方法简捷明快，比面积法要方便得多．3．直角三角形射影定理的逆定理是什么怎样证明【提示】直角三角形射影定理的逆定理：假如一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比率中项，那么这个三角形是直角三角形．2符号表示：如图，在△ABC中， CD⊥ AB于 D，若 CD＝AD·BD，则△ ABC为直角三角形．证明以下：∵CD⊥AB，∴∠ CDA＝∠ BDC＝90°，2又∵ CD＝AD·BD，即AD∶ CD＝ CD∶ BD，∴△ ACD∽△ CBD，∴∠ CAD＝∠ BCD.又∵∠ ACD＋∠ CAD＝90°，∴∠ ACB＝∠ ACD＋∠ BCD＝∠ ACD＋∠ CAD＝90°，即△ ABC为直角三角形．与射影定理有关的计算已知：CD是直角三角形ABC斜边 AB 上的高，假如两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝ 3∶4.求： (1)AD ∶ BD的值；(2) 若 AB＝ 25 cm ，求 CD的长．【思路研究】先依据 AC∶ BC与 AD∶ BD之间的关系求出AD∶ BD的值；再依据斜边AB的长及 AD∶BD的值分别确立 AD与 BD的值．最后由射影定理2CD＝AD·BD，求得 CD的长．【自主解答】22(1) ∵AC＝AD·AB， BC＝BD·AB，AD ·AB2AC，∴BD ·AB ＝BC2AD AC 2 3 2＝9∴ ＝() ＝ () ，BDBC416即 AD ∶BD ＝ 9∶ 16.(2) ∵ AB ＝ 25 cm ， AD ∶ BD ＝ 9∶ 16，9∴ AD ＝25×25＝ 9(cm) ．16BD ＝ 25×25＝ 16(cm) ，∴ CD ＝ AD ·BD ＝ 9×16＝ 12(cm) ．1．解答此题 (1) 时，重点是把AD AC 2 转变为 () .BDBC2．解此类题目的重点是频频利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度．在解题时，重要抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最后目的．图 1－ 4－2如图 1－ 4－ 2，在 Rt △ ABC 中， CD 为斜边 AB 上的高，若 AD ＝ 2 cm ， DB ＝6 cm ，求 CD ，AC ， BC 的长．2【解】∵ CD ＝AD ·DB ＝2×6＝ 12，∴ CD ＝ 12＝ 2 3(cm) ．2∵ AC ＝AD ·AB ＝2×(2 ＋ 6) ＝ 16，∴ AC ＝ 16＝ 4(cm) ．2∵ BC ＝BD ·AB ＝6×(2 ＋ 6) ＝ 48，∴ BC ＝ 48＝ 4 3(cm) ．故 CD 、AC 、 BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,43 cm.与射影定理有关的证明图 1－ 4－3已知如图 1－ 4－ 3，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于 D ， DE ⊥ AC 于 E ， DF ⊥ BC 于 F.求证： 3CD ＝AE ·BF ·AB.【思路研究】 ∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB →CD 2＝AD ·DB →CD 3＝AE ·BF ·AB.【自主解答】∵∠ BCA ＝90°， CD ⊥ BA ，2∴ CD ＝AD ·BD.又∵ DE ⊥ AC ， DF ⊥ BC ，22∴ AD ＝AE ·AC ， BD ＝BF ·BC ，422∴ CD ＝ AD ·BD ＝AE ·AC ·BF ·BC ＝AE ·BF ·AC ·BC.11而 S △ ABC ＝ 2AC ·BC ＝ 2AB ·CD ，4∴ CD ＝AE ·BF ·AB ·CD. 3即 CD ＝AE ·BF ·AB.1．解答此题的重点是利用 S ＝2AC ·BC ＝ 2AB ·CD 进行转变．△ABC112．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来结构比率线段，进而为证明三角形相像创建条件．3DEAE在本例条件不变的状况下，求证：DF 3＝ BF .【证明】依据题意可得， DE ＝ CF ， CE ＝ DF ，2DE ＝AE ·CE ， DF 2＝BF ·CF ，2 2∴ DE ·BF ·CF ＝ DF ·AE ·CE ， 33∴ DE ·BF ＝ DF ·AE ，3DE AE即 DF 3＝ BF .( 教材第 22 页习题第 1 题 ) 在△ ABC中，∠ C＝90°， CD是斜边 AB上的高，已知CD＝60， AD＝ 25，求 BD， AB，AC， BC的长．(2018 ·商丘模拟) 如图1－ 4－4，已知Rt △ ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ ______cm.图 1－ 4－4【【分析】连结 CD，则 CD⊥ AB.由 AC＝3cm， BC＝ 4cm得 AB＝ 5cm.2由射影定理得BC＝BD·BA，即 42＝ 5BD.16因此 BD＝5 cm.16【答案】51.如图1－4－5，在Rt△ ABC中，AC⊥ CB，CD⊥AB于D且CD＝4，则AD·DB＝() A． 16B． 4C． 2D．不确立图 1－ 4－5【分析】 由射影定理 22AD ·DB ＝ CD ＝ 4 ＝ 16. 【答案】A2．已知：在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是 AB 边上的高， BC ＝ 15 cm ，BD ＝ 3 cm ，则 AD 的长是 () A ． 5 cm B ． 2 cm C ． 6 cmD ． 24 cm【分析】 2∵ BC ＝BD ·AB ，∴ 15＝3AB ，即 AB ＝ 5，∴ AD ＝AB － BD ＝ 5－ 3＝ 2(cm) ．【答案】 B3. 如图 1－ 4－ 6 所示，在Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于点 D ， CD ＝ 2， BD ＝ 3，则 AC ＝________.图 1－ 4－6【分析】24 由 CD ＝BD ·AD 得 AD ＝ ，34 13∴ AB ＝BD ＋ AD ＝ 3＋ 3＝ 3 ，24 13 ＝ 52∴ AC ＝AD ·AB ＝ ×3，3 92∴ AC ＝3 13.2 13【答案】34．一个直角三角形两条直角边的长分别为1 cm 和 5 cm ，则它们在斜边上的射影比为________．【分析】如图，在Rt △ ACB 中，∠ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于D ，AC ＝ 1 cm ， BC ＝5 cm ，2∵ AC ＝AD ·AB ＝ 21， BC ＝BD ·AB ＝5，AD1∴＝ .BD5【答案】1∶ 5一、选择题1．△ ABC中，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB于 D， AD＝ 3，BD＝ 2，则 AC∶BC的值是 () A． 3∶2B．9∶4∶2∶3【分析】如图，在 Rt △ ACB中， CD⊥ AB，由射影定理知2AC＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵ AD＝ 3， BD＝ 2，∴ AB＝ AD＋ BD＝5，22∴ AC＝3×5＝ 15， BC＝2×5＝ 10.AC153∴ ＝10＝，即 AC∶ BC＝ 3∶ 2，BC2应选 C.【答案】C2.图 1－ 4－7如图 1－ 4－ 7 所示，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB， D为垂足，若CD＝ 6， AD∶ DB＝ 1∶ 2，则 AD的值是 ()A．6B．32C．18 D ．36AD＝ 1，【分析】由题意知DB2AD·DB＝ 36，2∴ AD＝ 18，∴ AD＝3 2.【答案】B3．在 Rt △ ABC中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC于点 D，若AC3，则BD＝等于() AB4CD【分析】如图，由射影定理，得22＝BD·BC，AC＝CD·BC， AB2AC CD3∴2＝＝( )2，ABBD4即CD9，∴BD16＝16＝ . BD CD9【答案】C4．在 Rt △ ACB中，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB于 D，若 BD： AD＝ 1：4，则 tan ∠ BCD的值是 () 1A.D． 242【分析】如图，由射影定理得CD＝AD·BD，又∵ BD： AD＝ 1： 4，令 BD＝x，则 AD＝ 4x(x>0) ．22，∴ CD＝AD·BD＝ 4x，∴ CD＝ 2xBD x1在 Rt △CDB中， tan ∠BCD＝＝＝.CD 2x2【答案】C二、填空题图 1－ 4－85．如图 1－ 4－ 8，在矩形ABCD中， AE⊥ BD， OF⊥∶ EB＝ 1∶ 3，OF＝ a，则对角线BD的长为________ ．【分析】∵ OF＝ a，∴AD＝2a，∵AE⊥BD，2∴ AD＝DE·BD.1∵DE∶EB＝ 1∶ 3，∴ DE＝4BD，21∴AD＝4BD·BD.222＝ 16a 2，∴ BD＝4a.∴ BD＝ 4AD＝4×4a【答案】4a6．已知在梯形ABCD中， DC∥ AB，∠ D＝90°， AC⊥BC，AB＝ 10 cm，AC＝ 6 cm，则此梯形的面积为________．【分析】如图，过 C 点作 CE⊥ AB于 E.在 Rt △ACB中，∵AB＝10 cm ， AC＝ 6 cm，∴ BC＝8 cm，∴ BE＝6.4 cm ， AE＝3.6 cm.∴CE＝错误 ! ＝ (cm) ，∴AD＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD中， CE⊥ AB，∴DC＝AE＝ 3.6 cm.∴ S 梯形ABCD＝10＋×＝ (cm2) ．2【答案】32.64 cm2三、解答题7．已知直角三角形周长为 48 cm ，一锐角均分线分对边为3∶5两部分 .(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【解】(1) 如图，设CD＝ 3x， BD＝ 5x，则 BC＝ 8x，过 D 作 DE⊥ AB，由题意可得，DE＝ 3x， BE＝ 4x，∴AE＋AC＋ 12x ＝ 48.又 AE＝AC，∴AC＝24－ 6x， AB＝24－ 2x，∴(24 －6x) 2＋ (8x) 2＝ (24 － 2x) 2，解得： x1＝0( 舍去 ) ， x2＝ 2，∴AB＝20， AC＝ 12，BC＝ 16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2) 作 CF⊥ AB于 F，2∴ AC＝AF·AB，2236AC 12∴ AF＝AB＝20＝5 (cm) ；216264BC同理： BF＝AB＝20＝5 (cm) ．3664∴两直角边在斜边上的射影长分别为5 cm，5 cm.图 1－ 4－98．如图 1－ 4－ 9， Rt△ ABC中有正方形DEFG，点 D、 G 分别在 AB、 AC上， E、 F 在斜边 BC 上，求证： EF2＝BE·FC.【证明】如图，过点 A 作 AH⊥ BC于 H.∴DE∥AH∥ GF.DE BE∴＝，AH BHGF FC＝.AH CHDE·GF BE·FC∵2＝.AH BH·CH2又∵ AH＝BH·CH，∴ DE·GF＝BE·FC.而 DE＝GF＝ EF. ∴ EF2＝BE·FC.图 1－4－109．如图 1－ 4－10，已知： BD， CE是△ ABC的两条高，过点 D 的直线交BC和 BA的延伸线于G、H，交 CE于2F，且∠ H＝∠ BCF，求证： GD＝GF·GH.【证明】∵∠ H＝∠ BCE，∠ EBC＝∠ GBH，∴△ BCE∽△ BHG，∴∠ BEC＝∠ BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在 Rt △ BCD中，2由射影定理得，GD＝BG·CG.①∵∠ FGC＝∠ BGH＝90°，∠ GCF＝∠ H，∴△ FCG∽△ BHG，FG CG∴＝，BG GH∴BG·GC＝GH·FG.②2由①②得， GD＝GH·FG.10.以下图，在△ABC中， AD为 BC边上的高，过 D 作 DE⊥ AB，DF⊥ AC， E， F 为垂足．求证：(1)AE ·AB＝AF·AC；(2) △ AEF∽△ ACB.【证明】(1) ∵ AD⊥BC， DE⊥ AB， DF⊥ AC，在 Rt △ABD中，由射影定理得22AD＝AE·AB，在 Rt△ ADC中，由射影定理得AD＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC. (2) ∵AE·AB＝AF·AC，AE AF∴＝.AC AB又∵∠ EAF＝∠ CAB，∴△ AEF∽△ ACB.。
人教版高中数学选修第一讲1.4直角三角形的射影定理ppt课件
得 AC2＝FC· BC，即 BC＝x2. 再由射影定理， 得 AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· 即 AF2＝x2－1.
2 2 2
所以∠ADB＝90°，即 AD⊥BC. 又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°， 所以∠C＋∠B＝90°.所以∠BAC＝90°. 所以在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，
由射影定理可知，AD2＝BD· CD， 9 所以 6 ＝8×CD，所以 CD＝ . 2
2
归纳升华 1． 已知三角形是直角三角形， 或者三角形中有直角、 垂线等，是在直角三角形中应用射影定理必需的条件． 2．遇已知圆有直径时，直径所对圆周角是直角，因 此圆中有关计算问题也常常考虑应用射影定理．
直角三角形斜边上的高． 有时需要作出斜边上的高， 才能 应用射影定理．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在△ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD ⊥ AB ， 则 CD2 ＝ AD· DB.( ) (2) 在 △ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD ⊥ AB ， 则 AC2 ＝ AD· DB.( ) (3) 在 △ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD⊥AB ， 则 BC2 ＝ BD· AD.( )
只需再求出 AD 的长．
2 2 CD 2 4 2 又因为 CD ＝BD· AD，所以 AD＝ BD ＝ ＝ . 3 3
52 4 4 所以 AC ＝ ×3＋3＝ . 3 9
2
52 2 13 故 AC＝ ＝ . 3 3 答案：C
4．在△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，AD ＝6， BD＝12， 则 CD＝________， AC＝__________， AB2∶ AC2＝__________．
高中数学第一讲四直角三角形的射影定理创新应用教学案新人教A版选修.doc
四角三角形的射影定理[对应学生用书P14]1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.[对应学生用书P14][例1] 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解] ∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得BC2＝BD·AB，∴BC＝BD·AB＝4×29＝229.又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.且AC2＝AB2－BC2，∴AC＝AB2－BC2＝292－4×29＝529.∵CD2＝AD·BD，∴CD＝AD·BD＝25×4＝10.2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25 cm，求CD的长．解：(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD·AB BD·AB＝AC2BC2.∴ADBD＝(ACBC)2＝(34)2＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).[例2] 如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明] ∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．求证：CA·CD＝BC·AD.证明：由射影定理知：CD2＝AD·BD，CA2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∴CA·CD＝AD2·BD·AB＝AD·BD·AB，BC·AD＝AD·AB·BD.即CA·CD＝BC·AD.4．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A 作AH ⊥BC 于H .则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC . 而DE ＝GF ＝EF ， ∴EF 2＝BE ·FC .[对应学生用书P15]一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE ＝( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm解析：如图，∵∠A ＝∠A ，∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ， ∴AD AB ＝DE BC，DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28.答案：C2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 答案：C3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．答案：B4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 答案：B 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3. 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．在△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝6，BD ＝12，则CD ＝__________，AC ＝__________，AB 2∶AC 2＝__________.解析：如图，AB 2＝AD 2＋BD 2，又AD ＝6，BD ＝12，∴AB ＝6 5.由射影定理可得，AB 2＝BD ·BC ，∴BC ＝AB 2BD＝15.∴CD ＝BC －BD ＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC 2＝CD ·BC ， ∴AC ＝3×15＝3 5.∴AB 2AC 2＝BD ·BC CD ·BC ＝BD CD ＝123＝4. 答案：3 3 5 4∶1 三、解答题8．如图：在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt △BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt △BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ， 所以CD 2＝16， 因为BD 2＝BE ·BC ， 所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝1643＝433.9．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且CD 2＝AD ·BD ，求证：∠ACB ＝90°.证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝∠BDC ＝90°. 又∵CD 2＝AD ·BD ， 即AD ∶CD ＝CD ∶BD ，∴△ACD ∽△CBD .∴∠CAD ＝∠BCD .又∵∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠CAD ＝90°.10．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于F 点， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3， 得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ， 于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223. 则CE ＝DC 2－DE 2＝8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC .求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG.∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH .[例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求ECAE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE，即EC AE ＝BF AF ·DCDB.又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝AB CB.又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝APPQ.又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2，EF ＝ED ＝2AE .∴FA ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(FA FD )2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18.∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝ABAC.同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD.∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝AB AC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′B ．3A ′B ′＝B ′C ′C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32. 答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)，BC ＝BD ·AB ＝＋＝23(cm)．答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215 B.215 C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝AB BC，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝AB AC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(AD AB)2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例． 答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4.令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF .∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425. 又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410.答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125B.512C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD.∵BC CD＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD .又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13.∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10， 又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BC AB ＝CDDE. ∴BC ＝AB ·CDDE. ∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB.∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝AN NC. ∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝ANNC.∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴， 故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC ， ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD，∴PE PF ＝PH PG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD.∴PE PC ＝PC PG，即PC 2＝PE ·PG .18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14. ∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元． (2)S △ABM S △AMD ＝BM DM ＝BCAD＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)．同理：S△DMC＝40(m2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理
AC2+BC2=AB2.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积
割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定
理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
-8-
四
直角三角形的射影定理
题型一
CD=4,则AD·DB等于(
)
A.16 B.4
C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AD·DB=CD2.
又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
-6-
四
1
直角三角形的射影定理
2
【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影
为点D,且AC=3,AD=2,则AB=
= 16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD= · = 16 × 9 = 12.
-9-
四
直角三角形的射影定理
题型一
题型二
题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后
用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角
四
直角三角形的射影定理
高二数学PPT之数学人教A版选修4-1课件：1.4直角三角形的射影定理
四
直角三角形的射影定理
-1-
四
直角三角形的射影定理
1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
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「精品」高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练2如图,CD垂直平分AB,点E在CD上,DF⊥AC于点F, DG⊥BE于点G.求证:AF·AC=BG·BE.
证明:∵CD垂直平分AB, ∴△ACD和△BED均为直角三角形,且AD=DB.
又DF⊥AC,DG⊥BE,
∴AD2=AF·AC,DB2=BG·BE, ∴AF·AC=BG·BE.
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证明:(1)在 Rt△ABC 中,∵AD⊥BC,
∴S△ABC=12AB·AC=12BC·AD, ∴AB·AC=AD·BC.
(2)在 Rt△ADB 中,DE⊥AB,由射影定理,得 BD2=BE·AB. 同理 CD2=CF·AC,
∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.① 又在 Rt△BAC 中,AD⊥BC,∴AD2=BD·DC.② 由①②两式,得 AD4=BE·CF·AB·AC,
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思维辨析 当堂检测
反思感悟利用直角三角形的射影定理解决计算问题时,首先要创 造应用射影定理的条件,即构造直角三角形或垂直关系,然后再对 照射影定理建立线段长度之间的等量关系,最后通过解方程求得相 应线段的长度.
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变式训练 1 如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,AD=3,CD=2,则������������������������ 的值为( )
2
即
������2-1 ������
+
������2 2
2
=12,∴������2-1
������2
+
������4=1.
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第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1.4 直角三角形的射影定理
A 级 基础巩固
一、选择题
1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( )
A ．点
B ．线段
C ．与MN 等长的线段
D ．直线
解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线．
答案：D
2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm ，则斜边上的高是( )
A ．10 cm
B ．2 cm
C ．2 6 cm
D ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为
6×4＝26(cm)． 答案：C
3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD
等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916
解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC.
所以AC 2AB 2＝CD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342，即CD BD ＝916
， 所以BD CD ＝169
. 答案：C
4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )
A ．2∶3
B ．4∶9 C.6∶3 D ．不确定 解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，
由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，
即CD AD ＝BD CD
. 又因为∠ADC ＝∠BDC ＝90°，
所以△ACD ∽△CBD.
又因为AD ∶BD ＝2∶3，
设AD ＝2x ，BD ＝3x(x>0)，
所以CD 2＝6x 2，所以CD ＝6x ，
易知△ACD ∽△CBD 的相似比为
AD CD ＝2x
6x ＝63＝6∶3.
答案：C
5.如图所示，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是( )
A ．BF 2＝12
AF 2 B ．BF 2＝13
AF 2 C ．BF 2>12
AF 2 D ．BF 2<13AF 2
解析：根据射影定理可得
BF 2＝AF ·CF ，
因为△ABF ∽△CEF ，
所以CF ∶AF ＝CE ∶AB ＝1∶2，
所以BF 2＝AF ·12AF ＝12AF 2.
答案：A
二、填空题
6．如图所示，小明在A 时测得某树的影长为2 m ，在B 时又测得该树的影长为8 m ．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.。